Klausur Nr. 2 - lehrer.uni
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Göttge-Piller, Höger 10.12.2015 Klausur Nr. 2 Weiterführung der Differenzial- und Integralrechnung (A) Pflichtteil keine Hilfsmittel gestattet, bitte alle Lösungen auf dieses Blatt. Name: 0. Für Pflicht- und Wahlteil gilt: saubere und übersichtliche Darstellung, klar ersichtliche VP Rechenwege, Antworten in ganzen Sätzen und Zeichnungen mit spitzem Bleistift bringen /3 Ihnen bis zu 3 Punkte. 1. Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass die Summe der ersten n geraden natürlichen Zahlen gleich 2. Mit ∙ ∙ 2 ∙ sin 2 /4 1 ist. Die Behauptung als Formel gibt es für –1 VP*. wird der Rauminhalt eines Rotationskörpers berechnet. /3 Fertigen Sie rechts eine Skizze der Situation an. Um was für einen Körper handelt es sich? Verwenden Sie zur Beschreibung gerne den Vergleich mit Alltagsgegenständen. 3. Wahr oder falsch? Kreuzen Sie an. wahr falsch a) Bei der Verkettung von zwei Funktionen kommt es auf die Reihenfolge der Verkettung an. b) Eine Verkettung von mehr als zwei Funktionen ist nicht möglich. c) Eine Funktion kann nicht mit sich selbst verkettet werden. *beim Fachlehrer/bei der Fachlehrerin … bitte wenden! /3 Göttge-Piller, Höger 10.12.2015 VP 4. Bei jedem Buchstaben steht eine Möglichkeit, wie zwei Funktionen bzw. 2 und mit ² /4 1 „kombiniert“ werden können, um die angegebene Funktion zu bilden. Ordnen Sie jeder Funktion den passenden Buchstaben zu. Funktionsgleichung ! 2 ³ ² # 1 $ 2 ² 1 2 1 Buchstabe A: B: C: D: Erläuterung der Buchstaben E: F: G: keine der angege∙ benen Möglichkeiten ∶ 5. Bilden sie die erste Ableitung und vereinfachen Sie so weit wie möglich. a) 1 ∙ 1 b) 1,5 GebenSiehiereineFormelein. Sobald Sie diesen Pflichtteil abgegeben haben, können Sie Ihren grafikfähigen Taschenrechner (GTR) und die Merkhilfe für die Bearbeitung des Wahlteils verwenden. /4 Göttge-Piller, Höger 10.12.2015 Klausur Nr. 2 Weiterführung der Differenzial- und Integralrechnung (B) Pflichtteil keine Hilfsmittel gestattet, bitte alle Lösungen auf dieses Blatt. Name: 0. Für Pflicht- und Wahlteil gilt: saubere und übersichtliche Darstellung, klar ersichtliche VP Rechenwege, Antworten in ganzen Sätzen und Zeichnungen mit spitzem Bleistift bringen /3 Ihnen bis zu 3 Punkte. 1. Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass die Summe der ersten n geraden natürlichen Zahlen gleich 2. Mit ∙ ∙ 2 ∙ sin 2 /4 1 ist. Die Behauptung als Formel gibt es für –1 VP*. wird der Rauminhalt eines Rotationskörpers berechnet. /3 Fertigen Sie rechts eine Skizze der Situation an. Um was für einen Körper handelt es sich? Verwenden Sie zur Beschreibung gerne den Vergleich mit Alltagsgegenständen. 3. Wahr oder falsch? Kreuzen Sie an. wahr falsch a) Bei der Verkettung von zwei Funktionen kommt es nicht auf die Reihenfolge der Verkettung an. b) Eine Verkettung von mehr als zwei Funktionen ist möglich. c) Eine Funktion kann nicht mit sich selbst verkettet werden. *beim Fachlehrer/bei der Fachlehrerin … bitte wenden! /3 Göttge-Piller, Höger 10.12.2015 VP 4. Bei jedem Buchstaben steht eine Möglichkeit, wie zwei Funktionen bzw. 2 und mit ² /4 1 „kombiniert“ werden können, um die angegebene Funktion zu bilden. Ordnen Sie jeder Funktion den passenden Buchstaben zu. Funktionsgleichung ! 