Aufgabe 10 (Standards 10)

Längsschnitt
Taschenrechner – Grafisch-numerischer Taschenrechner in den Standards
Stufenspezifische Hinweise
 Klasse 6
Die verstärkte Forderung nach verstehendem Lernen und Verbalisieren von mathematischen
Sachverhalten wird begleitet von reduzierten Anforderungen im Bereich der Rechenfertigkeiten.
Dies wird ermöglicht durch die angemessene, reflektierte Verwendung eines geeigneten
Taschenrechners.
 Klasse 8
Erhöhte Anforderungen im Umgang mit Funktionen werden begleitet von reduzierten
Anforderungen im Bereich der Termumformungen und des Lösens von Gleichungen. Dies wird
ermöglicht durch die Verwendung eines geeigneten grafisch-numerischen
Taschenrechners.
 Klasse 10
Durch die Hinzunahme von Fragestellungen aus anderen Fachgebieten werden die
Problemlösefähigkeiten erweitert und eine horizontale Vernetzung auch über Fachgrenzen
hinaus erzielt. In diesem Zusammenhang gewinnt die Methode der Modellbildung besondere
Bedeutung. Die erweiterte Nutzung des grafikfähigen Taschenrechners und der Einsatz
moderner Technologien wie Tabellenkalkulation, Grafiksysteme, dynamische
Geometriesysteme, Algebrasysteme, Simulationsprogramme sowie das Internet werden im
Unterricht gezielt eingesetzt. Neben der Bearbeitung komplexer Aufgaben sind nun auch
Zugänge zu neuen Problemtypen sowie die Beschaffung und Auswertung umfangreicherer
Datensätze möglich.
 Klasse 12
Der grafisch-numerische Taschenrechner ermöglicht die schnelle Bearbeitung komplizierterer
Funktionsterme und Gleichungen sowie größerer Datenbestände und gestattet so eine
Verlagerung von umfangreichen Rechenaufgaben hin zur Entwicklung von
Problemverständnis.
Veränderte Anforderungen
Ermöglichung durch
Klasse 6
 Verstärkte Forderung nach verstehendem Lernen
 Verbalisieren von mathematischen Sachverhalten
... angemessene, reflektierte
Verwendung eines geeigneten TR
Klasse 8
 Erhöhte Anforderungen im Umgang mit Funktionen
... reduzierte Anforderungen
im Bereich Termumformungen,
Lösen von Gleichungen
Klasse 10
 Hinzunahme von Fragestellungen aus anderen Fachgebieten
 Erweiterung der Problemlösefähigkeit, horizontale Vernetzung,
Bearbeitung komplexerer Aufgaben
 Zugang zu neuen Problemtypen
 Beschaffung und Auswertung umfangreicherer Datensätze
... erweiterte Nutzung des GTR,
Einsatz von Tabellenkalkulation,
Grafiksysteme, ...
