SS 2015

SS 2015
Übungen zur Quantenmechanik
03.06.15
Blatt 7
Präsenzaufgabe 15: (Hermite-Polynome)
Zeigen Sie, dass die in der Vorlesung eingeführten Hermite-Polynome
¶
µ n
d −y2
n y2
e
Hn (y) = (−1) e
dy n
die Differentialgleichung Hn′′ − 2yHn′ + 2nHn = 0 lösen.
Hinweis: Formen Sie die linke Seite der DGL so um, dass sie proportional wird zu
¸
· n+2
dn+1
dn
d
2
+ 2y n+1 + (2n + 2) n e−y ,
n+2
dy
dy
dy
und zeigen durch eine (kurze) vollständige Induktion, dass dieser Ausdruck stets verschwindet.
Präsenzaufgabe 16: (Dreidimensionaler harmonischer Oszillator)
Der Hamilton-Operator des dreidimensionalen harmonischen Oszillators lautet
3
3
j=1
j=1
1 X 2 mX 2 2
Ĥ =
p̂j +
ωj x̂j .
2m
2
a) Seien ψnj (xj ) die Eigenfunktionen des eindimensionalen harmonischen Oszillators zu den
Eigenwerten ~ωj (nj + 12 ). Zeigen Sie, dass
Ψn1 ,n2 ,n3 (x1 , x2 , x3 ) = ψn1 (x1 )ψn2 (x2 )ψn3 (x3 )
eine Eigenfunktion des dreidimensionalen harmonischen Oszillators ist. Wie lautet der
zugehörige Energie-Eigenwert En1 ,n2 ,n3 ?
b) Wie lautet der Energie-Eigenwert En1 ,n2 ,n3 im Fall ω1 = ω2 = ω3 ? Bestimmen Sie für
diesen Fall seinen Entartungsgrad g(N ) in Abhängigkeit von N = n1 + n2 + n3 .
Albert Einstein: Ich kann mir nicht vorstellen, dass der Liebe Gott mit Würfeln spielt.“
”
Niels Bohr: Einstein, schreiben Sie Gott nicht vor, was er zu tun hat!“
”
Hausaufgaben für den 09.06.15
Hinweis: Bitte bearbeiten Sie jede Aufgabe auf einem separaten Blatt, das Sie jeweils mit Ihrem
Namen, Ihrer Matrikelnummer und der Nummer Ihrer Übungsgruppe leserlich kennzeichnen.
Hausaufgabe 19: (Rekursionsformel für Hermite-Polynome)
(1+2,5+0,5 = 4 Punkte)
a) Beweisen Sie die Relation Hn′ (y) = 2yHn (y) − Hn+1 (y).
b) Folgern Sie aus a) sowie der Differentialgleichung für die Hermite-Polynome die nützliche
Rekursionsformel
Hn+1 (y) = 2yHn (y) − 2nHn−1 (y) .
c) Verifizieren Sie die Rekursionsformel explizit für n = 2 durch Einsetzen der entsprechenden
Hermite-Polynome niedrigen Grades.
Hausaufgabe 20: (Vollständigkeit der Oszillatorfunktionen)
(9 Punkte)
Seien ψn (x) die aus der Vorlesung bekannten Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators.
Beweisen Sie die Vollständigkeitsrelation
∞
X
ψn (x)ψn (x′ ) = δ(x − x′ ) .
n=0
Hinweis: Drücken Sie in der Formel für die Hermite-Polynome jeweils die rechte Gauß-Funktion
durch ihre Fourier-Transformierte aus und berechnen die auftretenden Ableitungen im k-Raum.
Hausaufgabe 21: (Teilchen im Magnetfeld)
(7 Punkte)
~ das in
Ein Teilchen der Masse m und Ladung e bewege sich in einem konstanten Magnetfeld B,
z-Richtung weise.
~ = −By~ex .
a) Zeigen Sie, dass das Vektorpotential in diesem Fall gewählt werden kann als A
b) Stellen Sie den Hamilton-Operator Ĥ und die zugehörige stationäre Schrödinger-Gleichung
auf. Machen Sie den Separationsansatz ψ(~r ) = eikx x ϕ(y)eikz z und leiten darüber eine
Gleichung für ϕ(y) her.
c) Bestimmen Sie das Eigenwert-Spektrum von Ĥ.
Hinweis: Das Eigenwert-Spektrum steht in engem Zusammenhang mit dem eines einckx
dimensionalen harmonischen Oszillators; die Substitution ỹ := y + ~eB
kann helfen.