Ubungsbsp 19 aus Theorie II

Übungsbsp 19 aus Theorie II
Die Schrödingergleichung in der |x >-Repräsentation lautet für dieses Problem
~2
A
4 − + E)ϕ = 0
(1)
2m
x
Das bei der Energie unübliche positive Vorzeichen kommt daher, dass die Energie
gebundener Zustände erwartungsgemäß negativ sein wird und so einfach mit dem
Betrag weitergerechnet werden kann. Gleichung (1) wird mit x erweitert und dann
fouriertransformiert. Dabei muss zwei mal partiell integriert werden und mehrmals ein
∂/∂k vor ein Integral gezogen werden. Somit ergibt sich die Darstellung im k-Raum:
(−
u0 (k 2 + αE) + u(2k − iαA) = 0,
(2)
2
~
gesetzt wurde. Dabei handelt es sich um eine Differentialgleichung 1.
wobei α := 2m
Ordnung mit der Lösung1
√α
arctan √ k
iA E
αE
e
(3)
u(k) = u0
2
k + αE
Damit ist das Problem im k-Raum gelöst, es muss nun rücktransformiert werden:
Z ∞
Z ∞
√α
1
1
dk
i(A E
arctan √ k −kx)
−ikx
αE
ϕ(x) =
e
dku(k)e
=
2
k
2π −∞
2παE −∞ 1 + αE
Z π/2
√α
√
1
∗
=
dzei(A E z−x αE tan z)
2παE −π/2
r
Z π/2
√
1
α
∗∗
=
z − x αE tan z
(4)
dz cos A
2παE −π/2
E
k
Bei (*) wurde mit z = arctan √αE
substituiert, bei (**) ausgenutzt, dass der Sinusix
Anteil bei e = cos x + i sin x hier aus Symmetriegründen wegfällt.
Das letzte Integral lässt sich mit der sogenannten Whittaker-Funktion Wλ,µ lösen,
genaueres dazu findet man in “Table of Integrals, Series and Products” von Gradshteyn/Ryzhik auf S 423, Formel 6. In diesem Fall bedeutet das
√ W
γ/2,−1/2 2x αE
u0
,
(5)
ϕ(x) =
2αE
Γ (1 + γ/2)
pα
wobei γ := A E
bedeutet. Allgemein definiert sind die Whittaker-Funktionen über
gewisse andere Verteilungsfunktionen, die ihrerseits ziemlich unangenehm aussehen.
Wirklich sinnvoll weiterrechnen kann man allerdings für den Fall γ/2 = nN , denn
das führt auf Laguerre-Polynome:
n
y
n
y
−2
Wn,−1/2 (y) = (−1) e− 2 L−1
n = (−1) e
1 Trennung
der Variablen!
1
y y dn
e
e−y y n−1
n
n! dy
(6)
Damit lässt sich die Lösung des Problems schreiben als
√
αE
ϕn (x) = ϕ0n xex
dn −2x√αE n−1 e
x
dxn
(7)
R∞
Sämtliche unbedeutende Faktoren stecken in ϕ0n , das man aus der Bedingung 0 dxϕϕ∗
bestimmen könnte. Für die Energieeigenwerte ergibt sich aus der Ganzzahligkeit von
γ/2
2mA2
(8)
En = 2 2
4~ n
Nun noch zum Grund, warum γ eine gerade natürliche Zahl ist. Um Wλ,−1/2 (0) = 0
zu erfüllen, muss folgende Gleichung, die aus der Defintion der Whittaker-Funktionen
folgt, gelten:
Γ (1)
Γ (−1)
+
= 0.
(9)
Γ (1 − λ) Γ (−λ)
Durch die Funktionalgleichung der Γ-Funktion kann man diese Gleichung etwas vereinfachen:
Γ (−1)
Γ (1)
+
= 0.
(10)
−λΓ (−λ) Γ (−λ)
Für negative ganze Zahlen divergiert die Γ-Funktion. Wäre λ keine ganze Zahl, so
würder der linke Term existieren, der rechte wäre unendlich, die Gleichung könnte also
nicht erfüllt werden. Das geht nur, wenn λ positiv ganzzahlig ist, weil dann Γ (−λ)
nicht existiert und so der zweite Term unbestimmt ist. Die Gleichung könnte also
erfüllt sein, damit wäre die Anwendung der Laguerre-Polynome gerechtfertigt. Ob sie
das ist, kann man überprüfen, indem man das Ergebnis für die Wellenfunktion in die
Ausgangsgleichung einsetzt.
2