Reihenbezeichnung Franz W. Peren Formelsammlung Wirtschaftsmathematik Formelsammlung Wirtschaftsmathematik Franz W. Peren Formelsammlung Wirtschaftsmathematik Franz W. Peren Hochschule Bonn-Rhein-Sieg Sankt Augustin, Deutschland ISBN 978-3-642-41916-4 DOI 10.1007/978-3-642-41917-1 ISBN 978-3-642-41917-1 (eBook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Gabler © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Lektorat: Michael Bursik, Assistenz: Janina Sobolewski Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Springer Gabler ist eine Marke von Springer DE. Springer DE ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media www.springer-gabler.de Gewidmet Reinger Classen †. Ein unvergessener Freund. Vorwort Diese Formelsammlung dient vornehmlich allen Studierenden und wirtschaftswissenschaftlich Wertschöpfenden, gleichwohl denen der Betriebswirtschaftslehre oder der Volkswirtschaftslehre, den Wirtschaftsingenieuren oder den Wirtschaftspädagogen. Es gestaltet sich nach den Erfahrungen des Verfassers, der seine wirtschaftswissenschaftlichen Studien in 1981 an der Westfälischen Wilhelms-Universität zu Münster in Deutschland begann und als Professor der Betriebswirtschaftslehre die quantitativen Methoden bis dato lehrt und diese forschend in vielfältiger Art und Weise weiterentwickeln durfte vorwiegend in Deutschland an der Fachhochschule Bielefeld und der Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, aber auch an der University of Victoria in Victoria, BC, Kanada, der Universitas Udayana in Denpasar, Bali, Indonesien, der Technická Univerzita v Košiciach in Košice, Slowakische Republik und der Columbia University in New York City, New York, USA. Es soll nach bestem Wissen und Gewissen des Verfassers die mathematischen Inhalte formelhaft wiedergeben, wie sie in den Wirtschaftswissenschaften global sowohl an den Universitäten und Hochschulen als auch in der wirtschaftswissenschaftlichen Praxis sinnvoll und notwendig sind. Dank schuldet der Verfasser vielen seiner wissenschaftlichen Mitarbeiter(innen), die an dieser Arbeit und an vielen anderen Projekten mit Kreativität, Wissen und Fleiß für ihn in den vergangenen mehr als 20 Jahren tätig waren. Allen voran danke ich Herrn Christian Stollfuß, der federführend diese Formelsammlung mit gestaltet hat. Besonderer Dank gebührt auch Shanti Alena Dewi, Verena Leisen, Markus Shakoor und Christina Pakusch. Für die vielen wertvollen Anregungen im Bereich der Wirtschaftsmathematik und Wirtschaftsstatistik danke ich besonders meinen geschätzten Kolleg(inn)en Friedrich Aumann und Dr. Andreas Grisar † von der Westfälischen WilhelmsUniversität Münster, Prof. Dr. Rüdiger Bücker † von der Fachhochschule Bielefeld, Prof. Dr. Félix Sekula † von der Technická Univerzita v Košiciach sowie Prof. Dr. Reiner Clement, Prof. Dr. Johannes Natrop, Prof. Dr. Oded Löwenbein † und Prof. Dr. Wiltrud Terlau von der Hochschule Bonn-Rhein-Sieg. Bonn, Oktober 2013 Franz W. Peren VII Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische Zeichen und Symbole .................................. 1 2 Logik ........................................................................................ 9 3 Arithmetik ................................................................................ 3.1 Mengen ........................................................................... 3.1.1 Allgemeines ........................................................ 3.1.2 Mengenrelationen ............................................... 3.1.3 Mengenoperationen ............................................ 3.1.4 Beziehungen, Gesetze, Rechenregeln bei Mengen ............................................................... 