Christian Piele

Christian Piele
Übungsaufgaben 1
1. Überprüft bitte die folgende Aussagen:
a. „Wenn eine Person eine Frau ist, dann will sie sich keine Karte für die FußballWeltmeisterschaft kaufen.“
b. „ Wenn eine Person ein Mann ist, dann will er sich eine Karte für die FußballWeltmeisterschaft kaufen.“
Mit Hilfe folgender Kreuztabelle (Befragung vor Beginn der WM):
Will WM ansehen
Geschlecht (sex; =x) nein (0)
Mann (0)
10
Frau (1)
20
ja (1)
40
30
a) Welches PRE – Maß ist für diese Fragestellung angemessen?
b) Bitte berechnet das PRE – Maß für beide Aussagen:
a. Aussage: Fehler (ohne x) =
Fehler (mit x) =
PRE =
b. Aussage: Fehler (ohne x) =
Fehler (mit x) =
PRE =
2. Es soll untersucht werden, ob die Studienrichtung (=X) den Zeitpunkt des Einstieges
in das Berufsleben beeinflusst. Dazu wird erhoben, ob Absolventen sofort nach ihrem
Abschluss oder erst später einen Arbeitsplatz bekommen (=Y).
Folgende Daten liegen vor:
X\Y
Jura
Medizin
Philosophie
a)
b)
c)
d)
Sofort
30
25
10
65
Später
5
0
30
35
35
25
40
100
Bitte berechnet die Anteile und die Anzahlen unter Unabhängigkeit.
Sind X und Y unabhängig voneinander?
Bitte berechne das passende PRE- Maß für die Aussage „ Wer Jura studiert
bekommt sofort einen Arbeitsplatz.“
Fehler (ohne x) =
Fehler (mit x) =
PRE =
Was sagt dieses PRE – Maß aus?
3. Kurz nach der Papstwahl wurde nach der Zustimmung für den neuen Papst gefragt.
Es wurden Deutsche, Spanier und Briten befragt.
X\Y
Deutsche
Spanier
Briten
Gute Wahl
20
25
15
60
Schlechte Wahl
15
0
25
40
35
25
40
100
a) Bitte berechnet die x-bedingten und die y-bedingten Anteile.
b) Bitte berechnet die Anteile und die Anzahlen unter Unabhängigkeit.
c) Sind X und Y unabhängig?
d) Eine Befragung vor der Wahl ergab folgende Aussage:
„Wer die deutsche oder die spanische Staatsangehörigkeit hat ist mit dem Ausgang
der Wahl zufrieden.“
Bitte berechnet das passende PRE- Maß und testet mit Hilfe des KI die Hypothese,
dass das PRE-Maß gleich Null ist, mit Var(PRE)= 0,025.
Wird die Hypothese angenommen oder abgelehnt?
Lösungen:
Aufgabe 1 :
a.) kappa
b.)
Für Aussage a:
F(M) = 0,3; F(O) = 0,35; k = 0,143
Für Aussage b:
F(M) = 0,1; F(O) = 0,15; k = 1/3
Aufgabe 2:
a.)
Anzahlen unter Unabhängigkeit
X\Y
Jura
Medizin
Philosophie
Sofort
22,75
16,25
26
Später
12,25
8,75
14
Anteile unter Unabhängigkeit
X\Y
Jura
Medizin
Philosophie
Sofort
0,2275
0,1625
0,26
Später
0,1225
0,0875
0,14
b.) Nein, X und Y sind abhängig voneinander.
c.) F(M)= 0,05; F(O)= 0,1225
k = 0,592
d.) Fehlerreduktion um 59,2 %.
Aufgabe 3
a)
x-bedingte Anteile:
X\Y
Deutsche
Spanier
Briten
Gute Wahl
20/35
25/25
15/40
0.60
Schlechte Wahl
15/35
0/25
25/40
0.40
0.35
0.25
0.40
1.00
y-bedingte Anteile:
X\Y
Deutsche
Spanier
Briten
b)
Gute Wahl
20/60
25/60
15/60
0.60
Schlechte Wahl
15/40
0/40
25/40
0.40
0.35
0.25
0.40
1.00
Anteile unter Unabhängigkeit (Anzahlen in Klammern):
X\Y
Deutsche
Spanier
Briten
Gute Wahl
0.21 (21)
0.15 (15)
0.24 (24)
0.60 (60)
Schlechte Wahl
0.14 (14)
0.10 (10)
0.16 (16)
0.40 (40)
0.35 (35)
0.25 (25)
0.40 (40)
1.00 (100)
c) Nein, X und Y sind abhängig.
d) untere Grenze: 0,065; obere Grenze: 0,685 → Nullhypothese wird abgelehnt, da 0 nicht in
KI.
Übungsaufgaben 2
1. Bitte berechne für das k aus Aufgabe 2 (der Übungsaufgaben 1)
ein 95 % Konfidenzintervall.
Var(k) =0,036.
Untere Grenze :
Obere Grenze :
2.
a) Bitte berechnet die odds und logits zu den Anteilen.
Anteile
odds
logits
0,4
0,25
0,9
0,14
0,8
0,6
0,75
0,2
0,33
0,1
b) Bitte berechnet die Anteile aus den logits.
logits
Anteile
0
- 0,995
- 0,847
3,892
- 0,201
3. Erstelle bitte für ā ↔ b die „Wahrheitstafel“.
Lösungen:
Aufgabe 1:
Untere Grenze: 0,22
Obere Grenze: 0,964
Aufgabe 2:
a)
Anteile
odds
logits
0,4
2/3
- 0,405
0,25
1/3
- 1,099
0,9
9
2,197
0,14
0,163
-1,814
0,8
4
1,386
0,6
1,5
0,405
0,75
3
1,099
0,2
0,25
-1,386
0,33
0,5
- 0,693
0,1
1/9
- 2,197
logits
Anteile
0
0,5
- 0,995
0,27
- 0,847
0,3
3,892
0,98
- 0,201
0,45
b)
Aufgabe 3 :
ā↔b
F
W
W
F
Übungsaufgaben 3
Aufgabe 1:
Es wurden Daten über das Schlafbedürfnis von Männern und Frauen erhoben.
