Extremwertberechnungen

Extremwertberechnungen
In der Praxis wird man oft vor die Aufgabe gestellt, eine Größe (Fläche, Volumen,
Materialverbrauch, Kosten... ) zu optimieren. Wenn wir die Größe durch eine Funktion in einer
Variablen ausdrücken können, können wir mit Hilfe der Ableitung den Extremwert berechnen.
Wenn mehrere Variablen vorkommen, müssen wir diese zuerst durch eine ausdrücken.
Schema zum Lösen einer Extremwertaufgabe:

wenn möglich, Skizze zeichnen

Zielfunktion: Formel zur Berechnung der Größe, die maximal bzw. minimal werden soll

wenn mehrere Unbekannte vorkommen: Nebenbedingung
(Formel, Pythagoras, Strahlensatz, Winkelfunktion, Gleichung einer Kurve...)

eine Unbekannte aus Nebenbedingung ausdrücken und in Zielfunktion einsetzen

Vereinfachung der Zielfunktion – Tricks:
 Konstante Faktoren herausheben – sie dürfen auch weggelassen werden
 Die Zielfunktion darf quadriert werden
 Man darf statt der Zielfunktion ihren Kehrwert betrachten
(allerdings wird dann Maximum zu Minimum und umgekehrt !! )

(vereinfachte) Zielfunktion differenzieren

1. Ableitung = 0 setzen, Lösung berechnen

Kontrolle durch 2. Ableitung
1. Entlang einer Mauer soll eine rechteckige Fläche von 50 m² eingezäunt werden.
Wie lang müssen die Seiten des Rechtecks sein, damit man möglichst wenig Zaun braucht?
Zielfunktion:
U(x,y) = x + 2y  Minimum
Nebenbedingung:
Formel: xy = 50
y = 50x-1
einsetzen:
U(x) = x + 100x-1
differenzieren:
U'(x) = 1 - 100x-2
U''(x) = 200x-3
Minimum berechnen:
1 - 100x-2 = 0
x = 10, y = 5
Kontrolle:
U''(10) = 200/1000 > 0  Minimum
2. Welches von allen Rechtecken, die man einem Kreis vom Radius r einschreiben kann,
hat den größten Flächeninhalt?
Zielfunktion:
Nebenbedingung:
A(x,y) = xy  Maximum
Pythagoras: x² + y² = 4r²
y=
4r 2  x 2
einsetzen:
A(x) = x· 4r 2  x 2
vereinfachen:
A²(x) = x²·(4r² - x²) = 4r²x² - x4
differenzieren:
A²'(x) = 8r²x - 4x³
A2''(x) = 8r² - 12x²
Maximum berechnen:
8r²x - 4x³ = 0
x² = 2r² y² = 2r²
Kontrolle:
A²''(r 2 ) = -16r² < 0  Maximum
HH  (x1 = 0)
Rechteck ist ein Quadrat!
oder:
Nebenbedingung:
Winkelfunktionen: x = 2r. cos  y = 2r . sin 
einsetzen:
A( ) = 4r². (cossin
differenzieren:
A’() ) 4r² .(-sin .sin + cos cos
Max. berechnen
cos²sin²cos²
1 – tan² = 0 …. tan = 1…. = 45°
Rechteck ist ein Quadrat
Kontrolle:
A“(45°) = 4r²[2cos45°.(-sin45°) – 2sin45°. cos45°] < 0  max
3. Einem Kegel vom Radius R und der Höhe H werden Zylinder eingeschrieben. Welcher von
diesen Zylindern hat das größte Volumen?
Zielfunktion:
V(r,h) = r²h  Maximum
Nebenbedingung:
Die roten Dreiecke sind ähnlich: Strahlensatz H : R = h : (R-r)
einsetzen:
vereinfachen:
V~(r) = r²(R-r) = Rr² - r³
differenzieren:
V~'(r) = 2Rr - 3r²
V~''(r) = 2R - 6r
Maximum berechnen:
2Rr - 3r² = 0
r1 = 0, r2 = 2R/3
Kontrolle:
V~''(0) = 2R > 0 Minimum
V~''(2R/3) = -2R < 0  Maximum
r = 2R/3, h = H/3
Beispiele Extremwertaufgaben
1.
a.
b.
c.
Die Zahl 12 soll in zwei Summanden zerlegt werden, so dass
ihr Produkt maximal wird;
die Summe ihrer Quadrate minimal wird;
die Summe aus dem Quadrat des einen Summanden und dem doppelten Quadrat des anderen
Summanden minimal wird;
d. das Produkt des Kubus des einen Summanden mit dem anderen Summanden maximal wird.
2. Welches von allen Rechtecken a) mit dem Umfang u (1 m) b) mit der Diagonale d (1 m)
hat den größten Flächeninhalt, und wie groß ist er?
3. Welches von allen Rechtecken mit dem Flächeninhalt A (100 cm²) hat
a. den kleinsten Umfang
b. die kürzeste Diagonale?
4. Aus einem rechteckigen Blech mit den Seitenlängen a und b soll eine quaderförmige Dose
hergestellt werden, indem man an den Ecken Quadrate ausschneidet und die übriggebliebenen
