Mathematik I Skript Vorlesung Inhaltsverzeichnis 1. Grundbegriffe zu Mengen, Zahlen und Funktionen ........................ 6 1.1 Mengen ..................................................................................................... 6 1.1.1 Definition ............................................................................................................. 6 1.1.2 Wichtige Mengen von Zahlen .............................................................................. 6 1.1.3 Mathematische Aussagen ..................................................................................... 6 1.1.4 Verbindungen ....................................................................................................... 6 1.1.5 Beschreibung von Mengen ................................................................................... 7 1.1.6 Relation zwischen Mengen .................................................................................. 7 1.1.7 Operationen von Mengen ..................................................................................... 8 1.1.8 Rechenregeln für Mengen .................................................................................... 8 1.1.9 Produktmengen ..................................................................................................... 9 1.2 1.3 Funktionsbegriff ....................................................................................... 9 Natürliche Zahlen, reelle Zahlen, vollständige Induktion ...................... 10 1.3.1 Prinzip der vollständigen Induktion ................................................................... 11 1.3.2 Beispiel Gauß’sche Summenformel ................................................................... 11 1.3.3 Bernoullische Ungleichung ................................................................................ 11 1.3.4 Definition Binomialkoeffizient .......................................................................... 11 1.3.5 Binomischer Satz................................................................................................ 12 1.3.6 Pascalsches Dreieck ........................................................................................... 12 1.3.7 Axiome ............................................................................................................... 13 1.3.8 Anordnungsaxiome ............................................................................................ 13 1.3.9 Rechnen mit Ungleichungen und Beträgen ........................................................ 13 1.3.10 Fundamentale Ungleichungen ............................................................................ 14 1.3.11 Obere und untere Schranken, Supremum, Infimum ........................................... 14 1.4 Zahlensysteme ........................................................................................ 15 1.4.1 1.5 Das Horner-Schema ........................................................................................... 15 Komplexe Zahlen โ ................................................................................ 16 1.5.1 Rechnen mit komplexen Zahlen ......................................................................... 17 1.5.2 Rechenoperationen ............................................................................................. 17 1.5.3 Gesetze für konjugiert komplexe Zahlen ........................................................... 18 1.5.4 Potenzen und n-te Wurzeln komplexer Zahlen .................................................. 18 1.5.5 Trigonometrische Darstellung von z in Polarkoordinaten ................................. 19 1.5.6 Anwendung der Eulerschen Formel ................................................................... 19 1.5.7 Geometrische Bedeutung der Multiplikation ..................................................... 20 2 1.5.8 1.6 Überlagerungen .................................................................................................. 20 Komplexe Zahlen in der Wechselstromtechnik ..................................... 21 1.6.1 Komplexe Größen .............................................................................................. 21 1.6.2 Rechnen mit Komplexen .................................................................................... 22 1.6.3 Bedeutung des Realteils und Imaginärteils von I und U .................................... 23 1.7 Elementare Funktionen ........................................................................... 23 1.7.1 Grundbegriffe ..................................................................................................... 23 1.7.2 Rationale Funktionen ......................................................................................... 25 1.7.3 Trigonometrische Funktionen ............................................................................ 26 1.7.4 Arcus-Funktionen ............................................................................................... 27 1.7.5 Exponentialfunktion und Logarithmus ............................................................... 28 1.7.6 Hyperbel- und Areafunktionen........................................................................... 30 2. Lineare Algebra ............................................................................. 32 2.1 Die Vektorräume โ๐ und โ๐ ................................................................. 32 2.1.1 Definition und Rechenoperationen ..................................................................... 32 2.1.2 Das Vektorprodukt ............................................................................................. 35 2.1.3 Spatprodukt ........................................................................................................ 38 2.1.4 Lineare Unabhängigkeit ..................................................................................... 39 2.1.5 Geraden im Raum โ๐ ........................................................................................ 40 2.1.6 Geraden und Ebenen im โ๐ ............................................................................... 41 2.2 Matrizen .................................................................................................. 45 2.2.1 Definition und elementare Rechenoperationen .................................................. 