Klasse 12
 Bearbeitung komplizierterer Funktionsterme und Gleichungen, sowie
größerer Datenbestände
 Entwicklung von Problemverständnis
-1-
... GTR
Überblick über Veränderungen durch den TR / GTR
1. und 3. Spalte
Veränderung
Taschenrechner - Beispiele
Grafikrechner - Beispiele
(1) Zeitersparnis
Schriftliche Rechenverfahren
Tabellen, Graphen, Listen,
Gleichungen
„Algorithmus“
„Algorithmus“
(2) Arbeiten mit
realistischen Zahlen /
Datenmengen
Textaufgaben
Realistische Funktionen,
Funktionsanpassung
Bearbeitung größerer
Datenmengen
„Algorithmus“, „Modellierung“
(3) Betonung der
Aufgabenstruktur,
Textaufgaben
Aufgaben zum Entdecken
keine Verschleierung
durch Abarbeiten von
Algorithmen /
Formalismen
Stochastik
„Modellierung“
Aufstellen von Funktionstermen
mit vorgegebenen
Eigenschaften,
Funktionsanpassung
Bearbeitung größerer
Datenmengen
Stochastik
(4) Stärkung
allgemeiner
Problemlösekompetenz
(Mathematik als
Lebensvorbereitung)
„Modellierung“, „Vernetzung“
„Modellierung“
Sinnvoller Einsatz des
Taschenrechners,
Grenzen des GTR
Bedeutung des Überschlags,
sinnvolles Runden
mehr Vielfalt bei Begriffsbildung und
Methoden
Stochastik
Interpretieren, kritisches
Überprüfen von Ergebnissen
„Zahl“, „Algorithmus“
(5) Entwicklung von
mathematischem
Verständnis
Selbstkontrolle, schnelle
Rückmeldung
„Vernetzung“
Stärkung des Zahlverständnisses, Schulung der
Auffinden und Begründen von
Regeln
(„Mustererkennung“)
Funktionenkompetenz,
Übersetzung: Term, Tabelle,
Graph;
Gleichungslösen,
Funktionsüberlegungen
Dynamischer Aspekt von
Funktionen
„Modellierung“,
„Zahl“, „Vernetzung“
-2-
„Funktionale Abhängigkeit“,
„Vernetzung“
Illustrierende Aufgaben
(1) Zeitersparnis
Originalaufgabe (LS 5, 6 alt)
56 081  26 924
27
25

294 343
192 478 : 673
Veränderte Aufgabe
Aufgabe 1 (Standards 6)
Führe eine Überschlagsrechnung durch und berechne anschließend mit dem Taschenrechner.
56 081  26 924
192 478 : 673
Originalaufgabe (LS 7, 21/21 alt)
Auf welchen Betrag ist das Kapital 10000 € beim Zinssatz 4% nach 3 Jahren angewachsen.
Veränderte Aufgabe (nach LS 3, 22 neu)
Aufgabe 2 (Standards 8)
Vergleiche die beiden Angebote:
?
?
Aufgabe 3 (Standards 8, LS 8, 18/9 alt)
Im Mitteilungsblatt eines Dorfes ist zu lesen:
Unser Dorf ist gewachsen
Jahr
Einwohner am 31.12.
1985
1650
1988
1815
1990
1928
1993
2097
1994
2153
1995
2208
a) Zeichne ein Schaubild, aus dem man zu jeder Jahreszahl zwischen 1985 und 1995 die
ungefähre Einwohnerzahl ablesen kann. In welchem Jahr hatte das Dorf erstmals mehr als
2000 Einwohner? Kann man sagen, dass die Einwohnerzahl zwischen 1985 und 1995
gleichmäßig zugenommen hat? Hat sie im gleichen Verhältnis zugenommen wie die
Jahreszahl?
b) Lege eine neue Tabelle an, in der zu jeder Anzahl von Jahren seit 1985 angegeben ist, um
wieviel die Einwohnerzahl in diesem Jahr zugenommen hat. Handelt es sich hierbei um
eine Proportionalität?
Aufgabe 4 (Standards 10)
a) Die zu den drei Gleichungen gehörenden Geraden bilden ein Dreieck. Bestimme die
Koordinaten der Eckpunkte.
a: 13y + 2x = 32;
h : 5x + 4y = 80 ;
k : 5y = 8x – 14.
2x – y
=
b) Untersuche das nebenstehende lineare Gleichungssystem und
–x – 2y =
interpretiere das Ergebnis anschaulich.
x – 2y =
-3-
–1
–7
–5
(2) Arbeiten mit realistischen Zahlen / Datenmengen
Originalaufgabe (LS 6 alt, 58)
Von den 540 Schülern einer Schule besuchen 189 die Unterstufe, 216 die Mittelstufe und 135
die Oberstufe. Berechne die Anteile der einzelnen Stufen. Zeichne ein Kreisdiagramm.
Veränderte Aufgabe
Aufgabe 5 (Standards 6)
An unserer Schule besuchen ... Schüler die Unterstufe, ....