Hohes Bedürfnis
Niedriges Bedürfnis
Männer
65
35
Frauen
55
45
a) Bestimme den ML-Schätzer für ein hohes Schlafbedürfnis für die Frauen und den für die
Männer.
b) Berechnet bitte PRU.
F(O) =
F(M) =
PRU =
Aufgabe 2:
Überprüfe die Behauptung: „Wenn jemand ein Mann ist, hat er eine dünne Haut.“ mit Hilfe
folgender Kreuztabelle:
Hautdicke (=y)
dünn
dick
(=0)
(=1)
Sex
(=x)
Frauen
Männer
30
20
50
20
30
50
50
50
100
a) Berechne Kappa für die obige Aussage!
F(ohne)=
F(mit)=
Kappa=
b) Berechne ein LR-chi² :
Ist das Ergebnis signifikant für alpha= 1% ?
Kritischer Bereich:
df?
c) Berechne PRU=
F(ohne)=
F(mit)=
Aufgabe 3:
Die Prädiktion von Sex (m, w) mit Hilfe der Hautdicke soll untersucht werden.
Die Kreuztabelle mit den Häufigkeiten sei:
Hautdicke
in mm
0,5
1,5
2
Sex
männlich weiblich
10
30
40
10
20
30
20
10
30
40
60
100
a) Berechne die ML-Schätzer für Sex pro Gruppe.
b) Berechne die LnLikelihood für diese nicht restringierten ML-Schätzer.
c) Wie viele Dimensionen hat der Raum, indem diese Parameter variieren können?
d) Berechne die ML-Schätzer für Sex unter der Restriktion, dass in allen Gruppen die
Anteile gleich sind.
e) Berechne die LnLikelihood für diese restringierten ML-Schätzer.
f) Wie viele Dimensionen hat der Raum, indem diese Parameter variieren können?
g) Führe einen Likelihood-Ratio-Test durch. Wie groß ist chi²? Wie viele Freiheitsgrade
gibt es? Welche Hypothese habt ihr jetzt getestet?
Lösungen:
Aufgabe 1:
a) allg. ML- Schätzer: π^(x) = x/n
Männer: π^(x) = 0,65
Frauen: π^(x) = 0,55
b) F(O) = 0,673
F(M) = 0,668
PRU = 0,0078
Aufgabe 2:
a) F(ohne)= 0,25
F(mit)= 0,3
Kappa= -0,2
b) LR-chi² = 4,027
Ergebnis ist nicht signifikant  H0 wird angenommen!
KB= 6,63 und größer
df= 1
c) PRU= 0,0289
F(ohne)= 0,693
F(mit)= 0,673
Aufgabe 3:
a) π1(0,5)= 1/4
π1(1,5)= 1/3
π1(2)= 2/3
π2(0,5)= 3/4
π2(1,5)= 2/3
π2(2)= 1/3
b) suplnL= -60,684
c) dim(Ω0)= 3
d) π1= 40/100
π2= 60/100
e) suplnL= -67,301
f) dim(Ω)= 1
g) Testwert= 2*І(-67,301-(-60,684))І = 13,234
df= 2
KB= 5,99 und größer  H0 verwerfen, da Testwert in KB!
H0: Merkmale sind unabhängig, es gibt keine Unterschiede in den Gruppen.
Übungsaufgaben 4
(Einiges bereits in Tutorium besprochen)
Aufgabe 1
Attraktive Männer betrügen angeblich ihre Frauen häufiger als weniger attraktive. Also soll die
Prädiktion von betrügen (=y) mit Hilfe von Attraktivität (=x) untersucht werden.
Die Kreuztabelle mit den Häufigkeiten sei:
Betrug (=y)
Werte auf
ja
nein
Attraktivitätsskala(=x)
-----------------0
0
20
10
20
10
20
40
10
-----------------Die Beziehung zwischen x und y soll mit Hilfe des logistischen Modells überprüft
werden.
Die Logits (für treu) werden durch eine Gerade beschrieben; die Koeffizienten auf Grund der MLSchätzung sind alpha= -1.86 und beta = 0.18.
Die Nullhypothese sei: Die Steigung ist 0.
a) Berechnen Sie bitte die beiden entsprechenden Maxima der ln Likelihood im (durch
Nullhypothese ) eingeschränkten Raum:
und im nicht-eingeschränkten Raum:
b) Wird die Nullhypothese verworfen (auf Grund des Vergleichs der ln Likelihoods)?
df :
chi**2:
KB:
c) Reicht die Gerade zur Beschreibung des Logits aus?
H0: Die Gerade reicht aus, die Logits zu beschreiben.
df :
chi**2:
KB:
d) Maximum der ln Likelihood für Gruppenmodell:
Aufgabe 2
Die Prädiktion von Sex (m, w) mit Hilfe der Hautdicke soll untersucht werden. Die Kreuztabelle mit den
Häufigkeiten sei:
Sex
Hautdicke (x) in mm
0.5
1.5
2.0
m
10
10
20
w
30
20
10
Die Beziehung zwischen x und y soll mit Hilfe des logistischen Modells überprüft werden.
Zuerst soll x als nominale Variable betrachtet werden (Gruppen).
Die Nullhypothese sei: x und y sind unabhängig
a)
Berechnen Sie bitte die beiden entsprechenden Maxima der ln Likelihood im (durch die
Nullhypothese) eingeschränkten Raum:
und im nicht-eingeschränkten Raum:
Nun mit x im Sinne einer quantitativen Variablen.
