1. Wörter und Wortgebilde
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1 2 3 Home Impressum 1. Wörter und Wortgebilde Ein Wort, das von vorn wie von hinten gelesen gleich ist, nennt man "Palindrom", im Plural "Palindrome". Beispiele für Palindrome (ohne Anspruch auf Vollständigkeit): A, B, C, D, …, X, Y, Z A S AA DD HH NUN ABBA ANNA OTTO EBBE ELLE NEBEN ROTOR RADAR KAJAK RETTER RENNER RENTNER REITTIER RELIEFPFEILER Jeder Buchstabe für sich genommen ist ein Palindrom. „a“ im Sinne von „zu“, z.B. „das Kilo a 30 Euro“ (eigentlich mit Gravis-Akzent „à“ (den wir uns hier schenken). ODER: Abkürzung für anno (das Jahr) ODER: Abkürzung für am (bei Ortsangaben) „s“ Abkürzung für „siehe“ (bei Verweisen in Texten) Kfz-Kennzeichen von Aalen. ODER: Abkürzung für ad acta Kfz-Kennzeichen von Dresden. Kfz-Kennzeichen von Hamburg. Die schwedische Musikgruppe. RETSINAKANISTER Etwas gekünstelt (findet man nicht im Duden), aber durchaus sinnhaft: 1 2 TONNOT NOTTON REGALLAGER LAGERREGAL NEBELLEBEN NENNERRENNEN 3 Home Impressum Ein Problem, was Sänger und Musiker gelegentlich, alle anderen fast immer haben. ODER: Wenn man keinen Ton mehr hat, aber welchen braucht(z.B. zum Brennen von Tonziegeln) Die simpelste Form eines Hilferufs. ODER: Die Menge an Ton, die man sich in guten Zeiten aufbewahrt hat (z.B. zum Brennen von Tonziegeln) Spricht für sich selbst. Spricht für sich selbst. Was man eben so tut im Nebel. Vielleicht ein Wettkampf im Bruchrechnen? Einige wenige Beispiele aus anderen Sprachen: REINIER EXE E ESSE ERRARRE OVO SUMMUS SUMYMUS Niederländischer Vorname Kurzform für ein ausführbares Programm (executable) lat. für „seit“, ital. für „ist“ Herd, Feuerstelle etc., lat. für „sein“ lat. für „sich irren“! Ist doch gar kein Palindrom, weil falsch geschrieben. Es darf trotzdem als solches gelten, denn: Errare humanum est. lat. für das Ei (genauer, [vom] Ei [Ablativ]) lat. für das Höchste, das Absolute Der Name dieser Website Meines Wissens das längste Palindrom im deutscher Sprache: RETSINAKANISTER (von den unten aufgelisteten einmal abgesehen). Sofern man nicht den Anspruch auf Sinnhaftigkeit und Originalität legt, kann man neue Palindrome auch aus bekannten Palindromen konstruieren (unter gewissen Bedingungen) und bekommt so Wörter größerer Länge: Ist P ein Palindrom, so ist auch PP (PPP, PPPP, usw.) ein Palindrom (trivial, OTTO, OTTO OTTOOTTO). Sind P und Q Palindrome, so sind auch PQP und QPQ Palindrome usw. Beispiele hierfür (inhaltlich Nonsens, aber syntaktisch korrekt): P=ROTOR Q=OTTO P=REITTIER Q=RADAR P= RETTER Q=RETSINAKANISTER PQP=ROTOROTTOROTOR QPQ=OTTOROTOROTTO PQP=REITTIERRADARREITIER QPQ=RADARREITTIERRADAR PQP= RETTERRETSINAKANISTERRETTER 1 2 3 Home Impressum QPQ=RETSINAKANISTERRETTERRETSINAKANISTER (im letzten Falle das Palindrom mit 36 Buchstaben etwa dafür Verwendung finden, „die Belohnung des Retters der Retsinakanister, nämlich ein Retsinakanister“, in einem Wort zu beschrieben)Ist W ein Wort, und W' das umgedrehte - von hinten gelesene - Wort, so sind WW' und W'W jeweils Palindrome (z.B. ROT, TOR ==> ROTTOR, TORROT). Beispiele hierfür (nicht immer sinnhaft): W=LAGER W‘=REGAL WW‘=LAGERREGAL W‘W=REGALLAGER W=TON W‘=NOT WW‘=TONNOT W‘W=NOTTON W=REGEN W‘=NEGER WW‘=REGENNEGER W’W=NEGERREGEN W=NEBEL W‘=LEBEN WW‘=NEBELLEBEN W’W=LEBENNEBEL W=REIT W‘=TIER WW‘=REITTIER W’W=TIERREIT (z.B. als Präfix wie in TIERREITANSTALT) W=NENNER W‘=RENNEN WW‘=NENNERRENNEN W’W=RENNENNENNER (z.B. der gemeinsame Nenner mehrerer Rennen) W=REBE W‘=EBER WW‘=REBEEBER W’W=EBERREBE (so könnte eine Rebensorte heißen) Anmerkung: Das Wort NEGER in obigem Falle gilt heutzutage als politisch nicht korrekt. Es wird hier nicht als Bezeichnung für einen Menschen schwarzer Hautfarbe verwendet, sondern ist nur zu verstehen als ein syntaktisch richtiges Wort der deutschen Sprache (wie es im Duden steht). Ferner sind für ein Palindrom P auch WPW' und W'PW Palindrome (z.B. ROT, OTTO, TOR ROTOTTOTOR, TOROTTOROT) Beispiele für zusammengesetzte Palindrome (inhaltlich meist Nonsens, aber syntaktisch korrekt): W=NEBE L W= ROT P=RADAR W‘=LEBEN P=REGALLAGER W‘=TOR W= REGEN W= LAGER W= LAGER W=TON P=RADAR P=REITTIER W‘=NEGE R W‘=REGA L W‘=REGA L W‘=NOT W= P=RELIEFPFEILER W‘=REGA P=ROTOR P=NEBEN WPW‘=NEBELRADARLEBEN W’PW=LEBENRADARNEBEL WPW‘=ROTREGALLAGERTOR W‘PW=TORREGALLAGERROT WPW‘=REGENRADARNEGER W‘PW=NEGERRADARREGEN WPW‘=LAGERROTORREGAL W‘PW=REGALROTORLAGER WPW‘=LAGERNEBENREGAL W‘PW=REGALNEBENLAGER WPW‘=TONREITTIERNOT W‘PW=NOTREITTIERTON WPW‘=LAGERRELIEFPFEILERREGAL 1 2 3 LAGER W=TON P=LAGERREGAL W=NEBE L P=REGALRELIEFPFEILERLAGE R Home L W‘=NOT W‘=LEBEN Impressum W‘PW=REGALRELIEFPFEILERLAGER WPW‘=TONLAGERREGALNOT W’PW=NOTLAGERREGALTON WPW‘=NEBELREGALRELIEFPFEILERLAGERLEB EN W’PW=LEBENREGALRELIEFPFEILERLAGERNEB EL Die Liste kann nach Belieben fortgesetzt werden. Von Wörtern zu Sätzen: Einige Beispiele für Palindrom-Sätze: Ein Neger mit Gazelle, zagt im Regen nie Die Liebe ist Sieger, stets rege ist sie bei Leid Nie solo sein. Hier gilt das oben Gesagte Der Wahlspruch aller Singles Hier noch ein Beispiel für einen englischen Palindrom-Satz: A MAN A PLAN A CANAL PANAMA Die moderne amerikanische Form von Cäsars: Veni, vidi, vici 2. Zahlen Eine Zahl, die bei Umkehrung der Ziffernfolge unverändert bleibt, nennt man Palindrom. Eine andere Bezeichnung dafür ist einfach „symmetrische Zahl“. Beispiele: 11, 121, 1221, 44544, 92329, 7125217, usw. Ob eine bestimmte Zahl Palindrom ist oder nicht, hängt natürlich ab vom verwendeten Ziffernsystem. In der folgenden Tabelle sind einige Zahlen in verschiedenen Ziffernsystemen aufgelistet. Die Palindrome sind farbig hervorgehoben. Basis 10 (Dezimal ) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Basis 2 (Binär) Basis 3 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 Basis 5 0 1 2 10 11 12 20 21 22 Basis 8 (Oktal) 0 1 2 3 4 10 11 12 13 Basis 16 (Hexadezimal) 0 1 2 3 4 5 6 7 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 55 99 100 