Was bisher geschah

Was bisher geschah
Modellierung von Aussagen durch
Aussagenlogik
I
I
Syntax: Junktoren, Aussagenvariablen, Formelbaum
Semantik: Belegungen, WW-Tabellen
Prädikatenlogik Syntax (Quantoren, Individuenvariablen)
Modellierung von Daten durch
Mengen
I
I
I
I
I
I
extensionale und intensionale Darstellung
Mächtigkeiten von (endlichen) Mengen |M|
Beziehungen zwischen Mengen ⊆, =, ⊂
leere Menge ∅
Potenzmenge 2M
Mengen-Operationen ∪, ∩, , \, ∆,
Produkt ×, iterierte Produkte n , ∗
93
Folgen
Folgen (Listen, Wörter) werden definiert:
extensional durch Angabe der Elemente und ihrer Reihenfolge
Beispiele: 3210, [1, 4, 9, 16, 25], abababababa
intensional durch Angabe einer Eigenschaft, die für jeden Index i
das i-te Element eindeutig bestimmt.
Beispiele: (4 − i)1≤i≤4 , (i 2 )i∈{1,...,5} ,
(wi )0≤i≤10 mit wi =
(vi )i∈N mit vi =
a falls i ∈ 2
b sonst
a falls i ∈ 2
b sonst
Z
Z
(i 2 )i∈N = [0, 1, 4, 9, . . .], (3)k∈N = [3, 3, 3, 3, . . .]
Länge der Folge (an )n∈I :
Anzahl der Elemente (= Mächtigkeit der Indexmenge I ⊆
N)
94
Modellierung durch Folgen
Beispiel Würfelfolgen:
I
Menge der möglichen Werte (Augenzahlen): {1, 2, . . . , 6},
z.B. 3 ∈ {1, 2, . . . , 6}
I
Menge aller Folgen von Werten bei viermaligem Würfeln
(nacheinander): {1, 2, . . . , 6}4 ,
z.B. [3, 6, 5, 3] ∈ {1, 2, . . . , 6}4
I
Menge aller Folgen von Werten beim Würfeln beliebig oft
nacheinander: {1, 2, . . . , 6}∗ ,
z.B. [3, 2, 2, 5, 1] ∈ {1, 2, . . . , 6}∗ , ε ∈ {1, 2, . . . , 6}∗
95
Modellierung durch Mengen und Folgen
I
Menge aller Skatkarten:
S = {♦, ♥, ♠, ♣} × ({7, 8, 9, 10} ∪ {B, D, K , A})
I
Folge aller Unter (B) nach Wert aufsteigend geordnet
[(♣, B), (♠, B), (♥, B), (♦, B)] ∈ S 4
I
Folge aller Karten der Farbe ♠ nach Wert (Nullspiel) aufsteigend
geordnet
[(♠, 7), (♠, 8), (♠, 9), (♠, 10), (♠, B), (♠, D), (♠, K ), (♠, A)] ∈ S 8
I
Menge aller Möglichkeiten der (zwei) Karten im Skat:
{{h, k} | h ∈ K ∧ k ∈ K ∧ h 6= k} ⊆ 2S (Warum nicht ⊆ S 2 ? )
I
Blatt = Menge aller Karten auf der Hand (zu Beginn des Spieles)
B ∈ 2S mit |B| = 10 (10 verschiedene Karten)
I
Kartenfächer (zu Beginn des Spieles): Folge (k1 , . . . , k10 ) ∈ S 10 mit
|{k1 , . . . , k10 }| = 10 (alle Karten verschieden), z.B.
[(♠, B), (♥, B), (♦, A), (♦, 9), (♣, A), (♣, K ), (♣, 9), (♥, 10), (♥, 8), (♥, 7)]
I
Stich: Folge von drei nacheinander gelegten Karten
(geordnetes Tripel) (k1 , k2 , k3 ) ∈ S 3 mit |{k1 , . . . , k3 }| = 3
I
Spiel: Folge der (während des Spiels gefallenen) Stiche ∈ S 3
10
96
Zusammenhänge Folgen – Mengen
Folge (an )n∈I gegeben
I Menge {an | n ∈ I } der Elemente der Folge (an )n∈I
(eindeutig)
I
I
Folge [1, 4, 9, 16], Menge der Elemente {1, 4, 9, 16}
Folge [a, a, a, . . .], Menge der Elemente {a}
(Folge lässt sich nicht eindeutig rekonstruieren.)
I Menge der Anfangsstücke der Folge (eindeutig)
Beispiel: (2n )n∈N , Menge {[1], [1, 2], [1, 2, 4], . . .}
(Folge lässt sich eindeutig rekonstruieren.)
Menge A gegeben
I Folgen (an )n∈I durch Mengen definiert (A∗ , Aω )
I beliebige Anordnung der Elemente einer Menge zu Folgen
(i.A. nicht eindeutig, mehrere Möglichkeiten), z.B.
I
I
I
M = {a, b, c, d}, Folgen [a, b, c, d], [b, d, b, c, d, a]
M = , Folgen [0, 1, 2, . . .] , [0, 2, 4, 6, 8, 1, 3, 5, 7, 9, 10, 12 . . .]
M = , Folgen [0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, . . .]
[0, 1, 2, 3, −3, −2, −1, 4, 5, . . .]