Die Logits (für m) werden durch eine Gerade beschrieben, deren Koeffizienten auf Grund der MLSchätzung alpha = -1.804 und beta = 1.0774 sind.
Die Nullhypothese sei: Die Steigung ist 0.
b)
Berechnen Sie bitte die beiden entsprechenden Maxima der ln Likelihood im (durch die
Nullhypothese) eingeschränkten Raum:
und im nicht eingeschränkten Raum:
c)
Wird die Nullhypothese verworfen (auf Grund des Vergleichs der ln Likelihoods)? Freiheitsgrad
(df):
chi**2:
KB:
Reicht die Gerade zur Beschreibung der Logits aus? H 0: Die Gerade reicht aus, die Logits zu
beschreiben.
d) chi**2:
Freiheitsgrad (df):
KB:
Aufgabe 3
Berechnet mit Hilfe der Geradengleichung die logits der Anteile π(x) für folgende x:
X
Logit(π(x))
0
10
15
30
45
Für die Gerade sind folgendes alpha und beta gegeben:
α = 1,34 β = 0,23
Aufgabe 4
Mit Hilfe des Alters (in Jahren) soll untersucht werden, ob die britische
Bevölkerung mit dem neuen/alten Premier zufrieden ist:
Die Kreuztabelle mit den Häufigkeiten sei (n = 100) :
y: zufrieden
ja
nein
_____________________________
Alter
jung (20 Jahre)
10
30
mittel (40 Jahre)
10
20
älter (60 Jahre)
30
0
Die Beziehung zwischen den beiden Variablen soll zuerst mit Hilfe des
Gruppenmodells überprüft werden.
Die Nullhypothese sei: Es gibt keine Unterschiede in den Altersgruppen.
a) Berechnen Sie bitte die beiden entsprechenden Maxima der ln Likelihood im
(durch die Nullhypothese) restringierten Raum _________________________
und im nicht-restringierten Raum ___________________________________
b) Dimension der Räume:
Dim(restr. Raum) = _______________________
Dim(nicht restr. Raum) = ___________________
c) Wird die Nullhypothese verworfen (auf Grund des Vergleichs der ln
Likelihoods) ____________________________________________________
d) Chi**2: ____________________ df: ________________________________
e) Berechnen Sie ein PRU zur Bewertung der Gruppenunterschiede:
Fehler(OHNE):_________________ Fehler(MIT):______________________
PRU:
Jetzt soll die Beziehung zwischen den beiden Variablen mit Hilfe des logistischen
Modells überprüft werden.
Mit x im Sinne einer quantitativen Variablen. Die Logits (für ja) werden durch eine
Gerade beschrieben. Die Koeffizienten der Geraden auf Grund der ML-Schätzung
sind:
alpha = -2.446;
beta = 0.05555
Die Nullhypothese sei: Die Gerade reicht aus zur Beschreibung der Logits.
f)
Berechnen Sie bitte die beiden entsprechenden Maxima der ln Likelihood im
(durch die Nullhypothese) restringierten Raum _________________________
und im nicht-restringierten Raum ___________________________________
g) Dimension der Räume:
Dim(restr. Raum) = _______________________
Dim(nicht restr. Raum) = ___________________
h) Wird die Nullhypothese verworfen (auf Grund des Vergleichs der ln
Likelihoods) ____________________________________________________
i) Chi**2: ____________________ df: ________________________________
j) Um wieviel Prozent reduziert das Gruppenmodell die Unsicherheit des
Linearmodells?
Fehler(OHNE):_________________ Fehler(MIT):______________________
PRU :
Die Nullhypothese sei: Die Steigung ist 0.
k) Berechnen Sie bitte die beiden entsprechenden Maxima der ln Likelihood im
(durch die Nullhypothese) restringierten Raum _________________________
und im nicht-restringierten Raum ___________________________________
l) Dimension der Räume:
Dim(restr. Raum) = _______________________
Dim(nicht restr. Raum) = ___________________
m) Wird die Nullhypothese verworfen (auf Grund des Vergleichs der ln
Likelihoods) ____________________________________________________
n) Chi**2: ____________________ df: ________________________________
o) Um wieviel Prozent reduziert das Linearmodell die Unsicherheit des
Primitivmodells?
Fehler(OHNE):_________________ Fehler(MIT):______________________
PRU :
Lösungen:
1.
a)
b)
c)
d)
eingeschränkter Raum: -67.301 und nicht eingeschänkter Raum: -49.5
df: 1 chi**2: 35,601 KB: 3,84 und größer
df: 1 chi**2: 10.76; KB: 3,84 und größer; H0 wird verworfen, da TW in KB.
-44.12
2.
a) eingeschränkter Raum: - 67,301 und nicht eingeschränkter Raum: - 60,684
b) eingeschränkter Raum: - 67,301 und nicht eingeschränkter Raum: - 62,078
c) df: 1 chi**2: 10, 446 KB: 3,84 und größer → H0 wird verworfen, da TW in KB.
d) chi**2: 2,788
df: 1 KB: 3,84 und größer → H0 wird angenommen, da TW nicht in KB.
3.
