13. Vorlesung

13. Vorlesung
Rückblick: Eigenwerte und Eigenvektoren
Diskrete dynamische Systeme
Fibonacci-Zahlen
Skalarprodukt
Definition und Eigenschaften im Rn
Verallgemeinerung: Euklidische R-Vektorräume
Längenmessung, Winkelmessung
Orthogonalität
Orthogonale Vektoren
Orthogonalbasis, Orthonormalbasis
Ulrike Baumann
Lineare Algebra
Langzeitverhalten diskreter dynamischer Systeme
w0 sei der Zustandsvektor zum Startzeitpunkt;
wk sei der Zustandsvektor zum Zeitpunkt k.
Sei A die Matrix, die den Übergang vom Zustand zum
Zeitpunkt k in den Zustand vom Zeitpunkt k + 1 beschreibt:
wk+1 := Awk
Es seien die Eigenwerte von A und vi zugehörige
Eigenvektoren:
Avi = ki vi (i = 1, . . . , n)
Es sei
w0 = r1 v1 + r2 v2 + · · · + rn vn
eine Darstellung von w0 als Linearkombination der
Eigenvektoren von A (falls eine solche Darstellung existiert).
Dann gilt:
wn = An w0 = r1 (k1 )n v1 + r2 (k2 )n v2 + · · · + rn (kn )n vn
Ulrike Baumann
Lineare Algebra
Formel von Binet
Die Fibonacci-Folge ist rekursiv definiert durch f0 := 0, f1 := 1 und
fn+1 := fn + fn−1 für n > 0. Es gilt:
Wegen
f1
f0
=
k
0
0 1−k
1 1
1 0
1
0
k 1−k
=S
S mit S =
1
1
1 1
( k und 1 − k sind die Eigenwerte von
)
1 0
1 1
1 0
−1
gilt:
fn+1
fn
=
fn
fn−1
=
1 1
1 0
n √ !Lineare
√ !n !
n
Algebra
Ulrike Baumann
1
0
Skalarprodukt im Rn
Das Skalarprodukt im Rn ist eine Abbildung • : Rn × Rn → R
mit
u • v := u1 v1 + u2 v2 + · · · + un vn
für alle u, v ∈ Rn .
Es gilt:

u • v := u T v =
u1 u2 . . .
un




v1
v2
..
.
vn
(Matrizenmultiplikation)
Ulrike Baumann
Lineare Algebra





Eigenschaften des Skalarprodukts im Rn
1
• ist R-bilinear:
Für alle u, u1 , u2 , v , v1 , v2 ∈ Rn und alle r ∈ R gilt
(u1 + u2 ) • v = (u1 • v ) + (u2 • v ), (ru) • v = r (u • v )
und
u • (v1 + v2 ) = (u • v1 ) + (u • v2 ), u • (rv ) = r (u • v ).
2
• ist symmetrisch:
Für alle u, v ∈ Rn gilt:
u•v =v •u
3
• ist positiv definit:
Für alle u ∈ Rn gilt:
u • u ≥ 0 und u • u = 0 ⇐⇒ u = 0
Ulrike Baumann
Lineare Algebra
Euklidischer Vektorraum
Sei V ein R-Vektorraum.
Jede Abbildung • : V × V → R mit den Eigenschaften
(1), (2), (3) wird ein Skalarprodukt auf V genannt.
Ist • ein Skalarprodukt auf V , dann nennt man (V , •) einen
euklidischen R-Vektorraum.
Beispiel:
Der Vektorraum der Polynome in x über R ist mit dem durch
Z1
p • q :=
p(x) · q(x) dx
−1
definierten Skalarprodukt • ein euklidischer Vektorraum.
Ulrike Baumann
Lineare Algebra
Längenmessung
Die Norm (Länge) ||v || eines Vektors v ist durch
√
||v || := v • v
definiert.
Ein Vektor v mit ||v || = 1 wird Einheitsvektor genannt.
Es gilt:
1
2
3
||v || ≥ 0 und ||v || = 0 ⇐⇒ v = 0 für alle Vektoren v
||rv || = |r | · ||v || für alle Vektoren v und alle r ∈ R
||u + v || ≤ ||u|| + ||v || für alle Vektoren u, v
(Dreiecksungleichung)
Der Abstand dist(u, v ) von Vektoren u, v ist wie folgt
definiert:
dist(u, v ) = ||u − v ||
Ulrike Baumann
Lineare Algebra
Winkelmessung
Sei V ein euklidischer R-Vektorraum mit dem Skalarprodukt •.
Seien u, v ∈ {0V }.
Das eindeutig bestimmte α ∈ [0, π] mit
cos(α) =
u•v
||u|| · ||v ||
heißt Winkel zwischen u und v .
Seien u, v ∈ V .
Die Vektoren u und v heißen zueinander orthogonal, wenn
u • v = 0 gilt;
Bezeichnung: u⊥v
Seien u, v ∈ V . Dann gilt:
u⊥v ⇐⇒ ||u + v ||2 = ||u||2 + ||v ||2
Ulrike Baumann
Lineare Algebra
Orthogonalbasis
Ist {v1 , . . . , vk } eine Menge von k Vektoren aus dem Rn mit
vi • vj = 0 für alle i, j ∈ {1, . . . , k} mit i 6= j, dann ist
{v1 , . . . , vk } linear unabhängig und somit eine Basis eines
Untervektorraums von Rn .
Eine Basis (b1 , . . . , bk ) eines Untervektorraums W von Rn
wird eine Orthogonalbasis von W genannt, wenn
bi • bj = 0
für alle i, j ∈ {1, . . . , k} mit i 6= j gilt.
Ulrike Baumann
Lineare Algebra
Orthonormalbasis
Eine Orthogonalbasis (b1 , . . . , bk ) eines Untervektorraums W
von Rn wird eine Orthonormalbasis von W genannt, wenn
||bi || = 1
für alle i ∈ {1, . . . , k} gilt.
Es sei A ∈ Rm×n .
Die Spaltenvektoren von A bilden eine Orthonormalbasis des
Spaltenraums Col(A) von A genau dann, wenn
AT A = En
gilt.
Ulrike Baumann
Lineare Algebra