Aufgabe 6 (Standards 6)
Bei einer Verkehrszählung an einer Ortsdurchfahrt entstand das folgende Protokoll.
Verkehrszählung am Montag, den 11. 6. 2005, 7.10 Uhr bis 8.10 Uhr
PKW: 893
LKW: 108
Motorräder / Roller: 263
a) Wie viel Prozent der gezählten Fahrzeuge waren PKW?
b) Am nächsten Tag stand in der Zeitung:
“Durch unseren Ort fahren täglich etwa 30 000 Kraftfahrzeuge.“
Wie kam die Zeitung wohl zu dieser Zahl?
Was meinst du zu dieser Zeitungsmeldung?
c) Zeichne ein Balkendiagramm für diese Verkehrszählung.
d) Wie hätte das Balkendiagramm ungefähr ausgesehen, wenn die Verkehrszählung zur
selben Uhrzeit, aber einen Tag früher durchgeführt worden wäre?
Aufgabe 7 (Standards 6)
In einem Prospekt der Bodenseewasserversorgung findet man folgende Angaben.
7750 Liter in der Sekunde Entnahmerecht, Entnahmerecht: 670 000 m³ pro Tag, ca. 130
Millionen Kubikmeter Jahresabgabe
Überprüfe diese Angaben.
Originalaufgabe (LS 8 alt, 13/9)
Veränderte Aufgabe
Aufgabe 8 (Standards 8)
Miss bei verschiedenen kreisrunden Gegenständen den Durchmesser und den Umfang.
a) Trage die Messwerte in eine Tabelle ein.
b) Schätze den Umfang eines Kreises mit dem Durchmesser 10 cm.
Schätze den Durchmesser eines Kreises mit dem Umfang 100 cm.
c) Stelle die Messpunkte in einem geeigneten Koordinatensystem dar und beschreibe die
Lage der Messpunkte.
d) Beschreibe den Zusammenhang zwischen Durchmesser d und Umfang U bei Kreisen
durch eine Formel.
-4-
Aufgabe 9 (Standards 10)
Bearbeite die Aufgabe mithilfe des GTR. Protokolliere deinen Rechenweg.
Um herauszufinden, wie viel Energie ein Vogel beim Fliegen „verbraucht“, wurden im
Windkanal Versuche mit australischen Sittichen durchgeführt.
Ist v die Geschwindigkeit des Vogels beim Horizontalflug, so kann der Energieverbrauch E(v)
für eine Strecke von 1 km und pro Gramm Körpergewicht näherungsweise beschrieben werden
durch
E(v)  1,7708  105 v 4  0,0032v3  0,2199v2  6,5609v  75,2613 ,v  [20;60].
Dabei wird v in
km
h
und E(v) in
J
gkm
gemessen.
J
a) Wie schnell fliegt ein Sittich, wenn sein Energieverbrauch 8 gkm
ist?
b) Wie schnell sollte er fliegen, damit sein Energieverbrauch möglichst gering ist?
c) Wie groß ist der Energieverbrauch eines 30 g schweren Sittichs dann, wenn er 10 km weit
fliegt? (Quelle: LS Analysis LK, Klett, Seite 59))
Aufgabe 10 (Standards 10)
Laufstrecke
Siegerzeit
Bei den Olympischen Spielen in Athen 2004
100m
9,85 sec
wurden die nebenstehenden Sieger-Leistungen
200
m
19,79
sec
erzielt:
400
m
44,12
sec
a) Stelle den Zusammenhang
800
m
1
min
43,38
sec
Laufstrecke  Siegerzeit graphisch dar.
