Gauss-Modell - bei Sven

Gauss-Modell
Kap. 24
Signifikanztests
Kap. 26
Meßergebni s  exact value  bias  chance error
wobei bias außer acht gelassen wird
Der SD zeigt die Genauigkeit einer einzelnen Messung an
Der SE zeigt die Genauigkeit dieser von mehreren (vielen) Messungen an
Achtung bei fonds oder pattern over time
Nullhypothese:
Annahme, dass eine beobachtete Schwankung lediglich auf Zufallsschwankungen zurückzuführen ist
Alternativhypothese:
Annahme, dass die beobachtete Abweichung einen zufallsunabhängigen Grund hat („echt ist“)
Teststatistik:
Größe, die die Differenz zwischen Daten und den unter der Nullhypothese erwarteten Werten misst.
z
beobachtet er Wert  erwarteter Wert
SE
Beobachtetes Signifikanzniveau:
Wahrscheinlichkeit dafür, ein mindestens so extremes wie das beobachtete Ergebnis zu erhalten
T-Test
Grundstruktur eines Signifikanztests:

Schachtelmodell für die Daten unter der Nullhypothese

Teststatistik, um Abweichungen zwischen Daten und erwarteten Werten zu messen

Ermittlung des beobachteten Signifikanzniveaus
Modifikation des z-Tests für kleine Stichproben:

Korrekturfaktor für SD:
*
SD 

Anzahl der Messungen
Anzahl der Messungen  1
* SD
Verwendung der t-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden
Fehler 1. Art/Fehler 2. Art
Realität
Urteil
nicht schuldig
schuldig
nicht schuldig
o.k.
Fehler 1. Art
schuldig
Fehler 2. Art
o.k.
Fehler 1. Art:
Wahrscheinlichkeit Nullhypothese verwerfen, obwohl diese richtig ist
Fehler 2. Art:
Wahrscheinlichkeit Nullhypothese nicht verwerfen, obwohl Alternativhypothese richtig ist
Wenn möglich mit Binomialverteilung!
Weitere Tests für das
arithmetische Mittel
Kap. 27
Definieren einer Trennwand, d.h. Test zum Signifikanzniveau von x%
SE einer Differenz:
Der SE einer Differenz zweier unabhängiger Quantitäten (Mengen) ist:
a
2
b
2
,wobeia  SEder1.Größe
undb  SEder2.Größe
ist.
Vergleich von 2 sample averages:
z
beobachtet e Differenz  erwartete Differenz
Differenz der SE
Notwendig für Berechnung:

beide Stichprobengrößen

beide Mittelwerte

beide SD’s
2-Test
Voraussetzung: unabhängige Zufallsstichproben
Auch anwendbar bei Ziehen ohne Zurücklegen, wenn ein nicht zu großer Anteil gezogen wird
Beurteilung der Anpassungsgüte. (Wie gut stimmen Modell und Daten überein?; prüft die Verteilung)

2

beobachtet e Häufigkeit  erwartete
2
Häufigkeit 
erwartete Häufigkeit
oder

2

O  E 2
E
Approximation des p-Wertes durch 2-Verteilung möglich.
Falls keine Parameter geschätzt werden:
Anzahl der Freiheitsg rade  Anzahl der Summanden  1
Für abhängige Experimente können die ²-Statistik sowie die Freiheitsgrade aufaddiert werden.
Bei 10 m x n Kontingenztafeln kann auf Unabhängigkeit getestet werden.
Falls keine Parameter geschätzt werden, gibt es m  1* n  1 Freiheitsgrade
Signifikanztests genauer
betrachtet
Kap. 29
Nullhypothese: Unabhängigkeit
Alternativhypothese: Abhängigkeit
Wann ist ein Resultat signifikant?
Im Wesentlichen handelt es sich um Konventionen, also besser p-Wert und Testverfahren angeben
Data Snooping:

