Körperberechnung
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Körperberechnung Pisafit Mathematik – Körperberechnung Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis ....................................................................................................... 1 Impressum .................................................................................................................. 2 Vorbemerkungen ........................................................................................................ 3 Körperberechnung ...................................................................................................... 5 Prismen ...................................................................................................................... 6 Würfel...................................................................................................................... 7 Quader .................................................................................................................... 9 Aufgaben zu Würfeln und Quadern ....................................................................... 10 Zylinder ................................................................................................................. 12 Trapezsäule .......................................................................................................... 16 Dreiecksäule ......................................................................................................... 17 Aufgaben zu Trapez- und Dreiecksäulen .............................................................. 18 Spitze Körper ............................................................................................................ 20 Pyramide ............................................................................................................... 21 Kegel ..................................................................................................................... 25 Kugel ........................................................................................................................ 28 Vermischte Textaufgaben zur Körperberechnung .................................................... 31 Seite 1 Pisafit Mathematik – Körperberechnung Impressum Produktion: leitner.interactive, Äußere Buchleuthe 58, 87600 Kaufbeuren Herausgeber: e/t/s Didaktische Medien GmbH Kirchstraße 3 87642 Halblech Autor: Bfw Bad Pyrmont Rechte: Copyright© 2006 e/t/s Didaktische Medien GmbH, Halblech. Alle Rechte vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf in irgendeiner Form (durch Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren) ohne schriftliche Genehmigung des Herausgebers reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. Auch die Rechte der Wiedergabe durch Vortrag, Funk und Fernsehen sind vorbehalten. Text, Abbildungen und Programme wurden mit größter Sorgfalt erarbeitet. Herausgeber, Programmierer und Autoren können jedoch für eventuell verbliebene fehlerhafte Angaben und deren Folgen weder eine juristische Verantwortung noch irgendeine Haftung übernehmen. Namensschutz: Die meisten in dieser Einheit erwähnten Soft- und Hardwarebezeichnungen sind auch eingetragene Marken und unterliegen als solche den gesetzlichen Bestimmungen. Microsoft, Windows und andere Namen von Produkten der Firma Microsoft, die in dieser Qualifizierungseinheit erwähnt werden, sind eingetragene Warenzeichen der Microsoft Corporation. Inhaltliche Verantwortung: Diese Qualifizierungseinheit enthält Verweise (sogenannte Hyperlinks) auf Seiten im World Wide Web. Wir möchten darauf hin weisen, dass wir keinen Einfluss auf die Gestaltung sowie die Inhalte der gelinkten Seiten haben. Deshalb distanzieren wir uns hiermit ausdrücklich von allen Inhalten der Seiten, auf die aus unserem Lerninhalt verwiesen wird. Diese Erklärung gilt für alle in diesem Lerninhalt ausgebrachten Links und für alle Inhalte der Seiten, zu denen Links oder Banner führen. Seite 2 Pisafit Mathematik – Körperberechnung Vorbemerkungen