2 1 # 2 ² 1 $ 1 2 ³ ² Buchstabe A: B: C: D: Erläuterung der Buchstaben E: F: G: keine der angege∙ benen Möglichkeiten ∶ 5. Bilden sie die erste Ableitung und vereinfachen Sie so weit wie möglich. b) 1 ∙ 1 b) 1,5 Sobald Sie diesen Pflichtteil abgegeben haben, können Sie Ihren grafikfähigen Taschenrechner (GTR) und die Merkhilfe für die Bearbeitung des Wahlteils verwenden. /4 Göttge-Piller, Höger 10.12.2015 Klausur Nr. 2 Weiterführung der Differenzial- und Integralrechnung (A) Pflichtteil keine Hilfsmittel gestattet, bitte alle Lösungen auf dieses Blatt. Name: 0. Für Pflicht- und Wahlteil gilt: saubere und übersichtliche Darstellung, klar ersichtliche VP Rechenwege, Antworten in ganzen Sätzen und Zeichnungen mit spitzem Bleistift bringen /3 Ihnen bis zu 3 Punkte. 1. Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass die Summe der ersten n geraden natürlichen Zahlen gleich ∙ Behauptung: ∑2345 2 Induktionsanfang n=1 1 ist. Die Behauptung als Formel gibt es für –1 VP*. 1 ∑5345 2 linke Seite: Induktionsschritt 1 Somit gilt:∑2345 2 2 ∙ sin 2 1 ∑2345 2 2 2 1 1 ∙ 2 n+1: ∑265 345 2 2. Mit 2 rechte Seite: 1 1 n /4 1 1 2 q.e.d. wird der Rauminhalt eines Rotationskörpers berechnet. /3 Fertigen Sie rechts eine Skizze der Situation an. Um was für einen Körper handelt es sich? Verwenden Sie zur Beschreibung gerne den Vergleich mit Alltagsgegenständen. Es handelt sich dabei um eine Art Spindel, so ähnlich wie bei einem Jojo. 3. Wahr oder falsch? Kreuzen Sie an. wahr /3 falsch a) Bei der Verkettung von zwei Funktionen kommt es auf die Reihenfolge der Verkettung an. X b) Eine Verkettung von mehr als zwei Funktionen ist nicht möglich. X c) Eine Funktion kann nicht mit sich selbst verkettet werden. *beim Fachlehrer/bei der Fachlehrerin X … bitte wenden! Göttge-Piller, Höger 10.12.2015 VP 4. Bei jedem Buchstaben steht eine Möglichkeit, wie zwei Funktionen 2 bzw. und mit ² /4 1 „kombiniert“ werden können, um die angegebene Funktion zu bilden. Ordnen Sie jeder Funktion den passenden Buchstaben zu. Funktionsgleichung ! 2 ³ ² # 1 $ 2 ² 1 2 1 Buchstabe C A F E Erläuterung der Buchstaben E: F: G: keine der angege∙ benen Möglichkeiten ∶ A: B: C: D: 5. Bilden sie die erste Ableitung und vereinfachen Sie so weit wie möglich. c) 8 9 1 ∙ 1 6 1 : 1 1,5 b) 1 7 1,5 8 5 ; 1 1,5 3 = ; ∙ 1,5 Sobald Sie diesen Pflichtteil abgegeben haben, können Sie Ihren grafikfähigen Taschenrechner (GTR) und die Merkhilfe für die Bearbeitung des Wahlteils verwenden. /4 Göttge-Piller, Höger 10.12.2015 Klausur Nr. 2 Weiterführung der Differenzial- und Integralrechnung (B) Pflichtteil keine Hilfsmittel gestattet, bitte alle Lösungen auf dieses Blatt. Name: 0. Für Pflicht- und Wahlteil gilt: saubere und übersichtliche Darstellung, klar ersichtliche VP Rechenwege, Antworten in ganzen Sätzen und Zeichnungen mit spitzem Bleistift bringen /3 Ihnen bis zu 3 Punkte. 1. Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass die Summe der ersten n geraden natürlichen Zahlen gleich ∙ Behauptung: ∑2345 2 Induktionsanfang n=1 1 ist. Die Behauptung als Formel gibt es für –1 VP*. 1 ∑5345 2 linke Seite: Induktionsschritt 1 Somit gilt:∑2345 2 2 ∙ sin 2 1 ∑2345 2 2 2 1 1 ∙ 2 n+1: ∑265 345 2 2. Mit 2 rechte Seite: 1 1 n /4 1 1 2 q.e.d. wird der Rauminhalt eines Rotationskörpers berechnet. /3 Fertigen Sie rechts eine Skizze der Situation an. Um was für einen Körper handelt es sich? Verwenden Sie zur Beschreibung gerne den Vergleich mit Alltagsgegenständen. Es handelt sich dabei um eine Art Spindel, so ähnlich wie bei einem Jojo. 3. Wahr oder falsch? Kreuzen Sie an. wahr falsch a) Bei der Verkettung von zwei Funktionen kommt es nicht auf die Reihenfolge der Verkettung an. X b) Eine Verkettung von mehr als zwei Funktionen ist möglich. X c) Eine Funktion kann nicht mit sich selbst verkettet werden. *beim Fachlehrer/bei der Fachlehrerin X … bitte wenden! /3 Göttge-Piller, Höger 10.12.2015 VP 4. Bei jedem Buchstaben steht eine Möglichkeit, wie zwei Funktionen 2 bzw. und mit ² /4 1 „kombiniert“ werden können, um die angegebene Funktion zu bilden. Ordnen Sie jeder Funktion den passenden Buchstaben zu. Funktionsgleichung ! 