multiples Testen

Hypothesen und Alternativen nach Angehen der Stichprobe

Aussuchen eines Tests, der das (subjektiv) beste Resultat bringt
einseitiger oder zweiseitiger Test je nach Formulierung der Alternativhypothese
Achtung! p-Wert abhängig von der Stichprobengröße:

zu klein: selbst Relevantes ist nicht signifikant

zu groß: irrelevantes ist signifikant
Signifikanztest prüft nur, ob es sich um eine zufällige Schwankung handelt oder nicht. Prüft nicht die Güte des Modells oder die
Wichtigkeit des Unterschieds.
Macht nur Sinn, wenn Wahrscheinlichkeitsmodell zugrunde liegt
Daher Vorsicht bei:

Grundgesamtheit

sample of convenience
Test von McNemar
Situation: Umfrage über Einstellungen, dh. es interessieren nur Wechsler
technisch: Ziehen aus der Schachtel 0 1
nachher
vorher
relevant
nicht relevant
relevant
49
1
50
nicht relevant
6
44
50
55
45
100
Zeichentest
Benutzung der Binomialverteilung bzw. der Normalapproximation (bei großer Anzahl von Wechslern)
Situation: Median unbekannt bei n Ziehungen mit Zurücklegen
Nullhypothese: m=m0
wobei m0 ein fester Wert ist, der mit einer Wahrscheinlichkeit von 0 gezogen wird.
Alternative: mm0 (zweiseitig) bzw. m<m0, m>m0 (einseitig)
Technik: Ersetze jede Ziehung durch
0, falls Ziehung < m0
1, falls Ziehung > m0
dh. n-faches Ziehen aus 0 1 binomialverteilt mit p=0,5
falls m=m0  weglasen, wenn es nicht zu oft vorkommt
Wilcoxon-Test
Situation: n-Ziehungen aus Schachtel A und m-Ziehungen aus Schachtel B
Frage: A=B?
Problem: Anzahl der Ziehungen gering; keine Informationen über A, B
nicht nomialverteilt  Wilcoxon-Tabelle!
Nullhypothese: A=B
Alternativhypothese: Werte von B sind um einen konstanten Faktor  AB (zweiseitig) oder A>B, A<B (einseitig) (t-/z-Test)
Technik:




ordnen der Werte nach der Größe und Vergabe von Rangzahlen
vorher Benennung: kleinere Stichprobe: n-Werte, größere Stichprobe: m-Werte
Berechnen der Wilcoxon-Statistik
Wxy  R A  0,5n * (n  1)  a in Tabelle

Tabellenbenutzung: k1=n; k2=m
nm
 EW
W xy ist symmetrisch um
2

SE(W xy ) 
Binomialverteilung
nm(n  m  1)
12
Normalapproximation anwendbar, wenn:

n10 und m10

n4 und m4 und n+m30
Methoden für Parameterschätzung:
1. Häufigkeitseintrag: führt zu nichts
2. Momentanmethode: führt zum gleichen Ergebnis wie Maximum-Likelihood-Methode
Man setzt: Stichprobenparameter = Modellparameter (Stichprobenmittel = erwartetes Mittel)
3. Maximum-Likelihood-Prinzip
Technik:
a. Aufstellen der Likelihood-Funktion
b. Logarithmieren
c. Ableiten und Nullsetzen
k
1 * k * 
x

 n  i 1 i
p
Poissonverteilung
(Grenzfall der
Binomialverteilung für
seltenere Ereignisse)
Überprüfung der Anpassungsgüte mit 2-Test. Anzahl der Freiheitsgrade wird für jeden der geschätzten Parameter um 1
reduziert. Man kann dabei auch einige Werte zusammenfassen. Dies ist jedoch mit Vorsicht zu geniessen.
λ i  k
*  x
Wk(i)  
 i!  i 1 i
 
Erwartungswert der Summe: ; SE der Summe: λ , aber welches 
Über Maximum-Likelihood-Methode berechnen: L()=...
 nach Logarithmieren und Ableiten: Anpassungsgüte ermitteln durch 2-Test mit Reduzierung der Freiheitsgrade