Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Höhere Mathematik I

Prof. Dr. I. Steinwart
Dr. D. Zimmermann
M.Sc. M. Altenbernd
M.Sc. R. Walker
Universität Stuttgart
Fachbereich Mathematik
Blatt 9
Höhere Mathematik I
21.12.15
el, kyb, mecha, phys
Gruppenübungen
Abgabe der schriftlichen Aufgaben und Besprechung der Votieraufgaben am 21.12.2015 in den
Übungsgruppen.
Aufgabe 45. (schriftlich)
(a) Untersuchen Sie die nachstehenden Zahlenfolgen (an )n∈N auf Konvergenz, wobei
n
1
(−1)n
i) a0 = 0, an+1 = an + 1,
ii) an = 1 +
.
2
n
(b) Berechnen Sie limn→∞ an , wobei
n3
i) an = n ,
3
3n2 − cos(n)
,
ii) an =
(2n + 1)2
iii) an =
√
9n − 3n−2 − 3n ,
iv) an =
n2 + 7n − 3
1 + 4n2
n
.
Hinweis: Die in den restlichen Aufgaben vorgestellten Techniken könnten hilfreich sein.
Aufgabe 46.
(a) Let (an )n∈N , (bn )n∈N be convergent sequences in R with
lim an = lim bn = c ∈ R.
n→∞
n→∞
Show that the following holds: If (cn )n∈N is a sequence of real numbers satisfying
an 5 c n 5 b n
for all n ∈ N,
then (cn )n∈N is convergent and limn→∞ cn = c.
(b) Use (a) to show that limn→∞ cn = 0, where
cn =
1 + cos4 (n2 )
√
.
n+1
Aufgabe 47. Die Folge (an )n∈N sei definiert durch die Vorgabe eines Startwerts a0 ∈ R und die
Rekursionsvorschrift
1
an+1 = (a2n + an ).
2
(a) Welche Werte kommen für a := limn→∞ an in Frage, falls (an )n∈N konvergent ist?
(b) Zeigen Sie, dass (an )n∈N für jeden Startwert a0 ∈ (0, 1) gegen denselben Grenzwert a konvergiert und bestimmen Sie a.
1
Aufgabe 48. Bestimmen sie die folgenden Grenzwerte:
√
√
√
(a) lim ( n + 1 − n)
(b) lim ( n2 + n − n)
n→∞
n→∞
(c) lim (
n→∞
p
3
n2 + 3n4/3 −n2/3 )
Hinweis: Erweitern Sie die obigen Ausdrücke geschickt, indem Sie die dritte binomische Formel
verwenden:
n−1
X
n
n
(a − b ) = (a − b) ·
an−1−k bk .
k=0
Aufgabe 49.
(a) Sei (an )n∈N eine Folge positiver reeller Zahlen und die Folge der Quotienten (qn )n∈N mit
qn =
an+1
an
sei konvergent mit Grenzwert q . Zeigen Sie:
i) Ist q ∈ [0, 1), so ist (an )n∈N Nullfolge.
ii) Ist q > 1, so ist (an )n∈N divergent.
iii) Im Falle q = 1 kann sowohl Divergenz als auch Konvergenz vorliegen.
(b) Ist die Folge (an )n∈N mit an =
(n/2)n
n!
konvergent?
2