Rechenregeln für die Bruchrechnung

Bemerkungen zur Bruchrechnung
Fachbegriffe:
14
5
; gemischte Schreibweise 3
9
9
5
5
Achte auf den Unterschied zwischen 3
und 3  ;
9
9
5
5 32
5 3  5 15
6
2

1 1 .
Dabei bedeutet 3  3  
, bzw. 3  
9
9 9
9
9
9
9
3
Echter Bruch
17
;
253
unechter Bruch
Erweitern und Kürzen:
Erweitern heißt, den Zähler und den Nenner mit der gleichen Zahl zu multiplizieren.
Kürzen heißt, den Zähler und den Nenner durch die gleiche Zahl zu dividieren.
Beispiele:
4
7
74
28
Erweitern:


9
94
36
Kürzen:
Anwendung: Vergleich von Bruchzahlen
4
Entscheide, welche Zahl größer ist
oder
7
4
 5 ; erweitern 36  35 ; also gilt:
7
9
63
63
28
28 : 7
4


35 7 35 : 7
5
5
.
9
4
>5
7
9
Rechengesetze:
Die Addition ist in der Menge der Bruchzahlen stets durchführbar.
Zwei Brüche werden addiert, indem man die Brüche nennergleich macht und die
Zähler addiert. Der (erweitere) Nenner wird beibehalten.
Addition
3 3 12 21 12  21 33
 



7 4 28 28
28
28
Entsprechend verfährt man mit der Subtraktion. Die Subtraktion ist aber in der
Menge der Bruchzahlen nicht immer ausführbar.
Multiplikation:
Man multipliziert eine Bruchzahl mit einer natürlichen Zahl, indem man den Zähler mit
7
7  5 35
9
5 

2
der natürlichen Zahl multipliziert.
13
13
13
13
Zwei Bruchzahlen werden miteinander multipliziert, indem man den ersten Zähler mit
zweiten Zähler und den ersten Nenner mit dem zweiten Nenner multipliziert.
Merke:
Zähler
zähler
Zähler  zähler


Nenner nenner Nenner  nenner
Beispiel :
7 3 7  3 21
 

11 5 11 5 55
Division:
Man dividiert eine Bruchzahl durch eine natürlichen Zahl, indem man den Nenner mit
der natürlichen Zahl multipliziert.
5
5
5
:6 

Beispiel:
7
7  6 42
Zwei Bruchzahlen werden dividiert, indem man die erste Bruchzahl (Dividend) mit
Kehrbruch der zweiten Bruchzahl (Divisor) multipliziert.
Beispiel:
5 6 5 11 5  11 55
6
11
:
  

. (Hinweis: Der Kehrbruch von
ist
.)
7 11 7 6
7  6 42
11
6
Rechenregeln:
Für die Addition und die Multiplikation gelten die Kommutativgesetze:
a c c a
a c c a
  
  
und
b d d b
b d d b
und für beide die Assoziativgesetze:
a c e a c e a c e
a c e a c e a c e
und            
         
b d f b  d f  b d f
b d f b  d f  b d f
Das Distributivgesetz erlaubt es, bestimmte Aufgaben auf zwei Arten zu rechnen:
a  (b  c )  a  b  a  c . Dies gilt auch für die Bruchzahlen.
Beispiel:
2  3 1
   
3 5 3
oder
2  3 1
   
3 5 3
2  9
5  2 14 28

  

3  15 15  3 15 45
2 3 2 1 6 2 36 20 56 28
   
 



3 5 3 3 15 9 90 90 90 45
Achte stets auf die KLaPS-Regel:
Berechne die Klammern zuerst, achte dabei auf die Reihenfolge: erst die
Punktrechnungen durchführen, dann die Strichrechnungen.
2  14 2 3 

  
3  13 3 9 
Reihenfolge der Berechnung: 1. Punkt ; 2. Strich in der Klammer;
dann 3. Punkt außerhalb der Klammer.
Prozentrechnung:
1
Für den Bruch
schreibt man auch 1 %.
Entsprechend gilt:
100
12
6
12,5
25
1

 6% oder umgekehrt: 12,5% 


.
200 100
100 200 8