45 2.2.2 Determinanten .................................................................................................... 49 2.2.3 Die Cramersche Regel ........................................................................................ 51 2.2.4 Lineare Unterräume, Basis, Dimension ............................................................. 52 2.2.5 Rang einer Matrix, inverse Matrizen.................................................................. 54 2.3 Lineare Gleichungssysteme .................................................................... 57 2.3.1 Der Gaußsche Algorithmus ................................................................................ 57 2.4 Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen ........................................ 60 2.5 Der Fall symmetrischer Matrizen ........................................................... 61 2.6 Kurven und Flächen 2. Ordnung – Hauptachsentransformation ............ 63 3. Differentialrechnung ...................................................................... 70 3.1 Zahlenfolgen und Grenzwerte ................................................................ 70 3.2 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen ............................................ 72 3.3 Differentiation einer Funktion ................................................................ 76 3 3.3.1 Ableitung und Differential ................................................................................. 76 3.3.2 Differentiationsregeln ......................................................................................... 78 3.3.3 Der Mittelwertsatz für differenzierbare Funktionen .......................................... 79 3.3.4 Ableitungen höherer Ordnung ............................................................................ 80 3.3.5 Die l’Hospitalsche Regel .................................................................................... 80 3.3.6 Satz von Taylor .................................................................................................. 81 3.4 Anwendungen der Differentialrechnung ................................................ 85 3.4.1 Newtonverfahren ................................................................................................ 85 3.4.2 Kurvendiskussion ............................................................................................... 86 4. Integralrechnung für Funktionen einer Variablen ......................... 90 4.1 Das unbestimmte Integral ....................................................................... 90 4.2 4.3 Das bestimmte Integral ........................................................................... 91 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung........................... 94 4.4 Integration rationaler Funktionen ........................................................... 95 4.5 Uneigentliche Integrale ........................................................................... 98 4.5.1 Integrale unbeschränkter Funktionen ................................................................. 98 4.5.2 Integrale über unbeschränkten Intervallen ......................................................... 99 4.5.3 Kombination beider Typen............................................................................... 100 4.6 Mathematische Anwendungen der Integration ..................................... 100 4.6.1 Flächen zwischen Graphen von Funktionen .................................................... 100 4.6.2 Flächen von Sektoren ....................................................................................... 101 4.6.3 Volumina von Rotationskörpern ...................................................................... 102 4.6.4 Längenberechnung von Kurvenstücken ........................................................... 103 4.6.5 Oberfläche von Rotationskörpern .................................................................... 104 4.6.6 Numerische Integration .................................................................................... 104 5. Unendliche Reihen ...................................................................... 106 5.1 Reihen mit konstanten Gliedern ........................................................... 106 5.1.1 Grundbegriffe ................................................................................................... 106 5.1.2 Konvergenzkriterien ......................................................................................... 107 5.2 Grundbegriffe von Funktionenreihen und –folgen ............................... 109 5.3 Potenzreihen.......................................................................................... 110 5.4 Fourierreihen......................................................................................... 114 6. Integraltransformation ................................................................. 120 6.1 Fouriertransformation ........................................................................... 120 6.1.1 Einführung ........................................................................................................ 120 4 6.1.2 6.2 Eigenschaften der Fouriertransformation ......................................................... 122 Laplacetransformation .......................................................................... 123 6.2.1 Einführung ........................................................................................................ 123 6.2.2 Eigenschaften der Laplacetransformation ........................................................ 124 6.2.3 Liste der Transformationsgleichungen ............................................................. 127 7. Gewöhnliche Differentialgleichungen ........................................ 129 7.1 Einführung ............................................................................................ 129 7.2 Elementare Lösungsmethoden für (nichtlineare) DGL 1. Ordnung ..... 130 7.2.1 Trennung der Veränderlichen ........................................................................... 130 7.2.2 Exakte Differentialgleichungen ........................................................................ 131 7.3 Geometrische Interpolation, Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen 131 7.4 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung ....................................... 