Integralformel für das Volumen eines Rotationskörpers

Einführung in die Integralrechnung
Von Florian Modler
Dies ist nun der dritte Teil von
"Einführung in die
Integralrechnung"
Ich habe mich bemüht diesen
Artikel vor allem verständlich und
anschaulich zu gestalten.
Ich hoffe mir ist dieses gelungen.
Dieser Artikel umfasst nun einen
dritten Einblick in die
Integralrechnung, die man so in
der Oberstufe eines Gymnasiums
(12. Klasse) kennen lernt.
Es gibt noch viele Gebiete, in
denen man die Integralrechnung
anwenden kann. Vielleicht kommt
ja noch ein vierter Teil. Das kann
man nie ausschließen.
Aber jetzt erstmal viel Spaß mit meinem kleinen Einblick in die Integralrechnung, genauer
in das Gebiet der Rotationskörper .
Teil 1: Einführung in die Integralrechnung
Teil 2: Stammfunktionen & Co
Teil 3: Rotationskörper
Inhalt
1 Einleitung
2 Volumen eines Rotationskörpers
2.1 Einführung
2.2 Integralformel für das Volumen eines Rotationskörpers
2.3 Aufgaben zur Übung
3 Zusammenfassung Teil III
4 Abschluss
5 Quellenangabe
1 Einleitung
In meinen anderen beiden Artikeln haben wir das Integral bei der Berechnung von
krummlinig berandeten Flächen gebraucht. In diesem dritten Teil wollen wir nun das
Volumen eines Rotationskörpers mit Hilfe unseres Wissens über die Integralrechnung
berechnen.
Zuerst werde ich eine allgemeine Aufgabe stellen, die Lösung präsentieren und euch so
langsam zu einer allgemeinen Formel führen.
2 Volumen eines Rotationskörpers
2.1 Einführung
- Durch Rotation des Graphen einer konstanten Funktion x  c um die x-Achse entsteht ein
Zylinder.
- Durch Rotation des Graphen einer der Funktion x  mx um die x-Achse entsteht ein Kegel.
- Durch Rotation eines Halbkreises, also des Graphen der Funktion x  r ²  x ² um die x-Achse entsteht eine Kugel.
Durch Rotation des Graphen einer Funktion um die x-Achse entstehen also Rotationskörper.
(Zylinder, Kegel und Kugel) .
Unser Ziel ist es nun, eine Formel für das Volumen von beliebigen Rotationskörpern zu
gewinnen.
Dazu folgende Aufgaben mit ihren Lösungen:
a) Der Graph einer konstanten Funktion xc über dem Intervall [a; b] mit c>0 rotiert um die
x-Achse. Bestimme das Volumen für den Rotationskörper (Zylinder).
b) Der Graph einer stetigen Funktion f mit f(x)>0 rotiert um die x-Achse. Dabei entsteht ein
Rotationskörper. Gesucht ist auch hier das Volumen V dieses Körpers zwischen den Stellen a
und b. Gib nun eine endgültige Formel an.
Lösungen:
a) Bei der Rotation des Graphen um die x-Achse entsteht ein Zylinder. Seine Höhe ist b-a,
sein Radius c. (siehe Zeichnung)
Das Volumen V des Zylinders beträgt demnach V   c ²  (b  a ) .
b) Grundgedanke der Lösung
Wir teilen das Intervall [a; b] in n gleich lange
Teilintervalle und betrachten die
einbeschriebenen und umbeschriebenen
Treppenfiguren aus Rechtecken. Diese lassen
wir ebenfalls um die x-Achse rotieren.
Dadurch entsteht für den Rotationskörper ein
einbeschriebener und ein umbeschriebener
Treppenkörper aus Zylindern. (Ähnlich wie
wir im Teil I auf das Integral gekommen sind.)
Es sei Sn das Volumen des einbeschriebenen
Treppenkörpers aus Zylindern und Sn das
Volumen des umbeschriebenen
Treppenkörpers aus Zylindern.
Dann gilt für das gesuchte Volumen V:
Sn  V  Sn
Lassen wir die Anzahl n der Teilintervalle über alle Grenzen wachsen, so nähern sich Sn und
Sn immer mehr dem gesuchten Volumen V an.
Ausführung der Lösung im Einzelnen:
1. Schritt: Einteilen des Intervalls [a; b] in n Teilintervalle und Bestimmen der Minima und
Maxima in den Teilintervallen:
Die Teilpunkte seien:
x0  a, x1 , x2 ,..., xn  b
Die Breite der Teilintervalle sei x .
Die Minima in den Teilintervallen seien m1, m2,
..., mn, die Maxima M1, M2, ..., Mn.
Diese Werte sind auch die Radien der Zylinder.
x ist die Höhe der einzelnen Zylinder.
Die Volumina der Zylinder sind
  m12  x,   m22  x,...,   mn2  xbzw.
  M12  x,   M 22  x,...,   M n2  x
2. Schritt: Berechnen des Volumens der Treppenkörper der Zylinder:
2.1 Unterer Treppenkörper der Zylinder
Das Volumen Sn beträgt: Sn    m12  x    m22  x  ...    mn2  x
2.2 Oberer Treppenkörper der Zylinder
Das Volumen Sn beträgt: Sn    M12  x    M 22  x  ...    M n2  x
Für das gesuchte Volumen V des Rotationskörpers gilt: Sn  V  S n
3. Schritt: Bestimmen der Grenzwerte für n   :
Wir lassen n über alle Grenzen wachsen und bilden die Grenzwerte lim S n und lim Sn .
n 
n 
Nun ist Sn die Untersumme der Funktion x    ( f ( x))² im Intervall [a; b] und Sn die
entsprechende Obersumme. Da f stetig ist, ist auch x    ( f ( x))² stetig. Nach folgendem
Satz: Jede Funktion im Intervall [a; b] stetige Funktion f ist dort auch integrierbar, d.h. das
b
Integral
f
existiert. Ist auch die Funktion x    ( f ( x))² integrierbar. Die beiden
a
Grenzwerte stimmen überein und sind nach der analytischen Definition (siehe Teil I) des
b
Integrals gleich    ( f ( x))² dx .
a
Wegen Sn  V  S n muss dieser Wert gleich dem gesuchten Volumen sein.
Wir erhalten für das gesuchte Volumen V:
b
V     ( f ( x))² dx
a
2.2 Integralformel für das Volumen eines Rotationskörpers
Integralformel für das Volumen eines Rotationskörpers
Die Funktion f sei stetig über dem Intervall [a; b]. Ihr Graph rotiere über dem Intervall [a; b]
um die x-Achse. Dann gilt für das Volumen V des entstehenden Körpers
b
V     ( f ( x))² dx
a
Beispiel: f(x)=x² über [0; 1]
1
1
V     ( x ²)² dx     x dx   [ x 5 ]
5
1
1
4
0
0
1
 