2 1 # 2 ² 1 $ 1 2 ³ ² Buchstabe E F A C Erläuterung der Buchstaben E: F: G: keine der angege∙ benen Möglichkeiten ∶ A: B: C: D: 5. Bilden sie die erste Ableitung und vereinfachen Sie so weit wie möglich. d) 8 9 1 ∙ 1 6 1 : 1 1,5 b) 1 7 1,5 8 5 ; 1 1,5 3 = ; ∙ 1,5 Sobald Sie diesen Pflichtteil abgegeben haben, können Sie Ihren grafikfähigen Taschenrechner (GTR) und die Merkhilfe für die Bearbeitung des Wahlteils verwenden. /4 Göttge-Piller, Höger 10.12.2015 Klausur Nr. 2 Weiterführung der Differenzial- und Integralrechnung Wahlteil Verwendung von GTR und Merkhilfe gestattet, alle Lösungen auf den Doppelbogen. Name: 6. Die Tangenten und die Normalen an den Punkten P(-1|1) und Q(1|1) des Schaubildes der Funktion f mit ! >²65 begrenzen ein Viereck. VP /8 a) Zeichnen Sie die Situation in ein Koordinatensystem. b) Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Vierecks exakt. Erläutern Sie Ihre Überlegungen. 7. Die Elfen des Weihnachtsmanns sind im Vorbereitungsstress. /6 Jetzt soll Rudolph auch noch ein neues Rentier-Glöckchen bekommen. Wie viel Gold (Dichte ca. 19 g/cm³) müssen sie aus dem Weihnachtslager holen, um die (liegende) Glocke mit der Einhüllendenfunktion ! im Intervall ? 0,69; 0,7D und der inneren Begrenzungsfunktion # im Intervall ? 0,63; 0,7D zu gießen? Der Klöppel darf vernachlässigt werden. Eine Längeneinheit entspricht 1cm. Sie dürfen das Ergebnis auf 2 geltende Ziffern runden Es gilt ! 0,9 ³ 0,3 und # 0,8 ³ 0,2. Erläutern Sie Ihre Überlegungen. Viel Erfolg! Notenschlüssel siehe Erwartungshorizont siehe http://www.hoeger.org Schule Notengebung m11_2_1516_produkt-ketten-rotation.pdf von 35 VP Rückgabe am 16. Dezember 2015 Note: mündlich: Quelle der Glockengrafik: http://www.winterstern.de/Winterstern/Bilder/Weihnachtsglocke.gif Arithmetisches Mittel: Göttge-Piller, Höger 10.12.2015 Klausur Nr. 2 Erwartungshorizont Wahlteil 6. a) siehe Zeichnung rechts. [2 VP] e) Für den Inhalt des durch die beiden Tangenten und Normalen festgelegten Vierecks genügt es die Tangentenbzw. Normalengleichungen zu bestimmen: FG 2, FH bzw. G 2, H Die Steigung der Tangente erhält man über die Steigung von f an den Stellen –1 bzw. +1, also über den Wert von !‘ 1 1 bzw. !‘ 1 1. Die Steigung Normale hat jeweils den negativen Kehrwert der Tangentensteigung, also –1 bzw. +1. [4 VP] Das Viereck besteht aus den zwei flächengleichen Dreiecken OPR und RQO. LLLL als Grundseite mit der Länge 2 (LE), so ist die Betrachtet man jeweils die Strecke JK zugehörige Höhe jeweils die halbe Strecke LLLL MN mit der (halben) Länge 1 (LE). Es gilt also: OHPQRSQT 2 ∙ OUSVWVX3 5 2 ∙ Y ∙ 2 ∙ 1Z 2 (FE) [2 VP] 7. Im Prinzip sind zwei Rotationsvolumina zu berechnen, das der äußeren und das der inneren „Glocke“. Beide Rotationskörper haben die rechte Intervallgrenze 0,7 – sie unterscheiden sich aber in der linken Intervallgrenze. Es gilt: .\ = .]7 QPßV2 Der GTR liefert: QPßV2 ! ² und W22V2 ^ 0,4557 (VE) und W22V2 .\ = .]; # ² ^ 0,2229 (VE) [2 VP] [2 VP] Die Differenz der beiden Volumina ist das Volumen der Glocke: QP``V2 W22V2 ^ 0,2328 (VE) [1 VP] Mit der Dichte multipliziert erhält man die gesuchte Masse: a 19 # ∙ 0,2328ba; ^ 4,4# ba³ Die Elfen müssen 4,4g Gold aus dem Lager holen. [1 VP]
