WIDER DIE ARMUT AN GEOMETRISCHEN FORMEN IM UNTERRICHT ZUR
LINEAREN ALGEBRA/ANALYTISCHEN GEOMETRIE
MICHAEL GIEDING
GERADE, KREIS, KUGEL UND SONST NICHTS?
„ Ich fordere also weniger Axiomatik, weniger Formalismus, weniger Struktur –
dafür mehr Anschauung, mehr Substanz, mehr Anwendung. Geometrie soll
dadurch wieder Leben bekommen, sie soll den Schülern wieder Freude
bereiten. Denn die Freude an einer Sache ist fast schon die Sache selber.
Geometrie muss für die Schüler ein Zaubergarten sein und nicht ein
Exerzierplatz.“ /13, S. 11
In Übereinstimmung mit den allgemeinen Zielen des Geometrieunterrichts der oberen
Klassen besteht die derzeitig noch gültige Hauptaufgabe des Geometrieunterrichts
der Abiturstufe in den neuen Bundesländern darin, die Schüler mit bedeutenden
Methoden der analytischen Geometrie vertraut zu machen. Insbesondere beinhaltet
das die Vermittlung eines anwendungsbereiten Wissens und Könnens in Bezug auf
das Arbeiten mit Koordinatensystemen und Vektoren und eine Vermittlung von
Kenntnissen über eine hinreichende Vielfalt geometrischer Objekte /3, S. 156.
Diesem Anliegen steht jedoch eine geradezu beschämende Formenarmut der im
Unterricht zu behandelnden geometrischen Objekte gegenüber. Lediglich für die
Punktmengen Gerade, Kreis und Kugel wird das Aufstellen einer Gleichung verlangt.
Den Schülern müssen hierdurch die Tragweite des grundlegenden Prinzips der
analytischen Geometrie so wie die weitreichende Anwendbarkeit der Vektorrechnung
verborgen bleiben /3, S. 161; 10, S. IV.
Eine derzeitig auf der Tagesordnung stehende Neugestaltung der
Mathematikausbildung der Abiturstufe in den Länder auf dem Territorium der
ehemaligen DDR müsste sich auch diesem Problem stellen. Diese Neugestaltung
könnte in Anlehnung an die entsprechenden Lehrpläne der alten Bundesländer
dahingehend erfolgen, dass die Intentionen des in diesem Mathematikunterricht
eingebetteten Geometrielehrgangs stärker zur linearen Algebra verschoben werden.
Für die Ausbildung in analytischer Geometrie hätte dieses zur Folge, dass man sich
auch weiterhin vornehmlich auf lineare geometrische Objekte beziehen würde,
wodurch zumindest die Gefahr bestände, dass das Problem der geringen
Formenvielfalt der geometrischen Objekte, die in den Unterricht einbezogen werden,
nicht beseitigt wäre.
LINEARE ALGEBRA VERSUS FORMENVIELFALT?
„Man erlaubt die Geometrie eben gerade so weit, wie die Methode der linearen
Algebra reicht, und das bisschen wird bis zum Erbrechen ausgewalzt und
ausgelaugt. ... Die Geometrie, die mit linearer Algebra auf der Schule möglich
ist, ist ein trübes Abwasser.“ /4, S. 441
Es soll an dieser Stelle nicht darüber diskutiert werden, ob die Akzente der
Ausbildung in analytischer Geometrie/linearer Algebra in höheren Klassenstufen
stärker auf die lineare Algebra als auf die analytische Geometrie oder umgekehrt
ausgerichtet sein sollten. Sicherlich kann diese Frage auch nicht allgemeingültig für
alle Schüler der Sekundarstufe II, bzw. der Abiturstufe geklärt werden.
Ferner ist ein gewisses Zeitproblem zu beachten: Auch, wenn man beabsichtigt, etwa
auf ebene und räumliche Kurven einzugehen, ist es wohl unabdingbar, dass der
Unterricht in analytischer Geometrie/linearer Algebra, Geraden, Ebenen, die
analytische Beschreibung dieser Objekte und ihre Lageverhältnisse zum Gegenstand
hat. Damit eng verbunden ist die Einführung von Elementen der Vektoralgebra, das
Lösen von Gleichungssystemen, eventuell Elemente der Matrizenrechnung ... . Die
Frage nach der zeitlichen Realisierbarkeit einer Einbeziehung weiterer, vor allem
nichtlinearer geometrischer Objekte, in die Ausbildung in analytischer
Geometrie/linearer Algebra scheint berechtigt.
