Zusammenfassung Schwingungen

HS Heilbronn
Dr. Freudenberger
Studiengang VU
08
06
Blatt 1
Bachelor
Schwingungen
Zusammenfassung Schwingungen
Eine Kombination aus
a) Auslenkungs - proportionaler Rückstell-Kraft bzw. -Moment
(FR ~ y, MR ~ )
b) Trägheit einer Masse m bzw. Trägheitsmoment J
führt zu Schwingungen, wenn die Kraft bzw. das Moment
der Auslenkung entgegen gerichtet ist.
Beispiele:
1. Masse-Feder: FR= - D y
FT = - ma
2. Math. Pendel: FR = - mg sin ≈ - mg 
FT = - m l 
3. Phys. Pendel: MR = - m g l sin ≈ - m g l 
MT = - J 
4. Torsionschw.: MR = - D* 
MT = - J
Die negativen Vorzeichen links besagen,
dass Kraft bzw. Moment gegen die Auslenkung gerichtet ist.
Die negativen Vorzeichen rechts besagen,
dass Kraft bzw. Moment gegen die Beschleunigung gerichtet ist
(Die Trägheitskraft wirkt immer gegen die Beschleunigung!).
Die Summe der angreifenden Kräfte/Momente muss Null sein:
FT + FR = 0
MT + M R = 0
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Das führt wegen auf Differenzialgleichungen (DGLen)der Form:
D
y
m
g
2.  m l    m g    0     
l
m gl

3.  J    m g l    0   
J
D*

4.  J    D *    0    
J
1.  m y   Dy   0  y  
Die allgemeine Form der DGLen ist also
y    2 y
Die DGLen werden gelöst durch den Ansatz
y = V cos (t + 0)
Der Koeffizient vor y bzw  auf der rechten Seite der DGLen ist also das
Quadrat der Kreisfrequenz:

D
bzw.
m
g
bzw.
l
mgl
D*
bzw.
J
J
Lernziele zum Thema „Freie Schwingungen“:
 Ermittlung der wirkenden Kräfte
 Ansatz des Kräftegleichgewichts
 Möglichkeiten zur Bestimmung von :
 Über Ansatz der DGL und Ermittlung des Koeffizienten vor y
 Über den Ansatz
2 
Rückstellkraft
Masse  Auslenkung
 Bestimmung der Allgemeinen Form der Schwingung
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Gibt es auch Situationen, bei denen die Kraft in Richtung der
Auslenkung wirkt?
Betrachte dazu eine Kette, die über einem Rundholz hängt und frei
rutschen kann:
Hier ist die Kraft in Richtung der Auslenkung gerichtet
l
Sobald ein Ende auch nur ein wenig tiefer rutscht als
die Gleichgewichtslage, zieht die Gewichtskraft des
überstehenden Teils die Kette nach unten, sie rutscht
immer schneller und wird schließlich nach unten fallen.
Der Ansatz lautet hier
FT = - m a = -  L a
( = Dichte der Kette in kg/m, L = Länge, also L = m)
F =  l g
pos. Vorzeichen, da F in Richtung l
(l ist das anfänglich überstehende Stück, es wird immer
größer. Faktor 2, weil l rechts ein –l links erzeugt, das
unbalancierte Stück also 2 l ist!)
Die DGL lautet hier:
-  L a +  2l g = 0
2g
a  l 
l
L
Die Lösung ist hier eine Exponentialfunktion:
l  A e
2g
t
L
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