1 Reelle Zahlen
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1 Reelle Zahlen Einstieg ▪▪ Der Pariser Platz in Berlin ist ein rund 1,5 ha großer quadratischer Platz, an dem das Brandenburger Tor steht. Du läufst einmal um den Pariser Platz herum. Ermittle die Länge des Weges, den du dabei zurücklegst. Beschreibe deinen Lösungsweg. ▪▪ Wie lang ist die Strecke, wenn man einmal quer über den Pariser Platz läuft? Bestimme zeichnerisch die Länge der zurückgelegten Strecke. ▪▪ Auf dem Pariser Platz sind rechteckige Gartenanlagen. Welche Seitenlänge hat ein Quadrat mit gleichem Flächeninhalt? Beschreibe dein Vorgehen. Ausblick Am Ende dieses Kapitels hast du gelernt, … ▪▪ was Kubikwurzeln sind. ▪▪ mit Potenzen zu rechnen. ▪▪ die rationalen Zahlen auf die reellen Zahlen zu erweitern. ▪▪ die Rechenoperationen und Rechengesetze auf reelle Zahlen zu übertragen. 13 1 Das kann ich schon … Rationale Zahlen erkennen Nimmt man alle positiven und negativen Zahlen (also ganze Zahlen, Brüche oder Dezimalzahlen) sowie die Null zusammen, dann erhält man die Menge der ­rationalen Zahlen ℚ. Jede Zahl außer der Null hat eine Gegenzahl mit anderem Vorzeichen. Die Null ist Gegenzahl zu sich selbst. –2,25 –2 –1 12 –1 –0,5 … negative Zahlen Gegenzahl von –5 +5 Gegenzahl von 0 +0,5 +1 +1 12 +2 +2,25 … positive Zahlen Gegenzahl von – 34 Gegenzahl von + 34 Gegenzahl von –2,25 +2,25 Gegenzahl von Mit rationalen Zahlen rechnen 1 Addition zweier rationaler Zahlen: Bei gleichen Vorzeichen beider Zahlen werden die Beträge addiert; das gemeinsame Vorzeichen bleibt im Ergebnis erhalten. Bei verschiedenen Vorzeichen beider Zahlen wird die Zahl mit dem kleineren Betrag von der Zahl mit dem größeren Betrag subtrahiert; das Ergebnis hat das Vorzeichen des Summanden mit dem größeren Betrag. 2 Subtraktion mit einer rationalen Zahl: Die Subtraktion einer rationalen Zahl lässt sich stets durch die Addition ihrer Gegenzahl ersetzen. 3 Multiplikation und Division zweier rationaler ­Zahlen: Man multipliziert bzw. dividiert die Beträge der beiden Zahlen. Bei gleichen Vorzeichen beider Zahlen hat das Ergebnis dann ein positives Vorzeichen. Bei verschiedenen Vorzeichen beider Zahlen hat das Ergebnis ein negatives Vorzeichen. kurz: + mal + + mal – – mal + – mal – + bzw. + geteilt durch – + geteilt durch – – geteilt durch + – geteilt durch + – + – + – – + 1 gleiche Vorzeichen: (–3) + (–6,5) = ▪▪ Beträge addieren: 3 + 6,5 = 9,5 ▪▪ gemeinsames Vorzeichen im Ergebnis: –3 – 6,5 = –9,5 2 verschiedene Vorzeichen: +4 __ + (–10) = 3 ( ) 2 1 ▪▪ größerer Betrag minus kleiner Betrag: 10 – 4 __ = 5 __ 3 3 ▪▪ Vorzeichen zum größeren Betrag im Ergebnis: 2 1 __ +4 __ – 10 = –5 3 3 2 –1,3 – (+4,5) = –1,3 + (–4,5) ▪▪ Nach Ersetzen durch Addition den passenden Fall zu 1 anwenden. 3 gleiche Vorzeichen: (–1,8) ∙ (–5,2) = ▪▪ Rechnen mit Beträgen: 1,8 ∙ 5,2 = 9,36 ▪▪ Ergebnis hat das Vorzeichen + : –1,8 ∙ (–5,2) = +9,36 verschiedene Vorzeichen: (+7,5) : (–1,5) = ▪▪ Rechnen mit Beträgen: 7,5 : 1,5 = 5 ▪▪ Ergebnis hat das Vorzeichen – : 7,5 : (–1,5) = –5 Quadratzahlen und Kubikzahlen bestimmen Das Produkt aus zwei gleichen natürlichen Zahlen nennt man Quadratzahl. Schreibweise: n ∙ n = n² für n ∊ ℕ Das Produkt aus drei gleichen natürlichen Zahlen nennt man Kubikzahl. Schreibweise: n ∙ n ∙ n = n³ für n ∊ ℕ 14 25 · 25 = 252 = 625 5 · 5 · 5 = 53 = 125 625 ist eine Quadratzahl 125 ist eine Kubikzahl 250 ist keine Quadratzahl, denn es gibt keine natürliche Zahl n für die gilt: n² = 250 15² = 225 < 250 < 256 = 16² Rationale Zahlen erkennen oHiMi 1 Wie lauten die markierten Zahlen? A B C a) – 10 –8 D b) E –2 –6 1–7 F –1 0 1 2 Ordne die Zahlen aufsteigend der Größe nach. 3 __ 1 a) –6; 7; 4; –9; 0; 4,5; –6,5; –4 b) –0,8; – __ ; 2 ; –1; __ ; 0,3; –0,3 4 3 4 1 1 1 __ __ __ c) –4,3; –4 3 ; –4,4; –4 4 ; –4 9 ; –4,35; 0 d) 2,3; 2,03; 2,33; 2,033; 2,303; 2,330 Mit rationalen Zahlen rechnen 3 Stelle die folgenden Aufgaben an einer Zahlengeraden dar. a) –4 + 8,5 b) 3 – 5,7 c) 120 – 340 4 Berechne. a) 6,25 – 8,1 1 –3 + 1 __ b) –8 + (– 3) 3 __ 4,2 – 4 15 –1800 + 557,25 1 1 d) –5 __ – 3 __ 4 2 c) –3 ∙ 7 d) 1,2 ∙ 2,1 3,6 – (– 0,9) –5,5 ∙ (–4) 2,8 : (–0,7) 35,2 + (–4,7) 8 : 0,5 –12,4 – (–1,3) 4 : (–3) 125,6 ∙ (–0,25) 1 16 : – __ 5 <, > oder =? a) 28 – (17 + 6) ■ 28 – 17 – 6 ( 4) c) 1,9 – (0,8 + 1,2) ■ 1,9 + 0,8 + 1,2 b) 4,2 – (1,8 + 2,9) ■ 4,2 – 1,8 + 2,9 3 3 1 1 d) 2 __ __ + – 2 ■ 2 __ + __ + 2 e) –3 – (–1,4 – 0,9) ■ –3 + 1,4 – 0,9 g) –3 · (2,5 + 4) ■ –7,5 + 12 f) –3,5 – (1,2 + 8,7) ■ –3,5 – 8,7 – 1,2 h) (12,3 – 9,6) : 3 ■ 12,3 – 9,6 : 3 2 (4 ) 4 2 Quadratzahlen und Kubikzahlen bestimmen 6 Übertrage die Tabelle in dein Heft und ergänze die Quadratzahlen und die Kubikzahlen bis 20. Lerne die Quadratzahlen auswendig. Lasse dich von einem Partner oder einer Partnerin abfragen. Zahl 1 2 3 … Quadratzahl … Kubikzahl … 18 19 20 7 Übertrage in dein Heft und schreibe die ungeraden natürlichen Zahlen bis 19 als Differenz zweier Quadratzahlen. ­Welche Zusammenhänge erkennst du? ungerade Zahl Differenz Quadratzahlen 3 5 4 – 1 9 – 4 7 9 11 … 15 1 Entdecken Kap. 1.1 Selbst ist das Kind In einem Schulprojekt soll eine Garage für die Tretfahrzeuge eines Kindergartens gebaut werden. Es stehen 100 Holzbretter (Maße: 21 mm × 50 mm × 150 mm) zur Verfügung. Die Tür soll ebenfalls aus den Brettern sein, aber der Boden frei bleiben. ▪▪ Berechne mögliche Volumen, wenn die Garage quader- oder würfelförmig ist und dabei alle Bretter benutzt werden. ▪▪ Beurteile, wie realistisch die verschiedenen Lösungen jeweils sind. Kap. 1.3 Erste Hilfe in Mathematik Im Internet gibt es zahlreiche Mathematikchats, die dir bei Fragen zu deinen Hausaufgaben behilflich sein können. ▪▪ Nenne einen solchen Chat. Du kannst dich auch mit deinen Mitschülerinnen und Mitschülern austauschen. ▪▪ Ein Benutzer eines solchen Chats hat die Frage nebenan gestellt. Hilf ihm, indem du eine passende Antwort formulierst. 16 rechenmeister2020 schrieb: Hallo! Mir ist schleierhaft, wie die folgende Aufgabe funktioniert: 37 · 27 = 57 So hatten wir das an der Tafel stehen. Mein Taschenrechner spuckt für beide Seiten 78 125 aus. Es scheint also zu stimmen. Mein Lehrer möchte, dass wir erklären können, warum das so ist. Kann mir jemand helfen? Hilfe bei den Hausaufgaben Kap. 1.4 Vergrößern leicht gemacht, oder? Paul zeichnet für ein Referat das Brandenburger Tor. Er hat das Bild auf einem quadratischen Rahmen (20 cm × 20 cm) festgemacht. Bei der Besprechung in seiner Referatsgruppe stellt er fest, dass das Bild zu klein ist. Er beschließt, dass es doppelt so groß werden soll. ▪▪ Welche Möglichkeiten gibt es, die „dop- pelte“ ­Größe zu bestimmen? Unterscheide dabei doppelte Fläche und doppelte Seitenlängen. ▪▪ Finde eine zeichnerische Lösung für die Ver­dopplung einer Quadratfläche. Erläutere dein Vorgehen. Kap. 1.5 und 1.6 Immer Ärger mit den Hausaufgaben Helin hat Fehler in ihren Hausaufgaben gemacht. ▪▪ Überprüfe mit dem Taschenrechner die Ergebnisse. Beschreibe vorkommende Fehler. __ __ a) b) √ 16 · √ 5 __ 5 = 4 · √ __ = √ 20 c) __ __ __ √ __ 9 ___ √√__ = _3 16 4 __ √ 3 + √ 3 = √ 9 = 3 ▪▪ Erprobe mit einem Taschenrechner an verschiedenen Beispielen die Möglichkeiten zwei Wurzelterme miteinander zu 1 addieren 2 subtrahieren 3 multiplizieren 4 dividieren. Finde Gesetzmäßigkeiten für die Vereinfachung, wenn es welche gibt. 17 1 1.1 Potenzen mit negativen Exponenten Entdecken Lena und Peter unterhalten sich über ihre neuen Taschenrechner. „Ich glaube, damit kann man Potenzen berechnen, am besten probieren wir es aus. Wir wählen Potenzen, deren Ergebnis wir auch ohne Taschenrechner kennen.“ Weißt du eigentlich, was das Zeichen „^“ bewirkt? ▪▪ Berechne zunächst 23, 34, 105 und 42. ▪▪ Berechne anschließend (–2)3, (–3)4, (–10)5 und (–4)2. Was fällt dir auf? ▪▪ Untersuche, was passiert, wenn du in den obigen Beispielen die Exponenten mit negativen Vorzeichen eintippst. Wähle weitere Potenzen mit positiven und ­negativen Exponenten und vergleiche die Ergebnisse. Verstehen Du kennst bereits Potenzen als vereinfachte Schreibweise für die Multiplikation der jeweils gleichen Zahlen. Produkte aus lauter gleichen Faktoren kann man auch als Potenz schreiben. Exponent 25 Diese Schreibweise gilt auch für rationale Zahlen a als Basis: an = a · a · … · a n Faktoren Basis Es gilt weiterhin: a1 = a für alle a ∊ ℚ. Teilt man am schrittweise durch a, so erhält man am – 1, am – 2, …, a2, a1, a0, a– 1, a– 2 usw. Auf diese Weise erhält man Potenzen mit negativen Exponenten. 1 Ist a ≠ 0, dann gilt: a–n = __ n . a Aus der Division durch a ist ersichtlich, dass im Allgemeinen a0 = 1 gelten muss. Beispiele 1. Schreibe die Potenzen ohne negative Exponenten. 