Das Kapitel Flächen- und Körperberechnung ist sehr komplex, da es eine Vielzahl verschiedener Flächen- und Körperformen gibt. Wir beschränken uns in dieser Qualifizierungseinheit deshalb auf die Grundlagen, das heißt die Formen, die am häufigsten vorkommen. So verzichten wir bei der Flächenberechnung zum Beispiel vollständig auf zusammengesetzte Flächen und bei der Körperberechnung auf abgestumpfte sowie zusammengesetzte Körper. Die Flächen- und Körperberechnung ist ohne das Beherrschen der Maßeinheiten nicht möglich. Deshalb widmet sich das erste Kapitel dem Umwandeln von Maßeinheiten. Auch dabei haben wir uns auf Grundlegendes beschränkt. So bleiben Hohl- und Gewichtsmaße sowie die Dichte unberücksichtigt. Damit Sie die Formeln besser verstehen, was eine wichtige Voraussetzung für dauerhaftes Lernen ist, haben wir diese teilweise deren Entstehung erklärt. Wenn Sie sich einige Formeln nicht einprägen können, schlagen wir Ihnen vor, dass Sie sich Karteikarten anlegen, wobei Sie auf der Vorderseite das Thema (z.B. Flächeninhalt des Rechtecks) und auf der Rückseite die dazugehörige Formel (z.B. A = a b) notieren können. Die Textaufgaben sind innerhalb eines Kapitels in der Regel nach Schwierigkeitsgrad sortiert. Am Anfang finden Sie immer einige leichte. Mit zunehmender Nummerierung steigt der Schwierigkeitsgrad, wobei häufig zur Lösungsfindung die Formeln umgestellt werden müssen. Falls Sie damit Schwierigkeiten haben, empfehlen wir Ihnen, sich - noch einmal - die Qualifizierungseinheit zur Gleichungslehre anschauen. Dort wird insbesondere dieses Kapitel behandelt. Vergessen Sie bitte bei den Textaufgaben nicht die Antwortsätze! Bei vielen Textaufgaben gehen die Rechnungen nicht glatt auf. Das heißt: Sie müssen runden. Runden Sie aber bitte erst das Endergebnis und nicht zwischendurch, da sonst das Ergebnis ungenau wird bzw. möglicherweise nicht mit der angegebenen Lösung übereinstimmt. Für das Runden gelten – wenn nicht anders angegeben – die in der Qualifizierungseinheit zur schriftlichen Multiplikation bzw. Division dargestellten Rundungsregeln. Noch ein Hinweis zu den Lösungen der Textaufgaben: Wir haben – um die Anzahl der erforderlichen Rechnungen zu reduzieren – in der Regel zunächst eine komplette Formel für die Berechnung der jeweils gesuchten Größe aufgestellt, in diese dann Seite 3 Pisafit Mathematik – Körperberechnung die bekannten Werte eingesetzt und anschließend das Ergebnis ermittelt. Falls Sie es bevorzugen, die Aufgaben in mehreren Schritten zu lösen, kann es in Ausnahmefällen bzw. wenn Sie unsere obigen Ausführungen zum Runden nicht beachten, vorkommen, dass Ihr Ergebnis von unserem abweicht. Falls Sie in einem derartigen Fall wissen möchten, ob Ihr Ergebnis ebenfalls stimmt, können Sie sich gern mit uns in Verbindung setzen. Bitte teilen Sie uns auch mit, wenn Sie eine offensichtlich falsche Lösung finden. Wir haben zwar alle Lösungen überprüft. Aber „Irren ist menschlich“ und manchmal schleicht sich – leider – auch bei uns der Fehlerteufel ein. Sorry! Bei der Kreisberechnung taucht die konstante Zahl = 3,141592654... auf. Aus Gründen der Vereinfachung bzw. um das Runden etwas zu reduzieren haben wir bei allen derartigen Aufgaben mit 3,14 gerechnet, wobei uns bewusst ist, dass dadurch die Lösungen teilweise ungenau sind. Diese Qualifizierungseinheit enthält wiederum eine Fülle von Übungsaufgaben. Wie in den übrigen Einheiten gilt auch hier, dass Sie nicht alle Aufgaben bearbeiten müssen. Wenn Sie ein Teilkapitel beherrschen, können Sie natürlich gleich zum nächsten übergehen. Vielleicht lassen Sie auch immer einige Aufgaben für eine spätere Wiederholung zurück. Manchmal ist es sinnvoll, Aufgaben zu Trainingszwecken – natürlich in zeitlichen Abständen – noch einmal zu bearbeiten. Sie können die Aufgaben natürlich mit dem Taschenrechner lösen. Allerdings sollten Sie versuchen, wenn immer es möglich ist, auf den Taschenrechner zu verzichten und Ihr Gehirn zu trainieren. Viel Erfolg bei der Bearbeitung dieser Qualifizierungseinheit!!! Seite 4 Pisafit