5. ¨Ubung zur Vorlesung Atom- und Molekülphysik (E4) SS2015

5. Übung zur Vorlesung Atom- und Molekülphysik (E4) SS2015
Aufgabe 15
Lokalisierung und Energie
Wir betrachten einen lokalisierten Zustand von einem Elektron in 3 Dimensionen, beschrieben durch
die Wellenfunktion
r
2
Ψ(r) = 3 e− b
b2
mit einem Parameter b.
a) Wie stark ist das Elektron lokalisiert? Berechnen Sie dazu die Standardabweichung von hri.
b) Bestimmen Sie den Erwartungswert hEkin i der kinetischen Energie.
c) Angenommen, dieses Elektron befindet sich im elektrostatischen Feld eines einfach positiv
geladenen Kerns bei r = 0. Wie groß ist der Erwartungswert hEpot i der potentiellen Energie?
d) Bestimmen Sie den Parameter bmin , bei welchem hEkin i + hEpot i minimal wird.
Hinweise: Beachten Sie, dass die Operatoren in Kugelkoordinaten
dargestellt werden müssen. Die
D E ´
∞
Erwartungswerte haben in diesem Beispiel die Form  = 0 drr 2 ψ ∗ (r)Âψ(r).
´∞
k!
.
Es gilt 0 dr · e−c·r r k = ck+1
Aufgabe 16 (nur E4)
Dynamik im Wasserstoffatom
Die Wellenfunktionen von drei Eigenzuständen im Wasserstoffatom sind gegeben durch
ψ100 (r, θ, φ) =
1 1
− r
√ 3 · e a0
π a2
ψ210 (r, θ, φ) =
1
1
− r
√ √ 5 · r · e 2a0 · cos(θ)
4 2 π a2
ψ211 (r, θ, φ) =
1 1
− r
√ 5 · r · e 2a0 · sin(θ)eiφ
8 π a2
0
0
0
Berechnen Sie die Erwartungswerte hxi (t), hyi (t), hzi (t) für die Zustände
a) |Ψa i(t) = √12 |ψ100 i + e−iωt |ψ210 i ,
b) |Ψb i(t) = √12 |ψ100 i + e−iωt |ψ211 i .
Hinweise: Stellen
dar. Die Erwartungswerte von Operatoren berechD sie
E x,´y, z in ´Kugelkoordinaten
´∞
2π
π
nen sich durch  = 0 dφ 0 dθ 0 drψ ∗ (r, θ, φ)Âψ(r, θ, φ)r 2 sin(θ).
Für jeden (ungestörten) Eigenzustand |ψi im Wasserstoffatom gilt hψ| r̂|ψi = 0.
Zu Stammfunktionen s. a. Hinweise der Aufgabe 15.
Aufgabe 17
Wasserstoff-ähnliche Systeme
Als wasserstoff-ähnlich kann man alle Systeme bezeichnen, bei denen sich ein geladenes Teilchen
im Coulombpotential eines anderen, entgegengesetzt geladenen Objekts befindet.
a) Besonders ähnlich zum Wasserstoffatom sind natürlich Deuterium und Tritium, bei welchen
zusätzlich ein, bzw. zwei Neutronen im Kern sind. Der Kern ist also deutlich schwerer als
beim einfachen Wasserstoff. Wie wirkt sich das auf die Eigenenergien, bzw auf die emittierten
Wellenlängen aus? Bestimmen Sie, um welche Faktoren sich diese Werte für Deuterium und
Tritium von denen für Wasserstoff unterscheiden.
b) Ein Exziton ist ein gebundener Zustand von einem Elektron und einem Loch (einfach positiv
geladene Fehlstelle) in einem Festkörper. Dieses System kann auch mit dem entsprechend modifizierten Ansatz des Wasserstoffatoms beschrieben werden. Berechnen Sie die Ausdehnung
(Bohrscher Radius) eines Exzitons im Halbleiter Galliumarsenid (GaAs), sowie die Energie
des Grundzustands und des ersten angeregten Zustands.
Hinweise: In GaAs haben das Elektron und das Loch effektive Massen von m∗e = 0.066 · me
und m∗h = 0.5 · me . Die relative dielektrische Permittivität ist ǫr = 13.
Aufgabe 18
Zweiniveau-Atom im Strahlungsfeld
Betrachten Sie ein Zweiniveau-Atom, das mit einer zum atomaren Übergang resonanten klassischen
elektromagnetischen Welle der Amplitude E0 wechselwirkt. Der atomare Grundzustand sei |1i der
angeregte Zustand |2i. In der sog. Rotating-Wave-Approximation kann der Hamiltonoperator als
~
0 Ω0
Ĥ =
2 Ω0 0
geschrieben werden, wobei die Kopplungsstärke der Dipolwechselwirkung durch die Rabifrequenz
0
Ω0 := −eE
~ h2|r̂|1i beschrieben wird.
a) Berechnen Sie die beiden Eigenenergien λ1,2 sowie die zugehörigen Eigenzustände |e1 i und
|e2 i in der Basis der atomaren Zustände {|1i, |2i}.
b) Geben sie den Hamiltonoperator in der Basis seiner Eigenzustände an.
c) Das Atom sei zum Zeitpunkt t = 0 im angeregten Zustand, |ψ(t = 0)i = |2i. Nun wird
resonantes Laserlicht eingestrahlt. Zeigen Sie, dass die zeitliche Dynamik des Zustands durch
Ω0 t
Ω0 t
|2i − i sin
|1i
|ψ(t)i = cos
2
2
gegeben ist. Skizzieren Sie die Besetzungswahrscheinlichkeit der beiden atomaren Niveaus |1i
und |2i als Funktion der Zeit.
Hinweis: Stellen Sie den Anfangszustand |2i in der Basis der neuen Eigenzustände |e1 i und
|e2 i dar.
d) In welchem Zustand befindet sich das Atom, wenn die Dauer der Wechselwirkung τp so gewählt
wird, dass Ω0 · τp = π gilt?