1 –6 b) 1,3– 1 c) ___ a) 2– 5 ( 10 ) Lösung: 1 a) ___ 1 = ___ 25 32 1 c) _____ 6 = 1 000 000 ( ) 1 ___ 10 e) a– 200 d) ___ 1 e) ____ 1 p2 a200 2. Wandle die Bruchterme in Potenzen mit negativem Exponenten um. a) __ 1 b) ____ 1 c) ____ 1 d) __ 1 e) ___ 1 Lösung: a) 4– 1 = 2– 2 e) (–s)– 5 4 18 10 1 b) ___ 1,3 = ___ 13 d) p– 2 1,44 b) 1,44– 1 = 1,2– 2 –27 c) (–27)– 1 = (–3)– 3 t7 d) t– 7 (–s)5 Nachgefragt ▪▪ V ergleiche 2– 3 mit 3– 2, 2– 5 mit 5– 2 und 2– 4 mit 4– 2. ▪▪ Formuliere ein Kriterium, wann 2–a größer, kleiner oder gleich a– 2 ist. 1 E rgänze die fehlende Basis bzw. den fehlenden Exponenten. 1 ■ a) ___ = 2 b) 216 = ■ 3 c) 256 = (–4) ■ 32 Aufgaben 1 d) ___ = ■ –2 25 oHiMi 2 Ordne die Zahlen der Reihe nach, fange mit der kleinsten an. 1 –1 1 –2 a) (–1)2; 2– 1; 1– 2; (–2)(– 2); __ b) (–3)2; 2– 3; (–2)3; (–3)– 2; __ 1– 5 (3) (2) 3 Was gehört zusammen? Ordne zu. 5– 3 –(3)5 1 – ___ 125 –243 3 –5 –(5)– 3 –(5)3 –125 1 ___ 125 1 ___ 243 Weiterdenken Du kennst bereits die Potenzgesetze für eine negative Basis. 1 Gerader Exponent: 2 Ungerader Exponent: (–4)2 = (–4) · (–4) = +16 (–4)4 = (–4) · (–4) · (–4) · (–4) = +256 … Ist der Exponent eine gerade Zahl, dann kommt die Basis in einer geraden Anzahl vor. Also ist der Wert der Potenz stets positiv. (–4)1 = (–4) = –4 (–4)3 = (–4) · (–4) · (–4) = –64 … Ist der Exponent eine ungerade Zahl, dann kommt die Basis in einer ungeraden Anzahl vor. Also ist der Wert der Potenz stets negativ. 4 Beschreibe die Unterschiede zwischen folgenden Potenzen: (–4)2 und –42. 5 Vergleiche und ersetze ■ durch <, > oder =. a) (–1,5)4 ■ (1,5)4 b) 0,93 ■ (–0,9)3 d) (–0,4)4 ■ –0,441 e) –(–3,5)3 ■ –3,53 c) (–4)2 ■ 24 f) –3,12 ■ 3,12 6 Der Wert einer Potenz ist höchstens 16, wobei die Basis genau halb so groß ist wie der Exponent. Bestimme die Potenz. Findest du mehrere Lösungen? 7 Erstelle den zugehörigen Term und bestimme den Wert der Potenz. a)Eine Potenz mit dem Exponenten 18 und der Basis __ 21 . b)Die Basis ist der ­Nenner des Bruches __ 87 . Der Exponent ist 3. c)Die Potenz mit dem Exponenten –3 und seiner Gegenzahl als Basis. 19 1 1.2 Zehnerpotenzen Warum musste ich ausgerechnet mit die­ sen beiden zur Mission aufbrechen … Sie haben keine Ahnung von Gigakilo­ metern. Vielleicht sind ihre Gehirne nur einen Mikrometer groß … hähähä Entdecken Wow, seht nur wie weit unser Heimatplanet ­entfernt ist. 5 900 000 000 km! Der Computer zeigt aber 5,9 · 109 km an … ▪▪ Beurteile die Angaben der Aliens. ▪▪ Giga und Mikro sind Vorsilben von Zehnerpotenzen. Welche weiteren Vorsilben kennst du? Gib Beispiele aus dem Alltag. Verstehen Unser Stellenwertsystem ist ein Zehnersystem. Deshalb sind Potenzen mit der Basis 10 in der Wissenschaft und im Alltag von Bedeutung. Um sehr große oder sehr kleine Zahlen darstellen zu können, nutzt man Zehnerpotenzen. Zehnerpotenzen sind Potenzen mit der Basis 10: 10 n = 10 · 10 · … · 10 n Faktoren Es gilt weiterhin: 101 = 10 und 100 = 1. 1 Für negative Exponenten ergibt sich somit: 10– n = ___ n 10 Beispiel: … … 1 ____ 1000 1 ____ 100 – – 1 ___ 10 10 3 10 2 10–1 100 101 102 103 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 … Der Exponent einer Zehnerpotenz gibt an, um wie viele Stellen sich das Komma gegenüber der Zahl 1 nach rechts oder links verschiebt. Beispiel: 1 530 000 = 5,3 ∙ 100 000 = 5,3 ∙ 105 Der Exponent ist positiv, das Komma verschiebt sich um fünf Stellen nach rechts. 2 5,3 ∙ 10– 5 = 5,3 ∙ 0,00001 = 0,000053 Der Exponent ist negativ, das Komma verschiebt sich um fünf Stellen nach links. Beispiele 1. Schreibe mithilfe einer Zehnerpotenz. a) 359 000 000 Lösungsmöglichkeiten: a) 3,59 ∙ 108 b) 79 ∙ 10– 8 2. Schreibe ohne Zehnerpotenz. a) 22,7 ∙ 106 Lösungsmöglichkeiten: a) 22 700 000 b) 0,000013 20 b) 0,00000079 c) 0,0038 c) 3,8 ∙ 10– 3 b) 1,3 ∙ 10– 5 c) 56 ∙ 10– 12 c) 0,000000000056 ▪▪ Beurteile die Aussage: „Der Exponent einer Zehnerpotenz gibt an, um wie viele Stellen Nachgefragt das Komma nach links oder rechts verschoben wird.“ ▪▪ „Bei gleichen Werten hat die größere Maßeinheit kleinere Exponenten als die kleinere Maßeinheit.“ Was meinst du dazu? Überprüfe an Beispielen. 1 Schreibe mithilfe einer Zehnerpotenz in der Form a · 10 n mit 1 < a < 10. a) 24 300 000 000 b) 670 000 000 000 000 c) 10 000 0000 d) 125 000 000 e) 926 000 000 000 f) 70 000 g) 0,000000000047 h) 0,0000200412 i) 0,000000061 j) 0,00000375 k) 0,00099 l) 0,00000000527 2 Berechne mit dem Taschenrechner. Gib das Ergebnis auch in der Zehner­potenz­ schreibweise an. a) 9 000 0002 b) 4 000 000 ∙ 12 000 000 c) 0,0000000082 d) 0,000003 ∙ 0,000713 e) 0,000123 : 0,000000045 f) 0,00094 : 213 000 000 Speziell im Sprachgebrauch ist es häufig praktikabler, Zehnerpotenzen mit einer Vor­ silbe abzukürzen. Einige der gebräuchlichsten Vorsilben findest du in der Tabelle. Faktor 1012 Vorsilbe Tera Symbol T Faktor Vorsilbe Symbol – Dezi d – 10 1 109 Giga G 10 2 Zenti c 106 Mega M 10–3 Milli m 103 Kilo k 10 6 Mikro μ 102 Hekto h 10–9 Nano n – 3 Gib die Längen in Metern an. Beispiel: 3 mm = 3 ∙ 10– 3 m = 0,003 m a) 14 mm b) 1,5 dm c) 725 μm d) 26 cm Aufgaben oHiMi 1, 3 Mögliche Anzeigen der Zeh­ nerpotenz 2,4 · 10 –8 beim Taschenrechner: 2,4 –08 oder 2,4×10 –8 oder 2,4E–08 Weiterdenken e) 89 nm 4 Speichermedien haben verschiedene Kapazitäten. a) Vergleiche mithilfe von Zehnerpotenzen: 1 Byte, 1 Kilobyte (kB), 1 Megabyte (MB), 1 Gigabyte (GB), 1 Terrabyte (TB) b)Vergleiche die Speicherkapazität eines USB-Sticks (32 GB), einer DVD (8,5 GB) und einer externen Festplatte (1,5 TB) miteinander. c) Eine vollgeschriebene DIN-A4-Seite hat etwa eine Datenmenge von 4 kB. Wie viele solcher Seiten lassen sich auf einem USB-Stick (16 GB) speichern? d)Berechne die Zeit, die eine Schreibkraft brauchen würde, bis eine 8,5 GB-DVD voll ist, wenn sie 175 Byte pro Minute tippen kann. 21 1 Entdecken 1.3 Potenzgesetze 4x² + 7x² = –3x² 11x² –2x³ + 4x² + 5x³ = 7x² – x² 7x⁵ 4x² – 7x² = 11x⁴ –3x⁴ +2x³ – 4x³ – 5x³ = 3x³ + 4x² –3x³ – 4x² ▪▪ Welche Terme haben denselben Wert? Setze Zahlen ein und überprüfe. ▪▪ Wie lassen sich Terme mit Potenzen der gleichen Basis vereinfachen? Beschreibe. 3⁶ · 3² = 3¹² 3⁸ (–4)⁸ · (–4)⁴ = (–4)¹² (–4)² (–2)³ · (–2)² = (–2)¹ (–2)⁶ 3⁶ : 3² = 3⁴ 3³ (–4)⁸ : (–4)⁴ = (–4)⁴ (–4)³² (–2)³ : (–2)² = (–2)² (–2)⁵ ▪▪ Bei welchen Kärtchen ergibt sich derselbe Wert? ▪▪ Welche Gesetzmäßigkeiten erkennst du? Beschreibe und überprüfe deine Vermutungen an weiteren Beispielen. Verstehen Mit Potenzen kann man auch rechnen. Dazu gibt es besondere Regeln. Zwei Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert (dividiert), indem die beiden ­Exponenten addiert (subtrahiert) werden. Die Basis bleibt erhalten. Beispiele: (–3)5 · (–3)3 = (–3)5 + 3 = (–3)8(–3)5 : (–3)3 = (–3)5 – 3 = (–3)2 Begründung für alle a ∊ ℚ (für die Division gilt a ≠ 0) und m, n ∊ ℤ: am · an= (a · … · a) · (a · … · a) m Faktoren n Faktoren m Faktoren am _______ a · … · a a : a = __ = a · … · a n m n a n Faktoren = a · … · a · a · … · a = am + n Kürzen der gemeinsamen Faktoren = a · … · a = am – n (m + n) Faktoren (m – n) Faktoren Mit dem Potenzgesetz können wir auch folgende Fälle erklären: 1 Der Exponent ist negativ. 2 Der Exponent ist 0. – 5 = 5– 2 Beispiel: 53 : 55 = 53 53 ___________ 5 · 5 · 5 1 1 __ ____ = 5 · 5 = __ 5 = 5 · 5 · 5 · 5 · 5 2 5 1 Somit ist 5– 2 = __ 2 . 5 5 – Beispiel: 64 : 64 = 64 4 = 60 64 _________ 6 · 6 · 6 · 6 1 __ __ = 1 = 1 4 = 6 · 6 · 6 · 6 6 Also muss 60 = 1 sein. Beispiele 1. Vereinfache durch Anwendung der Potenzgesetze so weit wie möglich. a)63 · 62 b)74 · 7–2 c)93 : 95 Lösung: 1 a)63 + 2 = 65 b)74 + (–2) = 74 – 2 = 72 c)93 – 5 = 9–2 = __ 92 2. Schreibe als Produkt bzw. Quotient aus Potenzen mit gleicher Basis. a) 123 b) 81a4 c) __ 1 Lösungsmöglichkeiten: a) 123 = 121 ∙ 12² 22 45 b) 81a4 = (3a)² ∙ (3a)² – c) __ 1 = 4 5 = 48 : 413 45 Nachgefragt ▪▪ Erkläre den Unterschied zwischen 3 · 5, 35 und 53. ▪▪ Welches Vorzeichen hat der Wert der Potenz (–6)n, wenn n gerade (ungerade) ist? Begründe deine Antwort. 1 Vereinfache durch Anwendung der Potenzgesetze so weit wie möglich. a) 53 · 54 1,24 · 1,26 (–5)5 · (–5)2 (–0,9)5 · (–0,9)8 8 2 6 __ b) 127 : 125 0,755 : 0,752 (–3,2)2 : (–3,2)3 __ : 2 Aufgaben oHiMi (3) (3) c) (–4)5 : (–4)2 + (–4)2 · (–4) d) 5– 3 · 52 (–2,5)– 5 · (–2,5)– 2 1– 5, 7 1,92 · 1,92 – 1,94 : 1,93 0,54 · 0,5– 5 (–2)– 5 : (–2)– 4 2 Übertrage die Multiplikationsmauern und bestimme die fehlenden ­Potenzen. a) b) c) (–2,5)⁷ (–2,5)–⁴ (–3)⁶ 5³ 5² –3 5⁶ (–3)² 3 Schreibe auf verschiedene Arten als … 1 Produkt zweier Potenzen. Beispiel: (–3,2)5 = (–3,2)2 · (–3,2)3 2 9 a)46; 3,27; 0,65; 1,4513; __ (–2,5)³ Der Wert eines Steins ergibt sich als Produkt der Potenzen aus den darunterliegenden ­Steinen. 