Mathematik – Körperberechnung Körperberechnung Ein geometrischer Körper umschließt einen Raum, der von einer bestimmten Anzahl gerader oder gebogener (gekrümmter) Flächen begrenzt wird. Wie bereits im Kapitel Körpermaße erwähnt, haben Körper in der Regel drei Ausdehnungen (Dimensionen), nämlich Länge, Breite und Höhe. Von allen geometrischen Körpern können Sie mithilfe entsprechender Formeln den Rauminhalt bzw. das Volumen, die Oberfläche sowie in den meisten Fällen – bei der Kugel geht das nicht – ebenfalls den Mantel berechnen. Sie können jedoch auch aus einem gegebenen Volumen, einer gegebenen Oberfläche oder einem gegebenen Mantel die Länge einzelner Seiten errechnen, wenn Sie die Formeln umstellen. Der Rauminhalt bzw. das Volumen V eines Körpers gibt die Größe des Raumes an, der von den entsprechenden Flächen eingeschlossen wird. Die Oberfläche O wird von allen Flächen gebildet, aus denen sich der Körper zusammensetzt, also von der Grundfläche (untere Fläche), gegebenenfalls der Deckfläche (obere Fläche) und den Seitenflächen. Die Seitenflächen allein bilden die Mantelfläche M. Sie ummanteln sozusagen den Körper. Geometrische Körper lassen sich - je nach Körperform - in 3 verschiedene Gruppen einteilen, für die es auch jeweils unterschiedliche Formeln für die Berechnung von V, O und M gibt: Prismen Zugespitzte bzw. spitze Körper Abgestumpfte bzw. stumpfe Körper Schneidet man von zugespitzten Körpern die Spitze ab, entstehen so genannte abgestumpfte Körper (z.B. Blumentöpfe). Diese Körperform wird in dieser Qualifizierungseinheit jedoch nicht behandelt. Eine Sonderform eines Körpers stellt die Kugel dar, die auf einem Kreis basiert und weder eine Grundfläche noch eine Deckfläche besitzt. Seite 5 Pisafit Mathematik – Körperberechnung Prismen Prismen (in der Einzahl: Prisma) sind geometrische Körper, die durch Parallelverschiebung einer ebenen Fläche im Raum entstehen. Stehen die Seitenflächen senkrecht (im rechten Winkel) auf der Grundfläche, handelt es sich um gerade Prismen (andere Ausdrücke: Säulen bzw. gerade Körper). Stehen die Seitenflächen nicht senkrecht auf der Grundfläche, spricht man von einem schiefen Prisma. Diese Körperform wird in dieser Qualifizierungseinheit jedoch nicht behandelt. Kennzeichen von geraden Prismen: Grundfläche und Deckfläche stets gleich groß. Diese Flächen können beliebige Vielecke oder Kreise sein. Allgemeine Formel für die Berechnung des Volumens von geraden Prismen: Das Volumen können Sie errechnen, indem Sie die jeweilige Grundfläche mit der Höhe des Körpers multiplizieren. V = Ah Allgemeine Formel für die Berechnung des Mantels von geraden Prismen: Der Mantel bildet stets ein Rechteck. Die eine Seite ist dabei der Umfang der Grundfläche, die andere Seite die Höhe des Körpers. M = Uh Seite 6 Pisafit Mathematik – Körperberechnung Formel für die Berechnung der Oberfläche von geraden Prismen: Die Oberfläche setzt sich aus dem Mantel und der doppelten Grundfläche zusammen. O = 2A+M Abhängig von der jeweiligen Grundfläche haben einige Prismen besondere Namen: z.B. Würfel, Quader, Zylinder, Dreiecksäule, Trapezsäule. Für die Berechnung dieser Prismen gelten dann spezielle Formeln, die aus den Grundformeln entwickelt sind. Es ist jedoch nicht ratsam, sich diese einzuprägen. Mit etwas Überlegung können Sie sie sich jederzeit selbst herleiten. Wir haben sie nur der Vollständigkeit halber mit aufgeführt. Es reicht vollkommen aus, wenn Sie die Grundformeln lernen. Würfel Ein Würfel ist ein Körper, der ausschließlich aus Quadraten besteht. Beispiel: a a a Seite 7 Pisafit Mathematik – Körperberechnung Formel für die Volumenberechnung: V = a a a = a³ Wenn Sie aus einem gegebenen Rauminhalt eines Würfels die Seitenlänge ermitteln möchten, müssen Sie die dritte Wurzel dieses Wertes bilden. Das heißt: Sie suchen die Zahl, die zweimal mit sich selbst multipliziert genau den vorgegebenen Wert ergibt. Das mathematische Zeichen für die Wurzel ist . Also: 3 a=V Formel für die Mantelberechnung M = 4 a² Formel für die Oberflächenberechnung: O = 6 a² Seite 8 