Christianeum
Mathematik
LK I
Volkswirtschaft - Lösung
Wilms
29. 10. 2008
2. Aus der Volkswirtschaftslehre
Nicht alle Menschen verfügen über gleich viel Einkommen. So verfügen etwa die ärmsten 10% der Deutschen über
weniger als 2% des Gesamteinkommens, während die reichsten 10% ungefähr 25% des Gesamteinkommens
beziehen.
Die Einkommensverteilung kann mit einer Lorenz-Kurve veranschaulicht werden: Auf der x-Achse wird der
(kumulierte) prozentuale Anteil der Bevölkerung abgetragen (beginnend mit dem Anteil, der über das geringste
Einkommen verfügt), und auf der y-Achse der zu dieser Gruppe gehörige (kumulierte) Anteil am Gesamteinkommen.
Definitions- und Wertebereich der Kurve ist also jeweils das Intervall [0 ; 1].
Würde jeder Einwohner über gleich viel Einkommen verfügen, so wäre die Lorenz-Kurve dieser
Einkommensverteilung die Gerade g mit g(x) = x. Die Größe des Flächenstücks zwischen der Geraden g und der
Lorenz-Kurve L ist ein Merkmal für die Ungleichverteilung des Einkommens der Bevölkerung.
a. Für ein bestimmtes Land wird die Einkommensverteilung durch die folgende Lorenz-Funktion beschrieben:
f : x  0,2  x4 + 0,4  x3 + 0,4  x2
a1.
Zeichne die zugehörige Lorenz-Kurve zusammen mit der oben genannten Geraden g in ein x-yKoordinatensystem.
a2.
Gib f(0) und f(1) an und begründe, dass für jede Lorenz-Funktion L gilt:
L(0) = f(0) und L(1) = f(1).
a3.
Beschreibe und erläutere das Steigungs- und das Krümmungsverhalten der Funktion f.
a4.
Über wie viel Prozent des Gesamteinkommens verfügen die 10% ärmsten bzw. die 10% reichsten
Einwohner dieses Landes?
a5.
Vergleiche die Einkommensverteilung dieses Landes mit derjenigen Deutschlands (s.o.) und
benenne Ähnlichkeiten und Unterschiede.
b. Lorenz-Kurven können auch abschnittsweise aus geraden Stücken zusammengesetzt werden.
Veranschauliche die folgende Einkommensverteilung durch eine derart zusammengesetzte Lorenz-Kurve
und gib die zugehörige Funktionsvorschrift an:
In einer bestimmten Population verfügen die ärmsten 70% der Bevölkerung über zehn Prozent und die
reichsten 30% der Bevölkerung über neunzig Prozent des Gesamteinkommens.
c. Drei Studenten der Volkswirtschaftslehre sollen die Einkommensverteilung einer bestimmten
Bevölkerungsgruppe durch eine Lorenz-Funktion beschreiben. Hier sind ihre Ergebnisse:
L1(x) = 0,785  x2 + 0,215  x
L2(x) = 1,191  x3 – 0,857  x2 + 0,667  x
L3(x) = 2,315  x4 – 3,152  x3 + 1,61  x2 + 0,227  x
Überprüfe, ob es sich hierbei tatsächlich um Lorenz-Funktionen handelt.
Ein Maß für die Ungleichheit der Einkommensverteilung einer Bevölkerung ist der Gini-Koeffizient G. Er wird definiert
durch den Quotienten:
G =
Inhalt des Flächenstücks zwischen der Geraden g und der Lorenzkurv e L
Inhalt des Flächenstücks unter der Geraden g
1
d.
In einem Lehrbuch wird G wie folgt angegeben:
G  2   x  L( x) dx .
0
Zeige, dass die Lehrbuch-Angabe aus der obigen Definition folgt.
e.
Welche Werte kann G annehmen? Begründe.
f.
