Fernunterricht Mathematik Vorkurs VK

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FERNUNTERRICHT
ZUR VORBEREITUNG AUF DEN
UNMITTELBAREN EINTRITT IN EINEN
FACHHOCHSCHULREIFE - LEHRGANG
DER
BUNDESWEHRFACHSCHULE
M A T H E M A T I K
LEHREINHEIT 06
INHALT: Lineare Funktionen und lineare Gleichungssysteme
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Stand: 28.9.2006
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INHALTSVERZEICHNIS ZUR LEHREINHEIT 06
Seite
6 Lineare Funktionen und lineare Gleichungssysteme
3 – 20
6.1 Das rechtwinklige Koordinatensystem
3
6.2 Beispiele von Funktionen; was ist eine Funktion?
4-5
6.3 Lineare Funktionen
5 - 14
6.3.1 Was ist eine lineare Funktion?
5 - 12
6.3.2 Wie zeichnet man günstig den Graphen einer linearen Funktion?
12 - 13
6.3.3 Wie bestimmt man die Gleichung einer linearen Funktion?
13 - 14
6.3.4 Wie stellt man fest, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt?
14
6.3.5 Was versteht man unter Normalform und allgemeiner Form
einer linearen Funktion?
14 - 15
6.3.6 Wie wird der Schnittpunkt zweier Geraden berechnet?
15 - 16
6.4 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen
16 - 19
Aufgaben zur Lehreinheit 06
19
Lösungen der Übungen und Aufgaben
20
Einsendeaufgaben zur Lehreinheit 06
21
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6 LINEARE FUNKTIONEN UND GLEICHUNGSSYSTEME
Erinnern Sie sich: Bei den ersten Problemstellungen in LE 01 wurden 3 zentrale Themen des
Fernunterrichts herausgestellt: Rechenregeln für Umformungen, Lösen von Gleichungen und
Funktionen.
Nachdem Sie die Grundlagen zu den ersten beiden Themen erfahren haben, wird hier zunächst in 6.2
anhand einiger Beispiele untersucht, was eine Funktion ist. In 6.3 wird mit den linearen Funktionen ein
erster, sehr wichtiger Funktionstyp behandelt (andere Funktionstypen folgen in den Lehreinheiten 08,
09, 10 und 11). In 6.4 werden lineare Gleichungssysteme behandelt, deren Lösungen sich mit Hilfe
von linearen Funktionen eindrucksvoll veranschaulichen lassen. Vorweg wird in 6.1 auf das zur
zeichnerischen Darstellung von Funktionen benötigte Koordinatensystem eingegangen.
6.1 Das rechtwinklige Koordinatensystem
y
4
B
3
2
1
-4
-3
E
-2
-1
A
C
0
1
2
3
4
5
x
-1
D
F
-2
Abb. 6.1
In Abb. 6.1 ist ein rechtwinkliges Koordinatensystem dargestellt. Es wird aus zwei Zahlengeraden
(Koordinatenachsen) gebildet, die senkrecht aufeinander stehen (Achsenkreuz) und die sich im
Nullpunkt (Ursprung) schneiden. Die waagerechte Achse ist nach rechts gerichtet und heißt
x-Achse (Abszisse), die senkrechte Achse ist nach oben gerichtet und heißt y-Achse (Ordinate). Die
Koordinatenachsen spannen eine Ebene auf, in der sich jeder Punkt eindeutig durch 2 Koordinaten
festlegen lässt (vergleichen Sie: Gradnetz der Erde).
In der Mathematik werden zur Bestimmung eines Punktes immer zuerst die x-Koordinate und dann die
y-Koordinate angegeben. In dem obigen Koordinatensystem hat z.B. der Punkt A die x-Koordinate 2
und die y-Koordinate 1. Schreibweise: A (2/1) (lies:"A mit den Koordinaten 2 Strich 1” oder "A 2 Strich
1”). Für die anderen Punkte gilt: B (-1/3), C (4/0), D (3/-1,5), E (-2,5/-0,5), F (0/-1,5).
Allgemein schreibt man P (x / y).
Die Menge aller Punkte eines Koordinatensystems kann man mit ℝX ℝ bezeichnen (lies: ℝkreuz ℝ;
vgl. Achsenkreuz). Ein Punkt (ein Element) dieser Menge heißt auch geordnetes Zahlenpaar (x/y) .
Durch die Koordinatenachsen wird die Ebene in 4 Felder (Quadranten) eingeteilt, die folgendermaßen bezeichnet werden:
y
Die Vorzeichen der Koordinaten von Punkten sind
im 1. Quadranten: x-Koordinate positiv, y-Koordinate positiv;
im 2. Quadranten: x-Koordinate negativ, y-Koordinate positiv;
im 3. Quadranten: x-Koordinate negativ, y-Koordinate negativ;
im 4. Quadranten: x-Koordinate positiv, y-Koordinate negativ.
2. Quadrant
1. Quadrant
3. Quadrant
4. Quadrant
x
Jeder Punkt der x-Achse hat die y-Koordinate Null, jeder Punkt der y-Achse hat die x-Koordinate Null.
Der Ursprung hat die Koordinaten (0/0).
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6.2 Beispiele von Funktionen; was ist eine Funktion?
Anhand der folgenden Beispiele soll eine erste Grundlage des Begriffs Funktion vermittelt werden.
Eine streng mathematische Erklärung ist an dieser Stelle noch nicht notwendig. Sie folgt, in LE 12.
1. Beispiel:
Ein Lkw-Fahrer fährt mit seinem Wagen von 0.00 Uhr bis 3.00 Uhr mit einer gleichmäßigen
Geschwindigkeit von 90 km/h auf einer Autobahn.
Betrachtet werden bestimmte Fahrzeiten und der dabei jeweils zurückgelegte Weg. Der Lkw hat nach einer
halben Stunde Fahrzeit einen Weg von 45 km zurückgelegt, nach 2 Stunden einen Weg von 180 km.
In der folgenden Tabelle (Wertetabelle) ist für einige Fahrzeiten der jeweils zurückgelegte Weg
aufgeschrieben.
Fahrzeit
zurückgelegter Weg
Nach 0,5 Stunden
45 km
Nach 1 Stunde
90 km
Nach 1,5 Stunden
135 km
2 Stunden
180 km
Nach 2,5 Stunden
225 km
Nach 3 Stunden
270 km
Eine bestimmte Fahrzeit (z.B. 2 Stunden) und der davon abhängige zurückgelegte Weg (z.B. 180 km)
bilden ein Zahlenpaar (2/180). In Abb. 6.2 ist jedes dieser Zahlenpaare als Punkt im 1. Quadranten
eines Koordinatensystems eingetragen.
Überlegen Sie: Warum sind die Punkte geradlinig verbunden? (siehe unten)
Die x-Koordinate eines jeden Punktes gibt eine bestimmte Fahrzeit an, die y-Koordinate gibt den
entsprechenden zurückgelegten Weg an.
