¨Ubungen zur Mathematik für Informatiker II

Übungen zur Mathematik für Informatiker II
Sommersemester 2003
Prof. Dr. K.-H. Indlekofer
Blatt 6
Abgabe der elektronischen Aufgaben: Bis Montag, den 16. Juni 2003, 12 Uhr.
Abgabe der theoretischen Aufgaben: (gekennzeichnet mit einem ∗) werden stochastisch in
den jeweiligen Übungen abgegeben (in der Woche vom 9. bis 12. Juni 2003).
Sei M Ihre Matrikelnummer mit den Ziffern m1 , m2 , m3 , m4 , m5 , m6 , m7 .
Es seien r := m1 + m6 + m7 , p := m1 + m5 + m7 + 10 und q := m1 + m5 + m6 + m7 + 20.
Aufgabe 61 (1 Bonuspunkt) (Grenzwerte komplexer Zahlen und komplexwertiger Funktionen):
Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte komplexer Folgen und komplexwertiger Funktionen
(a)
lim
n→∞
n · (n − r)
(n + r)3 − (n − r)3
p·
+
i
·
q
·
n2 − r 2
n2
(b)
,
epz − pz − 1
,
z→0
qz 2
lim
(c)
lim
z→i·r/q
q 6 · z 6 + r6
q 2 · z 2 + r2
Aufgabe 62 (1 Bonuspunkt) (Hyperbelfunktionen): Es sei t := log p. Bestimmen Sie
cosh(t) , sinh(t) , cosh(t/2) und
sinh(t/2) .
(Hinweis: Verwenden Sie Aufgabe 64.)
Aufgabe 63 (1 Bonuspunkt) (Grenzwerte): Es sei f : C \ {0} −→ R mit
f (z) :=
x·y
,
x2 + y 2
wobei x := Re(z) der Realteil und y := Im(z) der Imaginärteil von z ist. Bestimmen Sie die
Grenzwerte
lim f (a · t)
t→0,t∈R
für a = p+i·q, p−i·q, r+i·q, r−i·q, r+i·p. Kann diese Funtion stetig in z0 = 0 fortgesetzt werden?
Aufgabe 64∗ (5 Bonuspunkte) (Additionstheoreme der Hyperbelfunktionen): Zeigen Sie die Additionstheoreme von Cosinus hyperbolicus und Sinus hyperbolicus, d.h. für alle x, y ∈ R gilt
cosh(x + y) = cosh(x) · cosh(y) + sinh(x) · sinh(y) und
sinh(x + y) = sinh(x) · cosh(y) + cosh(x) · sinh(y) .
Leiten Sie daraus Formeln für
cosh(x/2) und
sinh(x/2)
unter Verwendung von cosh(x) und sinh(x) ab.
(Hinweis: Verwenden Sie, dass cosh2 (x) − sinh2 (x) = 1 für alle x ∈ R gilt.)
Aufgabe 65∗ (5 Bonuspunkte) (Folgen in C):
(a) Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen q, so dass die Folge (q n ) konvergiert. Geben Sie die
entsprechenden Grenzwerte an.
(b) Zeigen Sie, dass jede beschränkte Folge (zn ) komplexer Zahlen mindestens einen Häufungspunkt
hat.