1500 m
3 min 35,83 sec
b) Lege mithilfe deines GTR eine möglichst gut
angepasste Kurve durch die Punkte und gib die Gleichung dazu an.
c) Welche Siegerzeit wäre auf der Grundlage der Kurve aus Teilaufgabe b) für einen 1000-mLauf zu erwarten gewesen? Dieser Wettbewerb fand nicht statt, der Weltrekord auf dieser
Strecke aus dem Jahr 1999 beträgt 2 min 11,96 sec.
d) Die Siegerzeiten der Langstreckenläufe betrugen:
5000-m-Lauf:
13 min 14,39 sec
10000-m-Lauf:
27 min 5,10 sec
Marathonlauf (42,187 km)
2 h 10 min 55 sec.
Dein Kommentar?
(Quelle: Ebenhöh/Steinberg: Aufgaben mit Grafikrechnern, Schroedel; S. 32)
-5-
(3) Betonung der Aufgabenstruktur
Originalaufgabe (LS 5, Seite 111)
Eine Rolle Draht wiegt 3 400 g. Wie lang ist der Draht, wenn ein 5 m langes Drahtstück 170 g
wiegt?
Zur Erklärung des Vorgehens natürlich wieder
Reduktion auf einfache Zahlen (Überschlag):
1000g, 1m wiegt 50g
Veränderte Aufgabe
Aufgabe 11 (Standards 6)
Eine Rolle Draht wiegt 3 447 g. Wie lang ist der Draht, wenn ein 5 m langes Drahtstück ca. 177
g wiegt?
Aufgabe 12 (Projekt) (Standards 6)
In Prospekten wird häufig mit der Anzahl der Gänge eines Fahrrades geworben. Wir wollen
untersuchen, ob eine große Anzahl von Gängen auch in der Praxis von Nutzen ist........
Aufgabe 13 (Standards 8)
(Quelle: LS 3, 23)
Aufgabe 14 (Standards 8)
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser in einen Messbecher.
Füllzeit in s
Wasservolumen in ml
0
12
5
90
10 15
168 246
a) Veranschauliche die Tabellenwerte mit dem GTR.
b) Stelle einen möglichen Funktionsterm für den Füllvorgang auf und überprüfe mit dem GTR.
Aufgabe 15 (Standards 8)
Die Belastbarkeit eines Drahtseils mit einem Gewicht ist abhängig
vom Durchmesser des Seiles. In der nebenstehenden Tabelle ist
der Zusammenhang zwischen Durchmesser D (in mm) in Liste L1
und Gewicht G (in kg) in Liste L2 angegeben.
Berechne die Belastbarkeit eines Seiles mit 16 mm Durchmesser.
Welchen Durchmesser muss ein Drahtseil haben, damit es eine
Belastung von 1875 kg aushält?
Aufgabe 16 (Standards 8)
Aus einem quadratischen Karton mit 8 cm Seitenlänge soll durch Einschneiden und Aufbiegen
eine Schachtel mit möglichst großem Volumen geformt werden.
-6-
Aufgabe 17
Eine dreiziffrige Zahl hat die Quersumme 8. das Dreifache der ersten Ziffer ist fünfmal so groß
wie die Summe der anderen beiden Ziffern. Streicht man die letzte Ziffer, so ist die
verbleibende Zahl um 461 kleiner als die gesuchte dreiziffrige Zahl.
(Quelle: Ebenhöh/Steinberg: Aufgaben mit Grafikrechnern, Schroedel; S. 14)
Aufgabe 18 (Standards 10)
Gegeben ist die Parabel mit y = 0,6x² + 6x + 5,6 und die Gerade g mit y = - 1,2.
Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.
Welche Parallele zu g hat mit der Parabel genau einen Punkt gemeinsam?
Aufgabe 19
Ein Quader mit quadratischer Grundfläche ist aus Würfeln der Kantenlänge 1 cm aufgebaut.
Die Anzahl dieser Würfel ist so groß, wie die Anzahl der außen liegenden Würfelflächen.
Welche Kantenlängen kann der Quader haben?
(Quelle: Landeswettbewerb Mathematik 2005, Runde 1, Aufgabe 3)
Aufgabe 20 (Standards 10)
Der Wind wird in der Meteorologie je nach seiner Geschwindigkeit in verschiedene
Windstärken eingeteilt.