Auf der x-Achse sind die möglichen Fahrzeiten eingetragen, x ist die Variable für die Fahrzeit' (für die
Zeit wird auch oft die Variable t benutzt).
Auf der y-Achse sind die möglichen Wegstrecken eingetragen, y ist die Variable für den
zurückgelegten Weg (für den Weg wird auch oft die Variable s benutzt).
Da der zurückgelegte Weg von der Zeit abhängig ist, kann man sagen:
y ist die (von x) abhängige Variable, x ist die unabhängige Variable.
Dieses Abhängigkeitsverhältnis kann man auch als Zuordnung bezeichnen, einer bestimmten
Fahrzeit x ist der in dieser Zeit zurückgelegte Weg y zugeordnet. Eine derartige Zuordnung kann man
mit einem Pfeil oder mit dem Gleichheitszeichen wie folgt angeben:
Fahrzeit → zurückgelegter Weg (lies: geht über in; wird zugeordnet) , kurz: x → y ,
oder y = von der Fahrzeit abhängiger zurückgelegter Weg.
Man kann jeder Fahrzeit x (von 0 bis 3 Stunden) einen bestimmten Weg zuordnen. So hat der Lkw
z.B. nach einer Minute 1,5 km zurückgelegt, nach 2,5 Minuten 2,5 ∙ 1,5 km = 3,75 km. Aus diesem
Grund können (müssen!) die in der Abb. 6.2 eingetragenen Punkte verbunden werden.
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Die Zuordnung "funktioniert" für jede Fahrzeit x. Man sagt: Die Zuordnung ist eine Funktion.Diese
Funktion hat die Funktionsgleichung y = 90 ∙ x, x in Stunden, y in km (oder y = 1,5x, x in Minuten, y
in km).
Alle möglichen Fahrzeiten bilden die Definitionsmenge D dieser Funktion (dieser Zuordnung), alle
möglichen Wegstrecken bilden die Wertemenge W der Funktion.
In der Sprache der Mengenlehre kann man formulieren (vgl. LE 02):
D = {x │ 0 ≤ x ≤ 3}, x in Stunden, W = {y │ 0 ≤ y ≤ 270}, y in km.
2. Beispiel:
Transportkosten von Möbeln in Abhängigkeit von der Fahrstrecke, die höchstens 80 km betragen soll:
Vergleichen Sie folgende Kostenaufstellungen.
A: Bis 40 km sind 25 € zuzahlen, von 41 bis 80 km 50 € ;
B: Bis 40 km sind 25 € zuzahlen, von 40 bis 80 km 50 € ;
C: Bis 40 km sind 25 € zuzahlen, über 40 bis 80 km 50 € .
Die Möglichkeit A „funktioniert“ nicht bei einer Fahrstrecke von 40,5 km, weil hierfür keine Kosten
genannt sind.
Die Möglichkeit B „funktioniert“ nicht bei einer Fahrstrecke von 40 km, weil nicht klar ist, ob 25 €
oder 50 € zu zahlen sind, die Kosten sind nicht eindeutig.
Die Möglichkeit C „funktioniert“ für alle Fahrstrecken bis 80 km. Es handelt sich um eine Funktion
mit der Funktionsmenge D = {x │ 0 ≤ x ≤ 80} (in km) und der Wertemenge W = {25;50} (in €).
Verallgemeinerung: Der Begriff „Funktion“:
Die Zuordnung von Elementen einer Menge W zu Elementen einer Menge D ist dann eine Funktion,
wenn es zu jedem x  D genau ein y  W gibt.
D heißt Definitionsmenge oder Definitionsbereich, W heißt Wertemenge oder Wertebereich.
6.3 Lineare Funktionen
6.3.1 Was ist eine lineare Funktion?
1. Beispiel: Ein Autofahrer hat auf einer Autobahn eine längere Strecke zurückzulegen. Am Anfang
der Fahrt befinden sich im Tank seines Autos 45 l Benzin. Pro 100 km werden rund 6 l
verbraucht.
Versuchen Sie zunächst, die folgenden „Aufträge“ nacheinander zu erledigen! Die Lösungen
folgen im Anschluss an die Aufgabenstellung.
a. Füllen Sie folgende Wertetabelle aus und stellen Sie mit deren Hilfe die Zuordnung „Kraftstoffrest
in Abhängigkeit von der Fahrstrecke“ in dem abgebildeten Koordinatensystem dar!
x Fahrstrecke
in km
y Kraftstoffrest in l
0
45
100
200
300
400
500
600
700
b. Prüfen Sie anhand der obigen Tabelle nach, dass mit der Gleichung
y = 45 -
6
100
· x der
Kraftstoffrest y für eine Fahrstrecke x berechnet werden kann!
c.
Warum ist y = 45 - 6 · x eine Funktion für D = {x│0 ≤ x ≤ 750}?
100
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d. Beantworten Sie folgende Fragen auf zwei Arten: einmal mit Hilfe der Zeichnung aus a) , danach
mit Hilfe der Gleichung aus b).
d 1) Wie viel Liter befinden sich nach einer Fahrstrecke von 273 km im Tank?
d 2) Nach welcher Fahrstrecke befinden sich noch 10 Liter im Tank?
Lösungen zum 1. Beispiel:
Zu a)
x Fahrstrecke in km
0
100
200
300
400
500
600
700
y Kraftstoffrest in l
45
39
33
27
21
15
9
3
Nachdem die Zahlenpaare aus der Wertetabelle als Punkte in das Koordinatensystem eingetragen
worden sind, kann man erkennen, dass alle Punkte auf einer Linie liegen. Es ist sinnvoll, die Punkte
gradlinig zu verbinden (warum?), man erhält eine Gerade (besser: den Teil einer Geraden).
Zu b)
Zu b)
Da für 100 km 6 Liter verbraucht werden, werden pro km 6 l verbraucht.
100
Die Wertetabelle lässt sich ausführlicher so schreiben:
x Fahrstrecke in km
y Kraftstoffrest in l
0
45
1
6 1
100
45 -
= 44,94
2
6  2 = 44,88
45 - 100
100
6  100 = 39
45 - 100
x
6 x = y
45 - 100
Statt 45 - 6  x = y schreibt man aus systematischen Gründen
100
6 x + 45
y = - 100
Zu c)
Es handelt sich hierbei um eine Funktion, weil für jede gefahrene Strecke (D={x│0 ≤ x 750}) genau ein
bestimmter Kraftstoffrest vorhanden ist. Für x = 750 km ist der Tank leer.
Zu d)
d 1) Von der km-Zahl 273 auf der x-Achse wird
eine Senkrechte bis zur Geraden gezeichnet,
von dort wird eine Waagerechte bis zur
y-Achse gezeichnet. Man kann als Literzahl
ablesen: y ≈ 28 (ungefähr).
Die exakte Berechnung: x = 273 ist
gegeben, gesucht ist "das zugehörige y".