N
Z
97
Alphabet, Wort, Sprache
Alphabet (endliche) Menge A von Symbolen
Wort endliche Folge von Symbolen w = w1 · · · wn mit
∀i ∈ {1, . . . , n} : wi ∈ A
Länge eines Wortes |w | = Anzahl der Symbole in w
Anzahl der Vorkommen eines Symboles in einem Wort
|w |a = Anzahl der a in w (für a ∈ A)
Sprache Menge von Wörtern L ⊆ A∗
98
Wörter – Beispiele
banane
ist ein Wort (Zeichenkette) mit Symbolen aus der Menge {a, b, e, n},
neben und abbbeeeab auch,
ananas und ab + bea nicht
2009
ist ein Wort mit Symbolen aus der Menge {0, 2, 9},
90 und 09020090 auch,
−2090 nicht
(x + y ) · (z − x)
ist ein Wort mit Symbolen aus der Menge {x, y , z, (, ), +, −, ·},
()xz(xy + − auch,
x + 3 · z nicht
(¬p ∧ p) → q
ist ein Wort mit Symbolen aus der Menge {p, q, ∧, ¬, →, (, )},
q → (p → q) und ∧)(¬p∧ auch,
p ↔ q nicht
otto holt obst .
ist ein Wort mit Symbolen aus der Menge {otto, obst, holt, .},
. otto . . otto auch,
los otto nicht
99
Verkettung von Wörtern (Folgen)
Verkettung ◦ von Wörtern:
Für alle Wörter u = u1 · · · um ∈ A∗ , v = v1 · · · vn ∈ A∗ gilt
u ◦ v = u1 · · · um v1 · · · vn
Beispiel: anne ◦ marie = annemarie
Eigenschaften der Operation ◦:
I ◦ ist assoziativ, d.h.
∀u ∈ A∗ ∀v ∈ A∗ ∀w ∈ A∗ ((u ◦ v ) ◦ w = u ◦ (v ◦ w ))
I
Das leere Wort ε ist neutrales Element für ◦, d.h.
∀w ∈ A∗ (ε ◦ w = w ◦ ε = w )
I
◦ ist nicht kommutativ.
Gegenbeispiel: u = marie, v = anne
u ◦ v = marieanne 6= annemarie = v ◦ u
100
Beziehungen zwischen Wörtern (Folgen)
Präfix (Anfangswort) v
∀u ∈ A∗ ∀v ∈ A∗ ((u v v )
↔
(∃w ∈ A∗ (u ◦ w = v )))
(Für zwei Wörter u ∈ A∗ , v ∈ A∗ gilt u v v genau dann,
wenn ein Wort w ∈ A∗ existiert, so dass u ◦ w = v gilt.)
Beispiele:
I
an v anna (mit w = na)
I
n 6v anna
I
tom v tomate (mit w = ate)
I
oma 6v tomate
I
für jedes Wort u ∈ A∗ gilt ε v u (mit w = u)
I
für jedes Wort u ∈ A∗ gilt u v u (mit w = ε)
(analog zur Teiler-Beziehung zwischen natürlichen Zahlen)
101
Postfix- und Infix-Beziehung auf Wörtern (Folgen)
Postfix-Beziehung:
∀u ∈ A∗ ∀v ∈ A∗ (Postfix(u, v ) ↔ (∃w ∈ A∗ (w ◦ u = v )))
Für zwei Wörter u = u1 · · · um ∈ A∗ , v = v1 · · · vn ∈ A∗ heißt u genau
dann Postfix (Suffix) von v , wenn ein Wort w ∈ A∗ existiert, so dass
w ◦ u = v gilt.
Beispiel: enten ist Postfix von studenten (mit w = stud)
Infix-Beziehung (Teilwort, Faktor):
∀u ∈ A∗ ∀v ∈ A∗ (Infix(u, v ) ↔ (∃w ∈ A∗ ∃w 0 ∈ A∗ (w ◦ u ◦ w 0 = v )))
Für zwei Wörter u = u1 · · · um ∈ A∗ , v = v1 · · · vn ∈ A∗ heißt u genau
dann Infix von v , wenn zwei Wörter w , w 0 ∈ A∗ existieren, so dass
w ◦ u ◦ w 0 = v gilt.
Beispiel: uwe ist Infix von sauwetter (mit w = sa, w 0 = tter )
satt ist kein Infix von sauwetter
102
Beispiele für Sprachen
I
Menge aller englischen Wörter L1 ⊂ {a, . . . , z}∗
I
Menge aller deutschen Wörter L2 ⊂ {a, . . . , z, ß,ä,ö,ü}∗
I
Menge aller möglichen DNA L3 ⊆ {A, T , G , C }∗
I
Menge aller natürlichen Zahlen in Dezimaldarstellung
L4 = {0, . . . , 9}∗ (evtl. mit führenden Nullen)
I
Menge aller natürlichen Zahlen in Binärdarstellung (Bitfolgen
beliebiger Länge) L5 = {0, 1}∗
I
Menge aller aussagenlogischen Formeln in AL({p, q, r })
L6 ⊂ {p, q, r , t, f, ¬, ∨, ∧, →, ↔, (, )},
I
Menge aller arithmetischen Ausdrücke über
L7 ⊂ {0, . . . , 9, +, ·, −, /, (, )},
I
Menge aller deutschen Sätze L8 ⊂ (L2 ∪ {., , , !, ?, (, ), −})
Z (ohne Variablen)
∗
Wie lassen sich unendliche Sprachen endlich darstellen?
(Voraussetzung für maschinelle Verarbeitung)
verschiedene Darstellungen in den LV zur theoretischen Informatik
z.B. Automaten und formale Sprachen im 3. Semester (INB)
103