Berechnung von Wahrscheinlichk. a) Statistische (empirische) Methode - über relative Häufigkeit“ (s. Statistik) ” Exotische Anwendung“: Identifikation nich” ” tidealer“ Roulette-Tische in Spielcasinos b) Falls: Menge der Elementarereignisse endlich (|E| < ∞) und alle Elementarereignisse gleichwahrscheinlich: P (ei ) = P (ej ), ∀i, j (Laplacesches Zufallsexp.), dann Z = P(E) Anzahl der für A günstigen EE Anzahl aller EE Für Berechnung von |E| ⇒ Anwendung der Grundaufgaben der Kombinatorik“: ” k aus n“ - s. z.B. web-page http://www. ” matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Kombin und P (A) = Mit Wdhlg. mit Beachtung der Reihenf.: nk n+k−1 Mit Wdhlg. ohne Beachtg. d. Reihenf.: k n! ohne Wdhlg. mit Beachtg. d. Reihenf.: (n−k)! ohne Wdhlg. ohne Beachtg. d. Reihenf.: n k Für Berechnung von |A|: Zusammensetzen“ ” Besonders: Glücksspiel (Würfel; Karten; etc.) Beispiel 5er bei 6 aus 6: (mindestens) 49“ ” 6 43 49 |A| = 6 + · = 259, |E| = = 6 5 1 6 13983816, P (A) = 0, 0000185. Zu Bsp. 1: idealer Würfel“ P (ei ) = 1 6 ” 6 Die Wkt.en aller 2 = 64 denkbaren Ereignisse ergeben sich sofort durch Auszählen“ ” ( nicht sehr spannend“) ” Für 2 unterscheidbare Würfel ( mit + mit“; ” 2 k = 2, n = 6 ⇒ |E| = 6 ) sind die EE (e11 = {1, 1}, ..) gleichwahrscheinlich 1 (insgesamt 236 zuf. Ereign.) 36 Für 2 nicht unterscheidbare Würfel ist dies nicht erfüllt ( mit + ohne“; |E| = 7 2 = 21): ” 1 1 ẽ54 = {e54 , e45} ⇒ P (ẽ54 ) = , P (ẽ11 ) = 18 36 c) Zufallssituationen mit abzählbar unendlich vielen EE (Beispiel 3): Z = P(E) bleibt, aber gleichwahrscheinlich nicht möglich. Dennoch: P (eij ) = E = {en}∞ n=1 , pn ∈ [0, 1], mit ∞ X n=1 pn = 1 ⇒ P (en ) = pn, P (A) = X pk (∀A ⊆ E mögl.!) k:ek ∈A d)Bei Identifikation von E, A mit geometri” schen Gebilden“ (Längen, Flächen, Volumic Punkte“ - überabzählbar): na, ..; EE = ” m(A0) 0= c A, E 0 = c E P (A) = , A 0 m(E ) Elementarereign.( Punkte“) haben dabei (sinn” vollerweise!) die Wkt. 0 (Inhaltsmaß: m(e0 ) = 0) (auch für Mengen mit endlich oder abzählbar unendlich vielen Punkten). Nur umfassendere“ Ereignisse haben eine ” echt positive Wkt. > 0. 1−(2/3)2 5 Beispiel 4: P (A) = = 1 9 Problem (z.B.) bei geometr. Wkt. - wenn insbesondere das Axiom III gelten soll: Nicht alle Teilmengen sind messbar, nicht alle Teilmengen von E besitzen Wkt. P (A) ⇔ nicht alle Teilmengen A von E sind zufällige Ereignisse, bzw.: nicht alle TM gehören zu Z)! Aber: Alle wichtigen ( vernünftigen“) Mengen blei” ben meßbar (können als zuf. Ereignis interpretiert werden). Bedingte Wahrscheinlichkeit Def. 13.7: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B unter der Bedingung, dass ein Ereignis A mit P (A) > 0 bereits eingetreten ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B unter der Bedingung A und wird mit P (B|A) bezeichnet. Wichtig (sinnvoll): Bedingte Wkt.en werden nur für P (A) > 0 betrachtet. Beispiel 7: 3 