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Übungen zur Mathematik für Informatiker I
Wintersemester 2002/03
Prof. Dr. H. Lenzing
Blatt 11
Sei M Ihre Matrikelnummer mit den Ziffern m1 , m2 , m3 , m4 , m5 , m6 , m7 .
Aufgabe 101 (1 Bonuspunkt): Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem
(m1 + m2 ) · x1 +
(m2 + 1) · x2 + (m2 + m6 − 11) · x3 + (m3 + m5 − 11) · x4 = m1 + m2
−(m1 + m2 ) · x1 + (m4 − m2 − 3) · x2 + (m7 − m6 + 1) · x3 +
(7 − m3 ) · x4 = −m1 − m2 .
(m1 + m2 ) · x1 +
(m2 + 1) · x2 +
(m6 − 8) · x3 +
(m3 − 7) · x4 = m1 + m2
Aufgabe 102 (1 Bonuspunkt): Man bestimme das Inverse der folgenden Matrix.

1
m5
m4 m5
m2 + m4 m25
 m1
m1 m5 + 1
m4 (1 + m1 m5 )
m4 m5 + m1 (m2 + m4 m25 )

 m6 m5 (1 + m6 m4 ) m4 m5 (1 + m6 ) + 1 m5 (1 + m4 m5 ) + m6 (m2 + m4 m25 )
m7
m5 m7
m3 + m4 m5 m7
m3 m5 + m7 (m2 + m4 m25 ) + 1




Aufgabe 103 (1 Bonuspunkt): Für welche λ ∈ R ist das folgende lineare Gleichungssystem lösbar?
Bestimmen Sie in diesem Fall die Lösungsmenge. Für welche λ ist dieses System eindeutig lösbar?
λm1 · x1 +
(m3 + 1) · x2 + (m4 + 3 + (m7 + 2)(λ − 1)) · x3 = 2
λm1 · x1 + (m3 + 1)(λ + 2) · x2 +
(2m4 + 6) · x3 = 2 .
λm1 · x1 +
(m3 + 1) · x2 +
(m4 + 3) · x3 = 1
Aufgabe 104 (1 Bonuspunkt): (a) Seien die Punkte P1 := (0, m2 + 3), P2 := (1, m3 + 1), P3 :=
(2, m7 + 5) und P4 := (3, m4 − 7) gegeben. Bestimmen Sie eine Kurve, die durch
f (x) = a0 + a1 · x + a2 · x2 + a3 · x3
gegeben ist und durch die Punkte P1 , P2 , P3 und P4 geht. Wieviele Kurven dieser Art gibt es?
(b) Seien P1 , P2 , und P3 aus (a) gegeben. Bestimmen Sie alle Kurven f (x) wie in (a), die durch
diese drei Punkte gehen.
Aufgabe 105 (1 Bonuspunkt): Sei f : R4 −→ R3 durch die Matrix


1
1
1
1
A =  m2 + 2 m3 + 1 m4 m5 − 1 
m6 + 2
m7
0
m1
gegebene lineare Abbildung. Sei ferner


2
b =  m2 − m3 + m4 + m5  .
m1 + m6 − m7 + 2
Bestimmen Sie die Menge der Urbilder von b, d.h. f −1 ({b}).
Aufgabe 106*: Es habe das lineare Gleichungssystem Ax = b die Lösungen x1 , x2 , . . .. Für
welche natürlichen Zahlen n ist auch
n
X
(−1)k · xk
k=1
eine Lösung von Ax = b? Für welche b gilt dies für alle n ∈ N?
Aufgabe 107*: (a) Seien k Gleichungssysteme Ax = b` für ` = 1, . . . , k gegeben. Zeigen Sie,
dass es möglich ist, in einem einzigen Gaußalgorithmus diese Gleichungssysteme simultan zu lösen.
Geben Sie dazu ein Verfahren an. Angenommen alle diese Gleichungsysteme sind lösbar, geben
Sie eine Matrix X an, so dass gilt
A·X =B,
wobei B := [b1 , . . . , bk ] die Matrix mit dem Spaltenaufbau b1 , . . . , bk ist.
Abgabe: Bis zum Dienstag, den 14.1.2003, 24:00 Uhr im Netz unter bourbaki.upb.de/MatheI 02.