Ubungen zu Fana2 WS11, 6. ¨Ubung

Übungen zu Fana2 WS11, 6. Übung
1. Mit der Notation aus dem letzten Beispiel der fünften Übung gebe man die Defekt Indizes von T 00 an. Weiters berechne man σ(A) (insbesondere: ist ∞ ∈
σ(A)?), sowie die Resolvente (A − λ)−1 , λ ∈ ρ(A) des Operators A.
Hinweis: Lösen Sie mit der Meth. d. Variation der Konstanten die DG − f ′′ −λ f =
g, g ∈ C([0, 1]) unter den Randbedingungen f (0) = f (1) = 0. Stellen Sie die
Lösung als Integral dar. Zeigen Sie, dass dieses Integral dann auch die Lösung
von (A − λ) f = g für beliebige g ∈ L2 [0, 1] ist.
2. Sei H ein Hilbertraum, S ⊆ H × H eine symmetrische und abgeschlossene Relation. Man zeige, dass im Falle von endlichen Defekt Indizes (n+ , n− ) immer
codimS S ∗ = n+ + n− , wobei codimS S ∗ = dim S ∗ /S .
Wie groß ist dann codimS A, wenn n+ = n− und A eine selbstadjungierte Erweiterung von S in H × H ist?
3. Sei H ein Hilbertraum, S ⊆ H × H eine symmetrische Relation. Zeigen Sie, dass
dann auch S ⊞ ( {0} × (dom S )⊥ ) eine symmetrische Relation ist.
Zeigen Sie weiters, dass wenn zusätzlich S abgeschlossen und ein Operator ist,
der Defekt Indizes (1, 1) hat, es immer genau eine selbstadjungierte Erweiterung
A0 in H × H gibt mit mul A0 , {0}. Alle anderen selbstadjungierten Erweiterungen sind Operatoren.
R 1
dµ(t) < +∞. Betrachte
4. Sei µ ein nicht negatives Borelmaß auf R mit R |t|+1
auf H = L2 (R, B, µ, C) die lineare Relation Mt := {( f ; g) ∈ H × H : t f (t) =
g(t) µ − f.ü.}. Zeigen Sie, dass Mt ein selbstadjungierter Operator ist.
Weiters zeige man, dass alle f ∈ dom Mt integrierbar
bzgl. µ sind. Schließlich
R
sei S ≤ H × H die Relation {( f ; g) ∈ Mt : R f dµ = 0}. Zeigen Sie, dass S
symmetrisch mit Defect (1, 1) ist, und dass für z ∈ C\R der Raum ran(S −z̄)⊥ von
1
(t 7→ t−z
) aufgespannt wird. Was muss µ erfüllen, damit S nicht dicht definiert
ist?
Hinweis: Für Mt∗ = Mt betrachten Sie ((Mt − z)−1 )∗ !
5. Sei (ηn )n∈N∪{0} eine Folge von reellen Zahlen, sodass für jedes N ∈ N und
α0 , . . . , αN ∈ C
N
X
αi α j ηi+ j ≥ 0.
i, j=0
Betrachte den Raum aller Polynome C[z] versehen mit dem Skalarprodukt
N
N
X
X
h ai zi ,
b j z j i := ai b j ηi+ j .
i=0
j=0
Man zeige, dass N := {p(z) ∈ C[z] : hp, pi = 0} ein linearer Unterraum von C[z]
ist, und dass (C[z]/N, h., .i), wobei hp + N, q + Ni = hp, qi, ein Prähilbertraum ist.
Mit H werde die Vervollständigung davon bezeichnet.
Nun sei S ⊆ H × H definiert als
S := {(p(z) + N; zp(z) + N) ∈ H × H : p ∈ C[z]}.
Man zeige, dass S eine symmetrische lineare Relation ist, wobei der Abschluss
von S und damit auch S Defekt Indizes (0, 0) oder (1, 1) hat.
Hinweis: Bestimme zunächst ran(S − λ) für λ ∈ C± als Teilmenge von C[z]. Um
die Gleichheit von dim(ran(S − λ))⊥ und dim(ran(S − λ̄))⊥ zu zeigen, betrachte
man die konjugiert lineare Abbildung p 7→ p̄ von C[z]/N nach C[z]/N bzw. ihre
stetige Fortsetzung auf H.
6. Ist µ ein nichtnegatives endliches Borelmaß auf R, sodass alle Polynome
p(t)
R
über R nach µ integrierbar sind, so nennt man die Zahlen ηn = tn dµ, n ∈
N ∪ {0} die Momente des Maßes µ. Man zeige, dass diese Momente immer die
Positivitätsbedingung aus dem vorherigen Beispiel erfüllen.
Man zeige auch umgekehrt, dass es zu Zahlen (ηn )n∈N∪{0} , die diese Positivitätsbedingung erfüllen, immer ein nichtnegatives endliches Borelmaß auf R gibt,
sodass diese Zahlen genau die Momente dieses Maßes sind (Hamburgersches
Momentenproblem).
Hinweis: Betrachte eine selbstadjungierte Erweiterung von dem S aus dem letzten Beispiel.
7. Sei H ein RKHR auf einer Menge Ω mit Kernfunktion K. Ω sei versehen mit
einer Topologie! Zeigen Sie:
Falls t 7→ K(t, s) für jedes feste s ∈ Ω eine stetige Abbildung von Ω nach C und
falls t 7→ K(t, t) eine lokal beschränkte Abbildung ist (zu jedem x ∈ Ω gibt es
eine Umgebung U von x und ein CU ≥ 0, sodass K(t, t) ≤ CU für alle t ∈ U), so
sind alle f ∈ H stetig.
Zeigen Sie, dass unter der Annahme, dass die Topologie auf Ω lokalkompakt ist,
auch die Umkehrung gilt!
8. Mit der Notation aus Beispiel 6 der 4ten Übung zeige man, dass alle Funktionen
g ∈ H stetig sind, falls f stetig ist. Dabei sei G eine topologische Gruppe – also G
mit einer Topologie versehen, dass s 7→ s−1 , G → G, und (s; t) 7→ st, G×G → G
stetig sind.
Weiters zeige man, dass in diesem Fall auch die Funktion t 7→ Ut von G nach
B(H) stark stetig ist; dh. t 7→ Ut g ist stetig für alle g ∈ H.
Hinweis: Betrachten Sie zuerst kUt k s − Ur k s k2 für t → r in G und festes s ∈ G;
dann kUt g − Ur gk2 , wobei g eine Linearkombination von k s ist, und schließlich
kUt g − Ur gk2 für g ∈ H.
9. Für einen unbeschränkten selbstadjungierten Operatoren A zeige man, dass
(eitA )t∈R eine Gruppe von unitären Operatoren bilden.
Weiters zeige man mit Hilfe des Funktionalkalküls, dass limt→0 1t (eitA g−g) = iAg
für alle g ∈ dom(A).
Rs
its
Hinweis: Es gilt e t−1 = i 0 eitτ dτ.