EHM - Analysis I WS 2011/12 Übungsblatt 5

EHM - Analysis I
WS 2011/12
Prof. Dr. Hans-Jürgen Schuh
Dr. Axel Stäbler
28.11.2011
Übungsblatt 5
Aufwärmaufgaben
Aufgabe A Konstruieren Sie eine Gruppe mit 2 Elementen indem Sie eine Verknüpfungstafel
angeben und die Gruppenaxiome direkt verizieren.
Bemerkung: Sei M = {m1 , . . . , mn } eine endliche Menge mit n Elementen und eine Verknüpfung
◦ : M × M → M gegeben. Eine Verknüpfungstafel ist eine Tabelle der Form:
◦
m1
m2
m1
m1 ◦ m1
m2 ◦ m1
m2
m1 ◦ m2
m2 ◦ m2
mn
mn ◦ m1
mn ◦ m2
..
.
..
.
..
.
...
...
...
..
.
...
mn
m1 ◦ mn
m2 ◦ mn
..
.
mn ◦ mn
Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe 1 (5 Punkte)
a) Überlegen Sie, für welche n ∈ N die Aussage
2n < n!
gilt, und beweisen Sie die Vermutung durch eine geeignete vollständige Induktion.
Erinnerung: Die Fakultät n! ist rekursiv deniert durch 0! := 1, 1! := 1 und n! := n · (n − 1)!,
n ∈ N \ {1}.
b) Zeigen Sie durch Induktion, dass
n
2
X
1
1
∀n ∈ N0 :
≥ 1 + n.
k
2
k=1
Aufgabe 2 (5 Punkte) Sei M eine Menge mit Potenzmenge P(M ). Zeigen Sie, dass es keine
surjektive Abbildung f : M → P(M ) geben kann.
Hinweis: Führen Sie einen indirekten Beweis. Nehmen Sie also an, es gebe eine surjekive Abbildung
f : M → P(M ) und betrachten Sie die Menge A = {m ∈ M | m ∈
/ f (m)} ⊆ M .
Aufgabe 3 (5 Punkte) Betrachten Sie die Menge G = {0, 1}. Denieren Sie darauf eine assoziative Verknüpfung, für die 0 Rechtsneutral ist, wo jedes Element ein Linksinverses besitzt, die aus
G aber keine Gruppe macht.
Hinweis: Erstellen sie eine Verknüpfungstafel wo sie zunächst nur die Rechtsneutralität und die
Existenz eines Linksinversen berücksichtigen. Prüfen Sie dann die noch fehlenden Bedingungen
explizit an den so erhaltenen Kandidaten nach.
Aufgabe 4 (5 Punkte) Sei (G, ·) eine Gruppe mit Neutralelement e.
(a) Zeigen Sie, für alle g, h ∈ G gilt (gh)−1 = h−1 g −1 .
(b) Es gelte für alle g ∈ G, dass g 2 = e. Zeigen Sie, G ist abelsch.
Zusatzaufgabe (5 Extrapunkte) Wir betrachten die Menge C = R2 und denieren Verknüpfungen
+ : C × C → C,
((a, b), (c, d)) 7→ (a + c, b + d)
und
· : C × C → C,
((a, b), (c, d)) 7→ (ac − bd, ad + bc)
Glauben Sie, dass (C, +, ·) ein Körper ist (man nennt das den Körper der komplexen Zahlen ), und
zeigen Sie, dass man C nicht anordnen kann.
Hinweis: Betrachten Sie das Element (0, 1).
Abgabe der Aufgaben: Bis zum 5.12.2011, 12 Uhr in die jeweiligen Kästen im 4. Stock des
Mathematikgebäudes (neben der Fachschaft).