Pisafit Mathematik – Körperberechnung Quader Ein Quader ist ein Körper, der entweder nur aus Rechtecken besteht oder aus Rechtecken und Quadraten. Beispiele: h h b a b a Formel für die Volumenberechnung: V = abh Formel für die Mantelberechnung M = 2 a h + 2 b h = 2 h (a + b) Formel für die Oberflächenberechnung: O = 2 a b + 2 a h + 2 b h = 2 (a b + a h + b h) Seite 9 Pisafit Mathematik – Körperberechnung Aufgaben zu Würfeln und Quadern Übung 1 Berechnen Sie bitte in der folgenden Tabelle die fehlenden Werte! Runden Sie die Ergebnisse bitte nicht! Würfel a b Würfel Quader 4,5 cm h A Quader 60 mm 40 mm 8 cm 50 mm 9 cm V Quader 1,8 m 1,95 m 504 cm³ M O 100 dm² 11,895 m² Lösung: Würfel Würfel Quader Quader Quader a b 4,5 cm 4,5 cm 5 dm 5 dm 60 mm 40 mm 7 cm 8 cm 1,8 m 1,25 m h A 4,5 cm 20,25 cm² 5 dm 25 dm² 50 mm 2.400 mm² 9 cm 56 cm² 1,95 m 2,25 m² V 91,125 cm³ 125 dm³ 120.000 mm³ 504 cm³ 4,3875 m³ M O 81 cm² 121,5 cm² 100 dm² 150 dm² 270 cm² 382 cm² 11,895 m² 16,395 m² 10.000 mm² 14.800 mm² Seite 10 Pisafit Mathematik – Körperberechnung Übung 2 Textaufgaben 1. Wie groß ist das Fassungsvermögen eines würfelförmigen Behälters mit einer inneren Seitenlänge von 22,5 cm? 2. Wie groß ist der Rauminhalt einer Werkstatt, die 7,40 m lang, 4,20 m breit und 4,10 m hoch ist? 3. Die Gärtnerei Tausendschönchen soll für ein Hotel in Bayern 55 BalkonBlumenkästen bepflanzen. Wie viel m³ Pflanzerde müssen die Mitarbeiter bereit stellen, wenn jeder Kasten 80 cm lang und 22 cm breit ist und die Erde 18 cm hoch eingefüllt werden soll? (Runden Sie das Ergebnis bitte auf einen ¾-m³ auf oder ab!) 4. Ein quaderförmiges Aquarium hat bei einer Seitenlänge a von 5 dm und einer Seitenlänge b von 25 cm ein Fassungsvermögen von 50 dm³. a) Wie viele Meter Metallrahmen brauchte man zur Herstellung des Aquariums mindestens? b) Wie viele Quadratmeter Glas brauchte man, wenn die Rückseite aus einer Spiegelfläche und der Boden aus Plastik besteht? 5. Ein Quader mit einer Länge von 55 cm, einer Breite von 45 cm und einer Höhe von 72 cm soll zu Dekorationszwecken von allen Seiten mit Stoff bespannt werden. Wie viel dm² Stoff wird insgesamt benötigt, wenn 1/10 als Verschnitt hinzugerechnet wird? 6. Die Ladefläche eines Lastwagens hat ein Volumen von 3,861 m³. Er ist 3,90 m lang und 1,80 m breit. Wie hoch (in cm) ist die Ladefläche? 7. Ein Öltank in Form eines Quaders (Länge: 2,70 m, Breite: 2,10 m, Höhe: 1,8 m) steht in einem Kellerraum mit der Länge a = 3,30 m und der Breite b = 2,40 m. Der Kellerraum muss mit einem Schutzanstrich versehen werden, damit bei einer möglichen Undichtigkeit kein Öl ins Mauerwerk und damit in die Umwelt gelangt. Wie hoch (in dm) muss der Schutzanstrich mindestens sein, damit bei vollem Tank kein Öl ins Mauerwerk dringen kann? (Runden Sie das Ergebnis bitte auf volle dm!) Seite 11 Pisafit Mathematik – Körperberechnung Lösungen: 1. 2. 11.390,625 cm³ 127,428 m³ 3. 4. 5. 6. 1,742 1,75 m³ a) 4,60 m – b) 0,4 m² 212,85 dm² 55 cm 7. 12,88 13 dm Zylinder Ein Zylinder ist ein Prisma mit einem Kreis als Grundfläche. Beispiel: h Formel für die Volumenberechnung: V = r² h Formel für die Mantelberechnung M = 2 r h = d h Seite 12 Pisafit Mathematik – Körperberechnung Formel für die Oberflächenberechnung: O = 2 r² + d h = (2 r² + d h) Übung 1 Berechnen Sie bitte in der folgenden Tabelle die fehlenden Werte! Rechnen Sie dabei mit = 3,14, runden Sie alle Ergebnisse grundsätzlich auf eine Stelle nach dem Komma und rechnen Sie ausnahmsweise auch mit diesen gerundeten Ergebnissen weiter! Zylinder r Zylinder 1,5 cm d h Zylinder Zylinder 5,2 m 32 mm 5 cm Zylinder 56 mm 48 cm 50 dm A V 6.622,6368 m² M O 2.512 dm² Seite 13 4.823,04 cm² Pisafit Mathematik – Körperberechnung Lösung: Zylinder Zylinder Zylinder Zylinder r 1,5 cm 16 mm 8 dm 5,2 m 24 cm d 3 cm 32 mm 16 dm 10,4 m 48 cm h 5 cm 56 mm 50 dm 78 m 32 cm A 7,065 7,1 cm² 803,84 200,96 201 803,8 mm² dm² 84,90 84,9 m² 1.808,64 1.808,6 cm² V 35,5 cm³ 45.012,8 mm³ 10.050 dm³ 6.622,6368 m² 57.876,48 cm³ M 47,1 cm² 2.512 dm² O 61,3 cm² 5.626,88 5.626,9 mm² 7.234,5 mm² 2.547,168 2.547,2 m² 2.717 m² 4.823,04 4.823 cm² 8.440,2 cm² Übung 2 1. Zylinder 2.914 dm² Textaufgaben Kaufmann Supergünstig hat für Werbezwecke vor seinem Geschäft eine 2,20 m hohe Litfasssäule aufgestellt. Ihr Durchmesser beträgt 120 cm. Wie viel m² Werbefläche hat Herr Supergünstig dadurch zur Verfügung? (Runden Sie das Ergebnis bitte auf eine Stelle nach dem Komma!) 