Mathematische Methoden der Physik II Serie 8

Mathematische Methoden der Physik II
Poisson Gleichung, Elektro/Magnetostatik
Serie 8
Abgabe: 11. Mai 2017
1. Schreibe das elektrische und magnetische Feld mittels den Potentialen
~ ≡ A(~
~ r , t) als
φ ≡ φ(~r, t) und A
~ = −∇φ
~ −A
~˙
E
und
~ =∇
~ ×A
~.
B
Im Kapitel 19.7 der Vorlesung haben wir gezeigt, dass so eine Darstellung immer existiert (in einem sternförmigen, einfach zusammenhängenden Gebiet). Zeige, dass die Felder dann automatisch die homogenen
Maxwell-Gleichungen
~ ·B
~ = 0,
∇
und
~ ×E
~ +B
~˙ = 0
∇
erfüllen.
2. Analog zum elektrischen Potential, kann man auch ein Gravitationspotential zu einer Massenverteilung ρ(~r) einführen. Dieses erfüllt die
Poissongleichung mit β(~r) = 4πGρ(~r), wobei G die Gravitationskonstante ist. Aus der allgemeinen Lösung der Poissongleichung erhält
man damit das Gravitationspotential als
Z
ρ(~r′ )
.
φ(r) = −G d3 r ′
|~r − ~r′ |
Die Gravitatskraft auf einen Körper der Masse m an der Stelle ~r lautet
~G (~r) = −m ∇φ(~
~ r ).
dann F
(a) Berechne das Gravitationspotential φ(r) der Erde (auch im Erdinnern!) als Funktion des Erdradius RE und der Erdmasse ME .
Nimm der Einfachheit halber an, dass die Dichte der Erde konstant sei.
(b) Sei r > RE . Bereche die Gravitationskraft auf einen Körper der
Masse m aus dem Potential φ(r) und zeige, dass man das Newtonsche Gravitationsgesetz erhält.
(c) Nimm an, jemand hätte ein dünnes Loch durch die Erde gebohrt
und einen Körper der Masse m in dieses Loch fallen lassen. Bereche die Kraft F~G als Funktion des Abstands von der Erdmitte
und löse die zugehörige Bewegungsgleichung.
~ = (xy, xy, 0)
3. Betrachte das Vektorfeld V
~ (~r) = −∇φ(~
~ r )?
(a) Existiert ein Skalarfeld φ(~r) mit V
~ r ) mit V
~ (~r) = ∇
~ × A(~
~ r )?
(b) Existiert ein Vektorpotential A(~
Begründe die Antworten.
~ (~r) = (x + y, y −
4. Bestimme die Helmholtz-Zerlegung des Vektorfelds V
x, 0), d.h. schreibe dieses in der Form
~ (~r) = −∇φ(~
~ r) + ∇
~ × A(~
~ r)
V
Gehe dabei wie folgt vor:
~ ·V
~ (~r) und konstruiere ein
(a) Berechne die Divergenz β(~r) = −∇
Skalarfeld, welches die Gleichung ∆φ = β erfüllt.
~2 = V
~ + ∇φ.
~ Per Konstruktion ist V
~2 divergenz(b) Betrachte nun V
~ ·V
~2 = 0. Finde dann ein Vektorfeld A
~ mit V
~2 = ∇
~ × A.
~
frei, ∇
~
Die beiden Felder φ und A liefern nun die Helmholtz-Zerlegung.
5. Das Potential einer geladenen Fläche Σ ist gegeben durch das Integral
Z
1
σe (~r′ )
φ(~r) =
|d~σ (~r′ )|
.
4πǫ0 Σ
|~r − ~r′ |
Betrachte nun eine runde, unendlich dünne Platte in der x-y-Ebene mit
Zentrum am Ursprung und Radius R. Die Flächenladungsdichte σe sei
konstant. Berechne das elektrische Potential φ(~r) auf der z-Achse, d.
h. für ~r = (0, 0, z).