Bestimme zu folgenden Angaben jeweils eine möglichst einfache Lorenz-Funktion und den GiniKoeffizienten und begründe, in welchem Land die Ungleichheit der Einkommensverteilung größer ist, wenn
nur die folgenden Informationen bekannt sind:
Im Jahre 1996 verfügte ein Drittel der Bevölkerung in Deutschland über zwei Drittel des
Gesamteinkommens, in Frankreich verfügte ein Zehntel der Bevölkerung über die Hälfte des
Gesamteinkommens.
a1) Ich zeichne den Graphen des Polynoms f(x) = 0,2 ∙ x4 + 0,4 ∙ x3 + 0,4 ∙ x2 sowie die Gerade g mit
g(x) = x im Intervall [0 ; 1] in dasselbe Koordinatensystem.
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a2) Berechne f(0) und f(1): f(0) = 0 (sic!), f(1) = 1 (sic!)
L(0) = 0 = f(0), da 0 % aller Bürger über 0 % des Gesamteinkommens verfügen, und L(1) = 1 =
f(1), da 100 % der Bürger über 100 % des Gesamteinkommens verfügen.
a3)Wie der Graph zeigt, ist f im Intervall [0 ; 1] streng monoton steigend und linksgekrümmt.
Überprüfung ohne Zuhilfenahme der Zeichnung:
 Ich betrachte die 1. Ableitung von f, die die Steigung angibt sowie das
Steigungsverhalten der Funktion beschreibt, und untersuche sie auf Nullstellen, da sich
bei ihnen das Steigungsverhalten von steigend zu fallend oder umgekehrt ändern könnte:
f ’(x) = 0,8 ∙ x3 + 1,2 ∙ x2 + 0,8 ∙ x; löse f ’(x) = 0  x = 0, also:
Zwischen 0 und 1 gibt es keine Nullstelle der 1. Ableitung, d.h. wegen f ’(0,5) = 0,8 > 0
nimmt die erste Ableitung nur positive Werte an, also steigt f im Intervall [0 ; 1] streng
monoton.
 Ich betrachte die 2. Ableitung von f, die das Krümmungsverhalten der Funktion
beschreibt, und untersuche sie auf Nullstellen, da sich bei ihnen das
Krümmungsverhalten von rechtsgekrümmt zu linksgekrümmt und umgekehrt ändern
könnte:
f ’’(x) = 2,4 ∙ x2 + 2,4 ∙ x + 0,8; löse f ’’(x) = 0  es gibt keine Lösung, also:
Es gibt keine Nullstelle der 2. Ableitung, d.h. wegen f ’’(0,5) = 2,6 > 0 ist f im Intervall
[0 ; 1] linksgekrümmt.
a4) Ich rechne: f(0,1) = 0,00442; f(0,9) = 0,74682; 1 – 0,74682 = 0,25318
 Die 10% ärmsten Bewohner verfügen über 0,44% des Gesamteinkommens,
 die 10% reichsten Bewohner verfügen über 25,32% des Gesamteinkommens.
a5) Ähnlich: Die 10% reichsten Bewohner verfügen in beiden Ländern über etwa 25% des
Gesamteinkommens;
Unterschiedlich: Die 10% ärmsten Bewohner verfügen über 2% des Gesamteinkommens in
Deutschland (D), aber nur über 0,44% in jenem anderen Land.
b) Gesucht ist eine aus geraden Stücken zusammengesetzte Lorenz-Funktion g mit g(0) = 0 und
g(0,7) = 0,1 und g(1) = 1:
Für 0 ≤ x ≤ 0,7 verläuft die Gerade durch (0;0) und (0,7;0,1), also m = 17 und b = 0, d.h
g : x → 17 ∙x
Für 0,7 ≤ x ≤ 1 verläuft die Gerade durch (0,7;0,1) und (1;1), also m = 3 und b = -2, d.h.
g:x→3∙x-2
c) L1(0) = 0 und L1(1) = 1 und L1 ist streng monoton steigend und linksgekrümmt, also ist L1 eine
Lorenzkurve.
L2(0) = 0 und L2(1) ≈ 1 und L2 ist streng monoton steigend, aber wegen L2’’(x) = 0  x ≈ 0,24
ist L2 in [0 ; 0,24] rechtsgekrümmt und in [0,24 ; 1] rechtsgekrümmt. Deshalb ist L 2 keine
Lorenzkurve.
L3(0) = 0 und L3(1) = 1 und L3 ist streng monoton steigend und L3 ist linksgekrümmt, also ist L3
eine Lorenzkurve.
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LK I Wachstumsmodelle 13