Urnen mit Kugeln (rot/weiß) U 1 : 3 weiß, 2 rot, U 2 : 2 w, 8 r, U 3 : 8 r, B: gezogene Kugel weiß, Ai: Kugel aus Urne i 3 1 , P (B|A2 ) = , P (B|A3 ) = 0 5 5 Multiplikationstheorem der WR: Es gilt P (B|A1 ) = P (A ∩ B) = P (A|B)P (B) = P (B|A)P (A), für alle Ereignisse mit P (A) > 0, P (B) > 0. (A∩B) P (A∩B) Oder: P (A|B) = P P , P (B|A) = (B) P (A) Äquivalent zu Def.13.7 (auch Definition“) ” Rechenregeln für bedingte Wkt.: P (A|C) = 1 − P (Ā|C), P (C|C) = 1 P (A ∪ B|C) = P (A|C) + P (B|C) − P (A ∩ B|C) Unabhängigkeit von Ereignissen Def. 13.8: Ein zufälliges Ereignis A heißt vom zufälligen Ereignis B unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A unabhängig davon ist, ob B eingetreten ist oder nicht, d.h. P (A|B) = P (A). Folgerungen: a) aus Multiplikationstheorem P (A∩B)=P (A)P (B)=P (B|A)P (A) ⇒ P (B|A)=P (B) Ist A von B unabhängig, so auch B von A. b) Sind A, B unabhängig, so auch die Paare (A, B̄), (Ā, B), (Ā, B̄) Unabhängigkeit in Mengensystemen (> 2) Def. 13.9: Die n zufälligen Ereignisse A1, A2, . . . , An heißen insgesamt unabhängig, wenn für jedes m-Tupel (i1, i2, . . . , im ) von natürlichen Zahlen mit 1 ≤ i1 < i2 < . . . < im ≤ n gilt: P (Ai1 ∩Ai2 ∩. . .∩Aim ) = P (Ai1 )P (Ai2 ) . . . P (Aim ) . Sie heißen paarweise unabhängig, wenn für jedes Indexpaar (i, j) mit 1 ≤ i, j ≤ n, i 6= j die Ereignisse Ai und Aj unabhängig sind, also wenn gilt P (Ai ∩ Aj ) = P (Ai )P (Aj ). Konsequenz: P ( n \ k=1 Ak ) = n Y P (Ak ). k=1 Insgesamt unabhängige Ereignisse sind auch paarweise unabhängig (nicht umgekehrt). Achtung(!!): Begriffe Unabhängigkeit und Unvereinbarkeit (von Ereignissen) immer klar unterscheiden (und Konsequenz für Wkt.-berechng. beachten!): A, B unvereinbar ⇒ P (A∩B) = 0, P (A∪B) = P (A)+P (B) Aber(!): A, B unabhängig ⇒ P (A ∩ B) = P (A)P (B), und P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A)P (B) Formel der totalen Wahrscheinlichkeit Sei (A1, A2, . . . , An) ein vollständiges System paarweise unvereinbarer Ereignisse (s. Def.13.6). Dann gilt für ein beliebiges zuf. Ereignis B B= n [ (B ∩ Ak ) ⇒ P (B) = k=1 ⇒ P (B) = n X P (B ∩ Ak ) k=1 n X P (B|Ak )P (Ak ) mit Multipl.-theor. k=1 Das ist die Formel der totalen Wahrscheinlichkeit Beispiel 7 (Fortsetzg.) B - gezog. Kugel weiß 3 1 1 1 1 4 11 P (B) = · + · + 0 · = , P (B̄) = 5 3 5 3 3 15 15 ZUSATZ Anwendung Unabhängigk.: Zuverlässigkeitstheorie ( Schaltalgebren; logische Verknüpfung“ ” von Ereign.) P (Ai) = pi, i = 1, 2 Reihensch.: A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ . . . An Parallelsch.: A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ . . . An Grundformeln“: ” P (A1 ∩A2) = p1p2 , P (A1 ∪A2) = p1 +p2 −p1 p2 Beliebig kombinierbar“ (Komplex-Schaltg.) ” Beweis Formel für bedingte Wkt P (A ∪ B|C) P (A ∪ B|C) = P (A ∩ C) ∪ (B ∩ C P (C) = P (A ∩ C) + P (B ∩ C) − P (A ∩ B ∩ C) = ⇒ P (C) P (A ∪ B|C) = P (A|C) + P (B|C) − P (A ∩ B|C)