2. Eine Dose mit einem Innendurchmesser von 9 cm ist 11,5 cm hoch mit Cappucino-Pulver gefüllt. a) Wie viel cm³ Cappucino-Pulver enthält die Dose? b) Wie viel cm³ Luft enthält die Dose, wenn sie insgesamt eine Innenhöhe von 13 cm hat? 3. Im Ölhafen der Stadt Ölburg stehen 24 Benzintanks mit einem Innendurchmesser von 15 m und einer Höhe von 7,50 m. a) Wie viel m³ Benzin lagert in den Tanks, wenn alle voll gefüllt sind? b) Ein Tankwagen hat einen zylindrischen Laderaum mit einem Innendurchmesser von 2,50 m und einer Länge von 6 m. Wie oft muss dieser gefüllt werden, bis ein Benzintank leer ist? Seite 14 Pisafit Mathematik – Körperberechnung 4. Ein Kochtopf hat eine kreisförmige Grundfläche mit einem Durchmesser von 24 cm. Er hat eine maximale Füllhöhe von 25 cm, ist jedoch nur zu 4/5 mit Wasser gefüllt. Wie viel cm³ Wasser enthält der Kopftopf? 5. Ein Pflanztrog hat die Form eines halben liegenden Zylinders. Der Trog ist 1,25 m lang, der Radius beträgt 35 cm. Wie viel m³ Erde befinden sich in dem Trog, wenn er nur zu 2/3 gefüllt ist? 6. Ein zylindrische Blechdose hat einen Durchmesser von 12 cm und eine Höhe von 17,5 cm. a) Wie viel cm² Blech wurde zu ihrer Herstellung benötigt? b) Der Mantel dieser Dose ist mit Papier beklebt. Wie viel cm² Papier wurden dafür benötigt, wenn sich das Papier wegen des Kleberandes 1 cm überlappt? c) Wie groß ist das Fassungsvermögen der Dose? 7. Ein kreisrundes Schwimmbecken mit einem Durchmesser von 5,6 m und einer Tiefe von 1,50 m wird bei schlechtem Wetter und im Winter mit einer Plane abgedeckt, die rundum 30 cm übersteht. a) Wie groß ist die Grundfläche des Beckens? b) Welchen Flächeninhalt hat die Abdeckplane? c) Wie viel Liter Wasser kann das Schwimmbecken insgesamt fassen? (1m³ = 1.000 l) d) Wie hoch steht das Wasser zurzeit im Becken, wenn es 32.000 Liter Wasser enthält? Lösungen: 1. 828,96 830 dm² 2. 3. 4. a) 731,2275 731,228 cm³ - b) 95,3775 95,378 cm³ 31.792,5 m³ - 45 mal 9 043,2 cm³ 5. 6. 0,1602 0,160 m³ a) 885,48 cm² - b) 676,9 cm² - c) 1.978,2 cm³ 7. a) 24,617 24,62 m² - b) 30,175 30,18 cm² - c) 36.926,4 l - d) 1,299 1,30 m Seite 15 Pisafit Mathematik – Körperberechnung Trapezsäule Eine Trapezsäule ist ein Prisma, dessen Grundfläche ein Trapez ist und dessen Seitenflächen Rechtecke sind. Beispiel: hT hK Formel für die Volumenberechnung: V = m hT hK = a + c hT hK 2 hT = Höhenlinie im Trapez hK = Körperhöhe, d.h. Höhe der Trapezsäule Auf die Darstellung der übrigen Formeln verzichten wir an dieser Stelle. Seite 16 Pisafit Mathematik – Körperberechnung Dreiecksäule Eine Dreiecksäule ist ein Körper, dessen Grundfläche ein Dreieck ist und dessen Seitenflächen Rechtecke sind. Beispiele: hc hK hc c Formel für die Volumenberechnung: V = a ha hK = b hb hK = 2 2 c hc hK 2 ha bzw. hb bzw. hc: Höhenlinien im Dreieck hK : Körperhöhe, d.h. Höhe der Dreiecksäule Auf die Darstellung der übrigen Formeln verzichten wir an dieser Stelle. Seite 17 hK Pisafit Mathematik – Körperberechnung Aufgaben zu Trapez- und Dreiecksäulen Übung 1 Berechnen Sie bitte in der folgenden Tabelle die fehlenden Werte! Trapezsäule a 5 cm c 7 cm m Trapezsäule Dreiecksäule Dreiecksäule 8,2 dm 12 dm ha 3 cm hK 8 cm V 6 cm 7,8 dm --- --- --- --- 3 cm 12 dm 7,5 cm 259,2 dm² 25 dm 331,5 dm³ Lösung: Trapezsäule Trapezsäule Dreiecksäule Dreiecksäule a 5 cm 8,2 dm 6 cm 7,8 dm c 7 cm 15,8 dm --- --- m 6 cm 12 dm --- --- ha 3 cm 1,8 dm 3 cm 3,4 dm hK 8 cm 12 dm 7,5 cm 25 dm V 144 cm³ 259,2 dm² 67,5 cm³ 331,5 dm³ Seite 18 Pisafit Mathematik – Körperberechnung Übung 2 Textaufgaben 1. Der 98,7 km lange Nord-Ostsee-Kanal hat als Querschnitt die Form eines gleichschenkligen Trapezes. Am Grund hat er eine Breite von 40 m. Von Ufer zu Ufer misst der Kanal 102 m. Das Wasser steht durchschnittlich 11 m hoch. Wie viele m³ Wasser befinden sich durchschnittlich im Nord-Ostsee-Kanal? 