Setzt man in der Gleichung y = - 6 x + 45
100
für x die Zahl 273 ein, dann erhält man
6  273 + 45  y = 28,62 , d.h. nach einer Fahrstrecke von 273 km sind noch 28,62 Liter
y = - 100
im Tank.
d 2) Von der Literzahl 10 auf der y-Achse gelangt man zur gesuchten Kilometerzahl (x ≈ 590).Die
genaue Berechnung: Im Gegensatz zu d1) ist jetzt eine Literzahl gegeben (y = 10) und "das
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entsprechende x" ist gesucht.
Setzt man in der Gleichung y = - 6 x + 45 für y die Zahl 10 ein, dann erhält man
10 =
6 x
- 100
+ 45
100
1
 x = 583 , d.h. nach einer Fahrstrecke von 583 1 km befinden sich noch 10
3
3
Liter im Tank.
2. Beispiel:
2a)
In einem Regal eines Geschäftes liegen 6 Flaschen Sekt. Eine Flasche kostet 5 €. Die
Zuordnung "Kosten in Abhängigkeit von der Zahl der gekauften Flaschen“ lässt sich durch die
Gleichung "Kosten = Preis ∙ Menge" beschreiben, d.h. y = 5 ∙ x , x Anzahl Flaschen,
D = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} , y in € .
Darstellung im Koordinatensystem:
Preis in €
Anzahl der Flaschen
Auch hier liegen die Punkte auf einer Geraden, sie dürfen aber nicht verbunden werden!
Warum? Kaufen Sie mal eine halbe Flasche!
Da die Kosten für jede mögliche Anzahl von Flaschen eindeutig sind, ist y = 5x für
D = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} eine Funktion.
2b)
Auf einer Rolle befinden sich 6 m Stoff. 1 m Stoff kostet 5 € . Die Zuordnung "Kosten in
Abhängigkeit
von der gekauften Stofflänge" lässt sich ebenfalls durch die Gleichung y = 5x
beschreiben (x gekaufte Stöff1änge in
m, y Kosten in €). Bei der Darstellung im
Koordinatensystem ist jetzt eine gradlinige Verbindung der Punkte sinnvoll (Abb. 6.6), d.h. für
die Funktion y = 5x ist D = {x  ℝ│0 ≤ x ≤ 6}.
Preis in €
Stofflänge in m
Nach diesen Einführungsbeispielen folgen jetzt "rein mathematische" Beispiele von Funktionen, mit
deren Hilfe die Definition einer linearen Funktion formuliert werden kann und Eigenschaften von
linearen Funktionen aufgezeigt werden sollen. Die Definitionsmenge soll in allen Fällen ℝsein.
3. Beispiel
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Der Graph der Funktion y = 2x + 0,5 soll mit Hilfe einer Wertetabelle gezeichnet werden.
Bei der Erstellung der Wertetabelle ist die folgende Schreibweise möglich und zumindest bei
„schwierigeren Funktionsgleichungen" empfehlenswert:
Wertetabelle:
Graph:
x
2 ∙ x + 0,5 = y
0
2 ∙ 0 + 0,5 = 0,5
1
2 ∙ 1 + 0,5 = 2,5
2
2 ∙ 2 + 0,5 = 4,5
-1
2 · (-1) + 0,5 = -1,5
-2
2 ∙ (-2) + 0,5 = -3,5
4. Beispiel
Der Graph der Funktion y = - 1 x + 2 soll mit Hilfe einer Wertetabelle gezeichnet werden.
2
Wertetabelle:
x
0
1
2
3
4
5
-1
-2
Graph:
-1x + 2 = y
2
- 1 0 + 2 = 2
2
1
-  1 + 2 = 1,5
2
- 1 2 + 2 = 1
2
- 1  3 + 2 = 0,5
2
- 14 + 2 = 0
2
- 1  5 + 2 = -0,5
2
1
-  (-1) + 2 = 2,5
2
- 1  (-2) + 2 = 3
2
Die Beispiele 5. und 6. sollten Sie zunächst selbst bearbeiten. Die Lösungen folgen nach den
Aufgabenstellungen. Achten Sie auf „Gesetzmäßigkeiten“!
5. Beispiel : Zeichnen Sie die Graphen der folgenden Funktionen mit. Hilfe von Wertetabellen:
a) y = 21 x ;
b) y = 21 x + 1
6. Beispiel : Zeichnen Sie die Graphen der folgenden Funktionen mit Hilfe von Wertetabellen:
a) y = - 2x ;
b) y = - 2x - 1
Lösungen zu den Beispielen 5. und 6.:
Es ist zulässig und oft sinnvoll, mehrere Graphen in ein Koordinatensystem einzuzeichnen, falls das
Gesamtbild übersichtlich bleibt. Die einzelnen Graphen müssen beschriftet werden.
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Überlegen Sie:
Warum lauen die Geraden jeweils parallel zueinander?
Die folgende Übersicht dient als Vorbereitung für allgemeingültige Aussagen zum Thema "lineare
Funktionen".
Übersicht zu den Beispielen 3. - 6.
Der Graph ist immer eine Gerade. Einige Geraden steigen (von links nach rechts gesehen) an, andere
fallen (von links- nach rechts). Manche sind dabei relativ stei1, manche relativ flach. Einige verlaufen
durch den Nullpunkt (0/0), andere schneiden die y-Achse in einer bestimmten „Höhe“.
Diese Eigenschaften sind in der folgenden Übersicht für jede Gerade aufgeschrieben.
Beispiel
FunktionsGleichung
Die Gerade
steigt/ fällt
und ist relativ
steil/flach
und schneidet die y-Achse im Punkt
3.
steigt
steil
(0/0,5)
4.
fällt
flach
(0/2)
5a)
steigt
flach
(0/0)
b)
steigt
flach
(0/1)
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6a)
fällt
steil
(0/0)
b)
fällt
steil
(0/-1)
Die Funktionsgleichungen haben dabei alle die Form y = 1. Zahl · x + 2. Zahl . (Beachten Sie,
dass man in 5a) y = 21 x + 0 , in 6a) y = - 2x + 0 und in 6b) y = - 2x + (-1) schreiben kann).
Um dies allgemein auszudrücken, müssen für die festen Zahlen Formvariablen gewählt werden. Man
nimmt meist die Buchstaben m und b. Man kann jetzt sagen:
Die Funktionsgleichungen haben alle die Form y = mx + b .
Die Übersicht zeigt:
Eine Gerade steigt an, wenn der Faktor vor x positiv ist (m > 0), sie fällt, wenn der Faktor vor x
negativ ist (m < 0).
-
Sie steigt bzw. fällt relativ flach für │m│ = 12 (m = 12 oder m = - 12 ), sie ist relativ steil für │m│ = 2
(m = 2 oder m = -2).
-
Die y-Koordinate des Schnittpunktes mit der y-Achse ist gleich der festen Zahl b. Für den Fall
„b = 0“ verläuft die Gerade durch den Nullpunkt (0/0).