In den folgenden Ausführungen soll durch exemplarische Aufgabenvorschläge
gezeigt werden, dass auch bei einer Konzentration auf die geometrischen Objekte
Gerade, Ebene und Kreis im Unterricht zur analytischen Geometrie/linearen Algebra
die Betrachtung weiterer, insbesondere nichtlinearer geometrischer Objekte diesem
Unterricht nicht zwangsläufig versagt sein muss. Dem angesprochenen
diesbezüglichen zeitlichen Problem lässt sich mit dem folgenden Vorgehen
begegnen: Die für die Schüler neuen geometrischen Objekte werden nicht explizit
und systematisch behandelt, sondern lediglich in Aufgaben und Übungen
einbezogen. Sie sind dann vor allem Übungsgegenstand zur Anwendung
mathematischen Wissens und Könnens, das ohnehin zu vermitteln ist. Für eine
Einbeziehung in das Übungsmaterial des Unterrichts in analytischer
Geometrie/linearer Algebra bieten sich besonders ebene (und eventuell räumliche)
Kurven an. Hierzu bemerkt z. B. B. FRANK:
„...sollte meine Erachtens durch die Aufnahme von Kurven wie Ellipse,
Hyperbel und Parabel in das Übungsmaterial der einseitigen Auffassung von Kurve
als Graph einer Funktion vorgebeugt werden, dem nachfolgenden Analysisunterricht
werden Anwendungsbezüge erschlossen und der Physikunterricht (an Schule und
Hochschule) erhält mit der Vermittlung von Bahnkurven diesbezüglich eine
Abstraktionsbasis.“ /3, S. 157f.
DER COMPUTER HILFT
„Der Computer ist ein Maghellan’sches Schiff, das uns zu neuen
mathematischen Welten trägt.“ /B
Realisierbar wird eine Einbeziehung von Kurven in das Übungsmaterial des
Unterrichts in analytischer Geometrie/linearer Algebra m. E. insbesondere durch die
Nutzung von Computern. So kann der Computer als Werkzeug zur Berechnung von
Stützpunktkoordinaten und zur schnellen Generierung von grafischen Darstellungen
der Kurven genutzt werden. Hierdurch ist eine zeitliche Entlastung des Unterrichts
möglich.
Nutzung des Computers als Werkzeug im Mathematikunterricht bedeutet, dass im
Vordergrund der Computernutzung die Bearbeitung mathematischer Probleme steht.
Zur Gewährleistung einer solchen Konzentration auf die mathematischen Probleme
bietet sich die Anwendung von spezieller für den Mathematikunterricht geschaffener
Software an. Für die folgenden Ausführungen wurde das speziell für den
Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II geeignete Mathematikprogramm
MathCAD gewählt. Es seien zunächst einige Bemerkungen zur Nutzung dieses
Programms vorangestellt.
MATHCAD: MATHEMATIK MIT DEM COMPUTER
MathCAD setzt die Verfügbarkeit eine IBM-kompatiblen Rechners mit 512 K RAM
und Grafikkarte (z. B. CGA, EGA, VGA, Hercules) voraus. Nach Aktivierung des
Programms wird dem Nutzer ein „Rechenblatt“ zur Verfügung gestellt, welches in
MathCAD Dokument genannt wird. Auf diesem Dokument kann der Nutzer ähnlich
wie auf einem Blatt Papier arbeiten. Die eingegebenen Rechnungsschritte werden
auf dem Bildschirm so dargestellt, wie es in der Mathematik üblich ist, und vom
Computer Zeile für Zeile von links nach rechts abgearbeitet. Zur Ausführung von
Berechnungen bietet MathCAD eine Reihe von mathematischen Konstanten,
Operatoren und Funktionen an. Ferner kann der Nutzer selbst Funktionen,
Konstanten und Variablen definieren. Ein relativ flexibel einsetzbares
Mathematikprogramm wäre unvollständig, wenn es nicht über eine Möglichkeit,
funktionale Zusammenhänge grafisch darzustellen, verfügen würde. Hierzu kann der
Nutzer von MathCAD an beliebigen Stellen des Dokuments Grafikfenster eröffnen,
denen ein kartesisches Koordinatensystem zugrunde liegt. Zum Einfügen von
Erläuterungen, Bemerkungen etc. in das Dokument beinhaltet MathCAD einen
Texteditor. Schließlich können MathCAD-Dokumente gespeichert und ausgedruckt
werden. Den folgenden Aufgabenvorschlägen sind MathCAD-Dokumente beigefügt,
die die Arbeit mit diesem Mathematikprogramm verdeutlichen werden.