2. Die Fahrbahnen einer vierspurigen Schnellstraße sind je 7,50 m breit, die Standspur auf jeder Seite ist 2 m breit und der Mittelstreifen 2,50 m. Die Schnellstraße verläuft auf einem Damm von 3 m Höhe. Die Sohle des Dammes ist an jeder Seite 2,40 m breiter als die gesamte Fahrbahnbreite einschließlich Standspur und Mittelstreifen. a) Welchen Flächeninhalt hat der Querschnitt des Dammes? b) Wie viel m³ Erde müssen für 50 m Schnellstraßenlänge aufgeschüttet werden? 3. Ein gläsernes Prisma hat als Grund- und Deckfläche ein gleichschenkligrechtwinkliges Dreieck. Die beiden Schenkel sind jeweils 3 cm lang. Die Säule ist 4 cm hoch. Berechnen Sie das Volumen des Prismas! 4. Ein hölzernes Eckregal mit dreieckiger Grundfläche hat eine vordere Breite von 70 cm. Seine beiden Schenkel sind jeweils 50 cm lang. Das Regal ist 120 cm hoch und hat ein (theoretisches) Fassungsvermögen von 149.940 cm³. a) Wie tief (in cm) ist das Regal? b) Wie viel m² Holz waren zu seiner Herstellung nötig, wenn das Regal noch zwei Einlegeböden enthält, die genauso groß sind wie die Grund- bzw. Deckfläche? Lösungen: 1. 2. 3. 77.084.700 m³ 116,7 m² - 5.835 m³ 18 cm³ 4. a) 35,7 cm - b) 2,1996 2,20 m² Seite 19 Pisafit Mathematik – Körperberechnung Spitze Körper Spitze Körper werden auch zugespitzte Körper genannt. Kennzeichen von spitzen Körpern: Sie laufen von unten nach oben spitz zu, haben also keine Deckfläche, sondern nur eine Grundfläche. Allgemeine Formel für die Berechnung des Volumens von spitzen Körpern: Das Volumen können Sie errechnen, indem Sie die jeweilige Grundfläche mit der Höhe des Körpers multiplizieren und anschließend durch 3 dividieren. V = Ah 3 Erläuterungen zur Formel: Da diese Körper spitz zulaufen, muss ihr Volumen kleiner als das von geraden Prismen sein. In der Tat ist es so, dass drei gleiche spitze Körper vom Volumen her genau das entsprechende gerade Prisma ergeben. Allgemeine Formel für die Berechnung des Mantels von spitzen Körpern: Der Mantel kann – je nach Körper – aus unterschiedlichen Flächen bestehen. Es gibt daher keine allgemeine Formel für dessen Berechnung. Allgemeine Formel für die Berechnung der Oberfläche von spitzen Körpern: Die Oberfläche setzt sich aus der Grundfläche und dem Mantel zusammen. O = A+M Abhängig von der jeweiligen Grundfläche unterscheidet man bei den spitzen Körpern Pyramiden und Kegel. Für die Berechnung dieser Körper gelten wiederum spezielle Formeln, die aus den Grundformeln entwickelt sind. Auch hier gilt unser Tipp, sich nur die Grundformeln einzuprägen und sich daraus bei Bedarf selbst die dem jeweiligen Körper entsprechende Formel abzuleiten. Seite 20 Pisafit Mathematik – Körperberechnung Pyramide Eine Pyramide hat als Grundfläche ein beliebiges Vieleck. Am häufigsten sind Pyramiden jedoch auf Quadraten, Rechtecken oder gleichseitigen Dreiecken aufgebaut. Der Mantel einer Pyramide besteht stets aus Dreiecken. Beispiele: hDa hK hDb hK C hc a b B c A Formeln: Die folgende Tabelle enthält die jeweiligen Formeln für die gängigsten Pyramidenformen. Grundfläche: Quadrat* Volumen V = a² h 3 Grundfläche: Rechteck Grundfläche: gleichseitiges Dreieck V = a b h 3 V = a ha hK : 3 2 = a h a hK 6 Mantel M = 4 a hDa 2 = 2 a hDa Oberfläche M = 2 a hDa + 2 b hDb M = 3 a hDa 2 2 2 = a hDa + b hDb O = a² + 2 a hDa O = a b + a hDa + b hDb O = a ha + 3 a hDa 2 2 = a (ha + 3 hDa) 2 Seite 21 Pisafit Mathematik – Körperberechnung * ha = Höhenlinie im gleichseitigen Dreieck (in der Grundfläche) hDa = Höhenlinie im Dreieck über der Seite a (im Seitendreieck) hDb = Höhenlinie im Dreieck über der Seite b (im Seitendreieck) hK = Körperhöhe, d.h. Höhe der Pyramide Übung 1 Berechnen Sie bitte in der folgenden Tabelle die fehlenden Werte! Runden Sie – falls erforderlich – gemäß der Rundungsregel! Grundfläche: Grundfläche: Grundfläche: Quadrat Rechteck gleichseitiges Dreieck a b c ha A hK hDa hDb hDc V M O 15 