Die hier gewonnenen Erkenntnisse lassen sich verallgemeinern.
Definition einer linearen Funktion:
Funktionen der Form y = mx + b mit m, b  ℝ heißen lineare Funktionen.
Eigenschaften von linearen Funktionen:
Der Graph einer linearen Funktion ist bei der Definitionsmenge D = ℝ eine Gerade. Bei
eingeschränkter Definitionsmenge erhält man den Teil einer Geraden (1. Beispiel) bzw. einzelne
Punkte einer Geraden (Beispiel 2a).
Die Zahl b gibt an, wo die Gerade die y-Achse schneidet, es ist der Punkt P (O/b). Man sagt: b ist der
y-Achsenabschnitt.
Der Faktor m gibt die Steigung der Geraden an.
Dabei gilt:
- Ist m > 0, dann steigt die Gerade (von links nach rechts) sie hat eine positive Steigung,
- ist m < 0, dann fällt die Gerade, sie hat eine negative Steigung.
- Ist m = 0, dann verläuft die Gerade waagerecht, sie steigt nicht und fällt nicht.
- Haben zwei Geraden die gleiche Steigung m, dann verlaufen sie bei unterschiedlichem b
parallel zueinander (5. und 6. Beispiel). Parallelität bedeutet also gleiche Steigung.
- Je größer │m│, desto steiler steigt bzw. fällt eine Gerade.
Bezeichnung einer Geraden: Oft wird eine Gerade durch ein g gekennzeichnet (mehrere durch g1, g2,
g3 usw.). Man kann dann z.B. schreiben: Gegeben ist die Gerade g: y = 2x + 0,5.
Die Bedeutung von b als y-Achsenabschnitt ist leicht einzusehen. Alle Punkte der y-Achse haben als
x-Koordinate x = 0, d.h. in y = mx + b erhält man für x = 0 y = m ∙ 0 + b, d.h. y = b.
Die Bedeutung von m als Steigung wird nun noch ausführlicher untersucht. In den Abbildungen 6.11
und 6.12 sind weitere Geraden dargestellt, für die Sie die oben genannten Eigenschaften von m
nachprüfen sollten. Für den Fall „m = 0“ ist noch eine Erklärung notwendig:
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In Abb. 6.12 finden Sie eine waagerechte Gerade mit der Gleichung y = 3. Diese Gleichung erhält
man folgendermaßen:
Mit der Steigung m = 0 und mit b = 3 erhält man y = 0 · x + 3. Sie können für x eine beliebige Zahl
einsetzen, Sie erhalten immer y = 3. Statt y = 0 ∙ x + 3 schreibt man kürzer y = 3 (für alle x). Der Graph
ist eine Parallele zur x-Achse im Abstand 3.
Die x-Achse ist ebenfalls eine waagerechte Gerade, sie hat die Gleichung y = 0 (für alle x).
y=3
Stellen Sie sich vor, dass in den beiden Abbildungen die Funktiongleichungen an den Geraden fehlen
würden. Könnten Sie dann die jeweilige Steigung genau angeben? Lesen Sie dazu die folgenden
Ausführungen.
Die Steigung m am Steigungsdreieck
Mit Hilfe eines sogenannten Steigungsdreiecks kann man die Steigung einer Geraden anschaulich
darstellen und bestimmen. Beachten Sie dazu zunächst das folgende bekannte Beispiel:
Die Steigung einer Straße:
Eine Straße ohne Kurven, die eine gleichmäßige Steigung von 20% hat, lässt sich bei entsprechender
Straßenlänge im Querschnitt so darstellen:
P2
Dies ist ein Steigungsdreieck. Die Punkte P1 und
Straße
20 m
P2 auf der Straße haben einen Höhenunterschied
von 20m und in der Waagerechten einen
P1
Unterschied von 100m.
100 m
Q
.
20
Die Steigung 20% = 100
(!) lässt sich durch das Verhältnis vom Höhenunterschied zum
Höhenunter schied
Waagerechtenunterschied angeben, Steigung 
.
Waagerecht enuntersch ied
.
Die Steigung 20% läßt sich auch durch das
Straße
5m
.
1m
Verhältnis 15 (1 : 5) darstellen.
Weitere mögliche Verhältnisse sind:
2 0,2 10 40
; ; ;
10 1 50 200
usw..
Man kann dies auf Geraden im Koordinatensystem übertragen.
Steigungsdreiecke an Geraden
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In Abb. 6.13 ist eine Gerade mit der Steigung m = 20% mit verschiedenen Steigungsdreiecken
dargestellt. Es handelt sich um die Gerade g : y  15 x  2 .
Durch jedes der abgebildeten Steigungsdreiecke ist die Steigung der Geraden g:y = 1 x + 2 eindeutig
5
bestimmt. Zur Veranschaulichung eignet sich hier besonders ein Steigungsdreieck wie in Abb. 6.13(1),
es ist weder „zu groß“ noch „zu klein“. (Beachten Sie dazu auch Kap. 6.3.2, wo erklärt wird, wie
Geraden besonders vorteilhaft gezeichnet werden können).
Zu den Steigungsdreiecken in Abb. 6.13(1) sind die Koordinaten der Eckpunkte angegeben. Mit deren
Hilfe wird nun eine wichtige Formel für die Steigung von Geraden hergeleitet.
Höhenunterschied
Ausgegangen wird von dem Ansatz: Steigung  Waagerecht
enunterschied
Von P1 gelangt man nach P2 über Q1, indem man 5 Einheiten nach rechts und dann 1 Einheit nach
oben „geht“ (entsprechend von P2 nach P3 ).
Der Höhenunterschied der Punkte P2 und P1 ist 1, der Waagerechtenunterschied ist 5. Diese
Unterschiede lassen sich an den Koordinaten der Punkte P2 und P1 ablesen!
Der Höhenunterschied ist erkennbar an dem Unterschied der y-Koordinaten (3 – 2 = 1), der
Waagerechtenunterschied an dem Unterschied der x-Koordinaten (5 – 0 = 5), d.h.
3-2
4-3
m = 5-0 = 51 . Für die Punkte P3 und P2 gilt: m = 10-5 = 51 .
Gibt man allgemein P2 durch die Koordinaten x2 und y2 an, d.h. P2(x2/y2), und P1 entspechend durch
P1(x1/y1), so ist der Höhenunterschied = y2 – y1, der Waagerechtenunterschied = x2 – x1.
y  y1
Man erhält die Formel m  2
(für x1 ≠ x2).
x 2  x1
Dabei spielt es keine Rolle, welche beiden (unterschiedlichen) Punkte einer Geraden gewählt werden
und welcher Punkt mit P1(x1/y1) bzw. mit P2(x2/y2) bzeichnet wird. Prüfen Sie dieses anhand von Abb.
6.13(2) nach mit P1 (10/4) und P2 (0/2).