X
Logit(π(x))
0
1,34
10
3,64
15
4,79
30
8,24
45
11,69
4. (2 hierbei für Gruppenmodell, 1 für Geradenmodell, und 0 für Primitivmodell)
a) sup ln L(..) in 0 = -69.315
sup ln L(..) in 2 = -41.589
b) dim(0) = 1;
dim(2) = 3
c) ja, weil der Testwert im kritischen Bereich liegt (KB: 5.99 und größer)
d) Chi2 = 55.452; df = 2
e) Fehler (OHNE) = 0.69315;
Fehler(MIT) = 0.41589
PRU = 0,4
f) sup ln L(..) in 1 = -52.916
sup ln L(..) in 2 = -41.589
g) dim(1) = 2;
dim(2) = 3
h) ja, weil der Testwert im kritischen Bereich liegt (KB: 3.84 und größer)
i) Chi2 = 22.654; df = 1
j) Fehler (OHNE) = 0.52916;
Fehler (MIT) = 0.41589
PRU = 0,214
k) sup ln L(..) in 0 = -69.315
sup ln L(..) in 1 = -52.916
l) dim(0) = 1;
dim(1) = 2
m) ja, weil der Testwert im kritischen Bereich liegt (KB: 3.84 und größer)
n) Chi2 = 32,798
o) Fehler (OHNE) = 0. 69315;
Fehler (MIT) = 0.52916
PRU = 0,237
Übungsaufgaben 5:
(Die Vorgehensweise bei der Aufgabe 2-4 wird im nächsten Tutorium u.a. besprochen)
1.
Für verschiedene Studienfächer wurde das Lernpensum der Studenten ermittelt.
Dabei sei folgende Kreuztabelle erzielt worden (Kreuztabelle mit Häufigkeiten):
1: niedrig
0
10
0
Jura
Biologie
Theologie
a)
b)
c)
d)
Lernpensum (y)
2: mittel
10
5
5
3: hoch
20
0
5
Bilden Sie alle ordinalen Paarvergleiche
Erzeugen Sie die Gruppenpaarvergleichshäufigkeitstabelle
Erzeugen Sie die Modalprädiktionsregeln
Berechnen Sie ein Lambda für diese Modalprädiktionsregeln
e) Stellen Sie die Modalprädiktionsregeln übersichtlich dar in Form einer
Vergleichsmatrix der Studienrichtungen und als Hasse-Diagramm
2. Für verschiedene Abiturnoten wurde ermittelt, wie später die Abschlussnote im
Studium aussieht. Dabei sei folgende Kreuztabelle erzielt worden (Kreuztabelle mit
Häufigkeiten):
Abiturnote
1
2
3
1
Abschlussnote Studium (y)
2
3
10
15
0
5
5
7
0
0
3
a) Bildet bitte alle ordinalen Paarvergleiche
b) Bildet bitte die Kreuztabelle der ordinalen Paarvergleiche. (Häufigkeiten)
Wie groß ist nges ?
c) Errechnet aus dieser Tabelle das Zusammenhangsmaß
Goodman-Kruskals .
3. Für verschiedene Alterstufen wurde die durchschnittliche Höhe des
Taschengeldes in Euro ermittelt. Dabei hat sich folgende Häufigkeitstabelle ergeben.
(x – Alter der Kinder; y – Höhe des Taschengeldes in Euro)
5
6
7
3
0
5
10
4
10
5
0
5
15
10
20
a) Bildet bitte alle ordinalen Paarvergleiche
b) Bildet bitte die Kreuztabelle der ordinalen Paarvergleiche.
c) Errechnet aus dieser Tabelle das Zusammenhangsmaß
KENDALLS a.
4. Der Zusammenhang zwischen den beiden ordinalen Merkmalen x und y soll auf Grund
der folgenden Kreuztabelle untersucht werden:
y
1
2
3
x -------------------1
10
10
0
2
0
10
10
-------------------a)
Wie groß ist? n(<<): ______ n(<=):_______ n(==):
b)
Berechnet bitte Somers d (x->y):
Lösungen:
1.
a)
Häufigkeiten in Klammern
J2 (10)
J3 (20)
J2 (10)
= (90)
< (200)
J3 (20)
= (380)
B1 (10)
B2 (5)
T2 (5)
T3 (5)
B1 (10)
> (100)
> (200)
= (90)
B2 (5)
= (50)
> (100)
< (50)
= (20)
T2 (5)
= (50)
> (100)
< (50)
= (25)
= (20)
T3 (5)
< (50)
= (100)
< (50)
< (25)
< (25)
= (20)
b) und c) Modalregeln sind markiert
<
200
400
100
700
Jura
Bio
Theol.
Summe
d) F(o) = 1900;
e)
Jura
=
470
50
150
670
>
200
0
50
250
F(m) = 1000;
Theologie
<
50
125
25
200
Theologie
=
>
150
100
25
0
40
25
215
125
 = 0.474
Jura
=
<
=
Jura
Biologie
Theologie
Jura
Biologie
=
>
50
400
110
50
25
125
185
575
<
0
50
0
50
Biologie
>
=
>
Theologie
=
<
=
y hoch
Biologie
y niedrig
2.)
a)
1,1
1,1 = =
1,2
1,3
2,1
2,2
2,3
3,1
3,2
3,2
1,2
=<
==
1,3
2,1
=<
<=
=<
<>
==
<>
==
2,2
<<
<=
<>
=<
==
2,3
<<
<<
<=
=<
=<
==
b)
Häufigkeitstabelle der ordinalen Paarvergleiche:
3,1
<=
<>
<>
<=
<>
<>
==
3,2
<<
<=
<>
<<
<=
<>
=<
==
3,3
<<
<<
<=
<<
<<
<=
=<
=<
==
<
<
=
>
=
330
146
75
>
245
388
245
75
146
330
nges = n(n-1) = 45 (45 – 1) = 1980
c) Goodman-Kruskals  : (330 – 75 ) : (330 + 75) = 0,6296
3.)
a)
5,3
5,3
5,4
5,5
6,3
6,4
6,5
7,3
7,4
7,5
5,4
5,5
==
=<
==
6,3
<>
<>
==
6,4
<=
<>
=<
==
6,5
<<
<=
=<
=<
==
7,3
<>
<>
<=
<>
<>
==
7,4
7,5
<<
<=
<<
<<
<=
=<
==
Die leeren Zellen oberhalb der Geraden, sind diejenigen, in welchen sich auf Grund der Multiplikation der
Häufigkeiten Null ergibt; Sie müssen also nicht bearbeitet werden.