3.1.5 Intervalle ............................................................. 3.1.6 Zahlensysteme.................................................... 3.2 Elementare Rechenarten ................................................. 3.2.1 Elementare Grundlagen ...................................... 3.2.2 Termumformungen ............................................. 3.2.3 Summen- und Produktzeichen ............................ 3.2.4 Potenzen, Wurzeln.............................................. 3.2.5 Logarithmen ........................................................ 3.2.6 Fakultät ............................................................... 3.2.7 Binomialkoeffizient (gelesen „n über k“) .............. 3.3 Folgen ............................................................................. 3.3.1 Definition ............................................................. 3.3.2 Grenzwert einer Folge ........................................ 3.3.3 Arithmetische und geometrische Folgen ............. 3.4 Reihen ............................................................................. 3.4.1 Definition ............................................................. 3.4.2 Arithmetische und geometrische Reihen ............ 11 11 11 12 12 14 15 16 18 18 21 23 25 27 30 30 32 32 34 36 37 37 37 Algebra .................................................................................... 4.1 Grundbegriffe................................................................... 4.2 Lineare Gleichungen ....................................................... 4.2.1 Lineare Gleichungen mit einer Variablen ............ 4.2.2 Lineare Ungleichungen mit einer Variablen ........ 4.2.3 Lineare Gleichungen mit mehreren Variablen ..... 4.2.4 Lineare Ungleichungen mit mehreren Variablen . 4.3 Nichtlineare Gleichungen ................................................ 4.3.1 Quadratische Gleichungen mit einer Variablen ... 41 41 43 43 43 44 47 48 48 4 IX X Inhaltsverzeichnis 4.3.2 Kubische Gleichungen mit einer Variablen ......... 4.3.3 Biquadratische Gleichungen ............................... 4.3.4 Gleichungen n-ten Grades .................................. 4.3.5 Wurzelgleichungen.............................................. Transzendente Gleichungen ............................................ 4.4.1 Exponentialgleichungen ...................................... 4.4.2 Logarithmische Gleichungen ............................... Näherungsverfahren ........................................................ 4.5.1 Regula falsi (Sekantenverfahren) ........................ 4.5.2 Newtonsches Verfahren (Tangentenverfahren) .. 4.5.3 Allgemeines Näherungsverfahren (Fixpunktiteration) ............................................... 51 53 54 54 55 55 57 58 59 61 Lineare Algebra ....................................................................... 5.1 Grundbegriffe ................................................................... 5.1.1 Matrix .................................................................. 5.1.2 Gleichheit / Ungleichheit von Matrizen ................ 5.1.3 Transponierte Matrix ........................................... 5.1.4 Vektor.................................................................. 5.1.5 Spezielle Matrizen und Vektoren ........................ 5.2 Operationen mit Matrizen ................................................ 5.2.1 Addition von Matrizen.......................................... 5.2.2 Multiplikation von Matrizen .................................. 5.3 Die Inverse einer Matrix ................................................... 5.3.1 Einführung ........................................................... 5.3.2 Bestimmung der Inversen unter Verwendung des Gauß’schen Eliminationsverfahren............... 