101 200 499 500 501 502 503 504 511 512 513 514 524 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000 10001 10010 10011 10100 10101 10110 10111 11000 11001 11010 11011 11100 11101 11110 11111 100000 100001 100010 110111 1100011 1100100 1100101 11001000 111110011 111110100 111110101 111110110 111110111 111111000 111111111 1000000000 1000000001 1000000010 1000001100 3 100 101 102 110 111 112 120 121 122 200 201 202 210 211 212 220 221 222 1000 1001 1002 1010 1011 1012 1020 1021 2001 10200 10201 10202 21102 200111 200112 200120 200121 200122 200200 200221 200222 201000 201001 201102 Home 14 20 21 22 23 24 30 31 32 33 34 40 41 42 43 44 100 101 102 103 104 110 111 112 113 114 210 344 400 401 1300 3444 4000 4001 4002 4003 4004 4021 4022 4023 4024 4044 11 12 13 14 15 16 17 20 21 22 23 24 25 26 27 30 31 32 33 34 35 36 37 40 41 42 67 143 144 145 310 763 764 765 766 767 770 777 1000 1001 1002 1014 Impressum 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E 1F 20 21 22 37 63 64 65 C8 1F3 1F4 1F5 1F6 1F7 1F8 1FF 200 201 202 20C Im einfachsten Falle betrachtet man die Zahlen im Binärsystem (nur die Ziffern 0 und 1). Nichtsdestotrotz schreibt man die Zahlen dezimal, so sind wir es gewohnt. Z.B. ist die Nummer 16 in 1 2 3 Home Impressum dieser Folge die Zahl 73=1001001. Die ersten aufeinanderfolgenden binären Palindrome sind: 0, 1, 3, 5, 7, 9, 15, 17, 21, 27, 31, 33, 45, 51, 63,65, 73, 85, 93, 99, … (s. Link: http://oeis.org/A006995 [Numbers whose binary expansion is palindromic] für weitere Zahlen). Man kann das n-te binäre Palindrom bestimmen, ohne alle in Frage kommenden Zahlen im Einzelnen betrachten zu müssen. Z.B. ist das 1000ste binäre Palindrom die Zahl 249903=111101000000101111(2), das 10-milliardste binäre Palindrom ist 24502928886295666773. Im letzteren Falle hat die entsprechende Binärzahl bereits 65 Stellen. Eine ganz einfache allgemeine Formel für das n-te binäre Palindrom – wir schreiben es im Folgenden kurz ( ) – gibt es nicht, doch kann man in speziellen Fällen das n-te binäre Palindrom leicht berechnen, z.B. gilt ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) Demnach ist also ( =262657 das 1025ste binäre Palindrom. Die unmittelbar vorhergehenden 1024sten und 1023sten Palindrome sind 262145 und 262143. Für die allgemeine Bestimmung kann man eine rekursive Berechnungsmethode anwenden: ( ) wobei werden: ( ) ⌊ ( )⌋ und die Parameter folgendermaßen bestimmt : ⌊ : ⌊ : ( )⌋ ( )⌋ 1 2 3 Home ⌊ : ⌊ Impressum ( )⌋ ( )⌋ Eine weitere Möglichkeit zu Bestimmung des n-ten binären Palindroms ist diese (für ( ) ∑ [(⌊ wobei ⌊ ( )⌋ und ( ) ) ( ) ( ⌊ ⌋ ) ( ⌋ oder, was das gleiche bedeutet, der Parameter ) )] nach folgender Fallunterscheidung eingesetzt wird: Hiermit berechnete größere binäre Palindrome sind in der nachfolgenden Tabelle aufgelistet. Nr. Palindrom 1 0 2 1 3 3 4 5 5 7 6 9 7 15 8 17 9 21 10 27 100 2313 1 000 249903 10 000 24183069 100 000 2258634081 1 000 000 249410097687 10 000 000 24350854001805 1 2 3 Home 