Lösung zur Aufgabe 6 des Lehrbuches (Seite 168)
a) K(x) = 0,5x3 – 8x2 + 45x
b)
Die Intervalle werden durch den Wendepunkt getrennt. Bei einem S-förmigen
Gesamtkostenverlauf, sinken die Grenzkosten zunächst bis zum WP, danach steigen
sie an.
K’(x) = 1,5x2 – 16x + 45
K’’8x) = 3x – 16
K’’’(x) = 3
Hinreichende Bedingungen für den WP: K’’(x) = 0 und K’’’(x)  0
3x – 16 = 0
x = 5,33 [ME]
I1 = [0 / 5,33[
I2 = ]5,33 / +  ]
K’’(1) = -13 < 0 → Rechtskrümmung von K(x) im Intervall 1, d. h., die zusätzlich
anfallenden Kosten, wenn die Produktion um eine ME ausgedehnt wird, nehmen von
Stück zu Stück ab.
K’’(6) = 2 > 0 → Linkskrümmung von K(x) im Intervall 2, d. h., die zusätzlich
anfallenden Kosten, wenn die Produktion um eine ME ausgedehnt wird, nehmen von
Stück zu Stück zu.
c)
Markt mit vollkommener Konkurrenz bedeutet: Auf beiden Seiten gibt es viele kleine
Nachfrager und Anbieter. Keiner hat davon große Marktmacht, so dass der
Marktpreis für alle fest vorgegeben ist. Man sagt, der Preis sei ein Datum (feste
Größe).
Information laut Aufgabe:
An der Gewinnschwelle bei x = 4 fallen 84 GE Kosten an.
An der Gewinnschwelle gilt: G(4) = 0, d. h. aber auch K(4) = 84 = E(4).
Wenn der Erlös an der Stelle 4 gleich 84 GE ist und die Erlösfunktion p * x lautet,
dann gilt:
84 = p * 4
p = 21 [GE/ME]
Dipl.-Volksw., Dipl.-Kfm. Hartmut Bender
1
d)
G(x) = E(x) – K(x)
= 21x – [0,5x3 - 8x2 + 45x]
= 21x – 0,5x3 + 8x2 – 45x
= -0,5x3 + 8x2 – 24x
Gewinngrenze: Bedingung: G(x) = 0
-0,5x3 + 8x2 – 24x = 0
Der letzte Summand hat noch ein x, so dass die Ausklammermethode greift.
x * (-0,5x2 + 8x – 24) = 0
x01 = 0 und
-0,5x2 + 8x – 24 = 0 / * (-2)
x2 – 16x + 48 = 0
x02 = 4 [ME]
Gewinnschwelle
x03 = 12 [ME]
Gewinngrenze
Gewinnmaximum: Hinreichende Bedingungen: G’(x) = 0 und G’’(x) < 0
G’(x) = -1,5x2 + 16x – 24
G’’(x) = -3x + 16
-1,5x2 + 16x – 24 = 0
/: (-1,5)
x2 – 10,6666667 + 16 = 0
x1 = 8,86 [ME]
x2 = 1,8 [ME] und kleiner als die Gewinnschwelle, daher nicht relevant.
G’’(8,86) = -10,58 < 0 → An der Stelle x = 8,86 ME hat die Gewinnfunktion einen HP.
G(8,86) = 67,61 [GE]
Der maximale Gewinn von 67,61 GE erzielt der Polypolist, wenn er 8,86 ME herstellt
und verkauft.
e)
Dipl.-Volksw., Dipl.-Kfm. Hartmut Bender
2
Hier ist alles noch einmal durchzurechnen mit der neuen Erlösfunktion E(x) = 17,5x.
Gewinnschwelle bei x = 5
Gewinngrenze bei x = 11
f)
Betriebsminimum: Gesucht sind die minimalen variablen Stückkosten
Hinreichende Bedingungen: kv(x) = 0 und kv’’(x) > 0
kv(x) =
Kv( x) 0,5 x 3  8 x 2  45 x

= 0,5x2 – 8x + 45
x
x
kv’(x) = x – 8
kv’’(x) = 1
x–8=0
x=8
kv(8) = 1 > 0
An der Stelle x = 8 hat der Graph der variablen Stückkosten einen Tiefpunkt.
kv(8) = 13 [GE/ME]
Die geringsten variablen Stückkosten hat der Polypolist, wenn er 8 ME herstellt. Sie
betragen dann pro Stück 13 GE.
Bedeutung:
p
kv
db
14
13
1
13
13
0
12
13
-1
db
Jede Einheit leistet einen Deckungsbeitrag von 1 GE zur
Abdeckung der fixen Kosten, danach zum Gewinn.
Die fixen Kosten werden nicht hereingeholt. Nur kurzfristig
kann zu diesem Preis angeboten werden, um auf die
Konkurrenz zu reagieren. Dieser Preis ist seine kurzfristige
Preisuntergrenze.
Die variablen Stückkosten werden nicht gedeckt. Können die
Kosten nicht gesenkt werden, muss die Produktion eingestellt
werden, da der Preis nicht reicht, um Lieferanten und
Arbeitnehmer zu bezahlen.
Betriebsoptimum: Gesucht sind die minimalen Stückkosten
Hinreichende Bedingungen: k’(x) = 0 und k’’(x) > 0
Dipl.-Volksw., Dipl.-Kfm. Hartmut Bender
3
K ( x) 0,5 x 3  8 x 2  45 x  20
20

 0,5 x 2  8 x  45 
x
x
x
20
k’(x) = x  8 
x2
k(x) =
k’’(x) = 1 
x 8
20
x
2
40
x3
0
/*x2
x3 – 8x2 – 20 = 0
Hornerschema:
Erste Nullstelle raten, d. h. Taschenrechner benutzten. Erst mit Step 1 und dann
weiter eingrenzen mit Steps 0,1 und 0,01.
x
8,29
1
1
-8
0,29
0
2,404
-20
0,07
k’’(8,29) > 0
An der Stelle x = 8,29 hat der Graph der Stückkosten einen Tiefpunkt.
Der Polypolist erreicht seine niedrigsten Stückkosten, wenn er 8,29 ME herstellt.
k(8,29) = 15,45 [GE/ME]
Die minimalen Stückkosten des Polypolisten betragen 15,45 GE, wenn er 8,29 ME
herstellt.
p
k
16,45
15,45
1
15,45
15,45
0
14,45
15,45
-1
An jeder verkaufen ME macht der Polypolist 1 GE
Stückgewinn, da wegen k alle Stückkosten gedeckt sind.
An jeder Einheit macht der Polypolist keinen Gewinn.
Allerdings hat er mit k alle Stückkosten gedeckt. Seinen
Unternehmerlohn hat er bereits in k eingerechnet. Er tut dabei
so, als hätte er einen Geschäftsführer angestellt. Er kann zu
diesem Preis langfristig anbieten. Dieser Preis ist seine
langfristige Preisuntergrenze.
An jeder Einheit verliert der Polypolist 1 GE zur Deckung der
fixen Kosten. Er kann nicht langfristig zu diesem Preis
anbieten, da er dann seine fixen Kosten nicht gedeckt
bekommt.
Dipl.-Volksw., Dipl.-Kfm. Hartmut Bender
4
Skizze
Graphen, Punkte, Gewinn- und Verlustzonen selbst beschriften.
E(x), K(x), G(x)










x




















Dipl.-Volksw., Dipl.-Kfm. Hartmut Bender
5
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Lösung zur Aufgabe 6 des Lehrbuches (Seite 168) - Hartmut