Lineare Algebra I - TU Darmstadt/Mathematik
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TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DARMSTADT
Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. M. Joswig
Katja Kulas
Christina Collet
Wintersemester
13.12.2005
2005/2006
Lineare Algebra I
7. Tutorium
Aufgabe T1 Für c ∈ R sei Mc die Menge aller
a1 a2
A = a4 a5
a7 a8
3 × 3–Matrizen
a3
a6
a9
mit der Eigenschaft, dass alle Zeilensummen, Spaltensummen und Diagonalsummen in A
gleich c sind. Die Elemente in M := ∪c∈R Mc heißen magische Quadrate.
(i) Zeigen Sie, dass M ein Teilraum des R–Vektorraumes R3×3 ist und Mc 6= ∅ für alle
c ∈ R. Bestimmen Sie alle c ∈ R, für die Mc ein Untervektorraum ist.
(ii) Zeigen Sie: Für alle A ∈ Mc gilt die Gleichung c = 3·a5 . Was folgt aus dieser Gleichung
speziell für die Gestalt der A ∈ M0 ?
(iii) Geben Sie die erste Zeile von A vor. Wie kann man diese zu einem magischen Quadrat
ergänzen?
(iv) Zeigen Sie:
1 −1 0
0 −1 1
1 und e2 = 1
0 −1
e1 = −1 0
0
1 −1
−1 1
0
bilden ein Basis von M0 . Ergänzen Sie diese zu einer Basis von M .
Definition 1. Für einen Ring R setze man R(N) = {(ak )k∈N | ak ∈ R, ∃ n ∈ N ∀ k > n : ak = 0}.
Man definiert auf R(N) die übliche Addition1
(ak ) + (bk ) := (ak + bk )
sowie eine Multiplikation durch
(ak ) · (bk ) = (ck ), wobei ck :=
k
X
ai bk−i .
i=0
Mit diesen Verknüpfungen ist R(N) ein kommutativer Ring mit Einselement, der sogenannte
Polynomring über R. In dieser Definition sieht man noch keine richtigen“ Polynome wie
”
2X 2 − 3X − 1. Den Anschluß an die Ihnen bekannte Notation erreichen wir mit folgender
Konstruktion. Man setze X := (0, 1, 0, 0, . . . ) ∈ R(N) , und für r ∈ R und (ak ) ∈ R(N) setze
man r(ak ) := (rak ) ∈ R(N) . Dann gilt
(ak )k∈N =
n
X
ak X k
k=0
für alle Polynome (ak ), wobei n so gewählt ist, daß ak = 0 für k > n ist. Wir bezeichnen
im Folgenden mit R[X] den Polynomring über R in der Unbestimmten X.
1
Vgl. dazu auch 5. Übung, H1.
Aufgabe T2 Überlegen Sie sich zunächst, dass die unten angegebenen Abbildungen Endomorphismen des C-Vektorraumes C[X] sind.
∂:
p(x) =
und
C[X]
Pn
k=0
ak X
k
→
C[X]
P
0
7→ p (x) = nk=1 kak X k−1
· X : C[X] → C[X]
p
7→ p · X.
Zeigen Sie ferner, dass ∂ ◦ ( · X) − ( · X) ◦ ∂ = idC[X] gilt.
Im Folgenden wollen wir einsehen, dass ein solches Phänomen für endlich dimensionale
Vektorräume über Körpern der Charakteristik 0 nicht auftritt.
Sei A = (aij ) ∈ K n×n eine quadratische Matrix. Die Spur von A ist definiert als
Tr(A) :=
n
X
aii ,
i=1
d.h. die Spur ist die Summe der Diagonalelemente von A. Zeigen Sie, dass für zwei Matrizen
A, B ∈ K n×n stets das folgende gilt:
(i) Tr(1) = n
(ii) Tr(A + B) = Tr(A) + Tr(B)
(iii) Tr(λA) = λTr(A) für alle λ ∈ K
(iv) Tr(A · B) = Tr(B · A)
Definition 2. Ist R ein Ring mit Einselement 1, so ist seine Charakteristik erklärt durch
0,
falls n · 1 6= 0 für alle n ≥ 1,
char(R) :=
min {n ∈ N \ {0} | n · 1 = 0} , sonst.
Aufgabe T3 Zeigen Sie: Ist K ein Körper, so ist char(K) entweder Null oder eine Primzahl.
Aufgabe T4 Sei K ein Körper der Charakteristik 0, V ein K-Vektorraum und P, Q
Endomorphismen von V . Zeigen Sie, dass die Gleichung
P ◦ Q − Q ◦ P = idV
nur gelten kann, falls dim(V ) = ∞ ist.