5.4 Der Rang einer Matrix...................................................... 5.4.1 Begriffsbestimmung ............................................ 5.4.2 Bestimmung des Ranges einer Matrix ................ 5.5 Die Determinante einer Matrix ......................................... 5.5.1 Begriffsbestimmung ............................................ 5.5.2 Berechnung von Determinanten ......................... 5.5.3 Einige Eigenschaften von Determinanten ........... 5.6 Die Adjunkte einer Matrix ................................................. 5.6.1 Begriffsbestimmung ............................................ 5.6.2 Bestimmung der Inverse mit Hilfe der Adjunktenmatrix .................................................. 69 69 69 70 71 71 73 76 76 77 86 86 4.4 4.5 5 63 88 90 90 91 93 93 95 100 101 101 102 Inhaltsverzeichnis XI 6 Kombinatorik ........................................................................... 6.1 Permutationen ................................................................. 6.2 Variationen ...................................................................... 6.3 Kombinationen................................................................. 105 107 108 109 7 Finanzmathematik................................................................... 7.1 Zinsrechnung ................................................................... 7.1.1 Grundbegriffe ...................................................... 7.1.2 Jährliche Verzinsung ........................................... 7.1.3 Unterjährliche Verzinsung ................................... 7.2 Abschreibungen............................................................... 7.2.1 Grundbegriffe ...................................................... 7.2.2 Lineare Abschreibung ......................................... 7.2.3 Degressive Abschreibung ................................... 7.2.4 Leistungsabschreibung (auch: variable Abschreibung) ..................................................... 7.3 Rentenrechnung .............................................................. 7.3.1 Grundbegriffe ...................................................... 7.3.2 Endliche, gleichbleibende Renten ....................... 7.3.3 Endliche, veränderliche Renten .......................... 7.3.4 Ewige Rente........................................................ 7.4 Tilgungsrechnung ............................................................ 7.4.1 Grundbegriffe ...................................................... 7.4.2 Grundgleichungen der Tilgungsrechnung ........... 7.4.3 Annuitätentilgung ................................................ 7.4.4 Ratentilgung ........................................................ 7.4.5 Tilgung mit Aufgeld ............................................. 7.4.6 Tilgungsfreie Zeiten ............................................ 7.4.7 Gerundete Annuitäten ......................................... 7.4.8 Unterjährliche Tilgung ......................................... 7.5 Kurs- und Effektivzinsrechnung ....................................... 7.5.1 Zinsschuld ........................................................... 7.5.2 Annuitätenschuld ................................................ 7.5.3 Ratenschuld ........................................................ 7.5.4 Beispielaufgabe Kursrechnung ........................... 7.5.5 Beispielaufgabe Effektivzinsrechnung ................ 7.6 Investitionsrechnung ........................................................ 7.6.1 Grundbegriffe ...................................................... 7.6.2 Finanzmathematische Grundlagen ..................... 