Diese Formel stellt zunächst eine wesentliche Hilfe bei der Bestimmung einer unbekannten
Funktionsgleichung für eine Gerade dar (siehe Kapitel 6.3.3). Im Mathematikstoff der
Fachhochschulreifelehrgänge stellt diese Formel eine wichtigen Zugang zur Differentialrechnung dar.
Die obrigen Überlegungen gelten auch für Geraden mit negativer Steigung.
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In Abb. 6.14 ist zur Geraden g : y   23 x  5 ein Steigungsdreieck eingezeichnet. Hierbei ist zu
beachten, dass ein Gefälle eine Abnahme an Höhe bedeutet. Im Steigungsdreieck „geht“ man 3
Einheiten nach rechts und 2 Einheiten nach unten. Die obige Formel gilt auch hier:
m=
3-5
3-0
= -2
= - 32 .
3
6.3.2 Wie zeichnet man günstig den Graphen einer linearen Funktion?
Zu empfehlen sind 2 Möglichkeiten:
1. Mit 3 Punkten aus einer Wertetabelle
Eine Gerade ist durch 2 Punkte eindeutig festgelegt. Bei der Erstellung einer Wertetabelle ist die
Berechnung eines weiteren Punktes zur Kontrolle sinnvoll. Die Punkte sollten genügend weit
auseinanderliegen (nicht so  !), so dass sich die Gerade eindeutig zeichnen lässt.
Beispiel: y = 3 x - 1 (siehe Abb. 6.15).
2
x
3x2
1=y
0
-1
2
2
4
5
Günstige Werte für x sind oft x = 0 und Werte, bei denen man für y ganze Zahlen erhält.
2. Mit Hilfe von y-Achsenabschnitt und Steigungsdreieck
Das Verfahren wird Sie (hoffentlich) begeistern: Zuerst wird der Schnittpunkt mit der y-Achse
eingetragen, erkennbar an b. Von diesem Punkt aus wird ein günstiges Steigungedreieck eingetragen.
Man erhält einen weiteren Punkt. Zur Kontrolle ist ein zweites Steigungsdreieck empfehlenswert.
x + 6.
Beispiel (Abb. 6.15): a) y = 3 x - 1 ; b) y = -x + 6 = -1
1
2
Zur Eintragung des Steigungsdreiecks:
1. Schritt: Falls nicht gegeben, wird m in
Bruchdarstellung geschrieben, eventuell mit
dem Nenner 1.
2. 2. Schritt: Die durch den Nenner gegebenen
Einheiten werden nach rechts abgetragen, von
dort werden die durch den Zähler gegebenen
Einheiten nach oben (falls m positiv) oder
nach unten (falls m negativ) abgetragen.
Das jeweilige Steigungsdreieck sollte nicht zu groß und nicht zu klein sein, damit die Punkte nicht zu
weit auseinander oder zu dicht aneinander liegen. In „ungünstigen Funktionsgleichungen“ sollte m
erweitert bzw. gekürzt werden. Zu beachten ist dabei auch die Einteilung der Achsen!
Übungen zu 6.3.2
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1. Zeichnen Sie die Geraden mit Hilfe einer Wertetabelle!
a) y = 2 x ;
b) y = - 2 x + 2 .
3
5
2. Zeichnen Sie den Graphen mit Hilfe von y-Achsenabschnitt und Steigungsdreieck!
a) y = 1 x - 2 ;
b) y = - 4 x + 5 ;
c) y = 2x – 0,5 ; d) y = 0,5x – 3 .
3
3
6.3.3 Wie bestimmt man die Gleichung einer linearen Funktion?
Beispiel:
Gesucht ist die Funktionsgleichung einer Geraden g, die durch die Punkte A(1/3) und B(5/2) verläuft.
Ansatz:: y = mx + b ; ges.: m, b.
y  y1
Die Bestimmung von m: Sie geschieht mit Hilfe der Formel m  2
(siehe 6.3.1).
x 2  x1
Die Koordinaten der Punkte A und B werden entsprechend gekennzeichnet:
x1 = 1, y1 = 3, x2 = 5, y2 = 2
2-3
 m = 5-1 = -1
4
Die Bestimmung von b: In das Zwischenergebnis y = - 41 x + b werden die Koordinaten von einem
der gegebenen Punkte eingesetzt. Mit A(1/3) erhält man 3 = - 41  1 + b  b = 3,25
Die Funktionsgleichung heißt: g: y = - 41 x + 3,25 .
Mit Hilfe der Koordinaten von B ist eine Probe möglich: Für x = 5 erhält man y = - 41  5 + 3,25  y = 2 .
Schema zur Bestimmung einer Geradengleichung, wenn 2 Punkte der Geraden gegeben sind:
Ansatz: y = mx + b ; ges.: m, b
y  y1
1. Schritt: Bestimmung von m mit Hilfe der Formel m  2
x 2  x1
2. Schritt: Bestimmung von b durch Einsetzen von m (siehe 1.Schritt) und der Punktkoordinaten
eines gegebenen Punktes in y = mx + b .
3. Schritt: Die Funktionsgleichung wird aufgeschrieben.
Übung
zu 6.3.3
Eine Probe
kann mit Hilfe der Koordinaten des im 2.Schritt nicht gewählten Punktes erfolgen.
Bestimmen Sie die Gleichungen der folgenden Geraden g1, g2, g3:
a) g1 verläuft durch A(0/-1) und B(2/4);
b) g2 verläuft durch C(-1/4) und D(3/6);
c) g3 verläuft durch E(-2/3) und F(4/-2).
6.3.4 Wie stellt man fest, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt?
Beispiel: Gegeben ist die Gerade g mit der Gleichung g : y  2 x  1 .
3
Liegen die Punkte P(2,4/0,6) bzw. Q(-0,8/-1,5) auf der Geraden?
Versuchen Sie es zunächst mit Hilfe einer Zeichnung. Sie werden erkennen, dass eine eindeutige
Entscheidung so kaum möglich ist.
Rechnerische Überprüfung für P: Beachten Sie folgendes: P(2,4/0,6) bedeutet:
Für x = 2,4 muss y = 0,6 sein. Wenn P auf der Geraden liegt, muss das Einsetzen der Koordinaten
von P in die Funktionsgleichung eine wahre Aussage liefern.
0,6 = 23 ·2,4 – 1 ist eine wahre Aussage (0,6 = 0,6)  P liegt auf g (P  g).
Rechnerische Überprüfung für Q: -1,5 = 23 ∙(-0,8) – 1 ist eine falsche Aussage ( 1,5 ≠  1,53 )
 Q  g.
6.3.5 Was versteht man unter Normalform und allgemeiner Form einer linearen
Funktion?
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Die Normalform haben Sie in 6.3.1 kennen gelernt, sie lautet y = mx + b .
Zum Thema „lineare Funktion“ gibt es Aufgabenstellungen, die nicht direkt zu der Normalform führen.
