Vorlesung Diff. und Integralrechnung I Wintersemester 2016/17 Übungsaufgaben vom 8.11.2016 Aufgabe 1: Beweisen Sie die folgenden beiden Varianten der Bernoullischen Ungleichung. Dazu sei x > −1 eine reelle Zahl und a eine rationale Zahl. a) Es gilt (1 + x)a ≥ 1 + ax für a ≥ 1. b) Es gilt (1 + x)a ≤ 1 + ax für 0 < a < 1. Bemerkung: In der Vorlesung wurde a) für natürliches a gezeigt. Aufgabe 2: Einem gegebenen a-Bruch (z1 z2 . . . zh , zh+1 . . .)a wurde in der Vorlesung die Intervallschachtelung In = [an , bn ], n = 1, 2, . . . mit an = n X zi ah−i , bn := an + ah−n (∗) i=1 zugeordnet. a) Bestimmen Sie für den Dualbruch (1010, 101010 . . .)2 diese Intervallschachtelung und die eindeutig bestimmte reelle Zahl, die allen diesen Intervallen angehört. b) In der Vorlesung wurde gezeigt, daß zu jeder reellen Zahl x > 0 ein a-Bruch existiert, so daß x ∈ [an , bn ), n ∈ N mit an , bn entsprechend (∗) gilt. Zeigen Sie, daß für die Ziffern zn dann auch die folgende Beziehung gilt: zn = xan−h − a xan−h−1 . (Hierbei bezeichnet [y] den ganzen Anteil einer reellen Zahl y.) c) Bestimmen Sie die (periodischen) a-Bruchentwicklungen der Zahlen 1/(a − 1)2 für a = 3, 4, 5, 6, 7. Welche Vermutung ergibt sich für den Fall eines beliebigen a ∈ N, a ≥ 2? Versuchen Sie, Ihre Vermutung zu beweisen. Aufgabe 3: Beweisen Sie: Die Menger aller endlichen Teilmengen von N ist abzählbar. Gilt das auch für die Menge aller Teilmengen von N? Aufgabe 4: Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke mit komplexen Zahlen, d.h. geben Sie Ihre Darstellungen in der Form a + b i mit a, b ∈ R an: 3 (3 − 2i) , 10 5 + , 3 − 4i 4 + 3i 1−i 1+i 10 , k 7 X 1−i √ . 2 k=1