111 111 111 112 119 124 124 125 125 129 129 129 132 141 145 145 146 147 149 150 151 154 155 161 167 168 168 169 170 171 173 173 175 XII Inhaltsverzeichnis 7.6.3 Methoden der dynamischen Investitionsrechnung ........................................... Statische Verfahren der Investitionsrechnung ..... 178 186 8 Optimierung linearer Modelle ................................................ 8.1 Lagrange-Methode .......................................................... 8.1.1 Einführung ........................................................... 8.1.2 Bildung der Lagrange-Funktion ........................... 8.1.3 Bestimmung der Lösung ..................................... 8.2 Lineare Optimierung (LP-Ansatz) .................................... 8.2.1 Einführung ........................................................... 8.2.2 Aufstellen des LP-Ansatzes ................................ 8.2.3 Graphische Bestimmung der Lösung .................. 8.2.4 Simplexverfahren ................................................ 189 189 189 189 190 192 192 193 193 196 9 Funktionen............................................................................... 9.1 Einführung ....................................................................... 9.2 Klassifizierung von Funktionen ........................................ 9.2.1 Rationale Funktionen .......................................... 9.2.2 Nichtrationale Funktionen ................................... 9.3 Eigenschaften reeller Funktionen .................................... 201 201 206 206 209 232 10 Differentialrechnung ............................................................... 10.1 Differentiation von Funktionen mit einer unabhängigen Variablen ......................................................................... 10.1.1 Allgemeines ........................................................ 10.1.2 Erste Ableitung elementarer Funktionen ............. 10.1.3 Ableitungsregeln ................................................. 10.1.4 Höhere Ableitungen ............................................ 10.1.5 Differentiation von Funktionen mit Parametern ... 10.1.6 Kurvendiskussion ................................................ 10.2 Differentiation von Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen .................................................. 10.2.1 Partielle Ableitungen (1. Ordnung) ...................... 10.2.2 Partielle Ableitung (2. Ordnung) .......................... 10.2.3 Lokale Extrema der Funktion .............................. 10.2.4 Extrema mit Nebenbedingungen ......................... 10.2.5 Differentiale für die Funktion ............................... 10.3 Sätze über differenzierbare Funktionen ........................... 10.3.1 Mittelwertsatz der Differentialrechnung ............... 245 7.6.4 245 245 247 249 251 252 252 259 259 262 264 267 271 273 273 Inhaltsverzeichnis 10.3.2 Verallgemeinerter Mittelwertsatz der Differentialrechnung ...................................... 10.3.3 Satz von Rolle ..................................................... 10.3.4 L’Hospitalsche Regel .......................................... 10.3.5 Schrankensatz der Differentialrechnung ............. 11 XIII 273 274 274 275 Integralrechnung..................................................................... 11.1 Einführung ....................................................................... 11.2 Das unbestimmte Integral ................................................ 11.2.1 Definition / Bestimmung der Stammfunktion ....... 11.2.2 Elementare Rechenregeln für das unbestimmte Integral ................................................................ 11.3 Das bestimmte Integral .................................................... 