J.W. Goethe-Universität, Frankfurt am Main

J.W. Goethe-Universität, Frankfurt am Main
Sommersemester 2007
Prof. Dr. Thorsten Theobald, Cordian Riener
Klausur Diskrete Mathematik
Vorname, Name:
Studiengang:
Matrikelnummer, Geburtsdatum:
Bitte beachten Sie:
Die Arbeitszeit beträgt 90 Minuten.
Es sind keine Hilfsmittel zugelassen
Alle Antworten sind sorgfältig zu begründen!
Zum Bestehen sind ca. 25 Punkte erforderlich.
Ich möchte, dass mein Ergebnis in Verbindung mit meiner Matrikelnummer im Internet erscheint.
2 Ja
2 Nein
Datum
Unterschrift
I
II
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5
Aufgabe 6
Aufgabe 7
Aufgabe 8
Zw.-Summe
Übungen
Summe
1
2
Aufgabe 1 (ca. 8 Punkte)
(1) Gibt es einen Graphen mit den Knotengraden 1, 2, 2, 4 ?
(2) Es sei G = (V, E) ein Graph mit |V | = 7, bei dem zwei Knoten
den Grad 6 und 5 Knoten den Grad 4 haben.
Kann G ein Baum sein?
(3) Zeigen Sie: Besitzen alle Knoten eines bipartiten Graphen den
gleichen Grad d ≥ 1, dann existiert eine vollständige Heirat.
3
Aufgabe 2 (ca. 7 Punkte)
Sei φ die Eulersche Phi-Funktion.
(1) Bestimmen Sie φ(8).
(2) Bestimmen Sie die Menge aller Zahlen n ∈ N = {1, 2, 3, ...} für
die φ(n) = n/2 gilt.
4
Aufgabe 3 (ca. 6 Punkte)
(1) Zeigen Sie, dass die Gleichung
25x + 47y = 1
eine ganzzahlige Lösung (x, y) ∈ Z × Z besitzt.
(2) Bestimmen Sie dann eine solche ganzzahlige Lösung (x, y).
5
Aufgabe 4 (ca. 7 Punkte)
Eine Zahl n heißt vollkommen, wenn Sie die Summe ihrer echten
Teiler ist, wenn also
X
d=n
1≤d<n
d|n
gilt.
Zeigen Sie: Ist k ∈ N und 2k+1 − 1 eine Primzahl, dann ist die Zahl
n := 2k (2k+1 − 1)
vollkommen.
6
Aufgabe 5 (ca. 8 Punkte)
(1) Zeigen Sie, dass das Polynom g = x2 + 1 irreduzibel in F3 [x] ist.
(2) Wie viele Elemente enthält K := F3 [x]/(g)?
(3) Zeigen Sie, dass die Restklasse von x kein primitives Element
von K ist.
7
Aufgabe 6 (ca. 6 Punkte)
(1) Ist 6 eine Pseudoprimzahl zur Basis 5?
(2) Ist 15 eine Carmichael Zahl?
Begründen Sie sorgfältig!
8
Aufgabe 7 (ca. 9 Punkte)
Ein linearer Code C ⊂ F52 sei durch die

0 1 0 0
G = 0 0 1 0
1 0 0 1
gegeben.
Bestimmen Sie
(1) die Anzahl der Elemente von C,
Generatormatrix

1
1
1
(2) eine Kontrollmatrix von C,
(3) den Minimalabstand von C.
(4) Ist C bei geeigneter Anordnung der Spalten ein Hamming-Code?
9
Aufgabe 8 (ca. 7 Punkte)
Betrachten Sie die konvexe Hülle H der Punkte
0
1
0
P =
,Q=
,R=
0
1
2
Bestimmen Sie mit Hilfe des Fourier-Motzkin-Verfahrens eine H-Darstellung
dieses Polytops.