GERADEN GENERIEREN KEGELSCHNITTE
„Alle Planeten bewegen sich auf kreisähnlichen Bahnen (Ellipsen) um die
Sonne. Die Sonne steht annähernd im Mittelpunkt der Bahnen.“ /9, S. 7
„Aus den Motiven der oben angeführten Entscheidung des Ministeriums, durch
welche Kegelschnitte vom Gymnasiallehrplan ausgeschlossen werden, erhellt,
dass deren Verfasser schwerlich eine Vorstellung von der allgemeinen
Bedeutung der von ihm mit dem Bann belegten Lehre hatte...“ /DU BOYSREYMOND, 1877, in: 11, S. 240-296
Obige Formulierung des ersten Keplerschen Gesetzes kann wohl als Höhepunkt der
Verbannung der Kegelschnitte aus dem Unterricht der allgemeinbildenden Schulen in
der ehemaligen DDR angesehen werden. Sicherlich können die Planetenbahnen in
erster Näherung als Kreisbahnen angesehen werden. Ob es deshalb jedoch
notwendig ist, den Begriff Ellipse nur noch verschämt in Klammern zu gebrauchen,
erscheint zumindest fragwürdig.
Die Philosophie, dass im mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht nur
solche Begriffe angesprochen werden dürfen, die auch exakt behandelt wurden, ist
m. E. überholt und letztlich auch nicht durchzuhalten. Mit der Intention, dass die
Schüler ihr erworbenes Wissen in einen größeren Rahmen einordnen können, ist
auch der Mathematikunterricht gezwungen, die Schüler mit Begriffen und Objekten
zu konfrontieren, die nicht expliziter Gegenstand des Mathematikunterrichts sind.
Hinsichtlich der geometrischen Objekte Parabel und Ellipse bietet sich diesbezüglich
das folgende Vorgehen an: Parabeln und Ellipsen werden als Hüllkurven spezieller
Geraden betrachtet. Dieses Vorgehen hat den Vorteil, dass man sich vor allem mit
der analytischen Beschreibung von Geraden zu beschäftigen hat. Durch die
grafische Darstellung der beschriebenen Geraden mittels des Computers werden
„praktisch nebenbei“ interessante Kurven generiert, d. h. durch die Computernutzung
haben die Schüler ein für sie (mehr oder weniger) neues geometrisches Objekt
entdeckt (s. Zitat eingangs des Abschnitts zur Computernutzung). Der Lehrer kann
nun je nach der Unterrichtslage entscheiden, ob auf die generierten Objekte tiefer
eingegangen wird oder nicht. In jedem Fall wurde zumindest angedeutet, dass die
Methoden der analytischen Geometrie auch auf andere geometrische Objekte als nur
auf Geraden anwendbar sind.
Aufgabe 1 weicht von diesem Prinzip ab. Sie dient zur Wiederholung der
analytischen Beschreibung einer Parabel in Scheitelpunktlage durch eine Gleichung
der Form y(x)=ax² (a,xR, a). Gleichzeitig könnte bei der Bearbeitung dieser
Aufgabe mit den Schülern die Art und Weise der Nutzung von MathCAD wiederholt
werden. In die vorliegenden Ausführungen wurde Aufgabe 1 auch aus dem Grunde
aufgenommen, um dem Leser die Arbeitsweise von MathCAD an einem relativ
einfachen Beispiel zu illustrieren.
Aufgabe 2 bezieht sich auf die Konstruktion einer Parabel als Hüllkurve ihrer
Tangenten.1 Neben den beschriebenen Vorteilen dieser Betrachtung werden
Beziehungen zum Analysisunterricht hergestellt.
Aufgabe 3 lässt sich durch die Fragestellung motivieren, was passiert, wenn in
Aufgabe 2 keine Leitgerade, sondern ein Leitkreis betrachtet wird (Ellipse als
Hüllkurve).2
Aufgabe 1: (Parabel als Funktionsgraf)
Stellen Sie verschiedene Parabeln in einem kartesischen x-y-Koordinatensystem
mittels MathCAD grafisch dar. Der Scheitelpunkt der Parabel möge dabei jeweils mit
dem Koordinatenursprung zusammenfallen. A) Normalparabel, b) gestauchte
Normalparabel, c) gestreckte Normalparabel, d) nach unten geöffnete
Normalparabel.
Lösung und mögliche Bearbeitung der Aufgabe:
Im Unterrichtsgespräch wir die Gleichung y(x)=ax² (a,xR, a) zur Beschreibung
von Parabeln in Scheitelpunktlage wiederholt. Dann generieren die Schüler mittels
MathCAD die geforderten grafischen Darstellungen. Ein mögliches MathCADDokument könnte wie folgt aussehen:
Parabeln:
X := -5 ..5
a) Normalparabel
y1(x) := x²
b) gestaucht
y2(x) := 0,5x²
c) gestreckt
y3(x) := 2x²
d) nach unten
y4(x) := -x²
y1(x), y2(x), y3(x), y4(x)
1
Man findet Aufgabe 2 in einer etwas anderen Bearbeitung auch in /5, S. 19ff., hier wird ein Pascal-Programm
zur Bearbeitung der Aufgabe verwendet.
2
Aufgabe 3 ist eine überarbeitete Version eines entsprechenden Aufgabenvorschlags von BECK /1.