11.3.1 Einführung .......................................................... 11.3.2 Beziehung zwischen bestimmtem und unbestimmtem Integral ....................................... 11.3.3 Spezielle Integrationstechniken .......................... 11.4 Mehrfach-Integrale .......................................................... 11.5 Integralrechnung bei ökonomischen Problemstellungen . 11.5.1 Kostenfunktionen ................................................ 11.5.2 Umsatzfunktionen (= Erlösfunktion) .................... 11.5.3 Gewinnfunktionen ............................................... 287 293 296 297 297 299 300 Elastizitäten ............................................................................. 12.1 Problemstellung und Begriff der Elastizität ...................... 12.2 Bogenelastizität ............................................................... 12.3 Punktelastizität ................................................................ 12.4 Wirtschaftstheoretische Elastizitätsbegriffe ..................... 12.4.1 Preiselastizität der Nachfrage ............................. 12.4.2 Die Kreuzpreiselastizität ..................................... 12.4.3 Die Einkommenselastizität der Nachfrage .......... 303 303 304 308 310 311 316 317 Anhang .............................................................................................. Aufzinsungsfaktoren ................................................................. Abzinsungsfaktoren .................................................................. Tilgungsfaktoren ....................................................................... Rentenbarwertfaktoren ............................................................. Rentenendwertfaktoren............................................................. Annuitätenfaktoren .................................................................... 319 320 324 328 332 340 348 Literaturverzeichnis ......................................................................... 357 12 277 277 278 278 282 283 283 1 Mathematische Zeichen und Symbole Bemerkung: Die Zeichen und Symbole sind z.T. in Anwendungen dargestellt, zu den Definitionen siehe speziellen Abschnitt. Wenn nicht anders angegeben, liegt DIN 1302 zugrunde. Pragmatische Zeichen a≈b a << b a >> b a=b ... a ungefähr gleich b a klein gegen b, a kann gegenüber b vernachlässigt werden a groß gegen b a entspricht b, z.B. 1 cm = 10mm und so weiter (bis), Auslassung Allgemeine arithmetische Relationen und Verknüpfungen (a, b sind Zahlen, Elemente, Objekte) a=b a≠b a := b a<b a>b a≤b a≥b a+b a−b a⋅b a b a gleich b, arithmetischer Grundbegriff, Identität a ungleich b, keine Identität a ist definitionsgemäß gleich b, auch =, := a kleiner als b, Grundbegriff, z.B. −6 < −2 a größer als b, z.B. 3 > −8 a kleiner oder (höchstens) gleich b, a ≤ 8 entspr. (−∞,8] a größer oder (mindestens) gleich b, entspricht b ≤ a a plus b, Summe von a und b, arithmetischer Grundbegriff a minus b, Differenz von a und b, einstelliges Verknüpfungszeichen a mal b, Produkt von a und b, arithmetischer Grundbegriff 16 a durch b, Quotient von a und b, z.B. = 16 ÷ 4 = 4 4 n n ai Summe über ai von i gleich 1 bis n, i =1 i= 1 ai = a1 + a2 + ... + an i =1 n ∏ ai n Produkt über ai von i gleich 1 bis n, ∏ F.W. Peren, Formelsammlung Wirtschaftsmathematik, DOI 10.1007/978-3-642-41917-1_1, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013 ai = a1 ⋅ a2 ⋅ ... ⋅ an i= 1 1 2 1 Mathematische Zeichen und Symbole Besondere Zahlen und Verknüpfungen (a, b ∈ R; n, m ∈ Z; s ∈ N) an a = a1/2 = b n a = a1/n = b a hoch n, n-te Potenz von a für n ≥ 0 Wurzel (Quadratwurzel) aus a, entspr. b² = a für b ≥ 0, a ≥0 n-te Wurzel aus a, entspricht bn = a für b ≥ 0, a ≥0 n ∏ ai = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ n n! n Fakultät, n! = sgn a |a| a [i] ∞ Signum von a (Vorzeichen), z.B. sgn (−3) = −1 Betrag von a, z.B. |−8| = 8 a an der i-ten Stelle; z.B. 5;6;7; a[2] = 6 unendlich, Merke: ∞ ist keine Zahl. i =1 Zahlenmengen N N* Z 4, Q 4* 4+ 4 +0 R R* R+ R+ 0 C ]a,b[ ]a,∞] [a,b] [a,b[ Menge der natürlichen Zahlen, N = {0, 1, 2, ...