Beispiel: Addiert man zum Doppelten einer Zahl das Vierfache einer anderen Zahl und subtrahiert
man davon die Zahl 20, so ist das Ergebnis Null. Um welche Zahlen handelt es sich?
Lösung:
x ist die Variable für die erste Zahl , y ist die Variable für die zweite Zahl.
Man erhält die Gleichung 2x + 4y – 20 = 0.
Diese Gleichung lässt sich umformen zu der Form y = mx + b !
Man erhält y = - 21 x + 5 (Rechnen Sie!).
Alle Punkte der Geraden y = - 21 x + 5 bilden die Lösungsmenge zur obrigen Aufgabenstellung . So
liegen z.B. die Punkte A(2/4) und B(8/1) auf der Geraden. Prüfen Sie anhand einer Zeichnung! Beim
Einsetzen der Koordinaten in die obige Ausgangsgleichung erhält man jeweils eine wahre Aussage:
2 ∙ 2 + 4 ∙4 – 20 = 0 ; 2 · 8 + 4 · 1 – 20 = 0 .
Die Gleichung 2x + 4y – 20 = 0 ist auch eine Geradengleichung; diese Form heißt
allgemeine Form der linearen Funktion: Ax + By + C = 0, (B ≠ 0).
Im obrigen Beispiel ist A = 2, B = 4, C = -20.
Jede lineare Funktion läßt sich von der allgemeinen Form in die Normalform umwandeln (und
umgekehrt). Eine ausführlichere Behandlung der allgemeinen Form ist daher nicht notwendig.
Lediglich ein Aspekt soll angesprochen werden: Haben Sie es bemerkt: Oben steht bei der
allgemeinen Form fett gedruckt B ≠ 0! Warum? Was erhält man für B = 0?
Beispiel: 3 ∙ x + 0 ∙ y = 6  3 · x = 6  x = 2 . Es handelt sich um eine senkrechte Gerade
parallel zur y-Achse durch die 2 auf der x-Achse (siehe Abb.), es ist aber keine Funktion (wieso?).
Jetzt sind alle Lagemöglichkeiten von Geraden im rechtwinkligen Koordinatensystem erfasst
worden:
Geraden mit der Gleichung y = mx + b, m ≠ 0 , fallen bzw. steigen.
Geraden der Form y = b , b ≠ 0, verlaufen parallel zur x-Achse durch (0/b) ;
Geraden der Form x = c , c ≠ 0, verlaufen parallel zur y-Achse durch (c/0).
Die x-Achse hat die Gleichung y = 0; die y-Achse hat die Gleichung x = 0 .
6.3.6 Wie wird der Schnittpunkt zweier Geraden berechnet?
1. Beispiel: Eine „Bewegungsaufgabe“
Ein D-Zug mit einer gleichmäßigen Geschwindigkeitvon 84 km/h fährt um 11.00 Uhr von A nach B. Die
Entfernung beträgt 180 km/h. Zur gleichen Zeit fährt ihm von B aus ein Güterzug mit gleichmäßig 60
km/h entgegen. Wann und wo treffen sie sich?
a) Zeichnerische Lösung
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g1: Fahrt des IC-Zuges
g2: Fahrt des Güterzuges
Treffpunkt S: S ≈ (12:15/104)
y
200
Ort B
180
+ 1 Stunde
160
Entfernung von A in
km
140
60 km
nach A
g2
120
S
100
80
60
g1
84 km
nach B
40
20
Ort A
0
11:0
0
+ 1 Stunde
11:3
12:0
12:3
0
0
0
Zeit ab 11:00 in Stunden
13:0
0
x
b) Rechnerische Lösung:
Zunächst sind die Geradengleichungen für g1 und g2 zu bestimmen.
Für die Fahrt des IC-Zuges gilt: y = 84x, weil b = 0, m =
84(km)
1(h)
Für die Fahrt des Güterzuges gilt: y = - 60x + 180, weil b = 180, m =
-60(km)
1(h)
Berechnung des Treffpunktes S:
Im Treffpunkt muss für beide Züge die Entfernung (von A aus) gleich sein. Das bedeutet:
y = 84x = y = - 60x + 180  84x = - 60x + 180  x = 1,25 .
Die Züge treffen sich 1,25 Stunden nach 11.00 Uhr, also um 12.15 Uhr.
Für die Berechnung der Entfernung wird x = 1,25 in eine der beiden Funktionsgleichungen eingesetzt.
Eingesetzt in g1 : y = 84x  y = 84 ∙ 1,25 = 105  S(1,25/105)
Antwort: Die Züge treffen sich um 12.15 Uhr, 105 km von A entfernt.
Probe mit g2: y = -60x + 180: Für x = 1,25 und y = 105 erhält man die wahre Aussage
105 = -60 • 1,25 + 180.
2. Beispiel:
Gegeben sind die Geraden g1: y = - x + 6 und g2: y = 3 x – 1 (vgl. Abb. 6.15).
2
Gesucht ist der Schnittpunkt S vo g1 und g2 (kürzer: ges.: g1  g2 ).
Im Schnittpunkt mss die y-Koordinate für beide Geraden gleich sein.
 -x+6 =
 x = 2,8 . x = 2,8 ist die x-Koordinate des Schnittpunktes S .
x = 2,8 eingesetzt in g1:  y = - 2,8 + 6 = 3,2 . y = 3,2 ist die y-Koordinate des Schnittpunktes S .
 S(2,8/3,2) ist der gesuchte Schnittpunkt (siehe Abb. 6.15).
3x–1
2
Probe mit g2: 3,2 = 3 · 2,8 - 1 ist eine wahre Aussage.
2
Schema zur Schnittpunktberechnung zweier Geraden g 1 und g2:
1. Schritt: Die Funktionsgleichungen der Form y = mx + b werden gleichgesetzt. Man erhält so die
x-Koordinate des Schnittpunktes.
2. Schritt: Die y-Koordinate des Schnittpunktes erhält man durch Einsetzen der x-Koordinate in eine
gegebene Funktionsgleichung.
Schreibweise: S(x-Koordinate/ y-Koordinate)
Zur Probe kann man die gefundenen Koordinaten in die im 2. Schritt nicht benutzte Funktionsgleichung
einsetzen.
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Ein Sonderfall: Die Geraden verlaufen parallel.
Beispiel: g1:y = 2x ; g2: y = 2x + 1 . Durch Gleichsetzen erhält man 2x = 2x + 1  0 = 1
es gibt keine Lösung (keinen Schnittpunkt).

Übung zu 6.3.6:
Zeichnen Sie die Geraden g1: y = 2x - 3
; g2 : y = - 21 x + 2 ;
g3: y = - x + 1
und berechnen Sie die jeweiligen Schnittpunkte.
6.4 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variabelen
Beispiel:
Gesucht sind 2 Zahlen unter folgenden Bedingungen:
I.