Aufgabe 2 : (Parabel als Hüllkurve)
Man führe die folgende Faltkonstruktion aus:
Auf einem Blatt Papier seien eine Gerade 1 und ein nicht zu 1 gehörender Punkt F
gegeben. Auf der Geraden 1 sind verschiedene Punkte zu wählen. Dann ist das Blatt
so zu falten, dass die Punkte auf 1 jeweils mit dem Punkt F zur Deckung kommen.
Was für eine Figur könnte durch diese Faltungen entstehen?
Die Schüler führen zunächst die angegebene Konstruktion aus und beschreiben die
durch die Faltungen entstehende Figur (s. Figur 1).
- die entstehende Figur wird durch die Faltgeraden eingehüllt. Dabei gilt
offenbar, dass die Faltgeraden Tangenten an die entstehende Figur sind.
- Bei der entstehenden Figur könnte es sich um eine Parabel handeln.
Um zu einem aussagekräftigen Ergebnis der angegebenen Konstruktion zu kommen,
sind sehr viele Faltungen nötig, was manuell nur mit einem relativ hohen zeitlichen
Aufwand zu bewerkstelligen ist. Es bietet sich deshalb an, die Konstruktion mit dem
Computer zu simulieren. Verwendet man zur Realisierung dieser Simulation
MathCAD, hat man gleichzeitig die Möglichkeit, der entstehenden Hüllkurve ein
Koordinatenraster unterzulegen. Hierzu ist es nötig, die Faltkonstruktion analytisch zu
beschreiben. Dieses Problem reduziert sich letztendlich darauf, eine Faltgerade
analytisch zu beschreiben. Die Schüler werden aufgefordert, für dieses Problem eine
Skizze anzufertigen. Je nach Leistungsstand entwickeln die Schüler dann in
selbständiger Tätigkeit oder im Unterrichtsgespräch eine Gleichung zur
Beschreibung einer Faltgeraden:
Es sei L ein Punkt auf der Geraden 1. Die entsprechend dieses Punktes zu
konstruierende Faltgerade t ist die Mittelsenkrechte der Strecke s(FL) (s. Figur 2).
Zur analytischen Beschreibung von t ist ein geeignetes Koordinatensystem zu
wählen. Hierzu nehmen wir an, dass durch die Faltgeraden wirklich eine Parabel
eingehüllt wird. Die Faltgerade, die entsteht, wenn man auf 1 den Fußpunkt 0 des
Lotes von F auf 1 wählt, könnte aus Symmetriegründen die Tangente an die
eingehüllte Parabel im Scheitelpunkt dieser Parabel sein. In Anlehnung an Aufgabe 1
wird diese Faltgerade als x-Achse gewählt. Als y-Achse bietet sich die Senkrechte
auf 1 durch F an. Mit p sei der Abstand von F zu 1 bezeichnet. Der Punkt F hat
bezüglich dieses Koordinatensystems die Koordinaten xf=0 und yf=0, 5p.
Ferner gilt für die Koordinaten eines Punktes F auf 1: x1R und y1= -Die Gerade FL
hat den Anstieg
yf – y1
m’ = ———
xf – x1
Da die Faltgerade t senkrecht auf FL steht, ist ihr Anstieg m das negative Teziproke
von m’.
Unter Berücksichtigung der Koordinaten der Punkte F und L ergibt sich für m die
folgende Gleichung:
x1
m= —.
p
Der entartete Fall p= (F liegt auf 1) ist entsprechend der Aufgabenstellung
ausgeschlossen. Alle Faltgeraden lassen sich demnach durch eine Gleichung der
Form y (x) = m . x + n beschreiben. Zur analytischen Beschreibung der Faltgeraden
mittels einer solchen Gleichung ist noch der Ordinatenabschnitt n zu bestimmen:
Da eine Faltgerade die Mittelsenkrechte auf der jeweiligen Strecke s (FL) ist, gehört
der Mittelpunkt M dieser Strecke zur Faltgeraden. Für seine Koordinaten gilt:
Xm=
xf+x1 x1
—— = —
2
2
ym=
yf+y1
—— = .
2
Damit lässt sich n berechnen :
x1²
N=- —.
2p
Eine Faltgerade wird somit durch die folgende Gleichung beschrieben:
(1) y (x) =
x1
x1²
—x-—.
p
2p
Nach diesen Überlegungen wird den Schülern ein MathCAD-Dokument zur
Verfügung gestellt, das die angegebene Konstruktion auf der Grundlage der obigen
Gleichung simuliert. Dazu erhalten sie die folgenden Aufträge:
e) Überprüfen Sie, ob durch die Computersimulation der Faltkonstruktion die
Hypothese, dass durch die Faltgeraden eine Parabel eingehüllt wird,
unterstützt wird!
f) Falls Aufgabe (e) positiv zu beantworten ist:
Versuchen Sie unter der Voraussetzung, dass eine Parabel durch die
Faltgeraden eingehüllt wird, durch gezieltes Experimentieren herauszufinden,
welcher Zusammenhang zwischen dem Koeffizienten a in der
Parabelgleichung y (x) = ax² und dem Abstand p des Punktes F zur Geraden 1
besteht.