b)
<
<
=
>
=
500
475
600
>
750
900
750
600
475
500
c) KENDALLS a : (500 – 600) : [(75 * 74) : 2] = - 0,036
4.
a) 300 ;
b) 0.75
100 ;
360
Übungsaufgaben 6:
1. Für ein ordinales Merkmal y und ein nominales Merkmal x sei folgende
Kreuztabelle gegeben, bitte führt einen Mediantest durch:
x
Gruppe a
Gruppe b
Gruppe c
a)
b)
c)
y
0 1 2 3 4 5 6 7
------------------------3 3 3 3 3 0 0 0
0 0 3 3 3 3 3 0
0 0 0 6 3 3 3 3
-------------------------
Wie groß ist der Median?
Pearson-chi**2 für Mediantest:
Wo ist der kritische Bereich?
Wird H0 verworfen?
2. Kreuztabelle mit Autofarbe (x) und Alter (y) sei gegeben. Bitte führt einen Test mit
der Quantilsbereichsregel durch. Zum Quantil 1/3.
y
0 1 2 3 4 5 6 7
x
------------------------rot
4 3 2 1 1 0 0 0
blau
0 0 2 3 2 3 4 0
schwarz
0 0 2 6 3 5 3 1
------------------------a) Wie groß ist das erste Terzil?
b)
Wo wird die Grenze gesetzt?
c) Pearson-chi**2 für Quantilstest:
d) LRx**2 für Quantilstest:
e) Wo ist der kritische Bereich?
Wird H0 verworfen?
3. Der Zustand am Morgen (=y) soll mit Hilfe mehrerer Prädiktoren vorhergesagt werden.
Die Prädiktoren sind:
a: Zeitpunkt des Ins-Bett-Gehens (früh/spät)
b: wie man geträumt hat (gut/schlecht)
c: Kaffee trinken (ja/nein)
y: Zustand am morgen
a
b
früh
gut
schlecht
spät
gut
schlecht
c
ja
nein
ja
nein
ja
nein
ja
nein
a) Bestimmt bitte alle möglichen Teiltabellen!
superfit
12
12
4
1
7
7
4
2
normal
8
2
3
5
3
5
8
4
Nicht fit
3
6
12
4
5
9
6
10
Zum PRE-Maß lambda:
b) Berechnet bitte alle Fehler der Teiltabellen und tragt diese in die Grafik ein! (Diamant)
c) Wie groß sind die semipartiellen lambdas der Sequenz b, c, a?
d) Wie groß ist das multiple lambda?
e) Wie groß ist das partielle lambda λyc.ab ?
f) Versucht mit Hilfe des Venn-Diagramms die Modalregel-Bedingung für „superfit“ zu
vereinfachen!
4.
Das Bestehen der Statistik-Klausur (=y) soll mit Hilfe dreier Prädiktoren prädiziert
werden.
Die Prädiktoren sind: a: Mathe im Abitur (ja/nein)
b: bayrisches Abitur (ja/nein)
c: gelernt (ja/nein)
y: Bestehen
a
b
c
ja
nein
ja
ja
ja
7
1
nein
3
1
nein
ja
10
2
nein
6
8
nein
ja
ja
4
0
nein
1
5
nein
ja
30
12
nein
2
8
a) Bestimmt bitte alle möglichen Teiltabellen!
Zum PRE-Maß lambda:
b) Berechnet bitte alle Fehler der Teiltabellen und tragt diese in die Grafik ein! (Diamant)
c) Wie groß sind die semipartiellen lambdas der Sequenz a, c, b?
d) Wie groß ist das multiple lambda?
e) Wie groß ist das partielle lambda λyba.c ?
f) Versucht mit Hilfe des Venn-Diagramms die Modalregel-Bedingung für das Bestehen
zu vereinfachen.
Lösungen:
Lösungen:
1.
2.
a) 3.5
b) 8
c) 5.99 und größer; H0 wird verworfen da der TW im KB liegt
a) 3
b) zwischen dem 2. und 3. Wert, da dort das Verhältnis 1:3 am Besten
abgebildet wird.
c) 19,9277
d) 19,1862
e) 5.99 und größer; H0 wird verworfen da beide TW im KB liegen.
3.
b)
F(-)=87
a
b
c
F(a)=83
F(b)=72
F(c)=86
ab
F(ab)=72
ac
F(ac)=83
bc
F(bc)=72
abc
F(abc)=67
c) λy(b) = λy(b.-) = 0.1724
λy(c.b) = 0
λy(a.bc) = 0.0575
d) λy|abc = 0.2299
e) λyc.ab = 0.0694
f) Modalregeln für „superfit“:
[(a=f)  (b=g)  (c=j)]  [(a=f)  (b=g)  (c=n)]  [(a=s)  (b=g)  (c=j)]
vereinfachen zu : [(a=f)  (b=g)]  [(b=g)  ((c=j)] = (b=g)  [(a=f)  (c=j)]
4.
b)
F(-)=37
a
b
c
F(a)=37
F(b)=37
F(c)=27
ab
F(ab)=37
ac
F(ac)=27
bc
F(bc)=27
abc
F(abc)=25
c) λy(a) = λy(a.-) = 0
λy(c.a) = 0.27027
λy(b.ac) = 0.054054
d) λy|abc = 0.324324
e) λyba.c = 0.074074
f) Modalregeln für „Bestehen“:
[(a=j)  (b=j)  (c=j)]  [(a=j)  (b=j)  (c=n)]  [(a=j)  (b=n)  (c=j)] 
[(a=n)  (b=j)  (c=j)]  [(a=n)  (b=n)  (c=j)]
vereinfachen zu : (c=j)  [(a=j)  (b=j)]
Übungsaufgaben 7:
(Vorgehen bei Aufgabe 2 wird nächstes Mal noch besprochen)
Aufgabe 1
Gegeben seien zwei Prädiktoren x und z. Modalregeln zur Prädiktion von y sind gefragt. Für
jede der zwei Ausprägungen des Merkmals z sei lambda yx und der Fehler(ohne x) (=
Fehler(z)) bekannt:
Z
Fehler(ohne x)
Lambda yx
Z1
15
1/3
Z2
5
4/5
a) Berechnen Sie bitte das partielle lambda λyx.z =
b) Wie groß ist der Fehler (z) ?