2 Quotient zweier Potenzen. (7) 4 Vereinfache so weit wie möglich. a)a3 · a6 b)(–b)4 : (–b)2 4 7 3 e)e · e · e f)f 2 · f 4 · f 2 2 –5 i)2i2 · 3i–4 j)–4,5j : __ j Beispiel: (–3,2)5 = (–3,2)7 : (–3,2)2 4 10 b)(–4,5)4; (–1)7; – __ ; (–0,3)3; 72 ( 5) c)c3 · c4 · c5 g)g7 : g5 : g k) 6k · 3k3 : k–2 3 d)d7 : d3 : d2 h)(–h)4 · (–h)2 : (–h)3 1 l) 4 (–l)–6 · __ (–l)3 4 5 Übertrage in dein Heft und setze <, > oder = ein. a)53 + 52 ■ 53 · 52 b) –6 · (–6)3 ■ –64 c)23 : 22 ■ 2 · 2 d)(–3,2)6 · (–3,2) ■ 3,2– 7 e)1,86 – 1,83 ■ 1,86 : 1,83 f)(–2,5)4 : (–2,5)3 ■ (–2,5)0 6 In der folgenden Tabelle wurden die Potenzen mit der Basis 3 berechnet. Potenz 31 32 33 34 35 36 37 38 39 310 Wert der Potenz 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19 683 59 049 a) Betrachte die Einerstellen der Potenzwerte. Welche Muster erkennst du? Welche Einerstelle hat 312 (315, 322, 325)? b) Untersuche die Potenzreihen mit der Basis 2 (4, 5) auf solche Muster. 7 Hier hat sich doch ein Fehler versteckt. Finde ihn und verbessere im Heft. a) b) 3 5 3+5 8 4 2 4+ 2 a+a= a c) 2d + 4d = (2 + 4)d = 6d6 =a b 4 · b 2 = b 4 · 2 = b 8 d) –5e 4 : 2e 2 = (–5 – 2) e 4 – 2 = –7 e 2 23 1 1.3 Potenzgesetze Weiterdenken Achte bei der Anwen­ dung­der Potenzgesetze darauf, ob die Basis ­zweier Potenzen gleich ist oder wie hier der ­Exponent. Werden zwei Potenzen mit demselben Exponenten multipliziert (dividiert), dann bleibt der gemeinsame Exponent erhalten. Die Basis ist dabei das Produkt ­(der Quotient) der ­einzelnen Basen. Beispiele: (–8)5 · 25 = (–8 · 2)5 = (–16)5(–8)5 : 25 = (–8 : 2)5 = (–4)5 Begründung für alle a, b ∊ ℚ (für die Division gilt b ≠ 0) und m, n ∊ ℤ: an · bn= (a · … · a) · (b · … · b) n Faktoren n Faktoren = (a · b) … · (a · b) = (a · b)n n Faktoren (b) (b) an _______ a a a : b = __ = a · … · a = __ · … · __ n n n b · … · b b n (b) n Faktoren n Faktoren a = __ = (a : b)n n Faktoren Wird eine Potenz potenziert, dann werden die Exponenten multipliziert und die Basis bleibt erhalten. Beispiel: (73)5 = 73 · 73 · 73 · 73 · 73 = 73 + 3 + 3 + 3 + 3 = 75 · 3 = 715 Begründung für alle a ∊ ℚ und m, n ∊ ℤ: (am)n = am · … · am = (a · … · a) · … · (a · … · a) = a · … · a = am · n n Faktoren m Faktoren m Faktoren (m · n) Faktoren n Produkte mit jeweils m Faktoren Lösungen zu 8: –216; –64; 16; 144; 343; 512; 225; 1; 49; 216 000; 625; 243 8 Vereinfache die Potenz so weit wie möglich und berechne dann. a) 32 · 52 b) 103 · 63 c) 43 · 23 ( ) 2 4 e) 34 · __ 3 i) –27,22 : 3,42 ( ) 3 3 f) – __ · 83 4 j) ___ 492 72 oHiMi 10 – 14 (–2 · 8)3 (2 · 6)3 (–7 · 5)4 ( __21 ) · 24 4 g) (–96)2 : (–8)2 h) 1193 : 173 k) ___ 204 4,55 l) ____ 44 9 Berechne auf zwei verschiedene Arten. Beispiel: (3 · 4)2 = 122 = 144; (3 · 4)2 = 32 · 42 = 9 · 16 = 144 1 3 a) (2 · 3)2 b) (11 · 2)2 c) __ (2 · 5)2 d) (2) ( __32 ) ( __43 ) 5 3 10 Vereinfache durch Anwendung der Potenzgesetze. a)(2,53)2 b)(34)7 c)(0,55)8 e)(–4,25)2 f)(75)3 g)(–27)5 i)((–2,5)2)4 j)((–1)6)8 k)(–43)–1 1,55 ( ) ( – __14 ) ( – __47 ) 2 3 d) – __ 3 2 4 d)(–32)6 h)(0,18)3 l)(0,5–2)3 11 Mathias meint: „Wenn Potenzen potenziert werden, ist das letztlich nichts anderes, als Potenzen mit gleicher Basis zu multiplizieren.“ Hat Mathias recht? Begründe. 24 12 Jenny: Theresa: Jana: 23 · 23 = 23 +3 23 · 23 = (2 · 2)3 23 · 23 = (2 · 2)2 ·3 Beurteile die Lösung der Hausaufgaben. 13 Schreibe ohne Klammern. 2 a)(4a)3 b)( 2,5b2 ) ( ) ( ) 2 2 f 3 f 3 f) __ · __ 4 4 ( ( ) 1 3 c) – __ c3 3 ) 4 3 g) – __ g3 5 ( ) 5 4 e) __ e 3 ( )2 d) __ d5 4 ( ) – –7 3 (–x) 4 i)( 1,4i · 104 ) j) _____ 5 h)( –0,1h1 ) –y3 14 Übertrage in dein Heft und fülle die Lücken im Stern aus. 3³ 4⁵ ( ) –1 13 ⁵ (–3)³ (–2)⁵ (1,8)⁵ · 0,4³ ( 101 )³ 7⁵ · (–0,8)³ ( ) – 23 ⁵ (– 17 )³ 15 Vereinfache und berechne den Wert des Terms. 2 54 · 5 63 · 6 –2 2–8 · 23 a) _____ b) ______ c) ______ 7 4 5 5 1 5 __ __ · 14 2 ________ e) 1 3 __ –3 6 ( ) ( ) (8) 2 · 2 –2 ( ) ( ) 2 –3 f) __ 3 3 –4 g) – __ 5 4–2 · 5 –2 d) ______ –3 20 ( ) 4 –2 h) __ 9 16 Bei welchen Kärtchen ergibt sich derselbe Wert? Begründe. 12² 4² · 3² = (5³)² 7² 12³ (–6)³ · (–2)³ = (–4)³ (–10)⁴ (–5)⁴ · 2⁴ = –3⁴ 12⁴ 3³ (–2,5)⁴ 5⁶ (–3)⁸ (–5)⁰ 5⁵ 5¹ ((–3)⁴)² = (–3)⁶ (–3)² (5)–² · (–5)² (–5)–⁴ (–5)⁴ 17 I n wie viele kleine Würfel lässt sich der große Würfel zerlegen? Schreibe als Potenz und berechne. 25 1 1.4 Wurzeln Entdecken … 1 cm³ Alex baut aus Holzwürfeln mit 1cm3 Volumen größere Würfel. ▪▪ Wie viele der kleinen Würfel braucht er jeweils für größere Würfel mit den Volumen 8 cm3, 27 cm3, 64 cm3 bzw. 81 cm3? ▪▪ Wie lang sind jeweils die Kantenlängen? ▪▪ Der große Würfel soll ein Volumen von 1 dm3 haben. Wie lang wäre eine Kantenlänge eines solchen Würfels? Du weißt bereits, dass man die Umkehrung des Potenzierens als Wurzelziehen (Radizieren) bezeichnet. Das geht auch für andere Potenzen als 2. Verstehen Die Kubikwurzel aus einer positiven Zahl a ist diejenige positive Zahl b, deren dritte Potenz a ergibt. Wir betrachten vor allem die Kubikwurzeln von Kubikzahlen. 3 __ √ a = b, wenn b ∙ b ∙ b = b3 = a (a, b > 0) Es gilt: Sprechweise: „Die ____3. Wurzel aus a ist b.“ oder „Die Kubikwurzel aus a ist b.“ 3 Beispiel: √ 729 = 9. „Die Kubikwurzel aus 729 ist 9.“ Bedeutung: Ein Würfel mit einem Volumen von 729 cm3 hat die Kantenlänge 9 cm. Beachte beim Lösen von Gleichungen: Die Gleichung x2 = 169 beispielsweise hat die ___ Lösungen x = –13 und x = +13 denn (±13)2 = 169. Unter √169 versteht man aber nur die positive Zahl. Bei der Gleichung x3 = 8 tritt dieses Problem nicht auf, denn hier gibt es nur die Lösung x = +2. Beispiele Seitenfläche a 1. Das Volumen eines Würfels beträgt 3375 cm3 (8 ℓ). Bestimme seine Kantenlänge. Lösung: ________ 3 √ _______ 3375 cm3 = 15 cm, da (15 cm)3 = 3375 cm3 3 a 26 a √ 8000 cm3 = 20 cm, da (20 cm)3 = 8000 cm3 = 8 dm3 = 8 ℓ 2.Die Größe einer der sechs Seitenflächen eines Würfels ergibt sich als Quadrat der Kantenlänge, das Volumen als dritte Potenz derselben. Bestimme jeweils die Seitenflächen der ­Würfel mit den folgenden Volumen. a) 3,375 m3 b) 512 cm3 c) 91,125 cm3 d) 9,261 dm3 Lösung: Man bestimmt zunächst die Kantenlänge durch ziehen der Kubikwurzel, analog zu ­Beispiel 1. Anschließend quadriert man die berechnete Länge und erhält damit die Größe der Seitenfläche. a) 2,25 m2 b) 64 cm2 c) 20,25 cm2 d) 4,41 dm2 ▪▪ Begründe, wieso es keine Quadratwurzel aus einer negativen Zahl gibt, aber durchaus Nachgefragt eine Kubikwurzel. ▪▪ Für welche Zahlen ist die Kubikwurzel größer als die zugehörige Zahl? ▪▪ Erläutere, wie du den Oberflächeninhalt eines Würfels berechnen kannst, wenn dessen Volumen gegeben ist. 1 Ziehe jeweils die Kubikwurzel aus folgenden Zahlen im Kopf. Begründe. a)125 b)1000 c)343 d)512 e)1321 Aufgaben f)0,729 2 Bestimme jeweils die Kantenlänge des Würfels. a) 1– 2 b) ASeitenfläche = 196 cm² c) V = 4,096 dm³ AO = 294 cm² 3 Grenze die Kubikwurzel ___ ___zwischen zwei ganzen Zahlen ein. 3 3 Beispiel: √ 40 : 3 < √ 40 < 4, denn 33 < 40 < 43 ___ ___ 3 √ 80 ____ 3 ____ ____ 3 √ –22 ____ 3 3 oHiMi ____ ____ 3 √ 230 ____ 3 3 ____ ______ 3 √ –1100 _____ 3 3 _______ ______ 3 √ 20 000 _______ 3 3 3 a)√ 30 b)√ –10 c)√ 130 d)√ 800 e)√ –10 000 √ 120 √ –43 √ 330 √ 1400 √ –30 000 4 a) Berechne setze die_______ Reihe um mindestens __ 3 die ___ Kubikwurzeln ____ 3 _____und ______ ________ 3 Schritte fort. 3 3 3 3 3 1 √ __ 8 ; √ ___ 80 ; √ ____ 800 ; √ _____ 8000 ; √ ______ 80 000 ; √ _______ 800 000 ; √ ________ 8 000 000 ; … 3 3 3 3 3 3 3 √ √ √ √ √ √ √ 2 ___ 1 ; 10 ; 100 ; 1000 ; 10 000 ; 100 000 ; 1 000 000 ; … ____ _____ ______ _______ ________ 3 3 3 3 3 3 3 √ 27 ; √ 270 ; √ 2700 ; √ 27 000 ; √ 270 000 ; √ 2 700 000 ; … b)Welche Gesetzmäßigkeiten erkennst du? Beschreibe und überprüfe an weiteren ­Reihen. 5 Lena und Peter wollen mit ihrem Taschenrechner herausfinden, was passiert, wenn sie nach dem „^“-Zeichen Bruchzahlen eingeben. Sie berechnen __ 1 __ 1 __ 1 __ 1 __ 1 4 2 , 8 3 , 9 2 , 32 5 und 64 6 . a) Führe diese Berechnungen durch. Formuliere eine Vermutung über die Bedeutung des Exponenten der Form __ n1 . ___ 2 __ 3 __ 2 __ b)Eine Taste kennen die beiden noch nicht: √ ■ . Sie geben √ 4 , √ 8 , √ 9 , ___ weitere ___ 5 6 √ 32 und √ 64 ein. Führe diese Berechnungen ebenfalls durch. Vergleiche deine Ergebnisse mit deinen vorherigen Lösungen. ■ 2 __ __ 3 3 ___ __ 2 5 ___ __ 3 c) Vergleiche nun √ 8 mit 2 ___ 2 , √ 25 mit 5 3 , √ 27 mit 3 5 . Formuliere eine Vermutung über n m √ die Bedeutung von a . 27 1 1.4 Wurzeln Weiterdenken n __ Die nichtnegative Lösung der Gleichung xn = a mit a ≥ 0 und n ∊ ℕ ist √ a , die n-te Wurzel aus a. n __ Mit anderen Worten: √ a ist diejenige nichtnegative Zahl, deren n-te Potenz gleich a ist. Das Potenzieren (einer nichtnegativen Zahl) mit n __und das Ziehen der n-ten Wurzel heben 1 __ n sich auf. Somit ist folgende Festlegung sinnvoll: √ a = a n . S teht die m-te Potenz (m ∊ ℤ) von a ≥ 0 unter der n-ten Wurzel (n ∊ ℕ), so können die Rechenoperationen Potenzieren und Wurzelziehen zusammengefasst werden: ___beiden __ n m m n √ a = a . oHiMi 6 a) Wandle die Wurzelterme in Potenzen um. _ 6 – 9 1 √ 2 3 ___ 5 2 √ 16 ___ 4 __ 7 4 √ a3 3 √ 81 __ 5 √ b2 b) Wandle die Potenzen in Wurzelterme um. 1 __ 1 3 5 2 __ 17 ___ 2 7 3 7 __ 1 __ 3 2 5 4 a 4 5 b 2 7 Was gehört zusammen? Ordne zu. 1 – __ 6,3; 32; 534 Summenwerte der ­Ergebnisse der drei ­Teil­aufgaben von Auf­ gabe 8. 