132 7.5 Nichtlineare Differentialgleichungen höherer Ordnung und Systeme 1. Ordnung ......................................................................................................... 134 7.5.1 Einführung ........................................................................................................ 134 7.5.2 Elementare Lösungsmethoden für spezielle nichtlineare Differentialgleichungen 2. Ordnung ...................................................................................................................... 135 7.6 Nichtlineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten ... 136 7.6.1 Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung .......................................... 136 7.6.2 Anwendungen auf Gleichungen 2. Ordnung .................................................... 138 7.6.3 Mechanische und elektrische Schwingungsprobleme ...................................... 140 7.6.4 Anwendung der Laplacetransformation auf lineare Differentialgleichungen .. 141 7.7 Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 143 7.7.1 Formulierung, Eliminationsmethode ................................................................ 143 7.7.2 Die Matrixmethode .......................................................................................... 144 7.8 Rand- und Eigenwertprobleme ............................................................. 146 7.8.1 Randprobleme .................................................................................................. 146 7.8.2 Eigenwertprobleme .......................................................................................... 147 7.9 Lineare Differentialgleichungen mit variablen Koeffizienten ............. 148 7.9.1 Formulierung und Lösungsverhalten ............................................................... 148 7.9.2 Homogene lineare Systeme 1. Ordnung ........................................................... 149 7.9.3 Inhomogene lineare Systeme 1. Ordnung ........................................................ 150 5 1. Grundbegriffe zu Mengen, Zahlen und Funktionen 1.1 Mengen 1.1.1 Definition Eine Menge M ist jede Zusammenfassung von bestimmten, wohl unterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder Denkens (welche Elemente der Menge genannt werden) zu einem Ganzen. (Naiver Mengenbegriff) 1.1.2 Wichtige Mengen von Zahlen โ = natürliche Zahlen (keine 0), โ0 = โค+ (mit 0) โค = Ganze Zahlen โ = rationale Zahlen (Zahlen sind mit einem Bruch darstellbar) โ = reelle Zahlen โ = komplexe Zahlen Sei M eine Menge ๐ฅ ∈ ๐ = ๐ฅ Element von M ๐ฅ ∉ ๐ = ๐ฅ kein Element von M 1.1.3 Mathematische Aussagen Gedankliche Gebilde in Form eines Aussagesatzes, die stets genau einen und nicht mehr als einen Wahrheitswert (wahr (w), falsch (f)) annehmen. In unseren Sprachgebrauch werden wir โน (Implikation) und โบ (Äquivalenz) wie folgt anwenden: (๐ด) โน (๐ต) ๏ท wenn (A) gilt, gilt auch (B) ๏ท (B) ist notwendige Bedingung für (A) ๏ท (A) ist hinreichende Bedingung für (B) ๏ท z.B. (A) = Ich schreibe eine 2 in der Prüfung → (B) = Ich bestehe (๐ด) โบ (๐ต) ๏ท ist notwendig und hinreichend für (B) 1.1.4 Verbindungen (๐ด) โน (๐ต), Implikation ist genau dann falsch, wenn (A) wahr ist und (B) falsch 6 B w f A w w f f w w (๐ด) โบ (๐ต), Äquivalenz ist genau dann wahr, wenn beide ((A) und (B)) entweder wahr oder falsch sind (๐ด) ∧ (๐ต), Konjunktion (Und) ist genau dann wahr, wenn (A) und (B) wahr sind (๐ด) ∨ (๐ต), Alternative (Disjunktion, Oder) ist falsch, wenn (A) und (B) falsch sind XOR (Entweder-Oder, ausschließendes Oder) gibt es hier nicht ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ , ๏(๐ด), Negation von (A) ist wahr, wenn (A) falsch (๐ด) Beispiel (๐ฅ ∈ ๐ด) ๐ฅ ∉ ๐ด โบ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ๐ฅ∈โโน๐ฅ∈โ ๐ฅ2 = 2 โน ๐ฅ ∉ โ 1.1.5 Beschreibung von Mengen A = {1, 2} {a, b} ๐ด = {๐ฅ ∈ โ|๐ฅ > 0} positiv reelle Zahlen [๐, ๐] = {๐ฅ ∈ โ|๐ ≤ ๐ฅ ≤ ๐} abgeschlossenes Intervall [๐, ๐) = {๐ฅ ∈ โ|๐ ≤ ๐ฅ < ๐} halboffenes Intervall (๐, ๐) = {๐ฅ ∈ โ|๐ < ๐ฅ < ๐} offenes Intervall (๐, ∞) = {๐ฅ ∈ โ|๐ < ๐ฅ} Senkrechter Strich („|“) bedeutet „Mit der Eigenschaft“. Die leere Menge ∅ enthält kein Element z. B. {๐ฅ ∈ โ|๐ฅ 2 = −1} = ∅ 1.1.6 Relation zwischen Mengen ๐ด ⊂ ๐ต , Inklusion (⊂), A enthalten in B, jedes Element von A in B, (๐ฅ ∈ ๐ด โน ๐ฅ ∈ ๐ต) A B ๐ด = ๐ต, wenn jedes Element von A in B und umgekehrt A heißt echte Teilmenge von B, wenn ๐ด ⊂ ๐ต und ๐ด ≠ ๐ต gilt 7 1.1.7 Operationen von Mengen Definition Durchschnitt (Schnittmenge) von A und B A ๐ด ∩ ๐ต = {๐ฅ|๐ฅ ∈ ๐ด ∧ ๐ฅ ∈ ๐ต} B Vereinigungsmenge von A und B A ๐ด ∪ ๐ต = {๐ฅ|๐ฅ ∈ ๐ด ∨ ๐ฅ ∈ ๐ต} B Differenzmenge A ๐ด\๐ต = {๐ฅ ∈ ๐ด|๐ฅ ∉ ๐ต} B Sei ๐ด ⊂ ๐, dann heißt: ๐ถ๐ ๐ด = {๐ฅ ∈ ๐|๐ฅ ∉ ๐ด} = ๐\๐ด Komplement von A bezüglich M M A Wenn klar ist, in welchen Raum M wir arbeiten, so schreibt man kürzer ๐ด โ ๐ถ๐ ๐ด Beispiel: ๐ = โ, [๐, ∞) [๐, ∞) = (−∞, ๐) A und B heißen disjunkt, wenn ๐ด ∧ ๐ต = ∅ 1.1.8 Rechenregeln für Mengen Assoziativgesetze (๐ด ∪ ๐ต) ∪ ๐ถ = ๐ด ∪ (๐ต ∪ ๐ถ) (๐ด ∩ ๐ต) ∩ ๐ถ = ๐ด ∩ (๐ต ∩ ๐ถ) Distributivgesetze ๐ด ∪ (๐ต ∩ ๐ถ) = (๐ด ∪ ๐ต) ∩ (๐ด ∪ ๐ถ) ๐ด ∩ (๐ต ∪ ๐ถ) = (๐ด ∩ ๐ต) ∪ (๐ด ∩ ๐ถ) 8 Morgansche Regeln ๐ด∪๐ต =๐ด∩๐ต ๐ด∩๐ต =๐ด∪๐ต Beweis: für alle Mengen M gilt ∅ ⊂ ๐ indirekter Schluss: ๐ด → ๐ต โบ ๐ต → ๐ด Beweis: Wir nehmen das Gegenteil an: Es gibt eine Menge M, so dass ∅ โ ๐ → muss ein Element existieren, welches nicht in M liegt aber in ∅. Wenn aber ein Element in ∅ existiert, ist es keine leere Menge. Widerspruch → es gilt ∅ ⊂ ๐, ∀๐ (für alle M) Beispiel: ∃๐ฅ ∈ โ: ๐ฅ 2 = 2 (∃- es existiert) → ๐ฅ1 = √2, ๐ฅ2 = −√2 ∀๐ฅ ∈ โ: ๐ฅ 4 ≥ 0 1.1.9 Produktmengen a, b seien beliebige Elemente. Dann heißt (a, b) geordnetes Paar. Die Produktmenge zweier Mengen A und B ist die Menge A×B aller geordneter Paare (a, b) mit ๐ ∈ ๐ด und ๐ ∈ ๐ต. Wird auch als kartesisches Produkt bezeichnet. Beispiel: A = {3, 4}, B = {*, ♥} A×B = {(3, *), (3, ♥), (4, *), (4, ♥)} Beispiel: A = [1, 2], B = [0, 2] ๐ด × ๐ต = {(๐ฅ, ๐ฆ)|๐ฅ ∈ [1,2], ๐ฆ ∈ [0,2]} y 2 0 1 2 x Verallgemeinerung Definition: Gegeben seien n Mengen A1, A2, … An ๐ด1 × ๐ด2 × … × ๐ด๐ = {(๐1 , ๐2 , … , ๐๐ )|๐๐ ∈ ๐ด๐ } mit i = 1, …, n (a1, a2, …, an) = geordnete n-Tupel ๐ Kurzschreibweise: ๐ ๐ด๐ = ๐ด1 × ๐ด2 × … × ๐ด๐ ๐=1 1.2 Funktionsbegriff Definition Es seien A und B zwei beliebige Mengen. Wird durch eine Vorschrift f jedem Element ๐ ∈ ๐ด genau ein Element ๐ ∈ ๐ต zugeordnet, so