Wie groß ist der Fehler (xz) ?
Aufgabe 2
Die Begeisterung für die Fußball-WM (=y) soll mit Hilfe dreier Prädiktoren prädiziert werden.
Die Prädiktoren sind: a: Geschlecht (m/w)
b: Person ist sportlich (ja/nein)
c: spielt selbst (ja/nein)
y: Begeisterung
a
b
c
ja
nein
m
ja
ja
18
2
nein
18
4
nein
ja
10
2
nein
8
10
w
ja
ja
7
1
nein
10
30
nein
ja
8
2
nein
18
2
a) Bestimmen Sie bitte alle möglichen Teiltabellen!
Zum PRE-Maß PRU:
b) Berechnen Sie bitte alle Fehler der Teiltabellen und tragen diese in die Grafik ein!
c) Wie groß sind die semipartiellen PRUs der Sequenz b, a, c?
d) Wie groß ist das multiple PRU?
e) Wie groß ist das partielle PRUya.bc ?
f) Bestimmen Sie alle -2lnL( ) und tragen diese in die Grafik ein!
g) Testen Sie die globale Nullhypothese; Wird sie abgelehnt oder angenommen?
h) Testen Sie die partiellen Nullhypothesen:
1. a, y bedingt unabhängig; Bedingung b
2. bc, y bedingt unabhängig; Bedingung a
Lösungen:
Aufgabe 1
a)
b)
λyx.z = 0.45 = 9/20
Fehler(z) = 20;
Fehler(xz) = 11
Aufgabe 2
a)
a
m
w
ja
54
43
b
ja
nein
nein
18
35
a
m
w
a
m
w
b
ja
nein
ja
53
44
nein
37
16
c
ja
nein
ja
43
54
b
ja
nein
ja
nein
ja
36
18
17
26
nein
6
12
31
4
c
ja
nein
ja
nein
ja
28
26
15
28
nein
4
14
3
32
c
ja
nein
ja
nein
ja
25
28
18
26
nein
3
34
4
12
b)
F()=0,649
a
b
c
F(a)=0,628
F(b)=0,638
F(c)=0,594
F(ab)
=0,536
F(ac)
=0,583
F(bc)
=0,576
F(abc)
=0,478
c) PRU y(b.-) = PRU y(b) = 0.017
PRU y(a.b) = 0.16
PRU y(c.ab) = 0.089
d) PRU y|abc = 0.263
e) PRU ya.bc = 0.1701
nein
7
46
f)
F(-)
= 194,7
F(a)
=188,4
F(ab)
= 160,8
F(b)
F(c)
= 191,4
= 178,5
F(ac)
= 174,9
F(bc)
= 172,8
F(abc)
= 143,4
g) Verglichen werden -2lnL(-) und -2lnL(abc): 194,7 – 143,4 = 51,3 (TW)
df: 8-1= 7; KB: im grünen Heftchen bei df = 7 in Chi**2-Verteilung schauen= 14,07 und
größer
→ H0 wird abgelehnt, da TW in KB.
h) 1. Verglichen werden -2lnL(b) und -2lnL(ab): 191,4 – 160,8 = 30,6
df: 4-2= 2; KB: im grünen Heftchen bei df = 2 in Chi**2-Verteilung schauen= 5,99 und größer
→ H0 wird abgelehnt, da TW in KB → Merkmal a ist relevant
2. Verglichen werden -2lnL(a) und -2lnL(abc): 188,4 – 143,4 = 45
df: 8-2= 6; KB: im grünen Heftchen bei df = 6 in Chi**2-Verteilung schauen= 12,59 und
größer
→ H0 wird abgelehnt, da TW in KB → Merkmale b, c sind relevant
Übungsaufgaben 9:
1. Inwiefern wirken sich Aufstiegschancen auf die Leistung aus. Mit Hilfe eines
Leistungsindex wurde die Leistung gemessen. Zusätzlich sollte das Alter kontrolliert
werden. Jeweils drei Personen pro Zelle:
Gruppe (a)
alt
alt
jung
jung
Aufstiegschancen
(b)
gut
schlecht
gut
schlecht
Anzahl
3
3
3
3
Leistungsindex
Mittelwert
Standardabw.
15
1
14
1
20
1
10
1
a) Berechnen Sie den multiplen Determinationskoeffizienten 1. Art.
b) Erstellen Sie ein Streudiagramm mit den Mittelwerteinträgen.
c) Berechnen Sie auch F(a) und F(b). (Tipp: über Fehlerreduktion berechnen)
2. Bei 40 Personen sollen die Unterschiede in sprachlicher Kompetenz untersucht
werden. Es soll der Einfluss von Alter und Geschlecht untersucht werden.
Folgende Tabelle sei das Ergebnis:
Geschlecht
(a)
m
w
Alter (b)
Anzahl
jung
alt
jung
alt
10
10
10
10
Y: sprachliche Kompetenz
Mittelwert
Standardabw.
1
2
1
2
2
2
4
2
Untersuchen Sie zur Prädiktion die Mittelwertsregeln!