cm 18 cm ----- ----- 27 m 315,63 m² 16,36 cm 18 cm ----- 108 cm² 24 cm 24,2 cm 25,6 cm --- 24 m 2.459,81 m³ Seite 22 Pisafit Mathematik – Körperberechnung Lösung: Grundfläche: Grundfläche: Grundfläche: Quadrat Rechteck gleichseitiges Dreieck a b c ha 15 cm 15 cm ----- 18 cm 6 cm ----- 27 m 27 m 27 m 23,38 m A hK 225 cm² 16,36 cm 108 cm² 24 cm 315,63 m² 23,380 23,38 m hDa hDb hDc V M O 18 cm ----1.227 cm³ 540 cm² 765 cm² 24,2 cm 25,6 cm --864 cm³ 589,2 cm² 697,2 cm² 24 m 24 m 24 m 2.459,81 m³ 972 m² 1.287,63 m² Seite 23 Pisafit Mathematik – Körperberechnung Übung 2 Textaufgaben zu den Pyramiden 1. Eine Pyramidenkerze mit quadratischer Grundfläche ist 12 cm hoch. Sie hat eine Grundfläche von 324 cm². Die Fläche eines Seitendreiecks beträgt 135 cm². Berechnen Sie die Oberfläche der Kerze und ihr Volumen! 2. Die Cheopspyramide in Ägypten hat eine quadratische Grundfläche. Ursprünglich betrug die Seitenlänge des Quadrates 230,3 m. Die Original-Höhe betrug 146,6 m. a) Wie viel m³ Steine wurden für den Bau der Pyramide benötigt? (Runden Sie das Ergebnis bitte auf volle hundert m³!) b) Heute beträgt die Seitenlänge des Quadrates nur noch 227,5 m und sie ist nur noch 137 m hoch. Wie groß ist das Volumen der heutigen Pyramide, wenn man davon ausgeht, dass es sich nach wie vor um einen spitzen Körper handelt? (Runden Sie das Ergebnis bitte auf volle fünfzig m³!) c) Wie viel m³ Steine sind demnach inzwischen abhanden gekommen? 3. Eine kleine Marmor-Pyramide mit quadratischer Grundfläche (A = 6,25 cm²) ist 2,5 cm hoch. Wie schwer ist die Pyramide, wenn 1 cm³ Marmor 2,8 g wiegt? (Runden Sie das Ergebnis bitte auf volle g!) 4. Eine 5,75 cm hohe Pyramidenkerze hat eine gleichseitig dreieckige Grundfläche mit a = 6 cm und einer zugehörigen Höhe von 5,2 cm, die Seitenflächen sind 7 cm hoch. a) Berechnen Sie die Oberfläche O und das Volumen V! b) Wie viel cm³ Wachs und wie viel cm Kerzendocht wird insgesamt für 30 derartige Kerzen benötigt, wenn der Platz für den Docht unberücksichtigt bleibt und der Docht bei jeder Kerze 1 cm herausragt? Lösungen: 1. O = 864 cm² - V = 1.296 cm³ 2. a) 2.591.794,6 2.591.800 m³ - b) 2.363.535,4 2.363.540 m³ - c) 228.260 m³ 3. 4. 14,5 15 g a) O = 78,6 cm² - V = 29,9 cm³ - b) Wachs: 897 cm³ - Docht: 202,5 cm Seite 24 Pisafit Mathematik – Körperberechnung Kegel Ein Kegel hat als Grundfläche einen Kreis. Sein Mantel ist stets ein Teil eines Kreises, jedoch in der Regel mit einem anderen Radius. Beispiel: h Formel für die Volumenberechnung: V = r² h 3 Auf die Darstellung der übrigen Formeln verzichten wir an dieser Stelle. Seite 25 Pisafit Mathematik – Körperberechnung Übung 1 Berechnen Sie bitte in der folgenden Tabelle die fehlenden Werte! Rechnen Sie dabei mit = 3,14, runden Sie – falls erforderlich – alle Ergebnisse grundsätzlich auf eine Stelle nach dem Komma und rechnen Sie ausnahmsweise auch mit diesen gerundeten Ergebnissen weiter! Kegel r d h A V Kegel Kegel Kegel 3,5 cm 400 mm 6 cm 15,5 m 50,27 m² 706,5 dm² 4.710 dm³ 8.792.000 mm³ Lösung: Kegel Kegel Kegel Kegel r 3,5 cm 15 dm 4,00 4 m 200 mm d h A 7 cm 6 cm 30 dm 20 dm 706,5 dm² 8m 15,5 m 50,27 m² 400 mm 210 mm 125.600 mm² 4.710 dm³ 259,72 8.792.000 mm³ 259,7 m³ V 38,465 38,5 cm² 77 cm³ Seite 26 Pisafit Mathematik – Körperberechnung Übung 2 Textaufgaben 1. Ein kegelförmiges Turmdach ist 2,10 m hoch und hat einen Durchmesser von 300 cm. a) Wie groß (in dm²) ist die Grundfläche des Turmdaches? b) Welchen Raum (in dm³) umschließt das Turmdach? 2. Wie viel Flüssigkeit (in cm³) passt maximal in ein kegelförmiges Sektglas, wenn der Kegel einen Durchmesser von 5,5 cm und eine Höhe von 12,6 cm hat! (Runden Sie das Ergebnis bitte auf volle cm³!) 3. Eine Pylone (Fahrbahnmarkierungskegel) bedeckt eine kreisförmige Grundfläche von A = 708,86 cm². Wie hoch ist der Kegel, wenn er ein Volumen von 14.177,2 cm³ hat? 4. In einem Steinbruch liegen 522,5 m³ Schotter kegelförmig auf Halde. Die Grundfläche der Schotterhalde hat einen Umfang von 50,24 m. a) Wie groß ist die Grundfläche der Halde? b) Wie hoch ist sie? c) Wie viele LKW-Fahrten sind nötig, wenn der gesamte Schotter von einem LKW mit 18 t Ladegewicht weggeschafft werden soll und 1 m³ Schotter 1,6 t wiegt? Lösungen: 1. a) 706,5 dm² - b) 4.945,5 dm³ 2. 