Rechtecke hochbiegt. Wie lang muss die Seite der Quadrate sein, wenn das Volumen der Dose
möglichst groß werden soll, und wie groß ist das Volumen?
a. a = 40 cm, b = 25 cm
b. a = b = 60 cm
5. Aus einem Baumstamm mit dem Durchmesser d (75 cm) soll ein Balken mit rechteckigem
Querschnitt von maximaler Tragfähigkeit geschnitten werden. Die Tragfähigkeit ist proportional
zum Produkt aus der Breite des Balkens mit dem Quadrat der Höhe. Zeige, dass sich die
Seitenlängen des Balkenquerschnitts zueinander wie 1 : √2 verhalten!
6. Ein Paketservice berechnet das Porto nach der Summe aus der längsten und der kürzesten
Paketseite. Wie lang müssen die Seiten eines quaderförmigen Pakets sein, wenn diese Summe
90 cm betragen darf und der Inhalt maximal werden soll, und wie groß ist er in diesem Fall?
(Das Volumen ist am größten, wenn die dritte Seite genauso lang ist wie die längste.)
7. Ein Getränkekarton mit dem Volumen V (1 dm³) soll die Form eines quadratischen Prismas
haben. Wie groß müssen Seitenlänge und Höhe des Prismas sein, damit die Oberfläche
minimal wird?
8. Wie muss man den Radius und die Höhe einer zylindrischen Dose vom Volumen V (250π cm³)
wählen, damit die Oberfläche minimal wird?
9. Wie 8., für einen oben offenen Topf!
10. Bei einem quaderförmigen Getränkekarton mit dem Volumen 800 cm³ soll die längste Seite 4
mal so lang sein wie die kürzeste. Wie lang müssen die Seiten sein, damit die Oberfläche
minimal wird? Wie groß ist die Oberfläche?
11. Einem rechtwinkeligen Dreieck mit den Katheten a (30 cm) und b (40 cm) soll das
flächengrößte Rechteck eingeschrieben werden, so dass
a. zwei Seiten auf den Katheten des Dreiecks liegen,
b. eine Seite auf der Hypotenuse des Dreiecks liegt?
Berechne in beiden Fällen den Flächeninhalt des Rechtecks.
12. Einer Kugel vom Radius R (12 cm) soll
a. der Zylinder mit der größtmöglichen Mantelfläche
b. der Kegel mit dem größtmöglichen Volumen eingeschrieben werden.
13. Einer Halbkugel vom Radius R (12 cm) ist ein Kegel einzuschreiben, dessen Spitze im
Mittelpunkt der Halbkugel liegt, so dass
a. das Volumen maximal wird;
b. die Mantelfläche maximal wird.
14. Ein Zylinder hat die Mantelfläche M (100π cm²).
a. Wie müssen Radius und Höhe gewählt werden, damit das Volumen des Zylinders max. wird?
b. Wie ändert sich das Ergebnis, wenn der Radius höchstens 50 cm betragen darf?
15. Welches von allen gleichschenkeligen Dreiecken mit dem Umfang u (1 m) hat den größten
Flächeninhalt, und wie groß ist er?
16. Ein 1 m langer Draht wird in zwei Teile geteilt. Aus dem einen Teil wird ein Quadrat geformt,
aus dem anderen ein Kreis. Wie lang müssen die Stücke sein, damit die Summe der
Flächeninhalte von Quadrat und Kreis minimal wird?
Lösungen:
1.
a.
b.
c.
d.
x=y=6
x=y=6
x = 8, y = 4
x = 9, y = 3
2.
a. a = b = u/4 (25 cm), A = u²/16 (625 cm²)
b. a = b = d/√2 (70,7 cm), A = d²/2 (0,5 m²)
3.
a. a = b = √A (10 cm), u = 4√A (40 cm)
b. a = b = √A (10 cm), d = √(2A) (14,1 cm)
4.
a. x = 5 cm, V = 2250 cm³
b. x = 10 cm, V = 16000 cm³
5. b = d/√3 (43,3 cm), h = d√2/√3 (61,2 cm)
6. x = y = 60 cm, z = 30 cm, V = 108 dm³
7. a = h = ³√V (10 cm) - Würfel
8. r = ³√(V/2π) (5 cm), h = 2·³√(V/2π) (10 cm)
9. r = h = ³√(V/π) (6,3 cm)
10. x = 5 cm, y = 8 cm, z = 20 cm, O = 600 cm²
11.
a. x = a/2 (15 cm), y = b/2 (20 cm), A = ab/4 (300 cm²)
b. x = c/2 (25 cm), b = hc/2 (12 cm), A = c·hc/4 (300 cm²)
12.
a. r = R/√2 (8,5 cm), h = R√2 (17,0 cm)
b. r = R√8/3 (11,3 cm), h = 4R/3 (16 cm)
13.
a. r = R√2/√3 (9,8 cm), h = R/√3 (6,9 cm)
b. r = R, h = 0 (Randextremum)
14.
a. keine Lösung
b. r = 50 cm, h = 1 cm (Randextremum)
15. x = y = u/3 (33,3 cm), A = u²√3/36 (481 cm²)
16. x = π/(4+π) m = 44 cm, y = 4/(4+π) m = 56 cm