Berechnen Sie:
a) den multiplen Determinationskoeffizienten 1. Art
b) Fehler(-) und Fehler(ab)
c) Wie groß sind die Fehlerreduktionen durch a und durch b?
Lösungen:
1. a)
Multipler Determinationskoeffizient 1. Art = 0.950078
b) Zeichnung
c) F(a) = 159.50 und F(b) = 69.50
2.
a)
Multipler Determinationskoeffizient 1. Art = 0.294
b)
c)
Fehler(-) = 204;
Fehler(ab) = 144
Fehlerreduktion(a) = 40;
Fehlerreduktion(b) = 10
Übungsblatt 10:
Aufgabe 1
Zu Aufgabe 1 Übungsblatt 9
d) Berechnen Sie die Prädiktionswerte unter Geltung eines rein additiven Modells.
e) Berechnen Sie den Prädiktionsfehler bei der Prädiktion mit dem rein additiven
Modell.
f) Zeichnen Sie den ‚Modell-Diamanten’ mit den entsprechenden Einträgen.
g) Testen Sie die Hypothesen:
1. H0(x2): die Mittelwerte der x2 Gruppen sind gleich.
2. H0(x1x2): es liegt das rein additive Modell vor.
Aufgabe 2
Zu Aufgabe 2 Übungsblatt 9:
d) Welche Zellen-Mittelwerte wären zu erwarten, wenn keine Interaktion zwischen a
und b vorhanden wäre?
e) Testen Sie die Hypothesen:
1. H0(x1): die Mittelwerte der x1 Gruppen sind gleich.
2. H0(x1x2): es liegt das rein additive Modell vor.
f)
Zeichnen Sie den ‚Modell-Diamanten’ mit den entsprechenden Einträgen.
Lösungen:
d)
Prädiktionswerte unter Geltung eines rein additiven Modells:
alt/g 17.25; alt/ s 11.75; j/g 17.75; j/s 12.25
Prädiktionsfehler bei der Prädiktion mit dem rein additiven Modell
F(a,b)= 68.75
‚Modell-Diamant’ mit Einträgen:
e)
f)
-
160.25 1
ssqe(-) 1
a
b
I1
ssqe(a)
b
I2
ssqe(b)
FR(b . a)
90.75
0.75
FR(b)
FR(a)
69.50 2
2
FR(a . b)
0.75
90.75
a, b
68.75 3
a, b
I1+I2-1
ssqe(a,b)
Rein additives Modell
FR. durch Interaktion
60.75
FR(ab. (a,b) )
152.25
FR(ab)
a,b,ab
a,b,ab
ssqe(a, b, ab) I1I2
8
z
4
Anzahl linear unabhängiger Parameter
g) 1. TW: 90,75; 2. TW: 60,75; in beiden Fällen KB= 5,32  H0 verwerfen
2.
a)
b)
m, jung: 0.5; m, alt: 1.5;
w, jung: 2.5; w, alt: 3.5;
1. TW: 10 KB= 4,11, H0 verwerfen; 2. TW: 2,5; KB= 4,11, H0 annehmen
c)
‚Modell-Diamant’ mit Einträgen:
-
-
ssqe(-) 1
b
I1
ssqe(a)
FR. durch Interaktion
b
164 2
FR(a . b)
194 2
40
10
a, b
154 3
a, b
I1+I2-1
ssqe(a,b)
Rein additives Modell
10
a
I2
ssqe(b)
FR(b . a)
1
40
FR(b)
FR(a)
a
204
10
FR(ab. (a,b) )
60
FR(ab)
a,b,ab
ssqe(a, b, ab) I1I2
a,b,ab
144 4
z
Übungsaufgaben 11:
Aufgabe 1
Testet bitte die Nullhypothesen: H0 = ρ1 = ρ2
(Korrelationen in beiden Gruppen sind gleich)
ρ1 = r1 = 0,75 ;
ρ2 = r2 = 0,2 ;
n1 = 33
n2 = 48
a.) Alternativhypothese: Die Korrelationen in den beiden Gruppen sind verschieden.
b.) Testet bitte auch linksseitig.
Aufgabe 2
Testet bitte die Nullhypothesen: H0 = ρ1 = ρ2
(Korrelationen in beiden Gruppen sind gleich)
ρ1 = r1 = 0,6 ;
ρ2 = r2 = 0,35 ;
n1 = 15
n2 = 10
Führt bitte einen rechtsseitigen Test durch mit α = 0,01
Lösungen:
Aufgabe 1
a.) TW: 3,268
KB: -1,96 und kleiner ; 1,96 und größer
→ H0 wird abgelehnt, da TW im KB
b.) TW: 3,268 bleibt gleich
KB: - 1,645 und kleiner
→ H0 wird angenommen, da TW nicht im KB
Aufgabe 2
TW: 0,689
KB: 2,33 und größer
→ H0 wird angenommen, da TW nicht im KB
Folien von Tutorium
Prädiktion mit Hilfe eines linearen Modells:

Ausgangslage sind die Mittelwerte

α-Haupteffekt: αi1 = μi1. – μ.. (Summe der αi muss null sein  symmetrische
Restriktion)

β-Haupteffekt: βi2 = μ.i2 – μ.. (Summe der βj muss null sein  symmetrische
Restriktion)

rein additive Darstellung: Rekonstruktion der Mittelwerte
μi1i2 = μ.. + αi1 + βi2

(=Mittelwerte für den Fall, dass lineares Modell vorliegt)
Interaktionseffekte: Differenzen der Zellmittelwerte zum rein additiven Modell
Bsp.: αβ11 = μ11 – (μ.. + α1 + β1)  αβ ist kein Produkt!!!

Prädiktion anhand des Modells:
-
Regel: additive Haupteffekte als Mittelwertsregel:
R(x1x2): yi1i2j = yi1. + y.i2 – y..