3 – __ 4 – __ 5 – __ 1 – __ 2 2 2 3 a 4 4 a 5 5 3 7 6 2 5 1__ A ___ 7 √ 3 1__ B ___ 5 √ 23 1__ C ___ 3 √ 3 1_ D ___ √ 23 1 __ E ____ √5 a4 1__ F ___ √4 a5 8 Berechne jeweils ohne Verwendung des Taschenrechners den Termwert und überprüfe dann dein Ergebnis mit dem Taschenrechner. __ 3 ____ 5 ____ 9 ____ 3 ____ 6 ________ 5 __ 7 __ _________ 3 _________ 8 4 8 4 6 b)√ 64 000 000 ; √ 64 000 000 ; √ 108 ; √ 108 ; √ 94 ; √ 120 ____ ___ _____ 7 _________ 3 ________ 4 16 5 1024 6 ______________ 4 _______ 3 c)√ _ 0,027 ; √ 0,0000128 ; √ 0,000125 ; ___ 81 ; ____ 243 ; √ 24 + 33 + 42 + 51 ; √ 512–1 · 2 ; √2,25 3 ; √ 1 ___ 000 000 ; √ 0 ___ ; √ 1 a)√ 8 ; √ 216 ; √ 243 ; √ 512 ; √ 512 ___ __ √ √ 9 1 – __ Silke und Philipp wollen herausfinden, was 2 2 ist. Wer hat Recht? Begründe. __ 1 __ 2 2 ist √ 2 . Wenn ich durch die Basis, also durch 2 dividiere, muss ich den Exponenten um 1 vermindern,__ich – __1 2 erhalte also 2 2 und dies ist ___ . 2 √ Wenn ich die Wurzel ziehe, halbiere 1 ich den Exponenten. Da 2 –1 = __ ist, 2 1 – __ 1 __ sein. muss 2 2 = ___ √ 2 28 3 – __ 1 3 3 10 G ib die größere der beiden Zahlen an. Begründe deine Entscheidung. Überprüfe ­anschließend mit deinem Taschen­rechner. __ 1 __ 1 a)32; 3 2 __ 1 __ 2 1 – __ b)2 2 ; 2 2 __ 1 1 – __ e)2 3 ; 3 3 __ 3 1 – __ d)5–2; 5 2 c)7 3 ; 7 2 1 – __ 1 – __ f)2 3 ; 3 3 1 – __ g)(–3) 3 ; 3 3 1 – __ 1 – __ h)(–3) 3 ; (–2) 3 11 In welcher Beziehung stehen die Zahlen zueinander? Übertrage die Tabelle in dein Heft und ergänze sie mit den angegeben Zahlenpaaren. Die Zahlen sind … gleich. __ 1 Zahl und deren ­Kehrwert. __ 1 a) (–2)3; 64 2 1_ b) 2 2 ; ___ __ 3 1 e) _____ _ ; 5 2 f) 2 3 ; 2 3 √125 √ 2 1 – __ 2 – __ Gegenzahlen zueinander. __ 2 3 __ c) 3 3 ; √ 9 ( ) 1 2 g) – __ ; 49–1 7 Zahl und deren ­Quadratzahl. 1 d) 3–2; ___ 81 ( ) 1 3 h) (–5)–3; __ 5 12 Gib jeweils an, zwischen welchen beiden natürlichen Zahlen der Term liegt. ­Überprüfe anschließend mit _deinem Taschenrechner. Beispiel: 4 < √ 23 < 5 _ 3 ___ 4 ___ 5 ___ 100 ___ _ 3 ____ 4 ____ 5 ____ 100 ____ b)√100 ; √ 100 ; √ 100 ; √ 100 ; √ 100 ___ ____ 3 _____ 3 ______ 3 _______ 3 3 ; √ 10 ; √ 10 ; √ 10 ; √ 10 a)√10 ; √ 100 000 c)√ 10 ; √ 100 ; √ 1000 ; √ 10 000 13 Schreibe jeweils als Potenz mit möglichst kleiner natürlicher Basis. 5 ___ ____ a)√ 16 √ 12 16 e) ___ 640 10 ____ b) √ 256 4 ___ f)√ 32 9 _____ c)√ 0,008 6 ___ g)√ 27 4 ___ d)√ 25 6 _____ h)√ 1000 14 Die größte bis heute bekannte Primzahl ist 257 885 161 –1 (Stand: Juni 2017). a) Schätze ab, wie viele Ziffern diese Zahl im Dezimalsystem etwa hat. b) Wie viele DIN-A4-Blätter braucht man, wenn man die Dezimaldarstellung dieser Zahl ausdrucken möchte? c) Primzahlen der Art 2 n – 1 heißen Mersenne-Primzahlen. Recherchiere nach ihren Eigenschaften und nach dem Zusammenhang zwischen ihnen und den sogenannten vollkommenen Zahlen. 15 Aus den abgebildeten Zahlen sollen sinnvolle Potenzterme gebildet werden, wobei jede der Zahlen genau einmal verwendet werden soll. Vorzeichen und Klammern darfst du beliebig setzen. 2 – __ 3 5 5 Beispiel: (2 ) oder 3 a) Bilde eine … 1 möglichst große Zahl. 2 möglichst kleine Zahl. 3 Zahl, die möglichst nah an 0 ist. 4 Zahl, die möglichst nah an 1 ist. b) Wähle drei andere Zahlen und löse die Aufgaben 1 bis 4 aus a). 2 3 5 29 1 1.5 Die Menge der reellen Zahlen Entdecken aus: Hans Magnus ­Enzensberger: Der Zahlenteufel. Carl Hanser Verlag, München 1997, S. 77 f. Verstehen endliche Dezimalzahl: 0,5; 1,4; 4,25; –8 periodische Dezimalzahl: 0,333…; 1,45454545… ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ er Zahlenteufel und Robert unterhalten sich: D Zahlenteufel: „Rettich aus vier?“ Robert: „Rettich aus vier ist zwei.“ Zahlenteufel: „Rettich aus 5929?“ Robert:„Du spinnst ja. Wie soll ich das denn ausrechnen?“ Zahlenteufel:„Immer mit der Ruhe. Für solche kleinen Probleme haben wir doch unsern Taschenrechner. Also probier mal.“ Robert: „77“ __ Zahlenteufel:„Wunderbar. Aber jetzt kommt’s! Drücke bitte √2 , aber halte dich gut fest!“ ▪▪ I nformiere dich über die Bedeutung des Wortes „Rettich“ im Text. __ ▪▪ Was liest Robert nach der Eingabe von √ 2 auf dem Taschenrechner? Probiere. Du kennst bereits die natürlichen Zahlen, die ganzen Zahlen und die rationalen Zahlen. Darüberhinaus gibt es aber noch weitere Zahlen, die sich keiner der drei Mengen zuordnen lassen. p Eine Zahl nennt man irrational, wenn man sie nicht als Bruch __ q ∊ ℤ und q ≠ 0 q mit p, schreiben kann. Rationale Zahlen lassen sich als endliche oder periodische­Dezimalzahlen darstellen, irrationale Zahlen nur als unendliche, nichtperiodische Dezimalzahlen. __ Beispiel: √ 2 ist irrational, denn es gibt keine rationale Zahl, die quadriert 2 ergibt (zum Beweis siehe nächste Seite). Die Mengen der rationalen und irrationalen Zahlen bilden zusammen die Menge der reellen Zahlen ℝ. Es gibt unendlich viele r­ ationale Zahlen, aber auch unendlich viele irrationale Zahlen. Jeder reellen Zahl ist genau ein Punkt auf der Zahlengeraden zugeordnet. __ __ – √2 –5 –4 –3 –2 √2 –1 0 1 2 3 4 Beispiele Achte bei Wurzeln dar­ auf, ob du die Zahl als eine Quadratzahl oder als Quotient aus Quad­ ratzahlen darstellen kannst. LE: Längeneinheit FE: Flächeneinheit 30 1. Entscheide, ob die Zahl rational oder irrational ist. __ 3 2 a) __ b)√ 3 c) __ d)√ 9 Lösung: a)rational d) rational, da √9 = 3 4 3 b)irrational c)rational __ __ __ 2. Zeige, dass die Diagonale eines Quadrats der Seitenlänge 1 LE die Länge √ 2 LE hat. Lösung: Setzt man vier Quadrate der Seitenlänge 1 LE zu einem großen ­Quadrat 1 zusammen, dann hat es den Flächeninhalt 4 FE. Das rote Quadrat, dessen Seiten die Diagonalen der kleinen ­Quadrate sind, 1 1 hat den __ halben Flächeninhalt, also 2__FE. Also müssen die Diagonalen die __ Länge √ 2 LE haben, denn √ 2 LE · √ 2 LE = 2 FE. 2 FE 1 __ 3. Stelle die irrationale Zahl √ 2 auf der Zahlengeraden dar. Lösung: __ 0 1 √2 2 Die Länge der Diagona­ len d ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras: d2 = 12 + 12 3 ▪▪ R ichtig oder falsch? Jede reelle Zahl ist eine rationale Zahl. Begründe. ▪▪ Erkläre, warum zwischen den rationalen Zahlen 1,6 und 1,7 unendlich viele weitere Nachgefragt ­rationale Zahlen liegen. 1 Entscheide ohne Taschenrechner, ob der Wert des Terms rational oder irrational ist. _____ __ __ ______ a) √ 1 b) √ ___ 2 + 3 c) 3 √ 2 d) √ 11 + 5 ___ ____ __ f) ___ 5 g) √ 1,44 h) – √ 4 e) √ 20 + 5 √ 20 2 Berechne. Runde irrationale Zahlen auf zwei Dezimalen. ___ ___ a) √ 15 b) √ 36 c) √ 0,25 √ 9 f) __ 4 √ 27 g) ___ 125 _ √__ 17 d) ___ 100 ____ __ e) __ 34 ____ ____ √ 3 h) √ 0 Aufgaben Versuche, Quadratzahlen zu erkennen. Welche Aufgaben kannst du im Kopf lösen? oHiMi 1, 4 – 5 3 Berechne mit dem Taschenrechner und runde auf____ vier Nachkommastellen. ___ ___ ___ __ 3 a) √ 5 b) √ 15 c) √ 6 · 7 d) √ 12 : √13 __ ___ √ 1 e) __ 7 ____ f) √ 17 + √54,5 ___ ________ 2,5 · √13 h) _______ ____ g) √ 12 : 0,25 √169 Wissen __ ­ Beweis der Irrationalität von √ 2 __ Mithilfe eines „Widerspruchsbeweises“ kann man zeigen, dass √2 keine rationale Zahl ist. __ __ __ p Annahme: √2 ist rational, d. h. √ 2 lässt sich als Bruch schreiben: √2 = __ q mit q ≠ 0. Folgerungen aus der Annahme: p2 Quadrieren ergibt: 2 = ___ q2 Umformung zu: p2 = 2 · q2 Es gilt: Jede natürliche Zahl lässt sich ein­deutig als Produkt von Primzahlen schreiben. Beim Widerspruchs­ beweis nimmt man __ zu­ eine nächst an, dass √ 2 rationale Zahl ist, und führt diese Annahme zu einem ­Widerspruch. Zerlegung von p und q in Primfaktoren: p = p1 · p2 · p3 · … · pn; q = q1 · q2 · q3 · … · qm p 21 · p 22 · p 23 · … · p 2n = 2 · q 21 · q 22 · q 23 · … · q 2m Der Linksterm hat durch das Quadrieren eine gerade Anzahl an Primfaktoren, weil dadurch die Anzahl verdoppelt wurde. Der Rechtsterm hat jedoch wegen des Faktors 2 zu Beginn einen zusätzlichen Primfaktor, wodurch die Gesamtanzahl ungerade wird. Widerspruch: Das kann nicht sein, da die Primfaktorzerlegung einer Zahl stets eindeutig ist. __ __ Somit kann die Annahme, dass √2 eine rationale Zahl ist, nicht stimmen: √ 2 ist irrational. ▪▪ Übertrage die Umformungen in dein Heft und beschreibe sie mit eigenen Worten. __ ▪▪ Zeige auf gleiche Weise, dass √ 3 ebenfalls eine irrationale Zahl ist. 31 1 1.5 Die Menge der reellen Zahlen 4 Vergleiche und setze <, > oder =. __ __ __ a) √ 5 ■ √ 6 b) 1,5 ■ √ 3 __ e) ___ 12 ■ √ 3 7 ___ 3 1 f) 2 __ ■ √ 13 4 ___ ___ 3 _____ c) √ 10 ■ ( √ 10 ) 3 3 d) √ 25,25 ■ 5 __ _____ __ √ √ 1 1 __ h) __ ■ 9 3 g) √ 27,04 ■ 5,2 __ 5 Peter berechnet mit dem Taschenrechner √ 3 . Begründe, dass die Angabe des Taschenrechners nicht exakt sein kann. 1.7320508 n n-1 6 a) Bestimme die ersten vier Dezimalen des ­angegebenen Punkts auf dem Zahlenstrahl. b)Konstruiere mithilfe eines Quadrats der Seiten­länge ___ 7 cm den Punkt der reellen Zahl √ 98 auf der Zahlengeraden. Erläutere dein Vorgehen. 