heißt f eine Abbildung oder Funktion von A in B. 9 Es kann sein, dass mehrere Punkte zum Urbild eines Punktes gehören. f A B Schreibweise: f: A → B, b = f(a) b = Bild a = Urbild A = Definitionsbereich von f, A = D(f) range: ๐ (๐) = {๐ ∈ ๐ต|∃๐ ∈ ๐ด: ๐ = ๐(๐)} heißt Wertebereich von f A = R, B = R, f = sin, a → b = sin(a), f ist eine Funktion Gehören A und B zur Menge der reellen (komplexen) Zahlen, so spricht man von „Funktionen“. Ist dies nicht der Fall, so spricht man von Abbildungen. Definition: Sei f: A→B, dann heißt f surjektiv, wenn R(f) = B f A B Wenn jedem Punkt (Element) in B mindestens ein Wert aus A zugeordnet wird und keiner ohne Partner bleibt. Definition: Sei f: A→B, dann heißt f injektiv (eineindeutig, umkehrbar eindeutig), wenn zu jedem Bildelement ๐ ∈ ๐ (๐) genau ein Urbild ๐ ∈ ๐ด gehört. f A B Eine Abbildung heißt bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist. Beispiel: f(x) = x3, aber nicht x2 oder sin ๐ฅ 1.3 Natürliche Induktion Zahlen, reelle Zahlen, vollständige 1, 2, … natürliche Zahlen ๐ ๐ ∈ โค ๐ ∈ โ rationale Zahlen ๐ Dezimaldarstellung: ๐ + ๐, ๐ ∈ โ, ๐ = 0, … Rationale Zahlen besitzen eine endliche oder periodisch unendliche Dezimalbruchdarstellung. 1 endliche Dezimaldarstellung: 2 = 0,5 1 unendliche Dezimaldarstellung: = 0,333 … = 0, 3ฬ 3 10 Umkehrung: 0,b1b2…bn = 0,b1b2…bnb1b2…bn hat folgende Bruchdarstellung ๐1 … ๐๐ ๐= 9 … 9 ← n Stück 10๐ ๐ = ๐ − ๐1 … ๐๐ Irrationale Zahlen haben eine unendliche nichtperiodische Dezimalbruchdarstellung. Reelle Zahlen bestehen aus rationalen und irrationalen Zahlen. Definition Die Menge โ ist die kleinste Menge reeller Zahlen mit folgenden Eigenschaften: i) 1∈โ ii) mit ๐ ∈ โ ist auch ๐ + 1 ∈ โ 1.3.1 Prinzip der vollständigen Induktion A(n) sei eine von n abhängige Aussage, die für jedes ๐ ∈ โ als richtig bewiesen werden soll. Voraussetzung: ๏ท A(1) ist wahr ๏ท ist ๐ ∈ โ und A(n) wahr, dann ist auch A(n+1) wahr Unter diesen Voraussetzungen ist A(n) für alle ๐ ∈ โ wahr. 1.3.2 ๐ ∑๐ = ๐=1 Beispiel Gauß’sche Summenformel ๐(๐ + 1) 2 für A(1) für A(n) für A(n+1) 1 ⋅ (1 + 1) ๐(๐ + 1) ๐(๐ + 1) 1= = 1 1 + โฏ+ ๐ = 1 + โฏ + ๐ + (๐ + 1) = +๐+1 2 2 2 ๐(๐ + 1) + 2(๐ + 1) (๐ + 1)(๐ + 2) = = 2 2 1.3.3 Bernoullische Ungleichung für n = 0, 1, … und ๐ฅ ≥ −1 gilt (1 + ๐ฅ)๐ ≥ 1 + ๐๐ฅ Beweis: für n = 0 → (1 + ๐ฅ)0 = 1 = 1 + 0 (1 + ๐ฅ)๐ ≥ 1 + ๐๐ฅ |⋅ (1 + ๐ฅ) sei ๐+1 (1 + ๐ฅ) ≥ (1 + ๐๐ฅ)(1 + ๐ฅ) = 1 + ๐๐ฅ + ๐ฅ + ๐๐ฅ โ2 ≥ 1 + (๐ + 1)๐ฅ ≥0 1.3.4 Definition Binomialkoeffizient Es sei ๐ผ ∈ โ, ๐ ∈ โ 11 ๐ (๐ผ + 1 − ๐) ๐ผ(๐ผ − 1) … (๐ผ − ๐ + 1) ๐ผ ( )โ =∏ ๐ 1⋅ 2⋅ …⋅๐ ๐ ๐=1 gleiche Anzahl von Faktoren in Zähler und Nenner ๐ผ ( )โ1 0 1.3.5 Binomischer Satz Für beliebige Zahlen a, b und jedes ๐ ∈ โ gilt ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ (๐ + ๐)๐ = ∑ ( ) ๐๐ ๐ ๐−๐ = ( ) ๐0 ๐ ๐ + ( ) ๐1 ๐ ๐−1 + โฏ + ( ) ๐๐ ๐ 0 ๐ 0 ๐ 1 ๐=1 1 1 Beweis über vollständige Induktion: (๐ + ๐)1 = ( ) ๐0 ๐ + ( ) ๐๐ 0 = ๐ + ๐ 0 1 Zwei Formeln für Binomialkoeffizienten ๐ผ ๐ผ ๐ผ+1 ( )+( )=( ) ๐+1 ๐ ๐+1 ๐! ๐ ๐ ( )= =( ) mit ๐ ≤ ๐ und ๐, ๐ ∈ โค+ ๐ ๐−๐ ๐! (๐ − ๐)! 1.3.6 Pascalsches Dreieck 1 1 1 1 1 2 3 1 3 1 Definition Zwei Mengen A und B heißen gleichmächtig, wenn eine Bijektion f:A→B existiert Beispiel: Sind โ und โค gleichmächtig? Ja 1 2 3 0 1 -1 4 5 … 2 -2 … Beispiel: sind [0, 1] und [0, 2] gleichmächtig? f(x) = 2x, f:[0, 1]→[0, 2] 1 2 Definition Eine Menge A heißt abzählbar, wenn sie zu โ gleichmäßig ist. Sind [0, 1] oder โ abzählbar? Nein! Die Menge der rationalen Zahlen ist abzählbar, die Menge der irrationalen Zahlen nicht. 12 Definition Eine Menge โ heißt Menge der reellen Zahlen, wenn die folgenden Axiome erfüllt sind: (A1) … (A13) 1.3.7 Axiome (A1) ๐ + ๐ = ๐ + ๐ (Kommutativität) (A2) (๐ + ๐) + ๐ = ๐ + (๐ + ๐) (Assoziativität) (A3) Es gibt ein Element 0 ∈ โ (neutrales Element bezüglich +) mit ๐ + 0 = ๐ und ∀๐ ∈ โ (A4) ∀๐ ∈ โ∃(−๐) ∈ โ, so dass ๐ + (−๐) = 0 (inverses Element für Addition) (A5) ๐๐ = ๐๐ (Kommutativität) (A6) (๐๐)๐ = ๐(๐๐) (Assoziativität) (A7) Es gibt ein Element 1 ∈ โ (neutrales Element bezüglich •), so dass 1 ≠ 0 und ๐ ⋅ 1 = ๐ mit ∀๐ ∈ โ (A8) ∀๐ ∈ โ, ๐ ≠ 0, ∃๐−1 ∈ โ (multiplikativ inverses Element), so dass ๐ ⋅ ๐−1 = 1 (A9) ๐(๐ + ๐) = ๐๐ + ๐๐ (Distributivität) 1.3.8 Anordnungsaxiome In โ ist eine Beziehung „<“ definiert, a < b erfüllt: (A10) Für je zwei ๐, ๐ ∈ โ gilt genau eine der drei Beziehungen a < b, a = b oder b < a (A11) ๐ < ๐ ∧ ๐ < ๐ โน ๐ < ๐ (Transitivität) (A12) Wenn a < b so gilt: ๏ท ๐ + ๐ < ๐ + ๐ ∀๐ ∈ โ ๏ท ๐ ⋅ ๐ < ๐ ⋅ ๐ ∀๐ > 0 Für „kleiner oder gleich“ schreiben wir „≤“, analog für „größer oder gleich“ steht „≥“. 1.3.9 Rechnen mit Ungleichungen und Beträgen ๐ < ๐ โถ −๐ > −๐ Beweis: Wir addieren ๐ = −๐ − ๐ zur Ungleichung ๐ < ๐ ๐ − ๐ − ๐ < ๐ − ๐ − ๐ โถ −๐ < −๐ Folgerung: multipliziert man mit (-1), so kehrt sich die Ungleichung um ๐ <๐∧๐ <๐ โถ ๐+๐ <๐+๐ Beweis: ๐ < ๐ |+๐ โถ ๐ + ๐ < ๐ + ๐ ๐ < ๐ |+๐ โถ ๐ + ๐ < ๐ + ๐ ๐+๐ <๐+๐ =๐+๐ <๐+๐ Folgerung: gleichgerichtete Ungleichungen dürfen addiert werden Definition: Absoluter Betrag ๐, wenn ๐ ≥ 0 Es sei ๐ ∈ โ |๐| โ { −๐, wenn ๐ < 0 13 Beispiel: ๐ = 3 โถ |๐| = 3, da ๐ ≥ 0 ๐ = −4 โถ |๐| = −(−4), da ๐ < 0 Beispiel: Bestimmen sie alle ๐ฅ ∈ โ, für die gilt |3 − 2๐ฅ| < 5 Lösung: Fallunterscheidung ๏ท Fall 1: 3 für 3 − 2๐ฅ ≥ 0 erhält man 3 ≥ 2๐ฅ โถ 2 ≥ ๐ฅ und 3 − 2๐ฅ < 5 โถ 3 − 5 < 2๐ฅ โถ −1 < ๐ฅ 3 Wenn ๐ฅ ≤ 2, so erfüllen alle x mit ๐ฅ > −1 obige Betragsungleichung. D.h. alle x, für 3 ๏ท die ๐ฅ ∈ (−1, 2] gilt, erfüllen die Ungleichung. Fall 2: 3 für 3 − 2๐ฅ < 0 erhält man 3 < 2๐ฅ โถ 2 < ๐ฅ und −(3 − 2๐ฅ) < 5 โถ 2๐ฅ < 8 โถ ๐ฅ < 4 3 Alle x, für die ๐ฅ ∈ (2 , 4) gilt, erfüllen die Ungleichung. Folglich ist insgesamt das Intervall (-1, 4) Lösung der Ungleichung. 