-
Fehler: Summe quadrierter Residuen
F(x1x2): ssqe(x1x2)=
=
Beispiel: (Werte aus den Tabellen sind vom Beispiel des letzten Tutoriums)
Mittelwerte als Ausgangslage:
x1
w
m
x2
jung
0
1
0,5
alt
1
6
3,5
0,5
3,5
2
rein additive Darstellung:
x1
w
m
x2
jung
-1
μ11
2
μ21
-1,5
β1
alt
2
μ12
5
μ22
1,5
β2
α1 = 0,5 – 2 = -1,5
μ11 = 2 – 1,5 – 1,5 = -1
α2 = 3,5 – 2 = 1,5
μ12 = 2 – 1,5 + 1,5 = 2
β1 = 0,5 – 2 = -1,5
μ21 = 2 +1,5 – 1,5 = 2
β2 = 3,5 – 2 = 1,5
μ22 = 2 +1,5 +1,5 = 5
-1,5
α1
1,5
α2
2
μ..
Interaktionseffekte:
x1
w
m
x2
jung
1
αβ11
-1
αβ21
0
alt
-1
αβ12
1
αβ22
0
0
0
}
Summe der αβ`s muss null sein!!!
Summe der αβ`s muss null sein!!!
αβ11 = 0 – (-1) = 1
αβ12 = 1 – 2 = -1
αβ21 = 1 – 2 = -1
αβ22 = 6 – 5 = 1
= 124 – 2*3*(0,5² + 3,5²) – 2*3*(0,5² + 3,5²) + 2*2*3*2²
= 22
ssq(x1) = 27
ssq(x2) = 27
ssqe(total) = 76
ssqe(x1) = 49
ssqe(x2) = 49
rein additives Modell
ssqe(x1,x2) = 22
ssq(x2.x1) = 27
ssq(x1.x2) = 27
Fehlerreduktion durch
Interaktion =
ssq(x1x2) = 12
ssqe(x1 komb. x2) = 10
Berechnung der Fehler über Fehlerreduktion:
=
= 2*3*(0,5² + 3,5²) – 2*2*3*2² = 75 – 48 = 27
=
= 2*3*(0,5² + 3,5²) – 2*2*3*2² = 75 – 48 = 27
=
= 3*(0² + 1² + 1² + 6²) – 75 – 75 + 48= 12
Hypothesen und Tests:
Haupteffekthypothesen:
- H0 zum Faktor x1: die Mittelwerte in den x1-Gruppen sind gleich.
H0(x1): μ1. = μ2. = … = μI1.
TW: F-Wert: F(dfZähler, dfNenner) = (ssq(x1)/dfz) / (ssqe(within)/dfn)  ssqe(within) = ssqe(cells)!!!
wobei: dfz = I1 – 1, dfn = n – I1*I2
F-Wert in grünem Heftchen nachschauen und Entscheidung über H0(x1).
- H0 zum Faktor x2: die Mittelwerte in den x2-Gruppen sind gleich.
H0(x2): μ.1 = μ.2 = … = μ.I2
TW: F-Wert: F(dfZähler, dfNenner) = (ssq(x2)/dfz) / (ssqe(within)/dfn)
wobei: dfz = I2 – 1, dfn = n – I1*I2
F-Wert in grünem Heftchen nachschauen und Entscheidung über H0(x2).
Interaktionseffekt-Hypothese:
H0 zu Faktoren x1 x2: das rein additive Modell liegt vor.
H0(x1x2): alle Effektparameter (αβi1i2) sind null.
TW: F-Wert: F(dfz, dfn) = (ssq(x1x2)/dfz) / (ssqe(within)/dfn)
wobei: dfz = (I1 – 1)*(I2 – 1), dfn = n - I1*I2
F-Wert in grünem Heftchen nachschauen und Entscheidung über H0(x1x2).
 Ein Beispiel für eine ANOVA-Tabelle findet ihr im Skript auf Seite 216.
Alte Klausuraufgabe:
Die Unterschiede in der Hautdicke wird bei 40 Personen untersucht (20 weibliche und 20 männliche).
Dabei soll zusätzlich der Alterseffekt konstant gehalten bzw. mituntersucht werden.
Ergebnis:
a)
Sex
m
w
b) Alter
Anzahl
Kinder
10
Erwachsene
10
Kinder
10
Erwachsene
10
y: Hautdicke (in mm)
arithm.
Mittel
Standardabw.
1
1
2
1
0,5
1
1,5
1
Untersuchen Sie zur Prädiktion die Mittelwertsregeln. Berechnen Sie:
a) den multiplen Determinationskoeffizienten 1. Art:_________0,258________
b) Fehler(-):____48,5_____und den Fehler(within):_________36_____________
Testen Sie folgende Hypothesen:
c) Die Interaktionseffekte zwischen a und b sind null.
Freiheitsgrade:___1; 36____ Testwert:_______0_____________
d) Die b-Haupteffekte sind null;
Freiheitsgrade:___1; 36_______ Testwert:_______10____________
H0 ablehnen?____ja______ krit. F-Wert:______4,11____________
Korrelationstest:

Zwei unverbundene Stichproben: H0: Korrelation in beiden Gruppen gleich.
1. Schritt: r in z(r) einsetzen zur Transformation:
2. Schritt: z(ri) in Formel für Testwert einsetzen; Teststatistik ist approximativ
normalverteilt:
Beispiel:
ρ1 = r1 = 0,5
n1 = 43
ρ2 = r2 = 0,4
n2 = 23
z(r1) = 0,5493
z(r2) = 0,42365
TW =(0,5493 - 0,42365) / ( 1/40 + 1/20 ) = 0,4588
KB = +1,96 und größer und -1,96 und kleiner  H0 annehmen.