5
0
2.3 Aufgaben zur Übung
1. Die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f und der x-Achse werde um die x-Achse
gedreht. Zeichne die zu drehende Fläche und berechne das Volumen des entstehenden
Rotationskörpers.
1
b) f ( x )   x ³  x ²
3
2. Durch Rotation der Graphen der Funktionen f ( x)  10 x  40 und g ( x)  15 x  75 über
den Intervallen [0; 20] bzw. [5; 20] um die x-Achse entsteht ein schalenförmiger Körper,
dessen Volumen zu berechnen ist.
3.
a) Bestimme die Gleichung der Tangente mit dem Berührpunkt P(3; f(3)) an den Graphen von
1
f ( x) 
25  x ² .
2
b) Durch Rotation des Graphen von f und der Tangente um die x-Achse entsteht ein
stromlinienförmiger Körper. Berechne sein Volumen.
Lösungen:
1.
1
f ( x)   x ³  x ²
3
1
1
0   x ³  x ²  x ²( x  1)
3
3
x  0 x  3
3
3
1
1
2
V     (  x ³  x ²)² dx     ( x 6  x 5  x 4 )dx
3
9
3
0
0
F ( x) 
1 7 1 6 1 5
x  x  x
63
9
5
3
1
2
V     ( x 6  x 5  x 4 )dx    [
9
3
0
3
1 7 1 6 1 5
x  x  x ]
63
9
5
1
1
1
5
   (  37   36   35 )  (34  81  48, 6)    7, 27
63
9
5
7
0
2.
f ( x)  10 x  40
g ( x)  15 x  75
20
20
0
5
V    (  (10 x  40)dx   (15 x  75)dx)   ((10 
   (2800  1687,5)    1112,5  3495, 02
3.
a)
P(3; 2); f ( x) 
f '( x) 
1
25  x ²
2
x
3
3
; f '(3)  m 

24
8
2 25  x ²
3
m   ; P(3; 2)
8
y  mx  b
9
2   b
8
1 25
b3 
8 8
3 25
t ( x)   
8 8
20²
20² 5²
 40  20)  (15  (
 )  75  15))
2
2
2
b)
Nullstellenberechnung :
1
25  x ²
2
0  25  x ²
0
x   5
3 25
0 
8 8
25
x
3
25
3
3
1
3 25
(25  x ²)dx    (   )² dx
4
8 8
5
3
V   
V    37,3    7,3  139, 63
3 Zusammenfassung Teil III
Integralformel für das Volumen eines Rotationskörpers
Die Funktion f sei stetig über dem Intervall [a; b]. Ihr Graph rotiere über dem Intervall [a; b]
um die x-Achse. Dann gilt für das Volumen V des entstehenden Körpers
b
V     ( f ( x))² dx
a
Beispiel: f(x)=x² über [0; 1]
1
1
V     ( x ²)² dx     x dx   [ x 5 ]
5
1
1
4
0
0
1
 
5
0
4 Abschluss
So das war nun der dritte Teil meiner Serie „Einführung in die Integralrechnung“. Ich hoffe
ich konnte euch das interessante Gebiet der Rotationskörper ausführlich und verständlich
erklären. Natürlich gibt es noch mehr Anwendungen. Darauf möchte ich aber hier nicht
eingehen.
5 Quellenangabe
Ich habe mich sehr an mein wunderschönes, ausführliches und verständlich Schulbuch
gehalten. Hier zu kaufen:
Florian Modler