1 7 Addiere __ dreimal mit sich selbst in der Bruchschreib3 weise und in der Dezimalschreibweise. Was stellst du fest? Erkläre deine Feststellung. 0 1 2 3 4 P x 8 Stelle__die angegebenen Zahlen auf___der Zahlengeraden dar. Was___ stellst du fest?___ __ __ a) √ 2 b) √ 8 c) √ 18 d) √ 3 e) √ 12 f) √ 27 9 Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Finde ­Beispiele oder Gegenbeispiele und begründe. a) Jede ganze Zahl ist eine natürliche Zahl. __ b) Die irrationale Zahl √ 2 liegt zwischen 1,4 und 1,5. __ 3 c)√ 8 ist eine natürliche Zahl. d) Jede rationale Zahl ist eine reelle Zahl. e) Es gibt natürliche Zahlen, die reelle Zahlen sind. f) Es gibt rationale Zahlen, deren Produkt irrational ist. g)Zwischen den rationalen Zahlen 0,5 und 0,6 liegen unendlich viele weitere ­rationale Zahlen (reelle Zahlen). h)Es gibt irrationale Zahlen, deren Zehnfaches eine rationale Zahl ist. ___ ____ ____ ____ 3 ____ 10 1 √50 √ 245 √ 1040 √ 4000 2 3 4 5 √ 600 a)Gib die beiden natürlichen Zahlen an, zwischen denen die Wurzel liegt. Begründe jeweils. b)Bestimme mit dem Taschenrechner einen Wert für die angegebene Wurzel. Runde auf zwei Dezimalen. 11 Bestimme die jeweiligen Werte mit dem Taschenrechner. Runde auf zwei ­Dezimalen. __ __ __ __ __ __ __ √ 5 __ _____ a) √ 5 · √ 8 b) √ 5 + √ 8 c) 3 · √5 – √ 8 d) 3 – √ 8 12 a) Berechne die Wurzelwerte mit dem Taschenrechner und runde auf zwei Nachkomma­ stellen. Quadriere den gerundeten Wert wieder und bestimme die prozentuale Abweichung__vom genauen Wert. ___ ___ ____ ____ √ 10 √ 43 √ 700 √ 1000 √ 1 2 3 4 5 6 b) Führe die Teilaufgabe a) mit drei Nachkommastellen durch. Vergleiche. 32 13 a) Vervollständige folgende Tabelle im Heft. x 0 1,2 __ √ x 3 10 1,2 2 3 b) Stelle die Wertepaare grafisch dar. Zeichne einen möglichen Kurvenverlauf. c) Lies weitere Wertepaare aus dem Graphen ab, die ebenfalls auf der Kurve liegen. ­Kontrolliere ggf. mit dem Taschenrechner. Welche Wertepaare kannst du ­besonders schnell angeben? __ 3 d) Löse die Aufgaben a) bis c) für √ x . 14 Berechne mit dem Taschenrechner. Runde auf zwei Dezimalen. Vergleiche die ­jeweiligen Werte. Formuliere eine Vermutung. ___ ___ __ __ ___ __ √40 ____ ___ __ √ 2 · √ 30 b) a) √3 · √5 und und 40 5 √ 5 __ __ _________ __ __ __ √ __ _________ √2 + √__ 3 + √ 5 √2 + 3 + 5 __ √ 2 + √ 2 + 3 + 5 c) √3 + √5 und d) ___________ und _________ √ 6 √ 6 15 In den letzten Jahren gibt es immer wieder Diskussionen unter Mathematikern, ob es nicht sinnvoll wäre, die Kreiszahl π („Pi“) durch eine neue Kreiszahl τ („Tau“) zu ersetzen. π ist wohl die bekannteste irrationale Zahl. τ drückt nichts anderes aus als 2 · π. In diesem Fall gilt einfach: uKreis = τ · r. Gegner der Idee bezweifeln die Sinnhaftigkeit, die hinter ihr steckt, da die zugrundeliegende Mathematik dieselbe ist. a) Begründe, dass τ eine irrationale Zahl ist. b) Entscheide anhand der dir bekannten Formeln, die π enthalten, ob die Verwendung von τ für dich derzeit sinnvoll ist. Begründe. ­ Geschichte Irrationale Zahlen __ Schon seit langem sind die Menschen darum bemüht, Näherungswerte für √ 2 zu finden, obwohl der Begriff der „irrationalen Zahlen“ erst sehr viel später aufkam: __ 577 Die Inder bestimmten √2 näherungsweise durch ___ 408 . Die Babylonier nutzten um 1800 v. Chr. die Näherung __ – √2 ≈ 1 · 600 + 24 · 60 1 + 51 · 60–2 + 10 · 60–3. _ _ Platon _(427–347 2 und √ 3 irrational sind, sondern z. B. _v. Chr.) stellte fest, dass nicht nur √ auch √5 und √ 17 . Die Grundlagen für die Bestimmung eines Näherungswertes über eine Intervallschachtelung legten Karl Weierstraß ­(1815–1897) und Georg Cantor (1845–1918). ▪▪ Bestimme die prozentuale Abweichung der Näherungswerte der Inder und Babylonier _ _ von √ 2 . Verwende dabei für √ 2 den Taschenrechner-Wert. ▪▪ Gib weitere Zahlen an, die Platon als irrational bezeichnet haben 1 __ 1 könnte. __ _ _ 1 √2 √3 ▪▪ Die Längen von √2 , √ 3 , … kann man näherungsweise mit einer __ √4 1 so­genannten Wurzelschnecke ermitteln. Dabei geht man von einem rechtwinkligen Dreieck mit einer Schenkellänge von 1 LE (hier: 1 cm) __ _ _ _ _ _ √5 aus. Konstruiere wie im Bild die Längen für √ 2 , √ 3 , √ 4 , √ 5 , …, √ 17 . 1 Markiere die irrationalen Längen. Karl Weierstraß Georg Cantor 33 1 1.6 Rechnen mit reellen Zahlen __ Entdecken ______ ____ √ √ 169 __ ____ __ _______ ___ √6 · √13,5 √6 · 13,5 __ ___ ___ √16 – 9 √16 – √ 9 ____ √____ 144 ___ 144 ____ 169 _____ ____ __ √9 · √ 4 √9 · 4 ___ ____ _______ ___ _______ √81 + √16 √81 + 16 ____ √ √225 ____ ____ ___ 225 100 √100 √64 – √15 √64 – 15 ▪▪ Überprüfe jeweils, ob das Gleichheitszeichen gesetzt werden kann. __ √7 + 9 √7 + √ 9 Verstehen ▪▪ Nenne die Rechenarten, für die die Gleichheit gilt. ▪▪ Beschreibe die Gesetzmäßigkeiten in Worten und überprüfe an weiteren Beispielen. Für das Rechnen mit reellen Zahlen gelten die gleichen Rechengesetze wie bei den bisher bekannten Zahlenmengen. Die Multiplikation und Division zweier Quadratwurzeln lässt sich zu einer einzelnen ­Quadratwurzel zusammenfassen. Multiplikation _ _ Division __ __ √__ a a __ ___ = für a, b > 0 _ = √a · b für a, b > 0 √a · √b __ ___ √b √ b _____ ___ __ √ √ 9 √16 3 3 __ = __ 4 4 9 ___ = ___ 16 Beispiel: ____ √9 = √____ 16 · 9 Beispiel: √16 · 4 · 3 = √144 12 = 12 Bei der Addition und Subtraktion lassen sich zwei verschiedene Quadratwurzeln nicht zu einer einzelnen Quadratwurzel zusammenfassen. __ __ ___ ___ √9 + 16 Beispiel:√9 + √16 = 3 + 4 ≠ = √25 = 5 __ __ __ √ c = (a + b) · √ c , c > 0 Für Summen gilt das Distributivgesetz: a · √c + b · __ __ __ __ √ 2 = (3 + 5) · √ 2 = 8 · √ 2 Beispiel: 3 · √2 + 5 · L ässt sich der Radikand in ein Produkt zerlegen, bei dem ein Faktor eine Quadratzahl ist, dann wird häufig nur für diesen Teil die Wurzel gezogen. Man spricht von teil­ weisem Wurzelziehen. _____ __ Für b > 0 gilt: √a2 · b = | a | · √ b _____ ___ __ __ __ √ Beispiel: √12 = √22 · 3 = √22 · √3 = 2 · 3 Oftmals wird in einem Bruch eine Wurzel im Nenner durch Erweitern rational gemacht. __ __ __ ____ __ __ __ ____ ___ √__ a √__ a · √ b √a · b √__ 5 √__ 5 · √__ 3 √5 · 3 ____ √15 ___ __ = ______ = _____ Beispiel: = ______ = _____ = 3 ___ 3 √ b √b · √ b b √ 3 √ 3 · √ 3 Beispiele 1. Vereinfache, wenn möglich. __ ___ √ 2 · a) √32 Durch das Zusammen­ fassen lassen sich manchmal Wurzeln ein­ facher ziehen. ___ __ ___ √ 2 – c) √32 __ √ 2 √32 ___ d) ____ Lösung: √ 2 · a) √32 = √2 · 32 = √64 = 8 b)√2 + √32 = √2 + √16 · √2 = (1 + 4) · √2 = 5 · √ 2 √2 c)√2 __ – √32 ___ = (1 – 4) · = –3 · √2 ___ ___ _____ __ √ ___ 2 2 1 1 ____ ___ ___ __ √ 80 = √ d) = = = e) √16 · 5 = 4 · 5 __ _ _ √32 ___ _ _ _____ _ √ 32 √ 16 ___ _ _ _ 4 _ _ ___ √ 80 e) 34 __ b)√2 + √32 _ 2. Entscheide, ob die Umformungen richtig sind. __ __ ____ __ _____ __ √ 2 · √8 = √2 · 8 = 4 b)√1 – √0 = √1 – 0 = 1 a) ___ ___ ___ __ √ __ ___ __ __ __ √___ 40 √__ 5 √5 · √ 7 40 c) ____ = ___ 10 = √4 = 2 d)√20 + √5 = √25 = 5 e) ___ = ______ 7 Lösung: a) richtig c) richtig √10 √ 7 __ b)im Allgemeinen falsch, da jedoch √0 = 0 klappt dieser Sonderfall. d)falsch e)richtig ____ ____ __ Nachgefragt ▪▪ Begründe, dass für alle reellen Zahlen x gilt: √ 0 · x + √0 · x = √ 0 . _____ ▪▪ Begründe, dass der Term √ x – 5 nur für die reellen Zahlen x ≥ 5 definiert ist. ▪▪ Entscheide, ob der Nenner rational oder irrational ist. 1 1 1__ 1__ ______ ___ 1 ______ 2 ____ 3 ___ 4 ___ √ x √16 900 √48 √ x 2 1 Berechne im Kopf. Nutze die Gesetzmäßigkeiten. ___ ___ __ ___ __ √ 48 ____ a) √ 12 · √ 3 b) ___ c) √ 49 · √ 4 __ √75 ___ ____ e) √ 3 · √27 ___ __ ____ √ __ ___ ___ __ a) √ 5 · √20 __ __ _______ Lösungen zu 1: ____ __ 3 __ 1 0; __ ; 4 ; __6 ; 1 __ ; 2; 3; 6; 4 5 7 2 ____ ___ h) √ 169 · 16 l) √100 · √ 1 9; 10; 10; 10; 14; 15; 36; 52 √ 1 p) √ 225 · ___ 25 __ ___ oHiMi ____ ___ ___ √ 1 i) √ 8 · 8 __ 2 √162 g) ____ ____ ___ j) √ 9 · √11 k) ___ d) √ 5 · √17 √14 √22 f) ____ __ √ 5 __ __ √ 7 c) ____ ___ b) √ 4 · √15 ___ √ √___ o) √ ___ 36 49 81 k) ___ 144 Aufgaben __ 1– 2 2 Vereinfache. e) ___ 24 49 ___ ____ __ n) √ 45 · √ 5 √ 7 m) √ 0 · __ __ g) √ 2 · √50 3 j) __ · √ 3 4 i) √ 0,1 · √1000 __ ___ f) √ 100 : √25 ____ d) √ 144 · √ 9 √ 289 ____ ___ 243 36 √ ___ ___ h) √ 10 · √30 ___ __ l) √ √ 4 3 L ege die Steine wie beim Domino zu einer geschlossenen Kette zusammen. Der vordere Teil ist jeweils das Ergebnis eines Aufgabenteils. _ _ __ _ __ _ 20 √1125 : √5 16 √324 : √4 4 √18 · √8 _ _ _ _ 18 √36 · √16 9 √1690 : √10 24 _ √432 _____ _ 15 √32 · √8 13 √6 · √54 12 __ √2000 ______ _ √27 _ _ _ _ √5 4 a) Vereinfache so __ weit wie möglich.__Klammere dazu gleiche__Quadratwurzeln aus. __ __ __ √ √ √ 1 4 √ 7 + 2 2 4 √ 5 – 3 6 √ 3 + 10 – 2 7 5 3 – 4 __ __ __ __ __ __ __ __ √ 7 √ 3 – 5 √ √ 5 + 6 4 3 √ 5 – 5 5 5 √ 3 + 4 √7 + 4 √5 + 4 6 b)Beschreibe, unter welchen Bedingungen sich Wurzeln bei der Addition und ­Subtraktion zusammenfassen lassen. Überprüfe an eigenen Beispielen. 