Ein entsprechend dieser Aufgabenstellungen bearbeitetes MathCAD-Dokument
könnte wie folgt aussehen (hier nur teilweise wiedergegeben):
X1 := -5,-4.8 ..5
x1
x1
Y (p,x1,x) := — x - —
p
2p
x := -5.2,-5.1 ..5.2
Zusammenfassend lässt sich konstatieren :
Durch die Computersimulation wird die Vermutung gestützt, dass durch die
Faltgeraden entsprechend des jeweils für p gewählten Wertes verschiedene
Parabeln eingehüllt werden. Nehmen wir an, dass wirklich Parabeln eingehüllt
werden, so liegt es nahe, entsprechend der grafischen Darstellungen dieser
Parabeln auf den Zusammenhang a= (2p)-1 zu schließen. Die Normalparabel wird
dementsprechend für p =  generiert.
An dieser Stelle ist en sicherlich angebracht, noch einmal explizit klar zu stellen, dass
bisher nur Vermutungen aufgestellt wurden, die mehr oder weniger stark durch
empirische Untersuchungen unterstützt wurden. Ein exakter Beweis, dass bei der
angegebenen Faltkonstruktion Tangenten einer Parabel generiert werden, steht noch
aus.
Nach den bisherigen Überlegungen lässt sich die noch zu erfüllende Beweisaufgabe
wie folgt formulieren:
g) Es sei t eine Gerade, die durch die Gleichung (1) beschrieben wird. Ferner sei
h eine Parabel, die durch die Gleichung (2) f (x) = (2p) –1x² beschrieben wird.
Man beweise, dass t eine Tangente an h ist:
Beweis:
Der Beweis ist erbracht, wenn gezeigt wurde, dass t und h genau einen Punkt
gemeinsam haben und alle anderen Punkte von h auf ein und derselben Seite von t
liegen.
Um dieses zu zeigen, wird t durch eine Gleichung der Form (*) ax+by+c=
(a, b, c R, a²+b²) beschrieben. Alle Punkte von t erfüllen diese Gleichung. Setzt
man auf der linken Seite von (*) die Koordinaten eines Punktes ein, der nicht auf t
liegt, so erhält man auf der rechten Seite der Gleichung eine reelle Zahl d.
Es seien P1 (x1, y1) und P2 (x2, y2) zwei Punkte und d1= ax1+by1+c und d2=ax2+by2+c.
P1 und P2 liegen auf ein und derselben Seite von t genau dann, wenn d 1 und d2
dasselbe Vorzeichen haben.
Durch elementare Umformungen erhält man aus Gleichung (1) eine Gleichung der
Form (*) : (3) –x1x+py+,5x1²=.
In der Tat gibt es genau einen Punkt B (xb, yb), dessen Koordinaten den Gleichungen
(2) und (3) genügen. Es gilt: xb=x1 und yb=f (x1).
Bei der Bearbeitung von Aufgabe 2 wurde die Parabel so betrachtet, wie die Schüler
es aus dem Mathematikunterricht bis Klasse 10 gewohnt waren (Parabel als
Funktionsgraf). Es bietet sich nun an, das Wissen der Schüler zur Parabel zu
erweitern und die Ortsdefinition der Parabel zu entwickeln. Motivieren lässt sich
dieses Vorhaben durch die folgenden Überlegungen:
Die Wahl des Koordinatensystems bei der Bearbeitung von Aufgabe 2 war
zweckmäßig, hätte prinzipiell aber auch anders erfolgen können. Bei der Wahl eines
anderen Koordinatensystems würde die Parabel zwar durch eine andere Gleichung
beschrieben werden, die Parabel selbst wäre jedoch dieselbe geblieben. Es liegt die
Frage nahe, ob eine Parabel durch Eigenschaften beschrieben werden könnte, die
sich nicht auf ein Koordinatensystem beziehen. Hierzu werden die Schüler
aufgefordert, die Faltkonstruktion der Parabel noch einmal ohne Zugrundelegung
eines Koordinatensystems zu betrachten und zu untersuchen, in welcher Beziehung
die Parabelpunkte und die Gerade 1 bzw. der Punkt F stehen:
Sei L ein Punkt auf der Geraden 1 und t die Mittelsenkrechte der Strecke s (LF) ist
gilt: P hat zur Geraden 1 denselben Abstand wie zum Punkt F. Diese Eigenschaft gilt
für alle Parabelpunkte. Somit kann definiert werden:
Eine Parabel ist die Menge aller Punkte einer Ebene, die zu einer Geraden 1 dieser
Ebene und einem nicht auf 1 liegenden Punkt dieser Ebene ein und denselben
Abstand haben.
