Topologie

Universität Karlsruhe (TH)
Institut für Algebra und Geometrie
HDoz. Dr. Oliver Baues
M.Sc. Slavyana Geninska
WS 2006/2007
Topologie
Übungsblatt 11
Aufgabe 1 (Lebesguezahl einer Überdeckung)
(X, d) sei ein kompakter metrischer Raum. Zeigen Sie, dass für jede offene Überdeckung {Uλ }λ∈Λ
eine positive reelle Zahl δ existiert, so dass ∀x ∈ X ∃µ ∈ Λ : Bδ (x) ⊆ Uµ . Die Zahl δ heißt
Lebesguezahl der Überdeckung.
Aufgabe 2 (Vervollständigung eines metrischen Raums)
ˆ heißt Vervollständigung von X,
(X, d) sei ein metrischer Raum. Ein metrischer Raum (X̂, d)
wenn es eine Abbildung f : X → X̂ gibt, so dass:
ˆ (x), f (y)) für alle x, y ∈ X. (D.h. f ist eine isometrische Einbettung.)
(i) d(x, y) = d(f
(ii) f (X) ist dicht in X̂.
ˆ ist vollständig.
(iii) (X̂, d)
ˆ besitzt.
(a) Zeigen Sie, dass (X, d) eine Vervollständigung (X̂, d)
Hinweis. Wir sagen, dass zwei Cauchyfolgen {xn } und {yn } in X äquivalent sind, wenn
d(xn , yn ) → 0 für n → ∞. Sei X̂ die Menge der Äquivalenzklassen [{xn }] der Cauchyfolgen
ˆ
{xn } in X. Zeigen Sie, dass d([{x
n }], [{yn }]) := lim d(xn , yn ) eine Metrik auf X̂ ist.
(b) Seien g : X 7→ Z eine isometrische Einbettung und Z vollständig. Zeigen Sie, dass es genau
f
h
eine Faktorisierung X → X̂ → Z von g gibt, d.h. g = h ◦ f , so dass h eine isometrische
Einbettung ist. Folgern Sie, dass je zwei Vervollständigungen von X zueinander isometrisch
sind.
Aufgabe 3 (Total beschränkte metrische Räume)
Zeigen Sie, dass ein metrischer Raum genau dann total beschränkt ist, wenn seine Vervollständigung kompakt ist.
Aufgabe 4 (Vervollständigung bzgl. der p-adischen Metrik)
Erinnern Sie sich, dass R die Vervollständigung bezüglich der euklidischen Norm von Q ist.
Zeigen Sie, dass Zp bzw. Qp Vervollständigung bezüglich der p-adischen Metrik von Z bzw. Q
sind. (Vgl. Blatt 9, Aufgabe 4, und Blatt 10, Aufgabe 4.)
Aufgabe 5 (Die duale Gruppe der Charaktere)
G sei eine lokalkompakte, kommutative Gruppe. Ein Charakter auf G ist ein Homomorphismus
α : G → R/Z, wobei R/Z mit der Quotiententopologie versehen wird. Zeigen Sie die folgenden
Aussagen:
(a) Die Menge Ĝ der stetigen Charaktere auf G ist eine topologische Gruppe bezüglich der
punktweisen Addition und der folgenden Topologie (kompakt-offenen Topologie): Eine
Umgebungsbasis des Einselements bilden die Mengen
Bitte wenden.
U (K, ε) := {α ∈ Ĝ | |α(x) − 1| < ε ∀x ∈ K}
mit K ⊆ G kompakt und ε > 0. (Ĝ heißt die Charaktergruppe von G.)
(b) Ĝ ist lokalkompakt und kommutativ.
(c) Ist G kompakt, dann ist Ĝ eine diskrete Gruppe (d.h. Gruppe mit diskreter Topologie).
Ist G diskret, dann ist Ĝ kompakt.
ˆ = Z.
(d) R̂ = R, Ẑ = R/Z, R/Z
Abgabe der Lösungen: bis Dienstag, 23.01.2007, 17:00 Uhr in den entsprechenden Briefkasten neben dem Seminarraum 32 im Mathematikgebäude