35 1 1.6 Rechnen mit reellen Zahlen oHiMi 8 – 9 5 Schreibe den Term möglichst ohne Wurzel. ___ __ __ __ √___ 32 ____ a) √ 2 · √3 · √ 6 b) __ √72 √ 24 __ __ √ a3 · √ a _____ ___ ____ ___ ___ √ 2 h) ____ 2y √ j) √ 72x3y · ___ x 6 Ergänze die Gleichungen. __ __ __ a) √ 8 : √■ = 2 √ 2 √ a5 i) √ 3a3 · ___ 12 √b3 y k) ___ 45x · ___ __ ___ √25b5 _____ __ √ __ √6 · √0,2 · √5,4 __ e) ____________ f) √ 52 · √13 3 · √2 · √ 3 ___ d) _________ g) ___ __ __ ___ c) √ 27 · √ 3 ___ √ _____ √ y3 ___ 5x __ ___ __ √ __ √14 · √___ 5 · √■ b) ___________ = 7 ___ ■ ___ √ 10 __ √ __ ___ __ √2 · √__ 8 · √32 d) __________ = 4 · √ 2 6 c) 2 · 50 = __ 5 √■ 7 Überprüfe die Rechnungen und korrigiere gegebenenfalls. _ _ __ a) ___ b) 12__ = 2 · √ 6 2 · √ 6 = 5 · √ 3 √ c) 8 Mache den Nenner rational. 2 a) ___ 1__ b) ____ ___ 12 c) ______ _____ √6 + y √10 √ 2 12 d) _____ ____ √6 · y 9 Forme den Term so um, dass im Nenner keine Wurzel steht. ___ ___ b) ____ 12 c) ____ 10ab a) ___ √3__ x √6y √5b a a __ __ _____ e) ______ _____ f) ________ g) _______ 2a + 2b √5 + a √ √5 + a 5 __ __ 205 = 0,4 √ 6 Den Nenner „rational machen“ bedeutet, dass durch geschickte Umfor­ mungen keine Wurzel mehr im Nenner steht. _______ 1,3 · x __y · √1,3 · xz3 l) _____ y : z e) ______ __12 __ √6 · √ 7 5b d) _____ _____ √225b __ ____ 1,8x · √ y3 √ _________ h) √a + b ____ √5x3y 10 Übertrage das Rechennetz in dein Heft und vervollständige es, wenn entlang ­derselben Richtung immer mit derselben Zahl multipliziert bzw. dividiert wird. a) _ · √_4 b) _ : √_2 √504 √5 _ _ · √5 : √3 ___ 11 a) Gib die Terme an, die zu √ 18 gleich sind. Begründe. _ ___ ___ ____ __ __ √18 √72 √60 √144 ____ ____ ____ __________ __ 5 √2 – 2 √ 2 __ _ __ __ __ √ 1 2 √ 2 √ 4 √2 · √3 · √ 5 _ ___ √18 ____ __ √ 0 b) Nutze dein Wissen aus a), um weitere Terme zu finden, die zu √ 18 gleich sind. Lass einen Partner oder eine Partnerin die Terme überprüfen. 36 __ 3 √ 2 Weiterdenken Du ___kennst__m bereits den allgemeinen Zusammenhang zwischen Wurzel und Potenz: n m √ a = a n mit a ∊ ℝ +0 ; m ∊ ℤ; n ∊ ℕ Auch für solche Potenzen mit rationalem Exponenten gelten alle dir schon bekannten Potenzgesetze. 12 Lege die Potenzgesetze für rationale Exponenten zugrunde. Für a ≥ 0 gilt: Für a ≥ 0 gilt: ( a 3 ) = a3 = a1 = a ( a ) = a = a1 = a 2 __ 12 3 __ 1 __ 12 ∙ 2 __ 1 ∙ 3 Also: ( a 3 ) = a Also: ( a 2 ) = a 3 __ 1 2 __ 1 __ 1 __ 1 a 3 ist die Lösung der Gleichung x3 = a. a 2 ist die nichtnegative Lösung der Gleichung x2 = a. a) Beschreibe das Vorgehen in den beiden Darstellungen. m __ b) Zeige ebenso, dass a n die nichtnegative Lösung zu xn = am ist. 13 Gib wie in den drei Beispielen in Wurzelschreibweise an. 1 __ 3 __ 7 __ ( ) 3 2 __ __ 1 x 7 = ( x3 ) 7 = √ x3 2 – __ 2 ∙ 3 ____ 2 a 5 4 = a5 ∙ 4 ___ 3 10 __ __ 7 __ 1 __ 3 1 – __ __ 1 __ 3 b) y 3 : y4 ( ) ( ) 3 i) ( 4 3 ) 3 1 __ __ 2 – 3 g) 0,5 2 · 18 2 h) ( 20 4 · 54 ) : 254 k) ( 2 a 4 )3 l) [ (2a)3 ] 14 Schreibe als Potenz und vereinfache, wenn möglich. 3 __ 3 __ 5 ___ __ 5 __ b) ( √ a ) c) √ y5 f) √ √ x5 g) √ √ ax12 ( _____ ) ____ 5 ___ __ e) √ √x – __ 1 4 __ 3 5 __ __ 3 1 __ a) ( √ 2 ) d) m 3 · m2 1 – __ j) ( c–4 )– 4 √ __ 1 __ 1 c) 6 3 : 62 __ 3 __ 2 __ f) __ · 32 2 2 1 __ e) 4 5 · 16 5 __ ___ 3 1__ = √ x–2 = 3 __ 1 = ___ 3 x2 √ x2 = a 10 = √ a3 a) x 9 · x5 –2 ___ 3 x 3 = x3 __ 3 __ 3 1 1 __ __ 2 __ 2a __ ____ 3 h) √ √ a6b3 d) ( √ 2 ) a 3 4 15 a) Begründe die Richtigkeit jedes Schrittes in dem abgebildeten Beweis. 1 __ 1 __ 1 __ 1 __ Für a, x, y ∊ ℝ +0 und m, n ∊ ℕ gilt: a m · a n = a m + n 1 __ 1 __ Es sei x = a m und y = a n . Beweis:xm = a1 undyn = a1 n m m m n ( x ) = ( a1 ) und( yn ) = ( a1 ) ⇔xm · n = anund ym · n = am Es gilt:xm · n · ym · n = an · am m · n (x · y) = an + m n + m _____ x · y = a m · n 1 __ 1 __ n + m _____ n ____ m ____ 1 __ 1 __ m · n n Somit: a m · a n = a m · n = a m · n + = a m + b) Beweise ebenso ein weiteres Potenzgesetz. 37 1 zu 1.1 Aufgaben zur Differenzierung 1 Fasse zu einer Potenz zusammen. a) 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 1 __ 1 __ 1 __ 1 __ 1 b) __ ∙ 1 ∙ __ ∙ 1 ∙ __ ∙ 1 ∙ __ ∙ 1 ∙ __ 8 8 8 8 8 8 8 8 4 5 ) ( ( ) ( ) a a ) ( ) y² y² Übertrage ins Heft. Vergleiche und ersetze ■ durch <, > oder = . ( ) 1 3 1 a) __ ■ __ ∙ 3 b)| –9,1² | ■ –9,1² 3 3 c)(–0,3)5 ■ (–0,5)3 d)–1,570 ■ 2,930 Schreibe die Zahlen als Produkt aus einer rationalen Zahl zwischen 1 und 10 und einer Zehnerpotenz. Entfernung Erde – Sonne 149 500 000 km Mond­ oberfläche 38 000 000 km2 Lichtjahr 9 500 000 000 000 km Erdmasse 5 980 000 000 000 000 000 000 t Dicke Spinnenfaden 0,005 mm Dicke Haar 0,09 mm Dicke Blattgold 0,00015 mm Masse Wasser- 0,000000000000000000002 mg stoff­atom Berechne. Gib das Ergebnis in der Zehnerpotenzschreibweise an. a) 30 000 000 000 000 : 30 000 000 000 1 8 b)11³ – 311 c) __ (8) Bestimme die fehlenden Potenzwerte in der ­Multiplikationsmauer. 5⁵ 6 a d)(–x)³ ∙ (–x)³ ∙ (–x)³ ) ( a) 0,0000000123 ∙ 0,0000009 b) 3,93 ∙ 1012 + 7,28 ∙ 1011 c)(–12)5 zu 1.3 a d) (–1,8) ∙ (–1,8) ∙ (–1,8) ∙ (–1,8) c)35 ■ 5³ d)(–6,1)9 ■ (–6,1)² 3 a x x c) – __ ∙ – __ a)4² ■ 24 b)(–4)² ■ (–2)³ zu 1.2 a 1 1 1 1 c) –1 __ ∙ –1 __ ∙ –1 __ ∙ –1 __ 6 6 6 6 ( 2 8 a)x ∙ x ∙ x ∙ x ∙ x 1 __ 1 __ 1 __ b) __ ∙ 1 ∙ __ ∙ 1 ∙ __ ∙ 1 5– ¹ 5² 32 2³ 4² Übertrage in dein Heft und fülle die Lücken im Stern aus. (–2)⁵ 2⁵ 3⁸ (1,2)⁸ (–4)⁸ · (2 25 )⁸ 38 (– 29 )⁵ · –1 (0,25)⁵ (– 34 )⁸ 5⁸ ( 15 )⁵ 7 Vereinfache durch Anwenden der Potenzgesetze. a)24 · 2–2 b)43 · 40 · 4–5 c)0,12 · 0,1–2 d) (–b) · (–b)3 e)c4 · c2 · c6f)2e2 · 3e · e3 g)3x2 + 4x2 h)3x2 – 2x2 + 4x3 i)10x4 – 10x3 + x3 8 Bestimme die Wurzeln im Kopf. ___ √ 64 a) 3 b)√144 ___ 3 d)√ 64 9 √ 196 c) ____ 3 _____ f)√ 0,216 e)√ 343 ___ _____ 3 ____ ___ 3 d)√ 8712 e)√ 5,5 3 _____ 3 a)√ 1331 ______ 4 d)√ 0,0016 _____ ___ 3 f)√ 0,4 3 3 b)√ 605 c)√ 2015 3 __ _____ _____ 3 3 b)√ 1,331 c)√ ____ 0,027 ___ 5 4 e)√ 1,0 f)√ 1,45 3 ___ a)√ ____ 24 b)√ ____ 26 _ _____ 3 __ b)√4 + 7 c) 4 · √2 : √ 5 √ a) 3 __ ___ __ ____ √ 1 __ √ 9 + d)√64 + 6 e) √0,09 f) 4 4 ___ ___ ___ √ 3 ∙ √ 36 + a) √64 __ √27 b) _ 3 c)√ 53 : √5 ____ f)√ 1,215 5 __ 23 ___ d)8 – √28 ____ ____ √___ 16 e) ____ __ ___ √___ 1 √ 100 b)√ 900 + √ 6 ∙ a) √100 c) ___ 14 ___ d)√2,45 √20 _ 3 ___ a)√36 + √ 64 4 __ 3 4 __ 3 c)7 – 3 ____ f) √0,4 √1,21 – zu 1.6 _____ 3 1__ b)√ 2048 · ___ 3 _ __√ 4 d)√5 ∙ √ 5 2 3 3 __ Übertrage das Rechennetz in dein Heft und vervollständige, wenn entlang derselben Richtung immer mit derselben Zahl multipliziert bzw. dividiert wird. _ _ · √2 _ _ : √2 √702 √7 _ _ · √6 13 ____ zu 1.5 ____ Vereinfache, wenn möglich. __ 12 3 e)√ 0,42 d)√ 2,56 zu 1.4 c)√ ____ 1,73 Entscheide ohne Taschenrechner, ob die Zahl rational oder irrational ist. __ 11 a)(–3)7 : (–3)3 b)0,83 · 0,8–5 c)0,2–1 · 0,2–2 · 0,2–3 d)(2–3 + 2–2) · 22 1 e)d3 · d2 · d1 f) 3 (–f)4 · __ (–f)2 3 g)5x4 + 2x4 – 8x4 h)1,5x1 – 1,7x2 – 1,2x i)(–x)2 – (–x)3 + (3x)2 Grenze die Wurzel zwischen zwei natürlichen Zahlen ein. a)√ 50 10 ____ ____ zu 1.3 : √3 Gib in Wurzelschreibweise an. Vereinfache so weit wie möglich. 5 __ 2 __ a)a 8 · a 3 1 – __ __ 1 c)7 4 · 49 4 7 __ 1 __ b)b 4 · b2 ( ) ( ) 5 __ 3 __ 5 __ 3 d) __ · 9 9 1 1 8 __ 1 – __ 1 – __ a)a 8 : a 7 b)0,125 3 · 64 3 c)( c 5 ) 21 d)( 9 d 2 ) 2 ∙ ( 3 d 4 ) 10 ___ __ 7 3 __ __ 5 –5 __ 5 39 1 oHiMi 1–13 Vermischte Aufgaben 1 Suche die richtige Lösung auf den Karten. Zwei Karten bleiben übrig. a) a + a + a + a b) a – a + a – a c) a ∙ a ∙ a ∙ a d) a2 ∙ a3 4 f) ( a3 ) e) a7 : a5 a4 a2 a3 0 a7 4a a5 a12 2 E s gilt: 256 = 162 = 44. Wandle ebenso in Potenzen um. Finde verschiedene ­Möglichkeiten. 16 1 1 a)81 b)2401 c)625 d) ___ e) ___ f) _____ 16 81 10 000 3 Schreibe als Potenz mit Basis 3. 1 __ 1 ___ ; 1 ; ___ ; 1 a) 27; 81; 234; 2187b) __ 3 9 81 729 4 Berechne ohne Taschenrechner. a) 33 ∙ 34 b) 33 ∙ 53 e) 514 : 174 f) 3–1 ∙ 5–1 – i) 10 6 : 106 j) 106 : 10–6 c) 8–6 : 4–6 2 g) ( 23 ) k) 12a5 : 4b–5 d) 25 ∙ 55 –1 h) ( 23 ) l) 21n7 : 3n5 5 Zerlege die Potenzen. a) 246 = ■ 6 ∙ ■ 6 b) 10020 = ■ 20 ∙ ■ 20 c) 122 = ( ■ ∙ ■ )2 d) 2–9 = 29 : ■ 9 6 Vereinfache die Potenzen so weit wie möglich (a, b, c ∊ ℚ; n, m ∊ ℕ). 