Addiert man zum Dreifachen der 1. Zahl die 2. Zahl, dann erhält man 8.
II.
Subtrahiert man vom Fünffachen der 1. Zahl das Dreifache der 2. Zahl, dann erhält man 18.
Um welche Zahlen handelt es sich?
Lösung:
x ist die Variabele für die 1. Zahl, y ist die Variabele für die 2. Zahl.
Aus dem obigen Text ergeben sich zwei Gleichungen.
I : 3x + y = 8 und II: 5x – 3y = 18
Dies ist ein Gleichungssystem mit zwei Variabelen. Für die gesuchten Zahlen müssen Gleichung I
und Gleichung II gelten.
Da beide Gleichungen in der graphischen Darstellung jeweils eine Gerade ergeben (vgl. 6.3.5), muss
die gesuchte Lösung gleich den Koordinaten des Schnittpunktes S der beiden Geraden sein.
Durch Umformungen erhält man:
I1 : y = - 3x + 8 und II2: y = 5 x - 6 (I1 bedeutet: I mit einer Umformung)
3
Probieren Sie die graphische Lösung! Der Schnittpunkt ist S(3/-1).
Die rechnerische Lösung erfolgt nach dem Schema in 6.3.6 durch Gleichsetzung:
Man erhält: x = 3 (1. Zahl)  y = -1 (2. Zahl)  L = {(3/-1)}.
Begriffserklärung: lineares Gleichungssystem:
Verbindet man zwei lineare Gleichungen mit zwei Variabelen durch „und“, so erhält man ein lineares
Gleichungssystem mit zwei Variabelen. Die Möglichkeiten der Lösungsmenge entsprechen denen bei der
Schnittpunktberechnung, d.h. normalerweise erhält man ein Ergebnis und schreibt dies in der Form:
L = {(Ergebnis für die 1.Variable/ Ergebnis für die 2.Variable)}
Lösungsverfahren:
Das in dem oben gewählte Verfahren der rechnerischen Lösung eines Gleichungssystems heißt
Gleichsetzungsverfahren.
Es gibt andere Lösungsverfahren für Gleichungssysteme, mit deren Hilfe man im Vergleich zum
Gleichsetzungsverfahren meist schneller und einfacher die Lösung findet. Von diesen Verfahren
werden die beiden bedeutendsten hier behandelt:
das Einsetzungsverfahren und das Additionsverfahren.
Das Einsetzungsverfahren
Beispiel: Zum Vergleich wird das obige Gleichungssystem gewählt:
I : 3x + y = 8 und II: 5x – 3y = 18
1. Schritt: Die Gleichung I wird umgeformt in I1: y = - 3x + 8 . Den Term - 3x + 8 kann man
für y in die andere Gleichung (Gleichung II) einsetzen. Man erhält eine Gleichung
III: 5x – 3 ∙ (- 3x + 8) = 18  5x + 9x – 24 = 18 
x=3
2. Schritt: x = 3 wird in I1 eingesetzt in
L = {(3/-1)}
 y=-3·3+8  y=-1
Lösungsweg beim Einsetzungsverfahren:
1. Schritt: Man löst eine der beiden Gleichungen nach einer Variablen auf und setzt den erhaltenen Term in die andere Gleichung 17
ein.
Man erhält eine Gleichung III, mit deren
Hilfe
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eine Variable bestimmt wird.
2. Schritt: Die andere Variable wird durch Einsetzen der Lösung von Gleichung III in den obigen
Term bestimmt.
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Musterbeispiel:
I : 4x – 6y = 28
und II: 2x = 10y – 14 | : 2
1. Schritt: II1 : x = 5y – 7 in I  III: 4 ∙ (5y – 7) – 6y = 28  y = 4
2. Schritt: y = 4 in II1  x = 5 · 4 – 7  x = 13
L={(13/4)} .
Probe: I : 4 ∙ 13 – 6 · 4 = 28 ist eine wahre Aussage;
II : 2 ∙ 13 = 10 ∙ 4 – 14 ist ebenfalls eine wahre Aussage.
Entscheidend ist, welche Gleichung man anfangs nach welcher Variablen aufgelöst! Versuchen Sie
das obige Gleichungssystem so zu lösen, dass Sie die erste Gleichung nach y auflösen und den
entsprechenden Term in die zweite Gleichung einsetzen.
Noch ein Beispiel: I : 4a + b = 11 und II : 12a + 5b = 39 .
Gesucht:
a = ?, b = ?
Probieren Sie! Die Lösung lautet: a = 2, b = 3 bzw. L={(2/3)} (alphabetisch geordnet).
Das Additionsverfahren
Beispiel:
Zum Vergleich wird auch jetzt das obige Gleichungssystem gewählt.
Dabei ist es sinnvoll, die Gleichungen untereinander aufzuschreiben.
I : 3x + y = 8
und
II : 5x – 3y = 18
1. Schritt: Jetzt kommt ein genialer „Trick“ : Gleichung I wird zunächst mit 3 multipliziert, man erhält
die Gleichung I1 , danach werden die Gleichungen I1 und II addiert !
I1 : 9x + 3y = 24
II : 5x – 3y = 18
III = I1 + II : 14x
= 42  x = 3
2. Schritt: x = 3 in I  3 · 3 + y = 8  y = -1
 L={(3/-1)}
Lösungsweg beim Additionverfahren:
1. Schritt: Man multipliziert die beiden Seiten jeder Gleichung des Gleichungssystems mit einer
geeigneten Zahl, so dass die Koeffizienten (Beizahlen) einer Variablen den gleichen
Betrag, aber entgegengesetzte Vorzeichen haben. Dann addiert man die beiden Gleichungen. Man erhält eine Gleichung III, mit deren Hilfe eine Variable bestimmt wird.
2. Schritt: Die andere Variable wird durch Einsetzen der Lösung von Gleichung III in eine geeignete Gleichung bestimmt.
Die Lösungsmenge wird aufgeschrieben.
Eine Probe sollte mit den beiden ursprünglichen Gleichungen durchgeführt werden .
Musterbeispiel:
I : 4x + 3y = 7
und
II : 9x – 4y = - 38
1. Schritt:
I1 : 16x + 12y = 28
II2 : 27x – 12y = -114
III=I1+II1 : 43x
= - 86
| ∙4
|· 3
 x=-2
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2. Schritt: x = -2 in I  4 ∙ (-2) + 3y = 7  y = 5
L={(-2/5)}
Probe: I : 4 · (-2) + 3 · 5 = 7 ist eine wahre Aussage;
II : 9 ∙ (-2) – 4 ∙ 5 = - 38 ist ebenfalls eine wahre Aussage .
Versuchen Sie das obige Gleichungssystem so zu lösen, dass nach der Addition der Variable x
wegfällt!
Noch ein Beispiel: I : -2a + 3b = 4 und II : 7a – 8b = - 9 .
Gesucht:
a = ?, b = ?