1.3.10 Fundamentale Ungleichungen Dreiecksungleichung: für alle ๐, ๐ ∈ โ gilt |๐ + ๐| ≤ |๐| + |๐| Beweis: ±๐ ≤ |๐|, ±๐ ≤ |๐| +(๐ + ๐) ≤ |๐| + |๐| und −(๐ + ๐) ≤ |๐| + |๐| โถ |๐ + ๐| ≤ |๐| + |๐| Folgerung: ||๐| − |๐|| ≤ |๐ − ๐| |๐| = โ |๐ − ๐ + ๐| ≤ |๐ − ๐| + |๐| โถ |๐| − |๐| ≤ |๐ − ๐| Anwendung der Dreiecksgleichung |๐| = |๐ − ๐ + ๐| ≤ |๐ − ๐| + |๐| = |๐ − ๐| + |๐| โถ |๐| − |๐| ≤ |๐ − ๐| โถ ||๐| − |๐|| ≤ |๐ − ๐| 1.3.11 Obere und untere Schranken, Supremum, Infimum Definition: Sei ๐ด ⊂ โ und gibt es ein ๐ ∈ โ, so dass ๐ ≤ ๐ ∀๐ ∈ ๐ด, so heißt b obere Schranke für A. Beispiel: A = [0, 2), b = 3 ist obere Schranke für A, da für ∀๐ฅ ∈ ๐ด gilt ๐ฅ ≤ ๐ Gibt es ein ๐ ∈ โ, so dass ๐ ≤ ๐ ∀๐ ∈ ๐ด, so heißt c untere Schranke für A. Definition: ๐ด ⊂ โ heißt nach oben (unten) beschränkt, wenn eine obere (untere) Schranke für A existiert. Eine nach oben und unten beschränkte Menge heißt beschränkt. Definition: Besitzt A eine kleinste obere (größte untere) Schranke, so heißt diese Supremum (Infimum). Bezeichnung: sup ๐ด (Supremum), inf ๐ด (Infimum) Beispiel: A = (-1, 1), sup ๐ด = 1, inf ๐ด = −1, {-1} und {1} ∉ ๐ด 14 Definition: Besitzt A ein Supremum gilt sup ๐ด ∈ ๐ด, so heißt dieses auch Maximum von A, max ๐ด. Analog heißt das Infimum Minimum, wenn inf ๐ด ∈ ๐ด, wir schreiben min ๐ด. Beispiel: A = [-1, 1]; −1 = min ๐ด, +1 = max ๐ด (A13) Vollständigkeitsaxiom Jede nichtleere nach oben geöffnete Menge aus โ besitzt ein Supremum (aus โ). Die Menge der rationalen Zahlen erfüllt (A13) nicht. Beispiel: ๐ด = {๐ฅ ∈ โ|๐ฅ ≥ 0 ๐ฅ 2 < 2} A ist nach oben beschränkt (durch 1,5). In โ hat A kein Supremum, das muss √2 sein. Es gilt √2 ∉ โ. 1.4 Zahlensysteme ๐ง ∈ โค+ , ๐ง = ๐๐ ⋅ 10๐ + ๐๐−1 ⋅ 10๐−1 + โฏ + ๐1 ⋅ 101 + ๐0 ⋅ 100 , wobei ๐0 , … , ๐๐ ∈ {0,1, … ,9}. Das ist die Darstellung einer nichtnegativen ganzen Zahl im Dezimalsystem. Dualsystem ist eine Darstellung einer Zahl in folgender Weise: 17 = 1 ⋅ 24 + 1 ⋅ 20 oder allgemein ๐ง = ๐๐ 2๐ + ๐๐−1 2๐−1 + โฏ + ๐1 21 + ๐0 , wobei ๐๐ ∈ {0,1} Weitere Systeme: Hexadezimalsystem 1.4.1 Das Horner-Schema Definition: Eine Funktion ๐: โ โถ โ der Form ๐(๐ฅ) = ๐๐ ๐ฅ ๐ + ๐๐−1 ๐ฅ ๐−1 + โฏ + ๐1 ๐ฅ + ๐0 mit gegebenen reellen Koeffizienten a0, a1, …, an und ๐๐ ≠ 0 heißt Polynom n-ten Grades. Beispiel: ๐(๐ฅ) = 3๐ฅ 3 − ๐ฅ 2 + 2๐ฅ + 1, höchste Potenz ist 3, somit ist Polynom dritten Grades Wie kann f mit möglichst wenig Operationen bei gegebenen x ausgerechnet werden? 3๐ฅ 3 − ๐ฅ 2 + 2๐ฅ + 1 โถ 5 Multiplikationen, 3 Additionen ๐ฅ(3๐ฅ 2 − ๐ฅ + 2) + 1 = ๐ฅ(๐ฅ(3๐ฅ − 1) + 2) + 1 โถ 3 Multiplikationen, 3 Additionen → besser Horner-Schema am Beispiel: 3 x=3 • -1 2 1 + + + = 9 3 8 24 26 78 79 = f(3) 15 Allgemein: an an-1 an-2 + + = an•x x a1 a 0 (an•x+an-1)•x an•x+an-1 • an … … = f(n) Komplexe Zahlen โ 1.5 x2 = -1 ist nicht in โ lösbar. Wir führen eine imaginäre Zahl j (zur Unterscheidung von der Stromstärke I, außerhalb der Elektrotechnik meist i statt j) ein, die nicht auf der reellen Achse liegt und für die ๐ 2 = −1 gilt. Mit j erfüllt ebenfalls (-j) die Gleichung x2 = -1. 2 (−๐)2 = ((−1) ⋅ ๐) = (−1)2 ⋅ ๐ 2 = 1 ⋅ (−1) = −1 Wir lösen jetzt ๐ง 2 = −๐ 2 ; ๐ ≠ 0 โถ ๐ง = ±๐๐ imaginäre Achse bj b>0 j 0 1 reelle Achse ๐ฅ 2 − 10๐ฅ + 34 = 0 (๐ฅ − 5)2 + 9 = 0 (๐ฅ − 5)2 = −9 ๐ฅ − 5 = ±3√−1 = ±๐3 โถ ๐ฅ1 = 5 + ๐3; ๐ฅ2 = 5 − ๐3 Probe: (5 + ๐3)2 − 10(5 + ๐3) + 34 = 25 + ๐30 + 9๐ 2 − 50 − ๐30 + 34 = 9๐ 2 + 9 3j a+jb bj j 1 5 a Definition: Komplexe Zahlen sind Elemente der Form ๐ + ๐๐ mit ๐, ๐ ∈ โ. Sie werden als Punkte der komplexen Ebene im rechtwinkligen Koordinatensystem dargestellt mit den Koordinaten (a, b). a heißt Realteil, b heißt Imaginärteil von ๐ง = ๐ + ๐๐ . ๐ = Re ๐ง , ๐ = Im ๐ง . Die Menge der komplexen Zahlen wird mit โ bezeichnet. Bemerkung: ๐ง = Re ๐ง + ๐ Im ๐ง , sowohl Re ๐ง als auch Im ๐ง sind reell. 16 1.5.1 Rechnen mit komplexen Zahlen Definition: |๐ง| = √๐2 + ๐ 2 heißt Betrag von z. Betrag von z = Abstand vom Ursprung. z=a+jb bj |z| a Beispiel: ๐ง = 2 + ๐, Re ๐ง = 2, Im ๐ง = 1, |๐ง| = √5 Definition: Gleichheit ๐ง1 = ๐1 + ๐๐1 , ๐ง2 = ๐2 + ๐๐2 ๐ง1 = ๐ง2 โบ ๐1 = ๐2 und ๐1 = ๐2 Definition: Konjugierte komplexe Zahl Sei ๐ง = ๐ + ๐๐, dann heißt ๐งฬ = ๐ − ๐๐ die zu z konjugiert komplexe Zahl. z Spiegelung an x-Achse z 1.5.2 Rechenoperationen Subtraktion/Addition: (๐ + ๐๐) ± (๐ + ๐๐) = ๐ ± ๐ + ๐(๐ ± ๐) Multiplikation: (๐ + ๐๐) ⋅ (๐ + ๐๐) = (๐๐ − ๐๐) + ๐(๐๐ + ๐๐) Division: ๐ + ๐๐ (๐ + ๐๐)(๐ − ๐๐) (๐ + ๐๐)(๐ − ๐๐) wobei ๐ + ๐๐ ≠ 0 = = ๐ + ๐๐ (๐ + ๐๐)(๐ − ๐๐) ๐ 2 + ๐2 Bemerkung zur Addition: j•Im z=z1+z2 z1 wird um z2 nach z2 oben verschoben z2 z1 Re Scheinleitwert in Wechselstromtechnik 17 R1 L1 L2 R2 C Y Z 1 1 ๐= + ๐ 1 + ๐๐๐ฟ1 ๐ + 1 2 ๐๐๐ถ Scheinwiderstand: ๐ = Umrechnung: 1 + ๐๐๐ฟ2 ๐ 1 ๐ 2 − ๐ 1 − ๐๐๐ฟ1 ๐๐๐ถ ๐= 2 + ๐ 1 + ๐ 2 ๐ฟ21 ๐ 2 + 1 2 ๐2๐ถ2 Bemerkung: ๐ง ⋅ ๐งฬ = |๐ง|2 , z.B. (๐ + ๐๐)(๐ − ๐๐) = ๐2 + ๐ 2 1 ๐งฬ ๐งฬ = = 2 ๐ง ๐ง ⋅ ๐งฬ |๐ง| Rechenoperationen ±,⋅, โถ wie bei โ 1.5.3 Gesetze für konjugiert komplexe Zahlen ๐ง ๐ง ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ๐ง1 ± ๐ง2 = ๐ง1 ± ๐ง2 , −๐ง = −๐ง, ๐ง1 ⋅ ๐ง2 = ๐ง1 ⋅ ๐ง2 , (๐ง1 ) = ๐ง1 2 2 Beweis der dritten Formel: (๐ + ๐๐) ⋅ (๐ + ๐๐) = (๐ − ๐๐)(๐ − ๐๐) = ๐๐ + ๐ 2 ๐๐ − ๐(๐๐ + ๐๐) = ๐๐ − ๐๐ − ๐(๐๐ + ๐๐) (๐ + ๐๐)(๐ + ๐๐) = ๐๐ + ๐ 2 ๐๐ + ๐(๐๐ + ๐๐) = ๐๐ − ๐๐ − ๐(๐๐ + ๐๐) Potenz: ๐ง ๐ = ๐ง ⋅ ๐ง ⋅ … ⋅ ๐ง n-mal |๐ง | ๐ง Rechnen mit |z|: |๐ง1 ⋅ ๐ง2 | = |๐ง1 | ⋅ |๐ง2 |, |๐ง1 | = |๐ง1 |, |๐ง ๐ | = |๐ง|๐ 2 1.5.4 2 Potenzen und n-te Wurzeln komplexer Zahlen Es gilt die berühmte Eulersche Formel ๐ ๐๐ = cos ๐ + ๐ sin ๐, ๐ ∈ โ (Periode 2π) ๐ฅ2 ๐ฅ3 Begründung: ๐ ๐ฅ = 1 + ๐ฅ + 2! + 3! + โฏ (๐๐)2 (๐๐)๐ ๐2 ๐4 ๐6 ๐3 ๐5 ๐ ๐๐ = 1 + (๐๐) + +โฏ+ =1− + − + โฏ + ๐ (๐ − + +โฏ) โ 2! 2! ๐! 4! 6! 3! 5! โ cos ๐ 18 sin ๐ 1.5.5 Trigonometrische Darstellung von z in Polarkoordinaten Im b r z=a+jb z| =| φ Re ๐ = |๐ง| = √๐2 + ๐ 2 ๐ โ arg ๐ง „Argument von z“ Das Argument ist nicht eindeutig: Wir können ein Vielfaches von 2π addieren oder abziehen: ๐ ± 2๐๐ ๐ ∈ โ ist ebenfalls Argument von z. „Hauptargument“ ๐ = arg ๐ง − ๐ < ๐ ≤ +๐ a Umrechnung von/in trigonometrische Darstellung a) r und φ seien gegeben ๐ = ๐ cos ๐ = Re ๐ง ๐ = ๐ sin ๐ = Im ๐ง ๐ง = ๐ + ๐๐ = ๐(cos ๐ + ๐ sin ๐) = |๐ง|(cos ๐ + ๐ sin ๐) ๐ Beispiel: ๐ = √2 ๐ = 4 ๐ 1 ๐ = ๐ cos ๐ = √2 cos = √2 ⋅ ⋅ √2 = 1 4 2 ๐ 1 ๐ = ๐ sin ๐ = √2 sin = √2 ⋅ ⋅ √2 = 1 4 2 ๐ง = 1+๐ b) ๐ arccos ๐ , wenn ๐ > 0 ๐ง = ๐ + ๐๐, a und b gegeben → ๐ = √๐2 + ๐ 2 , ๐ = { ๐ − arccos ๐ , wenn ๐ < 0 0 ๐ Beispiel: ๐ง = −๐, ๐ = √02 + (−1)2 = 1, ๐ = − arccos 1 = − arccos 0 = − 2 1.5.6 Anwendung der Eulerschen Formel a) Potenzieren 1 1 300 z für ๐ง = 2 √3 + ๐ 2 3 1 ๐ ๐ 1 ๐ = √4 + 4 = 1, ๐ = 6 , denn cos 6 = 2 √3 ๐ ๐ ๐ ๐ 300 ๐ง = cos 3 + ๐ sin 6 = ๐ ๐ 6 , ๐ง 300 = (๐ ๐ 6 ) = ๐ ๐50๐ = ๐ ๐⋅25⋅2๐ = ๐ ๐0 = 1 b) n-te Einheitswurzeln Aufgabe: alle Lösungen berechnen ๐ง ๐ = 1 ๐ ∈ โ, n fixiert |๐ง|๐ = |๐ง ๐ | = |1| โถ |๐ง| = 1 ๐ง = cos ๐ + ๐ sin ๐ ๐ง ๐ = (cos ๐ + ๐ sin ๐)๐ = ๐ ๐๐๐ = 1 = ๐ 0 Beachten der Mehrdeutigkeit von φ ๐ ๐(๐๐−2๐๐) = ๐ 0 |ln, โถ ๐ 2๐๐ ๐๐ − 2๐๐ = 0 โถ ๐ = ๐ 2๐ 4๐ gleich: ๐ = 0 โถ ๐ = 0, ๐ = 1 โถ ๐ = ๐ , ๐ = 2 โถ ๐ = ๐ , …, ๐ = ๐ โถ ๐ = 2๐ 19 ๐= 2๐๐ ๐ = 0,1, … ๐ sind alles Winkel für die Lösung ๐ Satz 1: Die