Abschließend wird erwähnt, dass die Gerade 1 Leitgerade und der Punkt F
Brennpunkt genannt werden. Natürlich assoziiert die Bezeichnung Brennpunkt neue
Fragestellungen. Diesbezüglich sei auf die einschlägige Literatur zu den
Kegelschnitten (z. B. /12/) verwiesen.
Aufgabe 3: (Ellipse als Hüllkurve)
Führen Sie die folgende Faltkonstruktion aus: Auf einem kreisförmigen Blatt Papier
sei (im Innern) ein Punkt F festgelegt. P sei ein Punkt auf dem Rand des Blattes. Das
Blatt ist jetzt so zu falten, dass P mit F zur Deckung kommt. Derartige Faltungen sind
für verschiedene Punkte auf dem Rand des Blattes durchzuführen.
Was für eine Figur könnte durch diese Faltungen entstehen?
Lösung:
Es bietet sich wiederum an, die Faltkonstruktion mittels MathCAD zu simulieren. Das
Blatt Papier wird durch einen Kreis k mit dem Radius r modelliert. Zur analytischen
Beschreibung der Konstruktion wird ein kartesisches Koordinatensystem eingeführt,
dessen Ursprung mit dem Mittelpunkt von k zusammenfällt. Verschiedene Punkte P
auf k lassen sich mittels der Parameterdarstellung x() = r.cos(); y()=r.sin()
(    2) generieren.
Es sei P ein Punkt auf k. Die entsprechende Faltgerade t ist wiederum die
Mittelsenkrechte der Strecke s(FP). Da t bei dieser Aufgabe auch senkrecht auf der
x-Achse des zugrundegelegten Koordinatensystems stehen kann, ist es nicht
möglich, alle Faltgeraden durch Gleichungen der Form y(x)=mx+n zu beschreiben.
Zur grafischen Darstellung der Faltgeraden sind schließlich ihre Schnittpunkte mit
dem Kreis k zu bestimmen. Ein mögliches MathCAD-Dokument zur Simulation der
Faltkonstruktion ist im folgenden wiedergegeben. Man könnte sich mit der Erstellung
eines solchen Dokuments bzw. der Herleitung der Mathematischen
Zusammenhängen die ihm zugrunde liegen begnügen und die Schüler darauf
hinweisen, dass durch die Faltgeraden Ellipsen eingehüllt werden. Es wäre aber
auch möglich, durch gezieltes Experimentieren mit dem Dokument (Generierung des
Spezialfalls Kreis) und weitere mathematische Betrachtungen die Ortsdefinition der
Ellipse herzuleiten. Diesbezüglich sei auf /6, S 40 ff./ verwiesen.
Bemerkung: Im folgenden MathCAD-Dokument wurden die mathematischen
Sachverhalte in Vektorschreibweise formuliert, um dem Leser die Leistungsfähigkeit
von MathCAD zu verdeutlichen. Prinzipiell hätte die Aufgabe natürlich auch wie
Aufgabe 2 in vektorfreier Form bearbeitet werden können.
Festlegung der Ausgangsbedingungen:
Radius := 10
Punkt im Inneren von k:
F :=
Punkt auf k:
8
-3
radius cos(
P(radius sin (
Beschreibung der Faltgeraden:
Richtungsvektor der Faltgeraden:
- F - P(
1
1
r( F - P(
0
0
Punkt auf der Faltgeraden:








F + P(


2
(F + P(
1
1
2
Berechnung der Schnittpunkte mit dem Kreis k:
Bestimmung von p und q der resultierenden quadratischen Gleichung
M(r(
M( M( - radius²
p(————
q( := —————————
r (r(



r( r(

Parameter t1 und t2, die die beiden Schnittpunkte beschreiben
t1(:= -p( + p(² - q(
t2( := -p( - p(² - q(
Schnittpunkte der Faltgeraden mit dem Kreis k:
S1( ;= M( + t1(r( 

S2(( + t2(r(
Vorbereitung der grafischen Darstellung:
Anzahl der Faltgeraden
n := 100
Lege eine zu verbindende Folge von Punkten wie folgt fest:
Schnittpunkt S1 der ersten Faltgerade, Schnittpunkt S2 der ersten Faltgerade, Punkt
außerhalb der grafischen Darstellung, Schnittpunkt S1 der zweiten Faltgerade ...
Der Punkt außerhalb der grafischen Darstellung ist nötig, damit die zu zeichnenden
Sekanten nicht miteinander verbunden werden.