Probieren Sie! Die Lösung lautet: a = 1, b = 2 bzw. L = {(1/2)}
Die beiden Verfahren im Vergleich
Welches Verfahren wann günstiger ist, hängt von dem jeweiligen Gleichungssystem ab. Sie sollten
daher beide Verfahren können.
Das Additionsverfahren ist bei vielen linearen Gleichungssystemen besonders vorteilhaft, da der
Lösungsweg relativ kurz ist und die Fehlerquote erfahrungsgemäß geringer ist als beim
Einsetzungsverfahren.
Bei vielen nichtlinearen Gleichungssystemen ist eine Anwendung des Additionsverfahren meistens
nicht möglich.
Das Einsetzungsverfahren ist besonders günstig, wenn in Gleichungssystemen Gleichungen wie
y = 3x -8 oder x = 5y + 6 gegeben sind, oder wenn man eine derartige Form leicht erreichen kann
(siehe Musterbeispiel zum Einsetzungs-verfahren). Die Lösung vieler nicht-linearer
Gleichungssysteme ist nur mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens möglich (siehe LE 12).
Die Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen:
Dazu zwei Beispiele von Sonderfällen (vgl. Sonderfälle in 6.3.6).
1.
I : 2x – 3y = 5
und II : -2x + 3y = 6
Nach der Addition erhält man die falsche Aussage 0 = 11  L = { }.
In der graphischen Darstellung erhält man parallele Geraden! Prüfen Sie!
2.
I : 2x – 3y = 5
und II : -2x + 3y = - 5
Nach der Addition erhält man die wahre Aussage 0 = 0. In der graphischen Darstellung erhält man nur
eine Gerade! Die Punkte dieser Geraden bilden die Lösungs-menge.
Für die Lösungsmenge L eines linearen Gleichungssystems mit 2 Variablen gibt es drei
verschiedene Fälle (für beide Variablen sei D =ℝ ):
a) L enthält genau ein Element, die entsprechenden Geraden schneiden sich in einem Punkt.
b) L enthält kein Element, die entsprechenden Geraden verlaufen parallel.
c) L enthält unendlich viele Elemente, die entsprechenden Geraden stimmen überein.
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Übungen zu 6.4
1. Lösen Sie nach dem Einsetzungsverfahren:
a) I : y = 2x – 7 und II : 4y = -18 + 6x ; b) I : 2c + 3d = 15 und II : 18 – 6d = 2c
2.
3.
Lösen Sie nach dem Additionsverfahren:
a) I : 12x – 8y = 16 und II : 4x + 6y = - 12 ;
b) I : 21 a + 2b = 7 und II : 2a – 3b = 17
Lösen Sie:
a) I : 12a = 18 – 6b und II : 5 · (a – 2b) = 20a + b – 40
b) I : 4a + 9b = 24 und II : - 2,25b – 8 = a
AUFGABEN ZUR LEHREINHEIT 06
1. Gegeben sind die Geraden g1: y = 2 x - 2 und g2: y = -2 x + 2
3
2.
Zeichnen Sie die Geraden.
Berechnen Sie den Schnittpunkt der Geraden.
In welchen Punkt schneidet g1 die x-Achse (rechnerisch)?
Prüfen Sie rechnerisch nach, ob der Punkt P(7/2,7) auf g1 liegt.
Bestimmen Sie die Gleichung einer Geraden g3, die parallel zu g2 verläuft und durch den
Punkt Q(2/3) geht.
a)
Bestimmen Sie die Gleichung einer Geraden g1, die durch die Punkte A(1/6) und
B(5/-3) verläuft.
In welchem Punkt schneidet g1 die Gerade g2: x – 2y = 5,5?
b)
3.
5
a)
b)
c)
d)
e)
Lösen Sie folgende Gleichungssysteme (mit Probe)
a) I : 3x + 2y = 98 und II : 15x – 3y = 48 ;
b) I : y = 6x – 22 und II : 4x + 3y = 44 ;
c) I : 15 – 3m + 2n = 28 und II : 12 + 6m – n = 10 ;
d) I : 10x = 2y + 6 und II : 0,8x = 0,2y + 0,5 .
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LÖSUNGEN DER ÜBUNGEN UND AUFGABEN
Übungen zu 6.3.2:
1.
a)
X
0
2
2x=
3
b)
y
0
a), b)
x
- 52 x + 2 = y
0
2
3
2 3
3
=2
2
- 52  2 + 2 = 1,2
6
2 6
3
=4
5
- 52  5 + 2 = 0
a), b)
c), d)
g1: y = 5 x - 1;
Übungen zu 6.3.3:
2
g2:
y = 1 x + 4,5 ;
2
g3:
y = - 56 x + 34
Schnittpunkte: g1  g2 S(2/1) ; g1  g3 S( 4 / -1 ) ; g2  g3 S(-2/3) .
Übungen zu 6.3.6:
3 3
Übungen zu 6.4: 1. a) L = {(5/3)} ; b) L = {(6/1)} ; 2. a) L = {(0/-2)} ; b) L = {(10/1)} ;
3. a) L = {(-1/5)} ; b) L = { } .
Aufgabe 1: b) S(3,73/0,5) ; c) Ansatz: y = 0 ; in (3/0) ; d) P liegt nicht auf g1 ; e) y = - 2 x + 3,8 .
5
Aufgabe 2: a) y = -
9
4
x + 8,25 ; b) in (4/-0,75) .
Aufgabe 3: a) L = {(10/34)} ; b) L = {(5/8)} ; c) L = {(1/8)} ; d) L = {(0,5/-0,5)}
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FERNUNTERRICHT DER BUNDESWEHRFACHSCHULE
Einsendeaufgaben zur Lehreinheit 06
Dienstgrad, Name,
Vorname
Einheit,
Standort,
DZE
Privatanschrift
Email
Datum
1. Gegeben sind die Geraden g1 : y = x + 3 ; g2 : y = - 3 x + 6
und g3 : y = 2 .
4
a) Zeichnen Sie die Geraden in ein Koordinatensystem.
b) Berechnen Sie die jeweiligen Schnittpunkte der Geraden.
2. Bestimmen Sie jeweils die Geradengleichung:
a) Die Gerade g1 verläuft durch A(0/3) und B(4/2).
b) Die Gerade g2 verläuft durch C(-2/1) und D(3/4).
3. Lösen Sie folgende Gleichungssysteme:
a) I : 4x – 3y = 40 und II : 3x + 6y = - 3 ;
b) I : 2,5x – 6y = - 53 und II : y = 9x + 26 ;
c) I : 12 – 3 · (x + 2y) = 10x + 5y – 126 und II : 1 y – 3,5 = 1 x .
2
3
Senden sie die Lösungen auf dem beigefügten DIN A4 Blatt an die für sie zuständige
Bundeswehrfachschule (Name und Aderesse nicht vergessen!).
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DStG
Name
Vorname
Blatt:
Lösungen zu den Einsendeaufgaben LE 06
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