100 000 000 2229543293296319 1 000 000 000 248640535848971067 10 000 000 000 24502928886295666773 Impressum Die Differenzen aufeinander folgender Palindrome bilden eine interessante Folge: 1, 2, 2, 2, 2, 6, 2, 4, 6, 4, 2, 12, 6, 12, 2, 8, 12, 8, 6, 8, 12, 8, 2, 24, 12, 24, 6, 24, 12, 24, 2, 16, 24, 16, 12, 16, 24, 16, 6, 16, 24, 16, 12, 16, 24, 16, 2, 48, … (s. Link: http://oeis.org/A164126). Die 2 und die 6 treten dabei ( ) ( ) ( ) so unendlich oft als Folgenglieder auf. Bezeichnen wir die Glieder mit gilt ab m ( ) ( ) ( ) ( ) und ab m ( ) lässt sich aus der obigen Formel für Die allgemeine Formel für ⌊ ( )⌋ und ( ) ⌊ ( ( ) ableiten. Mit ⌋ ergibt sich ) ⌊ [( ∑ ⌊ ( ) ( ) ⌋ ⌋ ) ( n 1 3 p 2m1 mod 2 m 1 k m 1 2 m k 2 m 1 p k P2 (n) 1 2m 1 2 2 m 1 k 1 n 3 p 2 mod 2 m 1 k 2 sofern oder ist und . In den beiden Sonderfällen ( ) . Die Folge lässt sich auch rekursiv berechnen (wie stets, ⌊ ( )⌋ gesetzt) 2 P2 (n 2m 1 ), 2m n 2m 2m 2 1 6, n 2m 2m 2 1 P2 (n 2m 2 ), P2 (n) 2m 2m 2 n 2m 2m 1 1 2, n 2m 2m1 1 n 2 1 P2 (n 2m 1 ), 2m 2m 1 n 2m 1 )] 1 2 3 Home Impressum ( ) 1, 2, 2, 2. Die Rekursionsbeziehung gilt ab , die Bezugswerte für sind Der folgenden Umschreibung kann man unmittelbar entnehmen, wie sich nachfolgende Glieder aus den vorhergehenden bestimmen lassen. ( ( ) ) ( ( ( ( ) ) ( ), für ), ) ( für ), für Wenn man ab einer Stelle jeweils die nächsten Folgenglieder nebeneinander schreibt, so sieht man, dass ein symmetrisches Muster entsteht. Für ergibt sich zum Beispiel das Tupel (2, 8, 12, 8, 6, 8, 12, 8, 2). Mit anderen Worten: Die Folge der Differenzen der binären Palindrome bildet ihrerseits wieder palindromische Muster. Tatsächlich gilt allgemein ( ) ( ), für ( ) ( ) Wegen für oder sowie für , werden diese symmetrischen Muster jeweils durch eine 2 links und rechts begrenzt und haben stets die 6 als zentrales Element. Und weil nach obiger Formel die Folgenglieder mit mit bestimmt werden, ergibt sich gleichfalls ( ) direkt aus den Gliedern ( ( ) ) ( ( ( ) ) ( ( ( für ) ) ) ) . Demnach bildet auch die Teilsequenz mit dem Glied und den folgenden Glieder symmetrische Muster von Elementen, begrenzt mit je einer 2 und die 6 in der Mitte. Das entsprechende symmetrische Tupel für lautet (2, 24, 12, 24, 6, 24, 12, 24, 2). Wenn man die Folge nach den symmetrischen Mustern ordnet und untereinanderschreibt, erkennt man, dass das n-te Folgenglied auch einfacher berechnet werden kann. 1, 2, 2, 2, 2, 6, 2, 4, 6, 4, 2, 12, 6, 12, 2, 8, 12, 8, 6, 8, 12, 8, 1 2 3 Home Impressum 2, 24, 12, 24, 6, 24, 12, 24, 2, 16, 24, 16, 12, 16, 24, 16, 6, 16, 24, 16, 12, 16, 24, 16, 2, 48, 24, 48, 12, 48, 24, 48, 6, 48, 24, 48, 12, 48, 24, 48, Kehren wir zurück zur Folge der Palindrome. Ist p ein vorgegebenes binäres Palindrom, so stellt sich die Frage, das Wievielte in der geordneten Folge der Palindrome es ist. Auch darauf gibt es eine ⌊ ( )⌋: Antwort. Für gilt mit m 2 m m 5 1 1 k k P2 ( p) p 2 mod 2 2 2 2 2 k 1 m 2 m 1 p 2 k m 1 k P2 ( p) 5 1 1 1 2 2 2 k 