Theoretische Physik II - Quantenmechanik (SS 2017)

Theoretische Physik II - Quantenmechanik
(SS 2017)
Übung 5
15.05.2017
Das Übungsblatt wird in der Woche vom 22. Mai abgegeben.
Aufgabe 17
(Spektralzerlegung)
(5 Punkte)
Q̂ ist ein Operator mit einem vollständigen Satz von Eigenvektoren:
Q̂|ni = qn |ni
n∈
N.
Zeigen Sie, dass man Q̂ mit Hilfe seiner Spektralzerlegung schreiben kann als
Q̂ =
X
qn |nihn|.
n
Aufgabe 18
(Puls mit endlicher Breite)
(5 + 4 + 4 + 3 = 16 Punkte)
Betrachten Sie die Wellenfunktion
(
Ψ(x, 0) =
√1
2nλ
exp(i 2πx/λ)
0
−nλ < x < nλ
sonst
mit einer positiven ganzen Zahl n.
(a) Bestimmen Sie Ψ(p, 0) und interpretieren Sie das Ergebnis.
(b) Skizzieren Sie die Funktionen |Ψ(x, 0)|2 und |Ψ(p, 0)|2 und bestimmen Sie die Breien wx
und wp als den Abstand zwischen den Nullstellen auf beiden Seiten des Hauptpeaks. Was
geschieht mit den Breiten für n → ∞?
(c) Nehmen Sie wx und wp als Abschätzung für ∆x und ∆p und überprüfen Sie damit, ob
die Heisenberg’sche Unschärferelation erfüllt ist.
(d) Wenn Sie versuchen (∆p)2 zu berechnen, werden Sie eine unangenehme Überraschung
erleben. Können Sie sagen warum?
Aufgabe 19
(Gauss’sches Wellenpaket)
( 6 + 6 + 8 + 5 + 4 = 29 Punkte)
Ein freies Teilchen wird zum Zeitpunkt t = 0 durch ein Gauss’sches Wellenpaket mit minimaler
Unschärfe beschrieben:
Ψ(x, 0) = A exp(−αx2 /(2h̄) exp(ip0 x/h̄).
(a) Bestimmen Sie A, hxi(0) und hpi(0).
(b) Bestimmen Sie hx|ψ(t)i und hp|ψ(t)i.
(c) Bestimmen Sie hx(t)i, (∆x(t))2 , hp(t)i und (∆p(t))2 . Benutzen Sie die jeweils günstigste
Darstellung von |ψ(t)i zur Berechnung.
(d) Zeigen Sie, dass hHi = hpi2 +hHi0 , wobei hHi0 die Energie eines Wellenpakets mit hpi = 0
ist.
(e) Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse. Berücksichtigen Sie dabei die folgenden Aspekte: Form
des Wellenpakets, Ehrenfest-Theorem (Zusammenhang zwischen den Erwartungswerten
von Ort und Impuls), Orts-Impuls-Unschärfe, Energie-Impuls-Relation, Bedeutung von
hHi0 und Abhängigkeit von α.