1. Aufgabe 2. Aufgabe 3. Aufgabe - fbi.h

Vorlesung Graphen und Optimierung
Wintersemester 2013/14
Prof. S. Lange
4. Übungsblatt
1. Aufgabe
Es sei G = (V, E) der folgende gerichtete Graph.
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(i) Bestimmen Sie mit dem in der Vorlesung vorgestellten Algorithmus die
Erreichbarkeitsmatrix des Graphen G.
(ii) Geben Sie die Zusammenhangskomponenten von G an.
2. Aufgabe
Es sei G = (V, E) irgendein zusammenhängender ungerichter Graph.
Skizzieren Sie einen Algorithmus, mit dem man für jedes Knotenpaar (u, v)
die Distanz zwischen den Knoten u und v bestimmen kann. Schätzen Sie die
Laufzeitt Ihres Algorithmus ab.
Hinweis: Die Distanz zwischen den Knoten u und v ist gleich k, wenn es einen
Pfad P vom Knoten u zum Knoten v der Länge k gibt und es keinen Pfad vom
Knoten u zum Knoten v gibt, der ein Länge kleiner k hat.
3. Aufgabe
Benutzen Sie die Tiefensuche, um den gerichteten Graphen G = (V, E) (siehe
Aufgabe 1) zu “erforschen.”
(i) Geben Sie den durch die Tiefensuche induzierten Vorgängergraphen G0 =
(V 0 , E 0 ) an.
(ii) Geben Sie den Graph G00 an, der entsteht, indem in dem durch die Tiefensuche induzierten Vorgängergraphen G0 alle Kanten aus der Kantenmenge
E \ E 0 eingefügt werden.
(iii) Welche Kanten im Graphen G00 sind Rückwärtskanten?
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4. Aufgabe
Es sei G = (V, E) irgendein gerichteter Graph und W = (v0 , . . . , vk ) irgendein
Kreis in G.
Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch? Begrüngen Sie Ihre Antwort
kurz.
(i) Im durch die Tiefensuche induzierten Vorgängergraphen G0 gibt es einen
Baum, der die Knoten v0 , . . . , vk enthält.
(ii) Im durch die Tiefensuche induzierten Vorgängergraphen G0 gibt es einen
Baum, der den Pfad P = (v0 , . . . , vk−1 ) enthält.
5. Aufgabe
Es sei G = (V, E) der folgende gerichtete Graph.
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(i) Bestimmen Sie mit Hilfe der Tiefensuche eine topologische Sortierung der
Knoten von G. Geben Sie für jeden Knoten u in G sowohl die Zeiten an,
zu denen u als entdeckt und vollständig verarbeitet markiert wird, als auch
den Knoten v, der als Vorgänger von u gespeichert wird.
(ii) Skizzieren Sie den Graphen, der entsteht, wenn die Knoten in G gemäß
der in (i) bestimmten topologischen Sortierung linear angeordnet werden.
(iii) Gibt es andere topologische Sortierungen der Kotenmenge E des Graphen G als die in (i) gefundene?
Viel Erfolg beim Bearbeiten der Aufgaben!
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