4 a) a2 · a4 · a6 b) a3 · b3 · a4 · 2b2 c) 4 n · 6 n d) ( 3c2 ) 2 3 e) b2 : b3 · b–5 f) 3a5 : a – ( 2,5a2 ) g) 0,2 m · (–3)n · 5 m h) ( 1,5a2c3 ) 7 Vergleiche die Terme. Was fällt dir auf? 1 85 ∙ x5 ∙ 35 2 246 ∙ x5 ∙ 24–1 3 65 ∙ x2 ∙ x3 ∙ 45 4 2410 ∙ x10 : (24x)5 5 12 ∙ x6 ∙ 124 ∙ 25 ∙ x–1 ( 120 ∙ x8 ) : ( 5 ∙ x3 ) 6 7 62 : x–5 8 62 ∙ x10 : x5 9 65 ∙ x5 ∙ 35 ∙ 25 8 Setze <, > oder = so ein, dass eine wahre Aussage entsteht. a) 64 : 63 ■ 1 – d) 3 4 ∙ 64 ■ 1 g) 34 : 64 ■ 1 b) 6–4 : 6–3 ■ 1 e) (3 : 4)3 ■ 33 : 43 h) (3 ∙ 4)3 ■ 32 ∙ 44 9 Vereinfache die Terme. Vermeide negative Exponenten. a) 2 ∙ 2–5 b) a2 ∙ a–3 c) b–2 : b–3 – – e) 50 ∙ 32 ∙ 3 3 f) 3 ∙ 10 3 g) 5 x ∙ 5–2 x (( ) ) –1 1 2 i) __ 3 –3 ( 3 p–6q3 ) m) _______ 5 –2 4 ( 2 p q ) 40 j) e–1 ∙ f–1 n 9a4 n) ____ 27a : ____ n 20b4 12b ( ) 1 2 c) 0,22 : __ ■ 1 5 f) 1–3 ∙ 04 ■ 1 i) 31 · 33 ■ 92 –3 d) ( c2 ) h) 8–5 : 4–5 k) 2 ∙ 35 + 7 ∙ 35 l) (–5)4 ∙ (–5)3 o) _____ a2 · a3 3 ( a2 ) 2 3ab 4 ___ 5c 3 ___ p) ____ · 6a · 4b 5cd 3d ( ) ( ) ( ) 10 Hier stimmt doch was nicht. Finde die Fehler und berichtige. a) b) 8 a a a x2 ∙ x4 = x d) 204 : 44 = 5 0 5 ∙ 7 = 21 e) 42 ∙ 4 –3 = 4 c) 36 ∙ 4 6 = 7 6 f) (a2 ∙ a–3)–1 = a–1 11 S telle als Zehnerpotenz in der Form a · 10 m (1 ≤ a < 10, m ∊ ℤ) dar. a) 1 μm ≈ 0,000000001 km b)1 GB ≈ 1 000 000 000 B c) Lichtgeschwindigkeit: c ≈ 30 000 000 000 ___ cm s d)Ruhemasse eines Protons: m = 0,0000000000000000000016723 mg 12 Schreibe die Angaben als Zehnerpotenz und in Kurzform. Zehnerpotenz in m Entfernung Berlin – München Kurzform 5,9 ∙ 105 m Bestimme fehlende ­Entfernungen so genau wie möglich. Entfernung Wohnort – Schule 7 ∙ 10–6 m Größe roter Blutkörperchen Herpesvirus 180 nm Abstand Augen – Heft Dicke eines Haars 0,07 mm 13 1 Entfernung Erde – Mond etwa 360 000 km 3 Etwa 11 300 000 Menschen zwischen 0 und 15 Jahren 5 Durchmesser eines Sandkorns ca. 0,000063 m 2 Durchmesser Erde ca. 12 500 km 4 Verschuldung ca. 2 130 000 000 000 € 6 Gewicht eines Sandkorns ca. 0,00000035 g Schreibe mithilfe von Zehnerpotenzen so, dass der Faktor vor der Zehnerpotenz eine … a) möglichst kleine natürliche Zahl ist. b) rationale Zahl zwischen 1 und 10 ist. 14 Berechne mit dem Taschenrechner. a) 0,0000000025 · 0,0008 d) 0,00075 : 250 000 000 000 g) 2,54 · 108 + 3,54 · 109 b) 0,01575 e) (–0,1234)4 h) 0,01415 c) (–4)3 f) –12,54 · 0,08–4 i) 72 – 27 15 Zwischen welchen benachbarten natürlichen Zahlen liegt die Wurzel? Begründe deine Antwort. Rechne ____ im Kopf. ___ ___ ___ ____ a) √ ___ 40 b) √ ___ 18 c) √ ____ 316 d) √ ___ 88 e) √ ____ 112 √ √ √ √ √__ 10 ___ 32 ____ 145 ___ 77 ____ 170 √ √ √ √ √ 5 60 200 99 168 ____ f) √ ____ 360 √ ____ 420 √ 501 41 1 oHiMi 19 – 23 Vermischte Aufgaben 16 Berechne die Kubikwurzeln. Runde auf zwei Dezimalen. 3 ___ a) √ 2,1 3 ___ g) √ 54 b) √ 12 3 ___ 3 ____ c) √ 7160 i) √ 1024 h) √ 512 3 _____ 3 _____ 3 ____ ___ 3 d) √ 0,45 _____ ____ 3 √ √ √ j) 3 ___ 27 81 ___ ____ f) √ 173 e) √ 0,015 4 k) 3 ___ 125 343 l) 3 ___ 361 17 Finde eine natürliche Zahl, deren Quadratwurzel (Kubikwurzel) möglichst nahe an … a) 20 b) 25 c) 100 d) 500 liegt, aber nicht gleich dieser Zahl ist. Bestimme jeweils die Abweichung. 18 Peter sagt: „Es gibt Quadrat- und Kubikwurzeln, die … a) größer als der Radikand sind.“ b) kleiner als der Radikand sind.“ Finde jeweils ein Beispiel für die Behauptung. 19 Fülle die Lücken richtig aus. __ ___ __ __ a) √ 5 · √■ = √10 __ ___ ___ ___ √■ ____ ___ g) √ ■ 36 : √■ 1 = 4 Der Wert eines Steins ergibt sich als Produkt der beiden darunter ­liegenden Steine. √■ ___ ___ ____ __ h) √ 121 · √■ = 0 ___ __ i) √ 169 : √■ = √13 ___ 2 __ √ 18 __ __ √1 83 __ 3 __ √6 ___ ___ ___ ____ 1 __ 1 __ 22 21 Überprüfe, ob die Zahl rational oder irrational ist. 22 83 ____ __ a) √ 27 b) √49 c) √ 96 d) √ 242 e) √ 4,41 f) √ 0 g) √ 100 h) √ 8 i) √ 17 j) √ 200 k) √ 2,22 l) √ 1 ____ __ ___ 22 Berechne ohne Taschenrechner. ______ a) √ 64 · 25 __ ___ e) √ 2 · √32 ________ b) √ 144 · 225 ___ ____ f) √ 50 · √200 ____ ____ _____________ c) √169 · 196 · 400 ___ ____ ___ a) √ 18 ___ b) √24 ____ c) √ 432 24 Ziehe teilweise die Wurzel wie in Aufgabe 23. ___ a) √ 32 ______ e) √ 288x3y ____ b) √ 250 __________ f) √ 10a3 + 22a3 √ 6 e) ___ 25 ______ c) √49 · x5 ___ ___ √45 + ____√80 g) _________ √147 ________ d) √ 625 · 900 __ ___ √ ___ ____ d) √ 720 __ 1 h) __ · √80 5 g) √ 10 · √25,6 23 Forme die Wurzeln wie im Beispiel um. __ ___ ____ __ __ √ √ √ √ √ Beispiel: 20 = 4 · 5 = 4 · 5 = 2 5 42 __ f) √ 13 · √■ = 13 20 Übertrage die Multiplikationsmauern in dein Heft und vervollständige sie. a) b) 36 128 √2 Alle Variablen stehen für positive rationale Zahlen. __ √12 c) ____ __ = √ 3 √30 e) ____ __ = √30 √20 d) √ ■ · √2,5 = ____ ___ ___ __ b) √ 7 · √■ = √21 ____ √ 324 f) ___ 125 ____ ___ d) √275 – √99 _________ √363a2b7c9 h) _________ ab2c 25 Ordne wertgleiche Terme einander zu. Ein Term bleibt übrig. ________ __ __ ( √ 2 )2 · √ 2 √100 + 44 __ __ √19 + √30 = √49 = 7 __ _____ __ ___ √ 32 ____ __ √32 26 Finde den Fehler und korrigiere die Rechnung. __ __ __ a) b) __ ___ ___ √ 8 22 · √ 2 12 ____ √100 + √44 22 ____ √ 2 ______ √(a + b) 2 =a– b ____ __ __ __ c) 5 √ 44 – 7 √ 99 = 5 √ 4 · 11 – 7 √ 9 · 11 = 20 √ 11 – 21√ 11 = –√ 11 d) √a2 + b 2 = √ a2 + √ b 2 = a + b __ 27 Vereinfache so weit wie möglich. nx a __ ( __ 5 __ 7 i) x 7 · x 3 · x 9 1,2 ____ 8 __ 2 __ 1 ) j) a 3 : a 2 __a ___ nx d) ( b– x ) m 4m ___ f) √ x–0,3 e) √ nx __ 3 __ an b) ( √ xm ) 2 2x __ a) ( a x ) c) ( x–2n ) n __ 3 __ 2 g) x 2 · x 3 – __ h) y 5 : y 5 k) ( b2 · b3 ) : b 2 __ 1 __ __ 1 __ l) a√ 2 · a√ 8 28 Eine Raumfähre umkreist mehrmals die Erde mit einer Geschwindigkeit von 2,8 · 104 km/h und legt dabei 7,2 · 106 km zurück. a) Berechne die Flugzeit der Raumfähre in h (d). b)Welche Strecke legt die Raumfähre auf ihrer Umlaufbahn in 2 Tagen (30 Tagen, 50 Tagen) zurück? Runde geeignet. c) Wie lange würde eine Raumfähre mit der Geschwindigkeit zum Mars benötigen, der im Schnitt 7,5 · 107 km von der Erde entfernt ist? Beurteile das Ergebnis. 29 Entscheide, ob die Aussagen wahr oder falsch sind. ­Begründe. ___ √___ 16 ist diejenige rationale Zahl, die quadriert 16 ergibt. a) b)√___ 81 kann +9 oder –9 _sein. √ 25 ist größer als √ c) 36 . __ d) Wenn a größer wird, wird auch √ a größer. e) Die Gleichung x3 = 27 hat die Lösung x = –3 und x = +3. 1 __ 1 __ 4 __ f) Es gilt: x 2 · x 2 = √ x 3 __ g) Die Gleichung x 2 = 64 hat die Lösung x = –2 und x = 2. __ 3 h) Wenn a kleiner wird, wird auch √ a kleiner. 30 a) Erkläre mithilfe der Darstellung, dass __ ______ ___ √ 9 + √16 ≠ √9 + 16 . b)Überprüfe die Aussage aus a) an mindestens einem weiteren Beispiel. 16 9 _ √9 + 16 _ √16 9 ≠ __ √9 + 16 _ = √25 43 1 Themenseite Das Heronverfahren nach klassischer Art 1 5 cm ___ 10 cm² Beispiel: Bestimme einen Näherungswert für √10 . aalt = 2 cm balt = 5 cm 2,9 cm S chon seit Jahrtausenden nutzt man Näherungs­ verfahren, wenn man Wurzeln nicht exakt angeben kann. Eines davon ist nach Heron von Alexandria benannt, der vor 2000 Jahren in Ägypten lebte. Idee 5 cm 2 cm 10 cm² 10 cm² ≈ 2,9 cm bneu = _____ 3,5 cm 2 cm 3,5 cm Ziel: 10 cm² _ √10 cm 2 10 cm² _ √10 cm Ein Rechteck mit dem Flächeninhalt 10 cm2 wird schrittweise in ein flächengleiches Quadrat ­umgewandelt. Das Verfahren hat den Vorteil, dass man für jede __ ­Quadratwurzel √ n ein solches Ausgangsrechteck finden kann. Im einfachsten Fall hat es die Maße 1 cm · n cm. Im Beispiel starten wir mit a = 2 cm und b = 5 cm. Ablauf Wandle das bestehende Rechteck jeweils in ein flächengleiches Rechteck um, indem du als eine neue Seitenlänge das arithmetische Mittel aus den beiden alten Seitenlängen verwendest. Die zweite Seiten­länge ergibt sich dann, indem du den Flächeninhalt durch diese ­erste neue Seitenlänge teilst. 2,9 cm 3,1 cm Start: 2 cm + 5 cm aneu = ________ = 3,5 cm 2 aalt = 3,5 cm balt = 2,9 cm 3,5 cm + 2,9 cm = 3,2 cm aneu = __________ 2 3,5 cm 3,2 cm 3 10 cm² bneu = _____ ≈ 3,1 cm 3,2 cm … Dieses Vorgehen kann bis zu jeder beliebigen Genauigkeit fortgesetzt werden. Man erkennt in diesem Beispiel, dass bereits nach wenigen Schritten die ­Seitenlängen dicht beieinander liegen. a)Bestimme einen Näherungswert für die Wurzel mit dem Heronverfahren auf zwei Dezimalen___ genau. __ ___ __ √ 20 4 1 √ 2 2 √ 6 3 √12 b)Welche Rolle spielen die Startwerte___ beim Heron­ verfahren? Überprüfe am Beispiel √ 50 . Das Heronverfahren mit dem Computer Beim Heronverfahren werden stets dieselben Rechen__ schritte durchlaufen, um √ n zu bestimmen. aalt + balt neue Länge: aneu = _______ 2 n neue Breite: bneu = ___ aneu n steht dabei für den Flächeninhalt des Quadrats bzw. für die zu berechnende Wurzel. Die Rechenschritte kann man gut durch ein Tabellen­ programm durchführen lassen. 44 a)Beschreibe den Aufbau und die Einträge des ­Tabellenblatts. b)Übertrage das Tabellenblatt und berechne damit ___ ___ √ 40 (√ 99 ) auf vier Dezimalen genau. Näherungsverfahren Intervallhalbierung Intervallhalbierung ist ein Näherungs­ verfahren. Es wird beim systematischen ­Probieren ­oftmals an­gewendet. Beispiel: Bestimme einen Näherungswert ___ für √ 10 . Idee ___ Das Quadrat von √ 10 ist 10. Man sucht jetzt einen unteren Wert, der quadriert kleiner als 10 ist, und einen oberen, der quadriert größer als 10 ist. Anschließend bestimmt man zwischen diesen ­beiden ­Werten einen neuen Wert und überprüft, ob man damit den unteren oder oberen Wert ­ersetzen kann. Ablauf Bei der Intervallhalbierung bestimmt man das arithmetische Mittel aus unterem und oberem Wert. Dann wird überprüft, ob das Quadrat des Mittelwerts größer oder kleiner als 10 ist. Je nachdem ersetzt man im ­nächsten Schritt den oberen oder unteren Wert durch den Mittelwert. 