} Menge der positiven natürlichen Zahlen, N* = N \ {0} = {1, 2, 3, ...} Menge der ganzrationalen Zahlen, Z = {... −2, −1, 0, 1, 2, ...} a a, b ∈ Z, b ≠ 0 Menge der rationalen Zahlen, 4 = b Menge der von Null verschiedenen rationalen Zahlen; 4* = 4 \ {0} Menge der positiven rationalen Zahlen Menge der positiven rationalen Zahlen plus Null Menge der reellen Zahlen Menge der von Null verschiedenen reellen Zahlen Menge der positiven reellen Zahlen Menge der positiven reellen Zahlen plus Null Menge der komplexen Zahlen offenes Intervall von a bis b {x | a < x < b} offenes unbeschränktes Intervall ab a, {x | a < x } geschlossenes Intervall von a bis b, {x | a ≤ x ≤ b} linksseitig geschlossenes, rechtsseitig offenes Intervall von a bis b, {x | a ≤ x < b} 1 Mathematische Zeichen und Symbole Grenzwert (Limes) lim f ( x ) = a a ist Grenzwert der Funktion f(x) für x gegen 0, d.h. x nähert sich immer mehr den Wert 0 an. So konvergiert (limitiert) der Funktionswert f(x) gegen a. lim f ( x ) = b b ist der Grenzwert der Funktion f(x) für x gegen ∞. lim f ( x ) = c c ist der Grenzwert der Funktion f(x) für x gegen 0. lim f ( x ) = d d ist der Grenzwert der Funktion f(x) für x gegen 5. x →0 x →∞ x →0 x →5 Exponentialfunktion, Logarithmus (x,y ∈ R+) ex ln x loga x log x lb x Exponentialfunktion von x, e hoch x natürlicher Logarithmus von x; loge x = ln x Logarithmus von x zur Basis a; loga x = y ⇔ ay = x mit x; a > o und a ≠ 1 dekadischer Logarithmus von x, log x = lg x = log10 x binärer (dyadischer) Logarithmus von x, lb x = log2 x Trigonometrische Funktionen, Hyperbelfunktionen sin x, cos x tan x, cot x sinh x, cosh x tanh x, coth x Arcsin y Arccos y Arctan y Arccot y Arsinh y Arcosh y Artanh y Arcoth y Sinus von x, Cosinus von x Tangens von x, Cotangens von x Hyperbelsinus von x, Hyperbelcosinus von x Hyperbeltangens von x, Hyperbelcotangens von x Arcussinus von y Arcuscosinus von y Arcustangens von y Arcuscotangens von y Areahyperbelsinus von y Areahyperbelcosinus von y Areahyperbeltangens von y Areahyperbelcotangens von y 3 4 1 Mathematische Zeichen und Symbole Vektoren, Matrizen a, b, x, y, ... a, b, x, y, ... o, o |a| = a < (a, b) a⊥b a×b A, B, ... Zeichen für Vektoren, auch a, b, x, y,... Zeichen für Skalare Nullvektor, neutrales Element bzgl. Vektoraddition Betrag von a, |a| = a ⋅ a Winkel zwischen a und b a orthogonal zu b a Kreuz b Zeichen für Matrizen a11 … a1n am1 … amn = (aik)m,n, Matrix aik, Element aik (i-te Zeile, k-te Spalte), auch (aik), (aik) A′ = AT 0, 0m,n E, En transponierte, gestürzte Matrix A Nullmatrix, alle Elemente gleich Null a11 a1n an1 ann A n−1×n r(A) Einheitsmatrix; Diagonalmatrix, die in der Hauptdiagonalen nur das Element 1 hat und deren übrigen Elemente sämtlich gleich Null sind. = det A Determinante der quadratischen n,n-Matrix A inverse Matrix von A, A ⋅ A−1 = E Rang von A, auch Rg (A) Mengen (Auszug aus DIN 5473) {a1, ..., an} a∈A a∉A A⊆B A⊂ B ≠ A∩B Menge mit den Elementen a1, ..., an a ist Element von A a ist nicht Element von A z.B. 3 ∉ {4, 5, 6} A ist unechte Teilmenge von B, auch A ⊂ B A ist echte Teilmenge von B, A enthalten in B, echte Inklusionsrelation „enthalten und ungleich“ A geschnitten B, A „oder“ B, enthält die gemeinsamen Elemente 1 Mathematische Zeichen und Symbole A∪B 5 ∅={} A vereinigt B, A „und“ B, enthält alle vorkommenden Elemente Differenzmenge von A und