1 Daraus folgt z.B., dass p=1011951=110100101101000112 das 2012-te binäre Palindrom ist. Eine weitere Frage, die sich hier unmittelbar anschließt: Wenn eine beliebige natürliche Zahl n vorgegeben ist, wie bestimmt sich dann die größte binäre Palindrom kleiner oder gleich n? B , B n mod 2q floorbP( n ) A 2q q sonst C 2 , wobei ⌊ ⌋ ( ) ⌊ ⌋ p A q 2 p B mk mod 2 2k k 0 2 q1 p C m k mod 2 2k 2 k 0 2 q 1 1 2 3 Home Impressum Weiter kann man nun fragen, wie viele Palindrome <2n es gibt und wie groß die Summe dieser Palindrome ist. Die Anzahl der Palindrome zwischen 2n-1 und 2n kann man leicht bestimmen. Es gilt 2 n1 n 1 2 1 2 P2 ( k ) 2n (für ). Damit berechnet man die Anzahl der Palindrome <2n zu für n 2 2 2 1, n 0 (mod 2) A2 (2n ) 1 n 1 0 P2 ( k ) 2n 3 2 2 1, n 1(mod 2) A2 (2 ) n 0 P2 ( k ) 2n 1 5 1 n 2 2 n 2 1 Die Summe der Palindrome zwischen 2n-1 und 2n ergibt sich ferner für zu n 1 2 3 n sn P ( k ) 2 2 8 2n1 P2 ( k ) 2n Und schließlich erhalten wir damit die Summe der Palindrome <2n für n2 n2 2 15 8 1 3 8 2 , n 0 (mod 2) 7 n P2 (k ) 1 n 1 0 P2 ( k ) 2 8 2 1 15 , n 1(mod 2) 7 9 3 n2 2 1, n 0 (mod 2) 8 16 P2 (k ) 7 15 3 n1 0 P2 ( k ) 2n 2 2 1, n 1(mod 2) 8 n 8 3 4 (1) n 3 2 S2 (2 ) P2 (k ) 2 1 7 4 3 (1)n 0 P2 ( k ) 2n n n n 8 3 4 1 3 2 n P2 (k ) 7 4 3 1n 2 1 0 P2 ( k ) 2 zu 1 2 3 Home Impressum Weitaus komplizierter ist die Formel für die Summe der binären Palindrome, die kleiner oder gleich einem vorgegebenen Palindrom p sind. Die folgende Formel gilt für Palindrome , wobei ⌊ ( )⌋ m 2 p 2m 1 P2 ( k ) P ( k ) p 2 mod 2 2 0 P2 ( k ) p 0 P2 ( k ) 2n m2 k k mk k j 1 2 2 s 2 m 2 k 2 j m2 1 j 0 p k mod 2 m k k 1 k 1 2 2 j j m j am 2 k 2 j p 2 mod 2 2 2 j 0 j 0 0 P2 ( k ) p P2 ( k ) m 2 p 2m 1 P ( k ) p 2 mod 2 n 2 0 P2 ( k ) 2 m 2 k k mk k j 1 2 2 s 2 m 2 k 2 j 1 m2 1 j 0 p k mod 2 m k m k 1 k 1 2 2 j m j 2 mod 2 2 2 am 2 k 2 j 1 p 2 j 0 j 0 m m m 3 8 3 4 1 2 2 p 2m 1 P ( k ) 2 1 p 2 mod 2 2 m 7 4 0 P2 ( k ) p 3 1 m2 1 k 1 2k 2m k 2m m2 1 4 m2 k 1 1 p k mod 2 m k 2 2 1m 2 2 p p mod 2m k 1 2 k 2k m 2 p 2m 1 P ( k ) P ( k ) p 2 mod 2 2 2 0 P2 ( k ) p 2n1 P2 ( k ) 2n m 2 k k mk k j 1 2 2 s 2 m 2 k 2 j 1 m2 1 j 0 p k mod 2 m k m k 1 k 1 2 2 j m j 2 mod 2 2 2 am 2 k 2 j 1 p 2 j 0 j 0 1 2 3 Home Impressum wobei m 1 2 3 m sm P2 (k ) 2 8 2m1 P2 ( k ) 2m m 1 2 am 1 2 2m1 P2 ( k ) 2m und damit m2 k s j 0 m 2 k 2 j 1 2k j 1 2 m2 k s j 0 m 2 k 2 j 1 2k j 1 2 m2 k a j 0 m m2 1 4 m m2 1 m2 k 1 4 m2 k 1 1 2 1 m 1 2 1 m m k m 2 k 2 j 1 2 2 m m m 3 8 3 4 1 2 P2 ( k ) 2 1 p 2 2 mod 2 p 2m 1 m 7 4 3 1 0 P2 ( k ) p m2 1 k 1 2k 2m k 2m m2 1 4 m2 k 1 1 p k mod 2 m k 2 2 1m 2 2 p p mod 2m k 1 2 k 2k n Will man die Summe der Palindrome bis zu einem bestimmten Index bestimmen, also muss man zunächst p P2 ( n ) P(k ) k 1 2 , so berechnen und kann dann die vorstehende Formel anwenden. Weitaus komplizierter ist die Formel für die Summe der binären Palindrom, die kleiner oder gleich einem vorgegebenen Palindrom p sind. Die folgende Formel gilt für Palindrome