1 2 3 unterer Wert oberer Wert Mittelwert 2, denn 22 = 4 < 10 5, denn 52 = 25 > 10 _____ = 3,5 2 + 5 2 2,0, denn 2,02 = 4 < 10 3,5 denn 3,52 = 12,25 12,25 > 10 2,75, denn 2,752 ≈ 7,6 < 10 3,50 denn 3,502 = 12,25 12,25 > 10 3,52 = 12,25 > 10 → oberen Wert ersetzen 2,0 + 3,5 _______ 2 = 2,75 2,752 ≈ 7,6 < 10 → unteren Wert ersetzen 2,75 + 3,50 _________ = 3,125 2 3,1252 ≈ 9,8 < 10 → unteren Wert ersetzen 4 3,125 + 3,500 __________ 3,125, denn 3,500, denn = 3,3125 2 3,1252 ≈ 9,8 < 10 3,5002 = 12,25 3,31252 ≈ 11,0 > 10 12,25 > 10 → oberen Wert ersetzen 5 … a)Bei jedem Schritt betrachtet man eine Dezimale mehr. Erkläre die Aussage anhand des Beispiels. __ __ ____ b)Führe das Intervallhalbierungsverfahren für √ 2(√ , 8√500 ) durch. c)Erkläre den Begriff „Intervallhalbierung“. d)Führe das Verfahren mit einem Tabellen­kalkulationsprogramm durch. Präsentiere dein Ergebnis. Alles Näherung 1 2 Beim systematischen Probieren ist uns das Hinter­ einandereinsetzen als geschicktes Vorgehen bekannt. Nutze dieses Verfahren. ___ Beispiel: Bestimme einen Näherungswert für √10 . Idee Man sucht eine natürliche Zahl als Startwert, deren Quadrat gerade kleiner als 10 ist. Dann erhöht man schrittweise um 0,1. Ablauf Sobald das Quadrat des Wertes erstmals größer als 10 ist, wird der letzte kleinere Wert genommen und die nächste Dezimale schrittweise erhöht. 3 … a) Beschreibe den Aufbau des Tabellenblattes. b)Bestimme__mit ___ diesem Verfahren einen Näherungs____ wert für √ 3 (√12 , √ 200 ) auf vier D ­ ezimalen genau. c)Beschreibe den Ablauf, wenn man einen Startwert wählt, dessen Quadrat gerade größer als 10 ist. 45 1 Das kann ich ! Überprüfe deine Fähigkeiten und Kompetenzen. ­ Bearbeite dazu die folgenden Aufgaben und bewerte anschließend deine Lösungen mit einem Smiley. ­Hinweise zum Nacharbeiten findest du auf der folgenden Seite. Die Lösungen stehen im Anhang. 1 Schreibe als Potenz und berechne. a) 5 · 5 · 5 · 5 b) –3 · (–3) · (–3) 1 __ 1 __ 1 __ 1 __ 1 __ d) –1,2 · (–1,2) c) · · · · 4 4 4 4 4 2 Vergleiche. Setze <, > oder =. a) 34 ■ 43 b) 34 ■ (–3)4 d) –34 ■ (–3)4 e) –43 ■ 43 c) –43 ■ (–4)3 ( ) ( ) ( ) – 3 1 2 2 – 1 __ c) 0,2 ; 0,5 ; 0,1 d) __ ; – __ ; 34 5 3 – 4 – 1 4 Schreibe als Quotient. a) a– 3 b) b– 5 e) (xy)– 4 f) xy– 3 g) 83 : 0,23 i) j) (42)– 3 k) (0,8– 3)– 1 l) (–35)0 d) (–6d5)2 c) c – 6 g) z– a d) 3d– 4 h) (–x2)– 3 ( ) d) 2,53 · 43 ( ) 3 5 f) __ · 75 7 ( 6 ) e) e4_ _ 3 ( ) 1 4 c) – __ c3 5 f) (–0,2f 5)1 d) 7,3 · 105 ■ 7300 · 103 11 Das Rechteck mit den Seitenlängen a und b und das Quadrat mit der Seitenlänge c haben den ­gleichen Flächeninhalt. Vervollständige die ­Tabelle. Runde auf zwei Dezimalen. 10 000 000 1 1 1 b) ___ 10 ; 100 000; 1; _____ ; _________ 10 000 1000 000 000 46 a in cm b in cm c in cm 32 625 12,5 7 19 __ 5 √ 7 13 10,75 43 12 Zeichne jeweils ein Rechteck und ein flächen­ gleiches Quadrat in dein Heft. a) 6 cm2 b) 20 cm2 c) 30 cm2 13 Berechne im Kopf. __ __ a) √ 2 · √ 2 b) √ 2 · √18 c) √ 3 · √27 d) √ 6 · √24 e) √ 3 · √75 f) √ 8 · √50 8 √ g) ____ ___ √72 h) ____ ___ __ ___ __ ___ __ 8 Schreibe als Zehnerpotenz. 1 1 a) 1000; ____ ; 10 000 000; ________ 1000 4 c) 1,5 · 103 ■ 15 000 150 7 Schreibe ohne Klammer. a) (2a)4 b) (1,5b2)3 4 b) 2,4 · 107 ■ 0,24 · 108 6 Vereinfache so weit wie möglich und berechne dann. 1 2 a) (–3)4 · 24 b) __ · 92 3 – – 10 <, > oder = ? a) 3 · 104 ■ 30 · 103 144 –3 ( ) (2) ( – __23 ) : ( __19 ) 2 –2 h) 1,25 2 : __ 5 5 Vereinfache so weit wie möglich. a) x3 · x4 b) y5 · y– 2 c) (–z)5 · (–z)3 d) a– 3 : a– 2 1 e) 5b5 · 2b3 f) 5 · (–c)– 3 · __ (–c)3 5 ( ) ( ) 1 e) ( __ · (1,5) 3 6) Das muss ich noch üben! 9 Vereinfache den Term und berechne. a) 32 · 3– 5 b) 4– 3 · 46 c) 53 : 55 1 –3 – d) 26 : 2 3 e) 52 · 42 f) __ · (–4)– 3 A in cm2 –2 2 –2 __ c) __ · 52 5 Das kann ich fast! f) 44 ■ –44 3 Schreibe als Quotient und berechne. a) 3– 2; 4– 1; 5– 3; 9– 1 b) (–3)– 1; (–2)– 6; (–5)– 3; –2– 5 – 2 Das kann ich wirklich gut! √18 ___ i) √ 24 ____ ___ √54 __ ___ __ ___ __ ___ ___ √50 ____ √ 192 j) ____ ____ √147 14 Vereinfache, falls möglich. __ __ __ __ __ __ √ 8 √3 + √ 8 √3 : √ 8 a) √3 · ___ ___ ___ ___ ___ ___ 16 Welche Zahlen sind irrational, welche rational? __ __ __ ____ ____ ____ ____ a) √ 4 ; √ 6 ; √ 8 ; √100 ; √104 ; √400 ; √1000 __ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ ___ __ ___ __ √ 99 + √ 99 : c) √ 99 – √11 √11 √11 d) √ 2,5 · √ 4 √2,5 + √ 4 √2,5 – √ 4 __ ___ a) √ 2 · √■ = √50 ___ __ _____ ___ __ ____ _____ 2 6 __ __ 4 √■ __ 2 __ __ 2 __ 2 b) x 3 __ y 3 z 3 r 6 – ___ 6 nm __ ( ) e) y n ____ 1 __ 1 __ 1 __ 3 3 i) √ 2m2n · √ 4mn2 f) √ ■ · √57,■ = 17 1 __ – f) ( 64a2 · b )– 4 : ( 2a ) 4 2 ( a2 · b4 ) 2 g) ( a2 · b4 _____) : _____ _____ r d) ( √ x5 ) 3 __ c) √ x · x 4 b) √ ■ 9 · √■ = √196 ____ √ √ √ a) ( x 3 ) 432 : √■ ■ = 6 c) √ ■ 0 · √5 = √1■ ■ d) √ √1083 e) _____ __ = 19 ___ __ 17 Vereinfache so weit wie möglich. 15 Setze Ziffern so in die Lücken ein, dass die Rechnungen stimmen. Findest du mehrere ­Möglichkeiten? __ __ __ 1 __ 1 __ 1 __ b) 0; 1; √ 0 ; √1 ; __ ; ; 1 ; ; ___ 12 7 3 3 9 9 √ 27 – √ 27 · b) √ 27 : √18 √18 √18 h) ( a 3 · a2 )3 __ 1 __ 4 __ 1 j) a–5 · a–3 · a4 Aufgaben für Lernpartner Sind folgende Behauptungen richtig oder falsch? Begründe schriftlich. A Potenziert man eine negative Zahl mit einem geraden Exponenten, dann ist das Ergebnis immer positiv. B Zwei Potenzen mit gleicher Basis werden ­multipliziert, indem man ihre Exponenten ­multipliziert und die Basis beibehält. H Zehnerpotenzen sind Potenzen mit der Basis 10. I Ein Rechteck mit den Seitenlängen 3 cm und 4 cm kann in ein flächengleiches Quadrat mit der ___ ­Seitenlänge √ 12 cm umgewandelt werden. ____ ___ ________ J √100 + √49 = √100 + 49 . C W ird eine Potenz potenziert, dann werden die Exponenten multipliziert. K Zwei Quadratwurzeln, die multipliziert werden, ­lassen sich zu einer Quadratwurzel zusammen­ fassen. D 24 = 42, also sind Basis und Exponent bei einer Potenz stets vertauschbar. √ 7 = 5 √ L 3 √7 + 2 7 E (–3)2 = –32, weil der Exponent gerade ist. __ __ __ M Jede irrationale Zahl lässt sich als Bruch d ­ arstellen. __ N √ 6 ist eine irrationale Zahl. F Wenn bei einer Potenz der Exponent gerade ist, ist der Wert der Potenz stets positiv. O Jede Quadratwurzel ist eine irrationale Zahl. G Der Exponent –1 bewirkt bei einer Potenz, dass sich das Vorzeichen des Potenzwertes umkehrt. P Jede Quadratwurzel liegt zwischen zwei ­benachbarten natürlichen Zahlen. Ich kann … Aufgaben Hilfe die Potenzschreibweise verwenden. 1, 2, 3, 4, A, D, E, F S. 18, 19 Zahlen als Zehnerpotenzen schreiben und lesen. 8, 10, H S. 20 die Potenzgesetze anwenden. 5, 6, 7, 9, 17, B, C, G S. 22, 24 Wurzeln bestimmen. 11, 12, I, J S. 26, 28 irrationale und rationale Zahlen unterscheiden. 16, M, N, O, P S. 30 mit reellen Zahlen rechnen und Terme mit Wurzeln vereinfachen. 13, 14, 15, 17, K, L S. 34, 37 47 1 Seite 18 Seite 22 Auf einen Blick Potenzen Die Potenz ist eine Kurzschreibweise für ein ­Produkt aus lauter gleichen rationalen ­Zahlen oder Variablen. Potenzgesetze Potenzgesetze für a, b ∊ ℚ; m, n ∊ ℤ: ▪▪ am · an = am + n ▪▪ am : an = am – n (a ≠ 0) ▪▪ am · bm = (a · b)m ▪▪ am : bm = (a : b)m (b ≠ 0) ▪▪ (am)n = am · n 1 Beachte: a– n = __ (a ≠ 0) n a Seite 26 Seite 30 Seite 34 Wurzeln Die Umkehrung des Potenzierens bezeichnet man als Wurzelziehen ­(Radizieren). Besondere Wurzeln sind Quadratwurzeln, die quadriert den Wert unter der Wurzel (Radikand) ergeben sowie Kubikwurzeln, deren dritte Potenz den Radikand ergeben. Reelle Zahlen Eine Zahl nennt man irrational, wenn man sie nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen kann. Die zugehörige Dezimalzahl hat unendlich viele ­Dezimalen, die jedoch nicht systematisch ­angeordnet sind. Die rationalen und irrationalen Zahlen ­bilden z­ usammen die Menge der reellen Zahlen ℝ. Rechnen mit reellen Zahlen Multiplikation von Wurzeln __ ____ __ √ a · √b = √a · b für a, b > 0 2 · 2 · 2 · 2 · 2 Potenz = 25 Exponent Wert = 25 32 Basis (–3)3 · (–3)2 = (–3)3 + 2 = (–3)5 (–3)3 : (–3)2 = (–3)3 – 2 = (–3) (–3)3 · 53 = (–3 · 5)3 = (–15)3 3 3 (–3)3 : 53 = (–3 : 5)3 = – __ [(–3)3]5 = (–3) 3 · 5 ( 5) = (–3)15 Beachte: a1 = a ; a0 = 1 für a ∊ ℚ, a ≠ 0 00 ist nicht erlaubt. Potenzieren a Wurzelziehen ____ 3 __ __ 3 an √ 0 √ 0 = 0 = 0 √ 729 = 9 „Die Kubikwurzel aus 729 ist 9.“ __ √ 2 = 1,414213562 … __ 1 √2 0 ___ __ 2 3 _____ √16 · √9 = √16 · 9 __ ___ √ Division von Wurzeln __ __ √__ a a ___ __ = für a, b > 0 √ 9 9 ____ ___ = ___ 16 Bei der Addition und Subtraktion lassen sich zwei Wurzeln nicht zu einer ­Wurzel zusammenfassen. √ 9 + 16 = √9 + √16 = 3 + 4 ≠ √25 = 5 √ b √b Für rationale Exponenten gilt: ___ m 1 __ __ n a n = (am) n = √ am mit a ∊ ℝ +0 ; m ∊ ℤ ; m∊ℕ 48 5 gleiche Faktoren √16 __ ___ ______ ___
