Klausur zur Diskreten Mathematik 1 WS2014/15 Hinweise: (vor der

Klausur zur Diskreten Mathematik 1
WS2014/15
Hinweise: (vor der Bearbeitung der Klausur lesen!)
1. Tragen Sie auf diesem Deckblatt und auf jedem weiteren Blatt Ihren
Namen und Ihre Matrikelnummer deutlich lesbar ein.
2. Unterschreiben Sie die Klausur auf diesem Deckblatt (s.u.).
3. Prüfen Sie, ob Sie alle 9 Aufgaben erhalten haben.
4. Soweit möglich, bearbeiten Sie jede Aufgabe auf der zugehörigen Seite einschließlich der Rückseite. Ferner haben Sie am Ende ein Blatt
für Nebenrechnungen. Falls dies nicht ausreicht, können Sie von der
Aufsicht zusätzliche Blätter bekommen. Schreiben Sie auf die Zusatzblätter Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer und die Nummer der
bearbeiteten Aufgabe.
5. Zugelassene Hilfsmittel: KEINE, ausgenommen natürlich Schreibgerät
(kein Bleistift).
6. Halten Sie bitte Studentenausweis und Personalausweis bereit.
7. Die Bearbeitungszeit beträgt 105 Minuten.
Name, Vorname: (deutlich!) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrikelnr.: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Unterschrift: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgabe
mögliche
Punkte
erreichte
Punkte
Note:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
P
4
4
4
8
4
4
4
4
4
40
Name:
Matrikelnummer:Matrikelnumme
Aufgabe 1. (4 Punkte) Ein Autokennzeichen wird gebildet aus
• mindestens 1, maximal 2 Buchstaben des Alphabets (26 Buchstaben)
• und mindestens 2, maximal 3 Ziffern (wobei die Ziffer 0 nicht an der
ersten Stelle stehen darf ).
Wie viele verschiedene Autokennzeichen gibt es?
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Name:
Matrikelnummer:Matrikelnumme
Aufgabe 2. (4 Punkte) Auf wie viele Arten kann man die Buchstaben des
Wortes GIANNANANNINI anordnen?
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Name:
Matrikelnummer:Matrikelnumme
Aufgabe 3. (4 Punkte) Es seien k, n ≥ 0 ganze Zahlen. Beweise die folgende
Formel für Binomialkoeffizienten:
n X
m
m=0
k
n+1
=
k+1
(Tipp: Führe eine Induktion nach n durch.)
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Name:
Matrikelnummer:Matrikelnumme
Aufgabe 4. (8 Punkte) Berechne die Wahrscheinlichkeit beim Ziehen von
6 zufälligen Karten eines Standard-Kartenspiels (4 Farben, 13 Werte) die
folgenden Blätter zu erhalten:
(i) Alle Karten haben die gleiche Farbe.
(ii) Alle Werte sind verschieden.
(iii) Alle Farben sind verschieden.
(iv) Ein Vierling und ein Paar (zum Beispiel 4,4,4,4,9,9)
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Name:
Matrikelnummer:Matrikelnumme
Aufgabe 5. (4 Punkte) Es sei (Ω, P ) ein endlicher diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, X : Ω → R eine Zufallsvariable und λ eine reelle Zahl. Zeige
folgende Gleichheit:
E[λX] = λE[X].
(Erinnerung: λX ist die Funktion von Ω nach R, die ω ∈ Ω auf λ · X(ω)
abbildet.)
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Name:
Matrikelnummer:Matrikelnumme
Aufgabe 6. (4 Punkte) Ein Standardwürfel (mit den Werten 1 bis 6) wird
zweimal geworfen. Das Ergebis des ersten Wurfes wird mit 2 multipliziert.
Das Ergebnis des zweiten Wurfes wird mit 3 multipliziert. Anschließend wird
die Summe gebildet. Berechne den Erwartungswert dieses Zufallsexperimentes.
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Name:
Matrikelnummer:Matrikelnumme
Aufgabe 7. (4 Punkte) Kreuze an, welche der folgenden Implikationen für
einen Graphen G zutreffen:
G ist ein Baum ⇒ G ist bipartit
ja
nein
G ist bipartit ⇒ G ist 2-regulär
ja
nein
G ist regulär ⇒ G hat ein perfektes Matching
ja
nein
G ist zusammenhängend ⇒ G hat einen Spannbaum
ja
nein
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Name:
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Aufgabe 8. (4 Punkte) Kreuze an, welche der folgenden Aussagen für den
unten abgebildeten Graphen gelten:
G ist eulersch
ja
nein
G ist bipartit
ja
nein
G ist regulär
ja
nein
G hat ein perfektes Matching
ja
nein
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Matrikelnummer:Matrikelnumme
Aufgabe 9. (4 Punkte) Gebe einen Baum mit mindestens zwei Ecken an,
der genau einen Automorphismus besitzt. Begründe deine Antwort.
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test
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