3. 99,7 100 cm³ 60 cm 4. a) 200,96 m² - b) 2,600 2,60 m - c) 46,4 47 Fahrten Seite 27 Pisafit Mathematik – Körperberechnung Kugel Eine Kugel ist ein geometrischer Körper, bei dem alle Punkte auf der Oberfläche von einem Punkt M (Mittelpunkt) den gleichen Abstand r (Radius) haben. Sie entsteht durch Rotation (Drehung) eines Kreises um seinen Durchmesser. Eine Kugel hat keinen Mantel, sondern nur eine Oberfläche. Beispiel: Formel für die Volumenberechnung: V = 4 r³ = oder 3 6 Formel für die Oberflächenberechnung: O = 4 r² = V = 1 d³ d² Seite 28 Pisafit Mathematik – Körperberechnung Übung 1 Berechnen Sie bitte in der folgenden Tabelle die fehlenden Werte! Rechnen Sie dabei mit = 3,14 und runden Sie – falls erforderlich – alle Ergebnisse grundsätzlich auf eine Stelle nach dem Komma! Kugel r d O V Kugel Kugel Kugel 2,3 cm 58 mm 12,56 dm² 14,13 m³ Lösung: Kugel r d O V Kugel Kugel 2,3 cm 4,6 cm 29 mm 58 mm 66,44 66,4 cm² 10.562,96 10.563 mm² 50,93 50,9 cm³ 102.108,61 102.108,6 mm³ Seite 29 Kugel 1 dm 2 dm 12, 56 dm² 1,5 m 3m 28,26 28,3 m² 4,18 4,2 dm³ 14,13 m³ Pisafit Mathematik – Körperberechnung Übung 2 Textaufgaben 1. Ein aufgeblasener kugelförmiger Luftballon hat einen inneren Durchmesser von 25 cm. Wie viel cm³ Luft enthält er? (Runden Sie das Ergebnis bitte auf volle cm³!) 2. Eine Pflanzschale hat die Form einer Halbkugel. Ihr Durchmesser beträgt 1,5 m. Wie viel m³ Blumenerde benötigt Gärtner Piepenbrink, um insgesamt fünf gleich große Pflanzschalen mit Erde zu füllen? 3. Dekorateur Max Gestalter benötigt für die Dekoration eines Schaufensters 6 Styropor-Halbkugeln mit einem Durchmesser von je 40 cm. Wie groß ist das Gesamtvolumen der Halbkugeln! Lösungen: 1. 8.177,0833 8.177 cm³ 2. 3. 4,415625 4,416 m³ 100.480 cm³ Seite 30 Pisafit Mathematik – Körperberechnung Vermischte Textaufgaben zur Körperberechnung 1. Auf einem Grundstück von 11,5 a werden 23 LKW-Ladungen mit je 5 m³ Mutterboden gleichmäßig verteilt? Wie hoch (in cm) ist die Schicht Mutterboden auf dem Grundstück? 2. Der sichtbare kegelförmige Teil einer Boje ist 60 cm hoch und hat einen Durchmesser von 50 cm. Wie groß ist das Volumen des sichtbaren Teils der Boje? 3. Ein Rundholz aus einem Kinder-Baukasten hat einen Radius von 1,5 cm und eine Länge von 80 mm. Berechnen Sie seine Oberfläche und sein Volumen. 4. Ein 2,5 km langer Hochwasserdeich ist unten 8 m breit und oben 3,80 m. Er hat eine Höhe von 2,80 m. Wie viel m³ Erde mussten für den Deich insgesamt aufgeschüttet werden? 5. Ein 4,80 m hohes Turmdach hat die Form einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche (Seitenlänge: 4 m). Welchen Rauminhalt schließt das Turmdach ein? 6. Ein pyramidenförmiger Briefbeschwerer, der aus gleichseitigen Dreiecken mit der Seitenlänge 6 cm besteht, soll vergoldet werden. Die Seiten des Dreiecks haben eine Höhe von 5,2 cm. Das Vergolden von 1 cm² Oberfläche kostet 3,75 €. Wie teuer ist das Vergolden? 7. Eine quaderförmige Schachtel hat einen Umfang von 36 cm, wobei die Seite b doppelt so lang ist wie die Seite a. Ihre Oberfläche umfasst insgesamt 180 cm². a) Wie lang sind die Seiten a und b? b) Wie hoch ist die Schachtel? c) Wie groß ist ihr Volumen? Seite 31 Pisafit Mathematik – Körperberechnung 8. In einem Gewächshaus sind 275 laufende Meter Heizrohre installiert. Wie viel dm³ Wasser enthalten diese Rohre bei einem inneren Durchmesser von 45 mm? 9. In einem zylindrischen Glas mit einer Innenhöhe von 20 cm und einem Innendurchmesser von 12 cm befinden sich insgesamt 1.500 cm³ Flüssigkeit. Wie viel cm³ Flüssigkeit könnte das Glas zusätzlich aufnehmen, wenn es bis 1 cm unter dem Rand gefüllt wäre? Lösungen: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 10 cm 39.250 cm³ O = 89,49 cm² - V = 56,52 cm³ 41.300 m³ 25,6 m³ 234 € 7. a) a = 6 cm, b = 12 cm - b) h = 1 cm - c) 72 cm³ 8. 9. 437,1468 437,147 dm³ 647,76 cm³ Seite 32
