Lineare Kongruenzen

KAPITEL 4
Lineare Kongruenzen
Satz 4.1 (Bezout Gleichung). Es seien a, b, c ∈ Z.
a) Die Gleichung ax+by = c hat genau dann eine Lösung x, y ∈ Z, wenn
ggT(a, b) ein Teiler von c ist.
b) Ist x0 , y0 ∈ Z eine Lösung der Gleichung ax + by = c, so ist die
Lösungsmenge
b
a
L = x0 + t, y0 − t | t ∈ Z
d
d
Satz 4.2 (Lineare Kongruenzen). Es seien a, d ∈ Z und n ∈ N
a) Die Kongruenz ax ≡ d mod n hat genau dann eine Lösung, wenn
ggT(a, n) ein Teiler von d ist.
b) Ist s = ggT(a, n) ein Teiler von d, so hat die Kongruenz ax ≡ d
mod n genau s Lösungen in {0, . . . , n − 1}.
Satz 4.3 (Chinesischer Restsatz). Sind die Zahlen m1 , . . . , mk ∈ N alle paarweise teilerfremd, so hat das System
x ≡ r1
x ≡ r2
..
.
mod m1
mod m2
x ≡ rk
mod mk
eine eindeutige Lösung x0 in {1, 2, . . . , M − 1} mit M = m1 · · · · · mk . Die
Lösungemnege des Systems ist L = x0 + M Z.
Bemerkung 4.4. Es seien a1 , . . . , ak ∈ Z, d1 , . . . , dk ∈ Z und n1 , . . . , nk ∈ N.
Wir betrachten das System simultaner linearer Kongruenzen
⎫
a1 x ≡ d1 mod n1 ⎪
⎪
⎪
a2 x ≡ d2 mod n2 ⎬
(I)
..
⎪
.
⎪
⎪
⎭
ak x ≡ dk mod nk
a) Hat das System (I) eine Lösung, so ist ggT(ai , ni ) Teiler von di für
alle i = 1, . . . , k.
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b) Ist ggT(ai , ni ) ein Teiler von di für alle i = 1, . . . , k, so gibt es
r1 , . . . , rk ∈ Z und m1 , . . . , mk , so dass die Lösungemenge von (I)
genau die Lösungsmenge von
x ≡ r1
x ≡ r2
..
.
mod m1
mod m2
x ≡ rk
mod mk
ist.
Satz 4.5. Es sei A ∈ Zn×n und b ∈ Zn .
a) Ist det(A) = 0, so hat die Gleichung Ax = b höchstens eine Lösung.
b) Ist det(A) = ±1, so hat die Gleichung Ax = b genau eine Lösung.