Sir Francis Beaufort entwickelte dazu im Jahre 1806 eine zwölfteilige Skala. Die Maßeinheit
dieser Skala lautet daher Beaufort, abgekürzt bft . Die Skala ist mit wenigen, kleinen
Veränderungen bis heute gültig.
Zwischen der Windgeschwindigkeit v (in ms ) und der Beaufort-Stärke B (kaufmännisch gerundet
in bft) besteht dabei in etwa folgender Zusammenhang:
v(B)  0,836  B1,5
Üblicherweise werden die letzten Stellen des Geschwindigkeitsbetrags auf- bzw. abgerundet, je
nachdem, ob es sich um die untere oder obere Geschwindigkeitsgrenze der jeweiligen
Windstärke handelt. Windstärke 9 bft (d.h. B zwischen 8,5 und 9,4) entspricht also einer
Windgeschwindigkeit zwischen 20,8 und 24,4 m/s, 10 bft entsprechend 24,5 bis 28,4 m/s usw.
Dieses Potenzgesetz gilt für die Stärken 0 bis 12.
a) Erstelle eine Tabelle die den Windstärken von 0 bft bis 12 bft die jeweiligen Bereiche der
Windgeschwindigkeit zuordnet.
b) Die höchste Windgeschwindigkeit, die in Deutschland bislang gemessen wurde, lag bei 335
km/h. Sie wurde am 12. Juni 1985 auf der Zugspitze registriert.
Welchem Beaufort-Wert entsprach diese Geschwindigkeit?
c) Gib den Term einer Funktion an, die der Windgeschwindigkeit v in km/h die jeweilige
Windstärke B in bft zuordnet.
-7-
(4) Stärkung allgemeiner Problemlösekompetenz
Aufgabe 21 (Standards 6)
Bei welchen Aufgaben ist der Taschenrechner unnötig?
a) (123,85 – 13,9317  5 – 12)
c) (417 + 598,12)  (20 – 4  5)
c) (413,5 – 413,4)  123 850
d) (413,5 + 413,5) 123 850
Aufgabe 22 (Standards 6)
Michael berechnet das Produkt 407,1  26,35 mit dem Taschenrechner und erhält als Ergebnis
1072,7085.
a) Begründe (ohne nachzurechnen), dass das Ergebnis nicht stimmen kann.
b) Welchen Fehler hat Michael vermutlich gemacht?
Aufgabe 23 (Standards 8)
mAlkohol
,
mk  0,7
wobei mALKOHOL die Masse des aufgenommenen Alkohols und mK die Körpermasse (in der
m
gleichen Einheit) bezeichnet. Bei Frauen lautet die entsprechende Formel BAG  Alkohol .
mk  0,6
Stelle für ein Referat über Drogen für verschiedene Alkoholmengen den Blutalkoholgehalt bei
Männern und Frauen dar.
Der Blutalkoholgehalt (B in ‰) berechnet sich bei Männern nach der Formel BAG 
Aufgabe 24 (Standards 8)
Zur Schätzung der Tiefe eines Brunnens dient folgende Faustregel: Lasse einen Stein in den
Brunnen fallen. Zähle die Sekunden, bis du den Aufprall hörst. Multipliziere diese
Sekundenzahl mit sich selbst und dann mit 5. Das ergibt etwa die Tiefe des Brunnens in
Metern.
Beurteile diese Faustregel und modifiziere sie gegebenenfalls. Erstelle eine Tabelle und
zeichne ein Schaubild.
Aufgabe 25 (Standards 10)
Gib einen möglichen Funktionsterm f(x) an. Begründe
dein Vorgehen in Worten.
Überprüfe mit dem GTR.
-8-
(5) Entwicklung von mathematischem Verständnis
Aufgabe 26 (Einführung der verkürzten Schreibweise bei der Addition ganzer Zahlen)
(Standards 6)
Untersuche, wie der Taschenrechner ganze Zahlen addiert. Beachte möglichst verschiedene
Fälle. Versuche zu begründen.