Index für die Punktfolge
I := 0 ..3 n
Differenz des Parameters 

d := 2 —
N
GERADEN GENERIEREN EINE ZYKLOIDE
„Wegen des direkten aber nicht so bekannten Bezuges zu Anwendungen
(Bahnkurvenaspekt, Ausnutzung gewisser Eigenschaften beim Bau
technischer Geräte) und der Möglichkeit, unter Verwendung von
Kleincomputern durch den Lehrer und insbesondere durch die Schüler selbst
die Vielfalt dieser Kurven zu erschließen, sind jedoch auch die Zykloiden als
Beispiele für die analytische Beschreibung (und Untersuchung) von Kurven in
Erwägung zu ziehen.“
/3, 1988, S158/
Die Verfügbarkeit von Computern und ihre Potenzen als schnelle Zeichner „schreien“
förmlich danach, insbesondere Kurventypen mit sehr hoher Formenvielfalt bei der
Suche nach geeigneten Kurven für das Übungsmaterial des Unterrichts in
analytischer Geometrie/linearer Algebra in Betracht zu ziehen.
Kurven mit besonders hoher Formenvielfalt sind die Zykloiden /Rollkurven).
Epizykloiden entstehen, wenn ein Kreis k2 mit dem Radius r2 auf einem Kreis k1 mit
dem Radius r1 außerhalb abrollt. Ein mit dem Kreis k2 fest verbundener Punkt P
bewegt sich dabei auf einer Epizykloide. Gilt r1=2r2 und befindet sich der Punkt P auf
k2, so entsteht eine Nephroide (Nierenkurve). Figur 3 verdeutlicht die Vielfalt der
Formen, die Epizykloiden annehmen können. Eine experimentelle Untersuchung
dieser Formenvielfalt mittels des Computers ist eine lohnenswerte und interessante
Aufgabe. Voraussetzung für die Generierung der in Figur 3 dargestellten Kurven
mittels MathCAD ist allerdings das Aufstellen einer Parameterdarstellung zur
Beschreibung von Epizykloiden.
Will man im Unterricht zur linearen Algebra/analytischen Geometrie soweit nicht
gehen, so muss diesem Unterricht eine Einbeziehung von speziellen Epizykloiden in
sein Übungsmaterial nicht zwangsläufig versagt bleiben. Die folgende Aufgabe soll
dieses verdeutlichen. Für interessierte Schüler könnte die Aufgab e eine
Ausgangsbasis zur weiteren selbständigen Beschäftigung mit dem äußerst
interessanten Kurventyp Zykloide sein. In die vorliegenden Ausführungen wurde
Aufgabe 4 auch deshalb aufgenommen, um zu zeigen, dass bei der Nutzung von
MathCAD zur Generierung der grafischen Darstellung von Hüllkurven mitunter die
Anwendung von Geradengleichungen nicht zwingend notwendig ist.
Aufgabe 4: (Nephroide als Hüllkurve)
Man betrachte einen (kreisförmigen) Fingerring auf einer weißen Unterlage, auf den
Sonnenlicht fällt. Es ist im Inneren des Rings eine eigentümliche Kurve zu
beobachten. Man simuliere die Entstehung einer solchen Kurve mittels MathCAD!
Lösung und mögliche Bearbeitung der Aufgabe:
Die entstehende Kurve ist Teil einer Nephroide (Nierenkurve).
In Aufgabe 4 wird die Nephroide jedoch nicht als Rollkurve, sondern als Hüllkurve
betrachtet. Sie entsteht durch Reflexion parallelen Lichtes am Kreis, wobei innerhalb
des Kreises reflektiert wird. Diese Entstehung sollten die Schüler selbst entdecken,
wozu sich die Nutzung der experimentellen Mittel des Physikunterrichts anbietet. Auf
der Grundlage dieser Untersuchungen lässt sich das Problem der Simulation der
Entstehung einer Nephroide wie folgt mathematisch modellieren (s. Figur 4):
Es sei k ein Einheitskreis mit dem Mittelpunkt M. K sei ein kartesisches
Koordinatensystem mit dem Ursprung M. Mit s sei eine Sehne des Kreises k
bezeichnet, die senkrecht auf der x-Achse von K steht. P sei der Entpunkt von s, der
unterhalb der x-Achse von K liegt. Q sei der Endpunkt von s oberhalb der x-Achse.
Für verschiedene solche Sehnen s ist das Bild bei einer Spiegelung an der jeweiligen
Geraden MQ mittels MathCAD grafisch darzustellen.
Lösung:
Es sei  die Größe des Winkels, der durch die positive x-Achse von K und den Strahl
MQ+ gebildet wird. Aus Symmetriegründen ist die Größe des Winkels, der durch die
positive x-Achse und den Strahl MP+ gebildet wird, ebenfalls . Der Punkt Q hat die
Koordinaten xq=cosund yq=sin. Bei der Spiegelung an der Geraden MQ ist Q ein
Fixpunkt. Das Bild der Sehne s bei dieser Spiegelung ist die Sehne s(QP ’) des
Kreises k, wobei gilt: Der Winkel P’MQ ist kongruent zum Winkel QMP. Demzufolge
gilt für die Koordinaten von P’: xp.=cos(3 und yp.=sin(3.