B, A „ohne“ B, z.B. {2, 3, 4} \ {2, 4} = {3} Komplement von B, enthält alle der Elemente, die nicht in B enthalten sind leere Menge, enthält kein Element Relationen (Auszug aus DIN 5473) a, b, (a, b) A×B (geordnetes) Paar von a und b, auch a; b,a | b A Kreuz B, kartesisches Produkt von A und B, Menge aller (geordneten) Paare aus A und B, auch A² = A × A A\B B Funktionen (Auszug aus DIN 5473) f = f(x) Df; D(f) Wf; W(f) f: A → B f von x, f ist eine Funktion in Abhängigkeit von x Definitionsbereich von f Wertebereich von f f ist eine Abbildung von A in B Ordnungsstrukturen (Auszug aus DIN 13302) min X max X sup X inf X Minimum von X, kleinstes Element von X Maximum von X, größtes Element von X Supremum von X, kleinste obere Schranke von X Infimum von X, größte untere Schranke von X 6 1 Mathematische Zeichen und Symbole SI-Vergrößerungs- und SI-Verkleinerungsvorsätze d c m μ n p f a z y 10−1 10−2 10−3 10−6 10−9 10−12 10−15 10−18 10−21 10−24 Dezi Zenti Milli Mikro Nano Piko Femto Atto Zepto Yocto da h k M G T P E Z Y Deka Hekto Kilo Mega Giga Tera Peta Exa Zetta Yotta Griechisches Alphabet Name Alpha Beta Gamma Delta Epsilon Zeta Eta Theta Iota Kappa Lambda My Ny Xi Omikron Pi Rho Kleinbuchstabe Großbuchstabe α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ 101 102 103 106 109 1012 1015 1018 1021 1024 1 Mathematische Zeichen und Symbole 7 Name Kleinbuchstabe Großbuchstabe Sigma Tau Ypsilon Phi Chi Psi Omega σ Σ τ υ ϕ χ ψ ω Τ Υ Φ Χ Ψ Ω 2 Logik Mathematische Logik (Auszug aus DIN 5473) ¬ ϕ, ϕ nicht ϕ, Negation (ϕ und ψ stehen für Aussagen oder Aussageformen) ϕ und ψ, Konjunktion ϕ oder ψ, Disjunktion ϕ impliziert ψ, aus ϕ folgt ψ, Implikation von ϕ und ψ, auch ϕ→ψ ϕ äquivalent zu ψ, ϕ ist gleichwertig mit ψ, Äquivalenz von ϕ und ψ, auch ϕ ↔ ψ Antivalenz, negierte Äquivalenz, ausschließendes Entweder-Oder falls, Replikation für alle x (gilt), Allquantor es gibt (wenigstens) ein x für das gilt, Existenzquantor ϕ∧ψ ϕ∨ψ ϕψ ϕ⇔ψ ϕ⇔ψ ϕ←ψ ∀x ∃x Aussagenlogik Aussagenvariable a, b, ... sind Buchstaben oder andere Zeichen, an der Stelle Aussagen oder Wahrheitswerte gesetzt werden können. Wahrheitstafeln a b ¬a a∧b a∨b W W F W W W F F F W F W W F W F F W F F F.W. Peren, Formelsammlung Wirtschaftsmathematik, DOI 10.1007/978-3-642-41917-1_2, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013 9 10 2 Logik Symbol Bedeutung A A Ist eine Aussage, die wahr (w) oder falsch (f) sein kann. Wahrheitswerte W (wahr); F (falsch) Beispiel: Die Aussage „7 ist eine Primzahl“ ist wahr, die Aussage „8 − 3 = 4“ ist falsch, „7x + 4 = 25“ ist erst mit der Belegung x = 3 eine wahre Aussage. „3“ heißt Lösung. v(A) v (A) wird als der Wahrheitswert der Aussage A bezeichnet; v (A) =1 heißt, dass A wahr und v (A) =0, dass A falsch ist. ¬A Die Negation ¬ A (bzw. A ) der Aussage A ist wahr, wenn A falsch ist, und falsch, wenn A wahr ist. A ∧B Die Konjunktion A ∧ B ist wahr, wenn beide Aussagen wahr sind, und falsch, wenn wenigstens eine der beiden Aussagen falsch ist. A∨B Die Disjunktion A ∨ B ist wahr, wenn wenigstens eine der beiden Aussagen wahr ist, und falsch, wenn beide Aussagen falsch sind. Die Implikation A B bedeutet: Wenn A wahr ist, dann ist auch B wahr. A wird als Voraussetzung (Prämisse), B als Folgerung (Konklusion) bezeichnet. A B ist nur dann falsch, wenn aus einer wahren Voraussetzung eine falsche Folgerung gezogen wird. A B A ⇔B Die Äquivalenz A ⇔ B bedeutet: Wenn A wahr ist, dann ist auch B wahr und umgekehrt. A ⇔ B ist nur dann falsch, wenn eine der beiden Aussagen wahr und die andere falsch ist. ∃ „Es gibt“ (z.B.: ∃x ∈ 4 : x 2 = 4 heißt: Es gibt eine rationale Zahl x mit x 2 = 4 ) ∀ „Für alle“ (z.B.: ∀x ∈4 : x 2 ≥ 0 heißt: Für alle rationalen Zahlen x mit x 2 ≥ 0 )