Aufgabe 27 (Standards 6)
Stelle mit dem Taschenrechner dar. Was stellst du fest? Versuche zu begründen.
1 2 3
1 2 3
a) , , , ... b)
, , , ...
11 11 11
9 9 9
Aufgabe 28 (Standards 8)
Gegeben sind die Funktionen f, g mit f(x) = 0,7x² - 1,4x – 0,3 und g(x) = 5,5 – 0,9x.
Für welche Werte von x stimmen die Funktionswerte von f und g überein? Fertige mithilfe des
GTR eine Skizze an und berechne anschließend.
Aufgabe 29 (Standards 8)
Untersuche die Geraden mit den Gleichungen
1
a) ya = x  a  1; x  IR
2
b) ya = ax + 2 + a; xIR
c) ya = 2ax – a2; xIR
für verschiedene Werte von a.
 Ordne die Schaubilder nach geeigneten Merkmalen.
 Beachte notwendige Fallunterscheidungen.
 Suche gemeinsame Eigenschaften.
Aufgabe 30 (Standards 8)
Gegeben sind die Funktionen f mit f(x) = a  xn .
a) Verschaffe dir einen Überblick über den Verlauf der Graphen der Funktionen.
Wähle dazu a = 1. Welche Klassifikation der Graphen kannst du vornehmen?
b) Verändere a und behalte n bei. Wähle zunächst n = 2.
Führe weitere Variationen durch. Welche Klassifikation kannst du vornehmen?
Aufgabe 31 (Standards 8)
Der monatliche Grundpreis bei Mobilfunk-Anbieter A beträgt 4,95 Euro und der Gesprächspreis
(in der Hauptzeit von 6 Uhr bis 20 Uhr) 0,31 Euro je angefangene Minute. Anbieter B berechnet
(bei sonst gleichen Konditionen) 17,95 Euro Grundpreis, der Minutenpreis beträgt 0,25 Euro.
Vergleiche die beiden Anbieter und gib eine Empfehlung, in welchen Fällen man sich für
welchen Anbieter entscheiden sollte.
Aufgabe 32 (Standards 10)
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) =
1
.
x
1
 a für verschiedene Werte von a. Wie
x
entsteht er aus dem Graphen der Kehrwertfunktion?
a) Untersuche den Graphen von g mit g(x) =
b) Führe entsprechende Untersuchungen durch für die Funktionen h und k mit h(x) =
bzw. k(x) = c 
1
.
x
-9-
1
x b
Aufgabe 33 (Einführung des Bogenmaßes und der Sinusfunktion) (Standards 10)
Stelle den Graphen „y = sin x“ dar. Wo liegen Unterschiede zu „y = sin “.
Welchen Zusammenhang kann man zwischen x und  vermuten. Wie könnte man ihn
begründen?
Aufgabe 34 (Standards 10)
Die Gleichung x2 – 4x – 5 = 0 soll mit Hilfe des GTR auf möglichst viele unterschiedliche Arten
graphisch gelöst werden.
Aufgabe 35
Wie groß muss ein quadratischer Karton mindestens sein, damit eine Schachtel mit einem
Volumen von 100 Liter hergestellt werden kann?
Aufgabe 36 (Standards 10)
Bei der ersten Füllung eines kugelförmigen Öltanks werden die folgenden Werte gemessen:
Höhe des Ölstandes in m
Ölvolumen in Liter
0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
0
969
3351
6362
9215
11127
a) Stelle die Daten in einem geeigneten
Koordinatensystem dar.
b) Bestimme auf der Grundlage der gemessenen Werte
den Term einer geeigneten Funktion, die den
Zusammenhang zwischen den beiden Größen
beschreibt.
c) Wie groß ist das maximale Fassungsvermögen des
Tanks?
Bestimme den Durchmesser des Kugeltanks.
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