Damit die zu zeichnenden Sehnen nicht miteinander verbunden werden, fügt man
weitere Punkte so in die Folge ein, dass jeder dritte Punkt außerhalb des
Grafikfensters liegt.
Im folgenden ist ein entsprechendes MathCAD-Dokument wiedergegeben:
Nephroide als Hüllkurve
n := 40

d —

n
i := 0n ..3 n
... Anzahl der grafisch darzustellenden Sehnen
... Parameterdifferenz
… Index für die Folge von Punkten:
Interessierten Schülern wird abschließend die Lektüre von Fachliteratur zur
Problematik der Entstehung von Nephroiden als Hüllkurven bei der Reflexion
parallelen Lichtes an einem Kreis empfohlen.
Es bietet sich z. B. das bekannte Physiklehrbuch von GRIMSEHL, Bank 3 an /7, S.
57f/. Hier wird auch der Zusammenhang zur Nephroide als Rollkurve erläutert.
Literatur:
/1/
/2/
/3/
/4/
/5/
/6/
Beck, Uwe: Graphische Computer im Geometrieunterricht.
- In: Didaktik der Mathematik 8 (1980) 4. – S. 805-828.
Frank, Brigitte: Das Arbeiten mit Koordinatensystemen und Vektoren im
Mathematikunterricht – Eine Übersicht über historische Entwicklungen und
gegenwärtige Tendenzen, so wie eine Argumentation zu seiner
Weiterentwicklung an der Polytechnischen Oberschule der Deutschen
Demokratischen Republik.
Dissertation B. – Humboldt-Universität zu Berlin,
Fachbereich Mathematik, 1983
Frank, Brigitte: Grundpositionen zur Weiterentwicklung des
Geometrieunterrichts der Abiturstufe.
- In: Preprint 172, Herausgeber: Humboldt-Universität zu Berlin,
Fachbereich Mathematik, 1988
Freudenthal, H.: Mathematik als pädagogische Aufgabe (2 Bde.).
- Stuttgart, 1973
Gieding, Annette: Vorschläge für komplexw Aufgaben zur Einbeziehung von
ebenen Kurven in das Übungsmaterial des Geometrieunterrichts der
Abiturstufe.
- Diplomarbeit, Humboldt-Universität zu Berlin, Fachbereich Mathematik, 1990
Gieding, Michael: Möglichkeiten und Aspekte des Arbeitens mit Elementen
der Computergrafik im Geometrieunterricht der Abiturstufe in der DDR.
- Dissertation A, Humboldt-Universität zu Berlin,
Fachbereich Mathematik, 1990
Von den anderen Punkten der Parabel h ist zu zeigen, dass sie auf ein und
derselben Seite der Geraden t liegen. Hierzu wird die Gleichung (4) d= x1x+py+0,5x1²
betrachtet.
Setzt man in diese Gleichung die Koordinaten x und f (x) eines beliebigen Punktes
von h ein, so vereinfacht sich Gleichung (4) zu (4’) d= (x-x1)².
Aus (4’) folgt d0 für alle xx1. Damit liegen alle Punkte von h, die nicht zu t gehören,
auf ein und derselben Seite von t.
Abschließend zur Bearbeitung von Aufgabe 2 liegt die Frage nahe, ob man durch die
angegebene Faltkonstruktion (theoretisch) alle Tangenten an die eingehüllte Parabel
generieren kann, bzw. anders formuliert:
h)
Man beweise: Es sei h eine durch Gleichung (2) beschriebene Parabel und
Dann ist eine Gerade t die Tangente an h im Punkt B genau dann, wenn t
durch die Gleichung (1) beschrieben wird.
Die Aussage wenn t Gleichung (1) genügt, so ist sie Tangente an h in B wurde
bereits bewiesen. Es bleibt also zu zeigen: Wenn h eine durch Gleichung (2)
beschriebene Parabel ist, so lässt sicht die Tangente an h in B durch Gleichung (1)
beschreiben.
Beweis:
Die Tangente an h im Punkt B hat den Anstieg f ’ (x1)=p-1x1. Da p0 ist, lässt sich die
Tangente durch eine Gleichung der Form y(x)=mx+n mit m=f’ (x1) beschreiben.
Mittels der Koordinaten von B lässt sich n berechnen, wobei man
x1²
n = - — erhält
2p
Damit ist gezeigt, dass jede Tangente an eine Parabel in Scheitelpunktlage der
Gleichung (1) genügt.
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mis01 - PH Heidelberg