Gleichung zn = 1 hat n verschiedene komplexe Lösungen (n-te Einheitswurzel) ๐ง = ๐๐ 2๐๐ ๐ 2๐๐ 2๐๐ = cos ( ) + ๐ sin ( ) ๐ ๐ Beispiel: ๐ง 3 = 1 k = 0: ๐ง1 = cos 0 + ๐ sin 0 = 1 2๐ 2๐ k = 1: ๐ง2 = cos 3 + ๐ sin 3 k = 2: ๐ง3 = cos … 4๐ 3 + ๐ sin 4๐ 3 Allgemeine n-te Wurzel ๐ง ๐ = ๐ ∈ โ und ๐ = ๐๐ ๐๐ โถ ๐ง ๐ = ๐๐ ๐๐ mit r > 0 |๐ง ๐ | = |๐||๐ ๐๐ | = |๐| โถ |๐ง|๐ = |๐| = ๐ |๐ง|๐ ๐ ๐ง ๐ |๐ง|๐ = ๐ โถ = = ๐ ๐๐ โถ | ๐ | = ๐ ๐๐ ๐ ๐ √๐ ๐ 2๐๐ ) ๐ ๐ง ๐ √ = ๐งฬ , ๐งฬ = ๐ ๐๐ , ๐งฬ = ๐ ๐( ๐+ ๐ 1.5.7 ๐ 2๐๐ ) ๐ โถ ๐ง = √๐๐ ๐( ๐+ ๐ Geometrische Bedeutung der Multiplikation ๐ง1 = ๐1 ๐ ๐๐1 , ๐ง2 = ๐2 ๐ ๐๐2 ๐ง = ๐ง1 ⋅ ๐ง2 = ๐1 ๐2 ๐ ๐๐1 ๐ ๐๐2 = ๐1 ๐2 ๐ ๐(๐1 +๐2) = ๐๐ ๐๐ ๐ = ๐1 ⋅ ๐2 , ๐ = ๐1 + ๐2 D.h. Multiplikation der Längen der Zeiger und Addition ihrer Winkel zur Re-Achse. Im r= r1 • r2 φ=φ1+φ2 r2 φ2 r1 φ1 1.5.8 Re Überlagerungen Harmonische Schwingung ๐ด(cos(๐๐ก + ๐)), ๐ด ≥ 0, ๐ ≥ 0 ๐1 (๐ก) = ๐ด1 cos(๐๐ก + ๐1 ) und ๐2 (๐ก) = ๐ด2 cos(๐๐ก + ๐2 ) gesucht: Y1 + Y2 Arbeiten im Komplexen, die Gleichungen stellen den Realteil dar. 20 ๐1 (๐ก) = ๐ด1 ๐ ๐(๐๐ก+๐1 ) und ๐2 (๐ก) = ๐ด2 ๐ ๐(๐๐ก+๐2 ) ๐1 + ๐2 = ๐ด1 ๐ ๐(๐๐ก+๐1 ) + ๐ด2 ๐ ๐(๐๐ก+๐2 ) = (๐ด1 ๐ ๐๐1 + ๐ด2 ๐ ๐๐2 )๐ ๐๐๐ก = ๐ด๐ ๐(๐๐ก+๐) = ๐ด(cos(๐๐ก + ๐) + ๐ sin(๐๐ก + ๐)) Re(๐1 + ๐2 ) = ๐ด cos(๐๐ก + ๐), φ = Phasenverschiebung ๐ Beispiel: A1 = A2 = 1, φ1 = 0, ๐2 = ๐ 2 ๐1 = cos ๐๐ก und ๐2 = cos (๐๐ก + 2 ) ๐ ๐1 = ๐ ๐๐๐ก und ๐2 = ๐ ๐(๐๐ก+ 2 ) ๐ ๐ ๐ ๐ ๐1 + ๐2 = (1 + ๐ ๐ 2 ) ๐ ๐๐๐ก = (1 + ๐)๐ ๐๐๐ก = √2๐ ๐ 4 ๐ ๐๐๐ก = √2 (cos (๐๐ก + ) + ๐ sin (๐๐ก + )) 4 4 ๐ Re(๐1 + ๐2 ) = √2 cos (๐๐ก + ) 4 1.6 Komplexe Zahlen in der Wechselstromtechnik reeller Vorgang in Technik Übertragung ins Komplexe Rechnen im Komplexen reelles Rechenergebnis bilden des Realteils komplexes Ergebnis Bezeichnungen: ฬ cos(๐๐ก + ๐๐ข ) momentane Spannung ๐ข = ๐ข(๐ก) = ๐ ๐ = ๐(๐ก) = ๐ผฬ cos(๐๐ก + ๐๐ ) momentaner Strom ฬ = Maximalwert der Spannung ๐ ๐ผฬ = Maximalwert des Stroms t = Zeit, ω = Winkelgeschwindigkeit (Kreisfrequenz) = 2πf 2๐ f = Frequenz, ๐ = ๐ = Schwingungsdauer Messgeräte zeigen normalerweise den Mittelwert an: ๐ 1 ๐ = √ ∫ ๐ข2 (๐ก)๐๐ก , ๐ 0 1.6.1 ๐ 1 ๐ผ = √ ∫ ๐ 2 (๐ก)๐๐ก ๐ 0 Komplexe Größen ฬ cos(๐๐ก + ๐๐ข ) = Re[√2๐ ฬ (cos(๐๐ก + ๐๐ข ) + ๐ sin(๐๐ก + ๐๐ข ))] ๐ข(๐ก) = √2๐ ๐๐๐ก ฬ ๐ ๐(๐๐ก+๐๐ข ) ] = Re [√2 ๐ ฬ ๐ ๐๐๐ข ⋅ ๐โ = Re[√2๐ โ ] ฬ ๐ Zeitfaktor 21 Analog: ๐๐๐ก ๐(๐ก) = Re [√2 โ ๐ผฬ๐ ๐๐๐ ⋅ ๐โ ] ๐ผฬ Zeitfaktor Definition: ฬ=๐ ฬ ๐ ๐๐๐ข heißt komplexer Effektivwert der Spannung (ruhender Zeiger) ๐ ๐ผฬ = ๐ผฬ๐ ๐๐๐ heißt komplexer Effektivwert der Stromstärke ๐ ๐๐๐ก heißt Drehzeiger, Zeitzeiger oder Zeitfaktor ฬ ⋅ ๐ ๐๐๐ก ] ๐ข(๐ก) = √2 Re[๐ } U, I zeitunabhängig ๐(๐ก) = √2 Re[๐ผฬ ⋅ ๐ ๐๐๐ก ] ๐ = ๐๐ข − ๐๐ heißt Phasenverschiebung zwischen Stromstärke und Spannung Alle Zeiger drehen sich mit Winkelgeschwindigkeit ω gegen den Uhrzeigersinn um den Nullpunkt. Durch geeignete Wahl des Anfangszeitpunktes t = 0 kann man φ u = 0 und φi = φ erreichen. 1.6.2 Rechnen mit Komplexen ๐ ๐ ๐ = ๐ผ , Verallgemeinerung: ๐ = ๐ผ heißt komplexer Scheinwiderstand ฬ ⋅ ๐ ๐๐๐ก , ๐ผ(๐ก) = ๐ผฬ ⋅ ๐ ๐๐๐ก , |๐| heißt Scheinwiderstand ๐(๐ก) = ๐ ๐ = ๐ + ๐๐, R = Wirkwiderstand (Re ๐), X = Blindwiderstand (Im ๐) X > 0 steht für induktiven Widerstand X < 0 steht für kapazitiven Widerstand ๐๐ ๐๐ก Übergang zum Komplexen ๐ ๐ ๐ ๐(๐ก) = ๐ฟ ๐ผ(๐ก) = ๐ฟ (๐ผฬ๐ ๐๐๐ก ) = ๐ฟ๐ผฬ ๐ ๐๐๐ก = ๐ฟ๐ผฬ๐๐๐ ๐๐๐ก = ๐๐๐ฟ๐ผ(๐ก) ๐๐ก ๐๐ก ๐๐ก ๐ = ๐๐๐ฟ, ๐๐ฟ = ๐๐ฟ induktiver Blindwiderstand ๐ข=๐ฟ bei rein kapazitiven Widerstand: ๐๐ข ๐=๐ถ ๐๐ก Übergang zum Komplexen ๐ผ(๐ก) = ๐๐๐ถ ⋅ ๐(๐ก) oder ๐(๐ก) = 1 ๐๐๐ถ 1 ๐ผ(๐ก) = −๐ 1 ๐๐ถ ๐ผ(๐ก) 1 ๐ = −๐ ๐๐ถ, ๐๐ถ = ๐๐ถ kapazitiver Blindwiderstand Beispiel: Reihenschaltung R L C 1 ) = ๐ + ๐(๐๐ฟ − ๐๐ถ ) ๐๐ถ geg. ๐ = 400Ω, ๐๐ฟ = 500Ω, ๐๐ถ = 200Ω, ๐ = ๐ = 20๐ ges. I, sowie komplexe Effektivwerte der Spannung über den Bauteilen ๐ = ๐ + ๐ (๐๐ฟ − 22 Berechnung des komplexen Scheinwiderstandes: ๐ = 400Ω + j(500 − 200)Ω = (400 + ๐300)Ω 400 ๐ = |๐| = 100√42 + 32 Ω = 500Ω, ๐ = arccos 500 = 0,6435 (Winkel in rad) ๐ = 500๐ ๐⋅0,6435 Ω ๐ 20 1 1 Strom: ๐ผ = ๐ = 500 ๐ −๐⋅0,6435 ๐ด = 25 ๐ −๐⋅0,6435 ๐ด = 25 ๐ −๐๐๐ ๐ด mit ๐๐ = −0,6435 Da φi negativ, liegt Kapazitätslast vor. 1 1 (cos ๐ + ๐ sin ๐)๐ด = (0,8 − ๐0,6)๐ด = (0,032 − ๐0,024)๐ด ๐ผ= 25 25 komplexe Effektivwerte: ๐๐ = ๐ ⋅ ๐ผ = (12,8 − ๐9,6)๐ ๐๐ฟ = ๐๐๐ฟ ⋅ ๐ผ = ๐500(0,032 − ๐0,024)๐ = (12 + ๐16)๐ ๐๐ถ = −๐๐๐ถ ⋅ ๐ผ = (−4,8 − ๐6,4)๐ Probe: ๐๐ + ๐๐ฟ + ๐๐ถ = 20๐ 1.6.3 Bedeutung des Realteils und Imaginärteils von I und U ๐ผ = ๐ผ๐ ๐๐๐ = ๐ผ(cos ๐๐ + ๐ sin ๐๐ ) = ๐ผโcos ๐๐ + ๐ ๐ผโsin ๐๐ Wirkstrom ๐ผ๐ Blindstrom ๐ผ๐ต Wechselstromleistung: Definition: ๐ = ๐ ⋅ ๐ผ heißt komplexe Scheinleistung (I konjugiert komplex) ๐ = ๐๐ ๐๐๐ข ⋅ ๐ผ๐ ๐๐๐ = ๐ ⋅ ๐ผ๐ ๐(๐๐ข−๐๐ ) = ๐ โ ⋅๐ผ ๐ ๐๐ = ๐๐ ๐๐ reelle Scheinleistung ๐ φ Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung ๐= โ ๐ cos ๐ + ๐ ๐โsin ๐ = ๐ + ๐๐ Wirkleistung ๐ Blindleistung ๐ 1.7 Elementare Funktionen 1.7.1 Grundbegriffe Eine Funktion sei injektiv. Alle ๐ฆ ∈ โ(๐) existiert dann genau ein Urbild ๐ฅ ∈ ๐ด, so dass ๐ฆ = ๐(๐ฅ) ist. Die Funktion ๐: ๐ฆ โถ ๐ฅ von โ(๐) in A heißt Umkehrfunktion. Bezeichnung: ๐ = ๐ −1 Beispiel: ๐ฆ = ๐(๐ฅ) = ๐ฅ 3 , โ+ โถ โ ๐ฅ = 3√๐ฆ = ๐ −1 (๐ฆ) ๐ฆ = ๐(๐ฅ) = ๐ฅ 2 , โ+ โถ โ ๐ฅ = 2√๐ฆ = ๐ −1 (๐ฆ) 23 Definition: Eine reelle Funktion einer reellen Veränderlichen heißt auf A ๏ท monoton wachsend, wenn aus ๐ฅ1 > ๐ฅ2 โถ ๐(๐ฅ1 ) ≥ ๐(๐ฅ2 ), z.B. [x] (siehe unten) ๏ท streng monoton wachsend, wenn aus ๐ฅ1 > ๐ฅ2 โถ ๐(๐ฅ1 ) > ๐(๐ฅ2 ), z.B. x3 ๏ท monoton fallend, wenn aus ๐ฅ1 > ๐ฅ2 โถ ๐(๐ฅ1 ) ≤ ๐(๐ฅ2 ) ๏ท streng monoton fallend, wenn aus ๐ฅ1 > ๐ฅ2 โถ ๐(๐ฅ1 ) < ๐(๐ฅ2 ) Beispiel: ๐(๐ฅ) = [๐ฅ] (ganzer Teil von x) in โ+ , monoton wachsend (nicht streng) 0 1 Jede streng monoton wachsende und jede streng monoton fallende Funktion sind injektiv. Jede in ihrem Definitionsbereich streng monoton wachsende (fallende) Funktion einer Veränderlichen hat eine Umkehrfunktion. Definition: ๐: ๐ด โถ โ heißt beschränkt, wenn es eine Konstante gibt K > 0, so dass |๐(๐ฅ)| ≤ ๐พ ∀๐ฅ ∈ ๐ด Beispiel: ๐(๐ฅ) = sin ๐ฅ, da |sin ๐ฅ| ≤ 1, ∀๐ฅ ∈ โ ๐ฅ ๐(๐ฅ) = 1+๐ฅ 2 , denn: ๏ท |๐ฅ| < 1 โถ |๐(๐ฅ)| ≤ ๏ท |๐ฅ| ≥ 1 โถ |๐(๐ฅ)| ≤ |๐ฅ| 1+๐ฅ 2 |๐ฅ| 1+๐ฅ 2 1 ≤ 1+0 = 1 ๐ฅ2 ≤ 1+๐ฅ 2 ≤ 1 Definition: Die Funktion ๐: โ โถ โ heißt periodisch mit Periode L, wenn ๐(๐ฅ + ๐ฟ) = ๐(๐ฅ) ∀๐ฅ ∈ โ Beispiel: ๐(๐ฅ) = sin ๐ฅ, ๐ฟ = 2๐ Definition: f heißt gerade Funktion, wenn ๐(−๐ฅ) = ๐(๐ฅ) , z.B. cos ๐ฅ, Periode 2๐ f heißt ungerade Funktion, wenn ๐(−๐ฅ) = −๐(๐ฅ) , z.B. sin ๐ฅ (Periode 2๐), tan ๐ฅ (Periode ๐) Definition: seien f, g Abbildungen ๐: ๐ด โถ ๐ต und ๐: ๐ต โถ ๐ถ Die Abbildung โ(๐ฅ) = ๐(๐(๐ฅ)): ๐ด โถ ๐ถ heißt Komposition von f und g. Schreibweise: โ =๐โ๐ (๐ โ ๐)(๐ฅ) โ ๐(๐(๐ฅ)) 1 ๐ Beispiel: ๐(๐ฅ) = ๐ฅ ๐ = √๐ฅ , ๐(๐ฅ) = ๐ฅ ๐ ๐ ๐ (๐ โ ๐)(๐ฅ) โ ( ๐√๐ฅ) = ๐ฅ ๐ 24 1.7.2 Rationale Funktionen Definition: Eine Funktion der Form ๐0 + ๐1 ๐ฅ + โฏ + ๐๐ ๐ฅ ๐ ∑๐๐=0 ๐๐ ๐ฅ ๐ ๐(๐ฅ) = = ๐ ๐0 + ๐1 ๐ฅ + โฏ + ๐๐ ๐ฅ ๐ ∑๐ ๐=0 ๐๐ ๐ฅ mit ๐๐ ≠ 0 heißt rationale Funktion. Ist der Nennergrad ๐ ≥ 1 und der Zähler nicht das Nullpolynom, so heißt f gebrochen rationale Funktion. f heißt dabei echt gebrochen, wenn ๐ < ๐. Sonst unecht gebrochen. Spezialfall m = 0, ๐0 ≠ 0, dann heißt f Polynom. Daher heißt Polynom auch ganze rationale Funktion. Division von Polynomen p habe den Grad n, q habe den Grad ๐ ≤ ๐, dann ๐(๐ฅ) ๐(๐ฅ) = โ(๐ฅ) + , ๐(๐ฅ) ๐(๐ฅ) wobei h ein Polynom ist und grad ๐ < grad ๐ Beispiel: (4๐ฅ 5 − 4๐ฅ 4 − 5๐ฅ 3 + 4๐ฅ 2 − ๐ฅ + 1): (2๐ฅ 3 − 3๐ฅ 2 + 5๐ฅ − 2) = 2๐ฅ 2 + ๐ฅ − 6 + 2๐ฅ 3 ๐(๐ฅ) − 3๐ฅ 2 + 5๐ฅ − 2 Horner-Schema: (๐๐−1 ๐ฅ ๐−1 + ๐๐−2 ๐ฅ ๐−2 + โฏ + ๐1 ๐ฅ + ๐0 )(๐ฅ − ๐ฅ0 ) = ๐๐−1 ๐ฅ ๐ + (๐๐−2 − ๐๐−1 ๐ฅ0 )๐ฅ ๐−1 + โฏ + (๐0 − ๐1 ๐ฅ0 )๐ฅ + (−๐0 ๐ฅ0 ) = ๐๐ ๐ฅ ๐ + ๐๐−1 ๐ฅ ๐−1 + โฏ + ๐1 ๐ฅ + ๐0 ๐๐−1 = ๐๐ ๐๐−2 − ๐๐−1 ๐ฅ0 = ๐๐−1 โฎ ๐0 − ๐1 ๐ฅ0 = ๐1 −๐0 ๐ฅ0 = ๐0 an = ๐๐−1 = ๐๐ ๐๐−2 = ๐๐−1 + ๐๐−1 ๐ฅ0 โฎ ๐0 = ๐1 + ๐1 ๐ฅ0 −๐0 ๐ฅ0 = ๐0 an-1 an-2 + + cn-1x0 cn-2x0 cn-2 cn-3 x0 • cn-1 … a1 a0 + + c1x0 c0x0 … c0 0 Diskussion gebrochen rationale Funktionen ∑๐๐=0 ๐๐ ๐ฅ ๐ ๐(๐ฅ) Sei ๐(๐ฅ) = ๐ = ∑๐=0 ๐๐ ๐ฅ ๐ ๐(๐ฅ) Nullstellen von f: ๐(๐ฅ0 ) = 0 und ๐(๐ฅ0 ) ≠ 0. Wenn ๐(๐ฅ0 ) = 0, dann kann man dadurch dividieren und vereinfachen. Polstellen von f: ๐(๐ฅ0 ) ≠ 0 und ๐(๐ฅ0 ) = 0, |๐(๐ฅ)| โถ ∞, wenn ๐ฅ โถ ๐ฅ0 Beispiel: ๐(๐ฅ) = ๐ฅ 2 −1 ๐ฅ−1 = (๐ฅ−1)(๐ฅ+1) (๐ฅ−1) = ๐ฅ + 1 โถ ๐ hat eine Nullstelle, aber keine Polstelle 25 Es gilt: ๐(๐ฅ) = ๐(๐ฅ) ๐(๐ฅ) = โ(๐ฅ) + ๐(๐ฅ) , h ist Polynom grad ๐ < grad ๐ ๐(๐ฅ) ๐(๐ฅ) h(x) dann Asymptote von f: ๐(๐ฅ) − โ(๐ฅ) = ๐(๐ฅ) → ๐ฅโถ±∞ 0 Polynome: Ist x0 eine Nullstelle ๐(๐ฅ) = ๐๐ ๐ฅ ๐ + ๐๐−1 ๐ฅ ๐−1 + โฏ + ๐1 ๐ฅ + ๐0 , wobei ๐ ≥ 1, so lässt sich f ohne Rest durch (๐ฅ − ๐ฅ0 ) dividieren. Das gilt auch für komplexe Polynome. Satz: Jedes Polynom n-ten Grades hat höchstens n verschiedene reelle Nullstellen. Beispiel: ๐(๐ฅ) = ๐ฅ 4 − 1 = (๐ฅ 2 − 1)(๐ฅ 2 + 1) = (๐ฅ + 1)(๐ฅ − 1)(๐ฅ 2 + 1) = (๐ฅ + 1)(๐ฅ − 1)(๐ฅ + ๐)(๐ฅ − ๐) Satz: Fundamentalsatz der Algebra Jedes Polynom von Grad ๐ ≥ 1 hat mindestens eine komplexe Nullstelle (darf auch reell sein). Folgerung: Jedes Polynom kann in Linearfaktoren ๐(๐ฅ) = ๐๐ (๐ฅ − ๐ฅ1 )(๐ฅ − ๐ฅ2 ) … (๐ฅ − ๐ฅ๐ ) zerlegt werden, wobei x1, …, xn reelle oder komplexe Nullstellen von f sind. Kommt eine Nullstelle mehrmals vor, so heißt die Anzahl ihre Vielfachheit. Beispiel: ๐(๐ฅ) = ๐ฅ 4 = (๐ฅ − 0)4 , x = 0 ist vielfache Nullstelle Folgerung: ๐ฅ 2 + ๐๐ฅ + ๐ hat Nullstellen x1, x2 โถ (๐ฅ − ๐ฅ1 )(๐ฅ − ๐ฅ2 ) = ๐ฅ 2 − (๐ฅ1 + ๐ฅ2 )๐ฅ + ๐ฅ1 ๐ฅ2 Koeffizientenregel: ๐ = −(๐ฅ1 + ๐ฅ2 ), ๐ = ๐ฅ1 ๐ฅ2 1.7.3 Trigonometrische Funktionen ๐ฅ = cos ๐ tan ๐ = sin ๐ cos ๐ ๐ฆ = sin ๐ = Anstieg einer Geraden cot ๐ = sin2 ๐ฅ + cos 2 ๐ฅ = 1 cos ๐ sin ๐ cos 2๐ฅ = cos 2 ๐ฅ − sin2 ๐ฅ sin 2๐ฅ = 2 sin ๐ฅ cos ๐ฅ Additionstheoreme: sin(๐ฅ + ๐ฆ) = cos ๐ฅ sin ๐ฆ + sin ๐ฅ cos ๐ฆ sin ๐ฅ + sin ๐ฆ = 2 sin ๐ฅ+๐ฆ ๐ฅ−๐ฆ cos 2 2 cos(๐ฅ + ๐ฆ) = cos ๐ฅ cos ๐ฆ − sin ๐ฅ sin ๐ฆ cos ๐ฅ + cos ๐ฆ = 2 cos 26 ๐ฅ+๐ฆ ๐ฅ−๐ฆ cos 2 2 Eckwerte: 0° 30° ๐ 0 6 1 1 √0 √1 2 2 1 1 √4 √3 2 2 sin cos 1.7.4 45° ๐ 4 1 √2 2 1 √2 2 60° ๐ 3 1 √3 2 1 √1 2 90° ๐ 2 1 √4 2 1 √0 2 Arcus-Funktionen Umkehrfunktionen zu den Winkelfunktionen ๐ ๐ ๐(๐ฅ) = sin ๐ฅ ist streng monoton wachsend auf [− 2 , 2 ]. Auf diesem Intervall ist sin ๐ฅ injektiv und wir können von der Existenz der inversen Funktion ausgehen. ๐ −1 (๐ฅ) = arcsin ๐ฅ Mittleres Bild: ๐ฅ = arcsin ๐ฆ sieht genauso aus wie sin ๐ฅ. Hier ist y die unabhängige Variable. Rechtes Bild: Graph ist Spiegelung an der y = x Geraden. Definitionsbereich der Funktion ist ๐ ๐ [-1, 1] und Wertebereich [− 2 , 2 ]. y = sin x y 1 y = arcsin x π 2 1 π 2 π 2 x π 2 x = arcsin y -1 π 2 -1 1 x π 2 -1 ๐(๐ฅ) = cos ๐ฅ ist streng monoton fallend auf [0, ๐], ∃๐ −1 (๐ฅ): [1,1] โถ [0, ๐] ๐ −1 (๐ฅ) = arccos ๐ฅ y = arccos x y = cos x π 1 π π 2 π 2 x -1 -1 1 ๐ ๐ x ๐(๐ฅ) = tan ๐ฅ , monoton auf (− 2 , 2 ), ๐ −1 (๐ฅ) = arctan ๐ฅ ๐ Asymptoten ๐ฆ = ± 2 27 ๐ ๐ auf (−∞, ∞) โถ (− 2 , 2 ), y = tan x y = arctan x π 2 π 2 x π 2 x π 2 Asymptote ๐(๐ฅ) = cot ๐ฅ ist definiert auf (0, π) und bildet ab auf (−∞, ∞), ๐ −1 (๐ฅ) = arccot ๐ฅ ist definiert auf (−∞, ∞) mit Werten (0, π), Asymptoten sind y = 0 und y = π y = cot x y = arccot x Asymptote π π 2 π π 2 x x 1.7.5 Exponentialfunktion und Logarithmus ๐ฆ = ๐ ๐ฅ mit a > 0 ๐ ๐ wenn ๐ฅ ∈ โ und ๐ฅ = ๐ ๐, ๐ ∈ โ โถ ๐ ๐ฅ = √๐๐ wenn ๐ ∈ โค โ โ und ๐ฅ = ๐ ๐ 1 ๐ ๐ ∈ โ โถ ๐ ๐ฅ = √๐−๐ vorausgesetzt ๐ฅ ∈ โ โ โค ๐ ๐ฅ = sup ๐๐ ๐ ∈ โ ๐ < ๐ฅ Jede Exponentialfunktion ๐(๐ฅ) = ๐ ๐ฅ ist streng monoton wachsend für a > 1 und streng monoton fallend, falls 0 < a < 1. y = ax y = ax a>1 0<a<1 1 1 x x Es gilt: ๐ ๐ฅ+๐ฆ = ๐ ๐ฅ ⋅ ๐ ๐ฆ ∀๐ฅ, ๐ฆ ∈ โ (๐ ๐ฅ )๐ฆ = ๐ ๐ฅ⋅๐ฆ ∀๐ฅ, ๐ฆ ∈ โ ๐ (๐ฅ ๐ฆ ) ≠ (๐ ๐ฅ )๐ฆ ∀๐ฅ, ๐ฆ ∈ โ a heißt Basis der Exponentialfunktion e = Eulersche Zahl = 2,718281828… 28 Umkehrfunktion von ๐(๐ฅ) = ๐ ๐ฅ ist natürlicher Logarithmus ๐ −1 (๐ฅ) = ln ๐ฅ ist definiert auf (0, ∞) y = ex y = ln x 1 1 x x Da ln ๐ฅ Umkehrfunktion von ๐ ๐ฅ ist, gilt: ๐ฅ = ๐ ln ๐ฅ und ๐ฆ = ln(๐ ๐ฆ ) Es gilt: ln(๐ฅ๐ฆ) = ln ๐ฅ + ln ๐ฆ ๐ฅ ln ( ) = ln ๐ฅ − ln ๐ฆ ๐ฆ ln(๐ฅ ๐ผ ) = ๐ผ ln ๐ฅ Beweis für ln(๐ฅ๐ฆ) =โ ln ๐ฅ + ln ๐ฆ โ ๐ ๐ = ln ๐ โบ ๐ ๐ = ๐ ln ๐ = ๐ = ๐ ln ๐ฅ+ln ๐ฆ ๐ฅ๐ฆ = ๐ ln ๐ฅ ⋅ ๐ ln ๐ฆ ๐ฅ๐ฆ = ๐ฅ ⋅ ๐ฆ ln(๐ฅ๐ฆ) → ๐ ln ๐ Zusammenhang von ๐ ๐ฅ und ๐ ๐ฅ ๐ฅ ๐ ๐ฅ = ๐ ๐ฅ⋅ln ๐ = (๐ ln ๐ ) Logarithmen zu beliebigen Basen. Die Umkehrfunktion zur streng monoton wachsenden Funktion ๐(๐ฅ) = ๐ ๐ฅ , a > 1 heißt Logarithmus zur Basis a. ๐ฆ = log ๐ ๐ฅ โบ ๐ฅ = ๐ ๐ฆ ๐ฅ = ๐log๐ ๐ฅ ๐ฆ = log ๐ (๐ ๐ฆ ) ๐ ๐ฅ = ๐ ๐ฅ ln ๐ log ๐ ๐ฅ = ln ๐ฅ ln ๐ ∀๐ฅ > 0 log๐ ๐ฅ ๐ฅ = ๐ ln ๐ฅ und ๐ฅ = ๐log๐ ๐ฅ = (๐ ln ๐ ) = ๐ ln ๐⋅log๐ ๐ฅ Gleichsetzen (x = x) und ln auf beiden Seiten โถ ln ๐ฅ = ln ๐ ⋅ log ๐ ๐ฅ ln 3 Beispiel: log16 3 = ln 16 = 0,4 Definition: ld(๐ฅ) = log 2 ๐ฅ Logarithmus dualis log(๐ฅ) = log10 ๐ฅ Zehner Logarithmus 29 1.7.6 Hyperbel- und Areafunktionen Definition: sinh ๐ฅ = ๐ ๐ฅ − ๐ −๐ฅ 2 sinus hyperbolicus cosh ๐ฅ = ๐ ๐ฅ + ๐ −๐ฅ 2 cosinus hyperbolicus ๐ ๐ฅ − ๐ −๐ฅ tanh ๐ฅ = ๐ฅ ๐ + ๐ −๐ฅ tangens hyperbolicus coth ๐ฅ = ๐ ๐ฅ + ๐ −๐ฅ ๐ ๐ฅ − ๐ −๐ฅ cotangens hyperbolicus cosh ๐ฅ ist eine gerade Funktion, die anderen ungerade. y y cothx coshx 1 1 sinhx x x tanhx -1 i) sinh ๐ฅ + cosh ๐ฅ = ๐ ๐ฅ ii) cosh2 ๐ฅ − sinh2 ๐ฅ = 1 iii) cosh(๐ฅ + ๐ฆ) = cosh ๐ฅ cosh ๐ฆ + sinh ๐ฅ sinh ๐ฆ iv) sinh(๐ฅ + ๐ฆ) = cosh ๐ฅ sinh ๐ฆ + sinh ๐ฅ cosh ๐ฆ Beweis ii): ๐ ๐ฅ + ๐ −๐ฅ 2 ๐ 2๐ฅ + 2๐ ๐ฅ ๐ −๐ฅ + ๐ −2๐ฅ ( ) = 2 4 − ๐ ๐ฅ − ๐ −๐ฅ 2 ๐ 2๐ฅ − 2๐ ๐ฅ ๐ −๐ฅ + ๐ −2๐ฅ ( ) = 2 4 2+2 = =1 4 Beispiel: Durchhängende Seile (z.B. Hochspannungsleitungen) werden beschrieben durch ๐ฅ ๐ฆ = (๐ cosh ๐) + ๐. Dabei hängen die Konstanten a und b von der Länge und Elastizität ab. Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen heißen Areafunktionen: sinh−1(๐ฅ) = arsinh ๐ฅ ๐ฅ ∈ โ Area sinus hyperbolicus cosh−1(๐ฅ) = arcosh ๐ฅ ๐ฅ ≥ 1 Area cosinus hyperbolicus 30 tanh−1(๐ฅ) = artanh ๐ฅ |๐ฅ| < 1 Area tangens hyperbolicus coth−1 (๐ฅ) = arcoth ๐ฅ |๐ฅ| > 1 Area cotangens hyperbolicus Wir berechnen ๐ฌ๐ข๐ง๐ก−๐ (๐). Es sei ๐ฆ = arsinh ๐ฅ oder ๐ฅ = sinh ๐ฆ: ๐ ๐ฆ − ๐ −๐ฆ |wir definieren ๐ ๐ฆ = ๐ง ๐ฅ = sinh ๐ฆ = 2 1 ๐ง−๐ง 1 ๐ฅ= โถ 2๐ฅ = ๐ง − โถ 2๐ฅ๐ง = ๐ง 2 − 1 โถ ๐ง = ๐ฅ ± √๐ฅ 2 + 1 โถ ๐ ๐ฆ = ๐ฅ ± √๐ฅ 2 + 1 2 ๐ง Minus entfällt, da ๐ ๐ฅ > 0 für ∀๐ฆ ∈ โ1 ๐ฆ = arsinh ๐ฅ = ln (๐ฅ + √๐ฅ 2 + 1) arcosh ๐ฅ = ± ln (๐ฅ + √๐ฅ 2 − 1) ๐ฅ ≥ 1 (Minus für fallenden Zweig von cosh ๐ฅ) Wir berechnen ๐ = ๐๐ซ๐ญ๐๐ง๐ก ๐ โถ ๐ญ๐๐ง๐ก ๐ = ๐ ๐ ๐ฆ − ๐ −๐ฆ |wir definieren ๐ ๐ฆ = ๐ง ๐ฅ= ๐ฆ ๐ + ๐ −๐ฆ 1 ๐ง−๐ง 1 1 1 ๐ฅ 1+๐ฅ ๐ฅ= โถ ๐ฅ (๐ง + ) = ๐ง − โถ ๐ฅ๐ง − ๐ง = − − โถ ๐ง(๐ฅ − 1) = − 1 ๐ง ๐ง ๐ง ๐ง ๐ง ๐ง+๐ง โถ ๐ง2 = 1+๐ฅ 1+๐ฅ 1+๐ฅ โถ ๐ง = ±√ Minus entfällt โถ ๐ ๐ฆ = √ 1−๐ง 1−๐ฅ 1−๐ฅ 1 1+๐ฅ ๐ฆ = artanh ๐ฅ = ln 2 1−๐ฅ 1 ๐ฅ+1 arcoth ๐ฅ = ln 2 ๐ฅ−1 mit |๐ฅ| < 1 mit |๐ฅ| > 1 31 2. Lineare Algebra 2.1 Die Vektorräume โ๐ und โ๐ 2.1.1 Definition und Rechenoperationen Definition: Sei ๐ ∈ โ. Der Raum โ๐ ist die Menge aller reellen Spaltenvektoren der Dimension n. ๐ฅ1 ๐ฅ2 ๐ฅโ = ( โฎ ) ๐ฅ๐ ∈ โ ∀๐ ๐ฅ๐ ๐ โ ist der entsprechende Raum mit komplexen Werten xi. Beispiel: 1 ๐ −3 4 ๐ฅโ = ( ) ∈ โ , ๐ฅโ = (1 − ๐) ∈ โ3 0 3 5 ๐ฅ1 ๐ฅ Bezeichnungsweise: ๐ = 2 โถ ๐ฅโ = (๐ฅ ) oder ๐โ = (๐ฆ) 2 algebraische Struktur im โ๐ ๐ฆ1 ๐ฅ1 Definition: Es seien ๐ฅโ = ( โฎ ) und ๐ฆโ = ( โฎ ) ∈ โ4 ๐ฅ4 ๐ฆ4 ๐ฅ1 + ๐ฆ1 ๐ฅ +๐ฆ i) ๐ฅโ + ๐ฆโ = (๐ฅ2 + ๐ฆ2 ) 3 3 ๐ฅ4 + ๐ฆ4 ๐๐ฅ1 ๐๐ฅ2 ii) ๐ ∈ โ ๐ ⋅ ๐ฅโ = (๐๐ฅ ) 3 ๐๐ฅ4 0 iii) โ0โ = ( โฎ ) 0 iv) −๐ฅโ = (−1)๐ฅโ Die Addition ist eine positive assoziative und kommutative Operation. Die Multiplikation ist kommutativ und distributiv, außerdem gilt ๐(๐๐ฅโ) = (๐๐)๐ฅโ und 1 ⋅ ๐ฅโ = ๐ฅโ. Das neutrale Element bezüglich der Addition ist der Nullvektor โ0โ. Gleichungen der Gestalt ๐ฅโ + ๐ฆโ = ๐โ sind lösbar: ๐ฅโ = ๐โ − ๐ฆโ. Durch die Gültigkeit dieser Gesetze für den โ๐ wird dieser zu einem „linearen Raum“ über den Körper โ der reellen Zahlen oder „Vektorraum“. 32 Geometrische Interpretation für n = 2, 3 x2 P x2 x n=2 x1 x1 ๐(๐ฅ1 , ๐ฅ2 ) = ๐ฅโ 1 0 ๐โโโโ1 = ( ) und ๐โโโโ2 = ( ) sind Einheitsvektoren (Basisvektoren) 0 1 ๐ฅโ kann als Linearkombination der Basisvektoren dargestellt werden: 1 0 ๐ฅโ = ๐ฅ1 ( ) + ๐ฅ2 ( ) 0 1 Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie gleiche Länge und Richtung haben. Koordinatendarstellung ๐ฅ1 ๐ฅโ = (๐ฅ2 ) = ๐ฅ1 โโโโ ๐1 + ๐ฅ2 โโโโ ๐2 + ๐ฅ3 โโโโ ๐3 ๐ฅ3 Rechtssysteme e3 e2 e1 Abstand im โ๐ Definition: ๐ฅโ ∈ โ๐ |๐ฅโ| = √๐ฅ12 + ๐ฅ22 + โฏ + ๐ฅ๐2 ๐ฅ1 ๐ฅ2 wobei ๐ฅโ = ( โฎ ) ๐ฅ๐ Wenn ๐ฅโ ∈ โ๐ |๐ฅโ| = √(๐ฅ1 )2 + (๐ฅ2 )2 + โฏ (๐ฅ๐ )2 3 0 Beispiel: ๐ฅโ = ( ) |๐ฅโ| = √32 + 42 + 12 = √26 4 1 Bemerkung: |๐ฅโ| heißt Länge des Vektors ๐ฅโ โโ und ๐ โโ Definition des Abstandes von ๐ ๐ฅ1 ๐ฆ1 ๐ฅ2 ๐ฆ2 Mit ๐ฅโ = ( โฎ ) und ๐ฆโ = ( โฎ ) heißt ๐ฅ๐ ๐ฆ๐ |๐ฅโ − ๐ฆโ| = √(๐ฅ1 − ๐ฆ1 )2 + โฏ (๐ฅ๐ − ๐ฆ๐ )2 Abstand von ๐ฅโ und ๐ฆโ. Der Betrag erfüllt die drei Axiome der Norm |๐ฅโ| ≥ 0 und |๐ฅโ| = 0 โบ ๐ฅโ = โ0โ 1) |๐๐ฅโ| = |๐||๐ฅโ| ∀๐ ∈ โ 2) 33 |๐ฅโ + ๐ฆโ| ≤ |๐ฅโ| + |๐ฆโ| Dreiecksungleichung 3) Wir führen jetzt das Skalarprodukt ein ๐ข1 ๐ฃ1 โฎ ๐ข โโ = ( ) ๐ฃโ = ( โฎ ) ๐ข โโ, ๐ฃโ ∈ โ๐ ๐ข๐ ๐ฃ๐ ๐ Definition: ๐ข โโ ⋅ ๐ฃโ = ๐ข1 ๐ฃ1 + โฏ + ๐ข๐ ๐ฃ๐ = ∑ ๐ข๐ ๐ฃ๐ ๐=1 Beispiel: 1 2 2 1 ๐ข โโ = 0 ∈ โ5 ๐ฃโ = 1 ∈ โ5 ๐ข โโ ⋅ ๐ฃโ = 7 2 0 3 ( ) (1 ) ๐ Bemerkung: wenn ๐ข โโ, ๐ฃโ ∈ โ ๐ ๐ข โโ ⋅ ๐ฃโ = ∑ ๐ข๐ ๐ฃ๐ ๐=1 Rechengesetze: i) ๐ข โโ ⋅ ๐ข โโ = |๐ข โโ|2 ii) ๐ข โโ ⋅ ๐ฃโ = ๐ฃโ ⋅ ๐ข โโ iii) (๐ข โโ + ๐ฃโ)๐ค โโโ = ๐ข โโ๐ค โโโ + ๐ฃโ๐ค โโโ (๐๐ข iv) โโ)๐ฃโ = ๐(๐ข โโ ⋅ ๐ฃโ) ๐ ∈ โ |๐ข v) โโ + ๐ฃโ|2 = |๐ข โโ|2 + 2๐ข โโ ⋅ ๐ฃโ + |๐ฃโ|2 Satz 1: In den Fällen n = 2, 3 gilt ๐ข โโ ⋅ ๐ฃโ = |๐ข โโ| ⋅ |๐ฃโ| ⋅ cos ๐ mit ๐ als eingeschlossener Winkel zwischen beiden Vektoren Beweis: ๐ = |๐ข โโ| ๐ = |๐ฃโ|, Kosinussatz ๐ 2 = ๐2 + ๐ 2 − 2๐๐ cos ๐ x2 ๏ฒ ๏ฒ v ๏ญu ๏ฒ u ๏ฒ v x1 |๐ฃโ − ๐ข โโ|2 = |๐ข โโ|2 + |๐ฃโ|2 − 2|๐ข โโ||๐ฃโ| cos ๐ 2 2 |๐ข |๐ฃ |๐ข |๐ฃ โโ| + โ| − 2๐ข โโ ⋅ ๐ฃโ = โโ| + โ| − 2|๐ข โโ||๐ฃโ| cos ๐ ๐ข โโ ⋅ ๐ฃโ = |๐ข โโ||๐ฃโ| cos ๐ 2 2 Bemerkung: Stehen zwei Vektoren senkrecht aufeinander dann ๐ข โโ ⋅ ๐ฃโ = 0 ๐ข โโ ⊥ ๐ฃโ und cos ๐ = ๐ cos 2 = cos 90° = 0 34 Wenn ๐ข โโ ⋅ ๐ฃโ = 0 dann ๐ข โโ = 0 oder ๐ฃโ = 0 oder ๐ข โโ ⊥ ๐ฃโ Folgerung: ๏ฒ u 0 ๏ฒ v φ ๏ฒ ๏ฒ ๏ฒ u 0 ๏ฒ u cos ๏ช φ ๏ฒ ๏ฌv ๏ญ u๏ฒ v ๏ฌv ๐๐ฃโ ⊥ ๐๐ฃโ − ๐ข โโ โถ ๐๐ฃโ ⋅ (๐๐ฃโ − ๐ข โโ) = 0 |: ๐ vorausgesetzt ๐ ≠ 0 2 ๐|๐ฃโ| = ๐ฃโ ⋅ ๐ข โโ = |๐ฃโ||๐ข โโ| cos ๐ โถ ๐|๐ฃโ| = |๐ข โโ| cos ๐ Folgerung: z ๏ฒ e e3 γ β α e1 y e2 x ๐๐ฅ ๐โ = (๐๐ฆ ) sei Einheitsvektor, d.h. |๐โ| = 1, dann geben ex, ey, und ez jeweils den Kosinus ๐๐ง zwischen ๐โ und โโโโ, ๐1 โโโโ ๐2 und โโโโ ๐3 an. ๐๐ฅ = cos ๐ผ ๐๐ฆ = cos ๐ฝ ๐๐ง = cos ๐พ ๐๐ฅ 1 (๐๐ฆ ) ⋅ (0) ๐โ ⋅ โโโโ ๐1 ๐ 0 =๐ cos ๐ผ = = ๐ง ๐ฅ |๐โ| ⋅ |๐โโโโ| 1⋅1 1 1 = |๐โ| = √๐๐ฅ2 + ๐๐ฆ2 + ๐๐ง2 = √cos 2 ๐ผ + cos2 ๐ฝ + cos 2 ๐พ Definition: Zwei Vektoren ๐ข โโ ∈ โ๐ und ๐ฃโ ∈ โ๐ heißen parallel, wenn ∃๐ ∈ โ: ๐ข โโ = ๐๐ฃโ, ๐ข โโ = โ0โ, ๐ฃโ ≠ โ0โ Bezeichnung: ๐ข โโ โฅ ๐ฃโ 1 −2 โโ Beispiel: โ๐ขโ = (2) , โ๐ฃโ = (−4) โถ โ๐ขโ ⋅ (−2) = ๐ฃ 3 −6 2.1.2 Das Vektorprodukt im Raum โ3 ๐1 ๐1 โโ ๐ Definition: ๐โ = ( 2 ) ๐ = (๐2 ) ∈ โ3 ๐3 ๐3 35 ๐2 ๐3 − ๐3 ๐2 ๐โ × ๐โโ = (๐3 ๐1 − ๐1 ๐3 ) heißt Vektorprodukt oder Kreuzprodukt von ๐โ und ๐โโ ๐1 ๐2 − ๐2 ๐1 Rechenregeln: Antikommutativität ๐โ × ๐โโ = −๐โโ × ๐โ ii) Distributivität ๐โ × (๐โโ + ๐โ) = ๐โ × ๐โโ + ๐โ × ๐โ iii) Assoziativgesetz (๐๐โ) × ๐โโ = ๐โ × (๐๐โโ) = (๐โ × ๐โโ)๐ ∀๐ ∈ โ Bemerkung: ๐โ × (๐โโ × ๐โ) ≠ (๐โ × ๐โโ) × ๐โ i) Eigenschaften: iv) ๐โ = ๐โ × ๐โโ ist orthogonal zu ๐โ und ๐โโ Beweis: ๐1 ๐2 ๐3 − ๐3 ๐2 โโ ๐ ๐ ๐ − ๐ ๐ (๐โ × ๐) ⋅ ๐โ = ( 3 1 1 3 ) ⋅ ( 2) ๐3 ๐1 ๐2 − ๐2 ๐1 = ๐1 ๐2 ๐3 − ๐1 ๐3 ๐2 + ๐2 ๐3 ๐1 − ๐2 ๐1 ๐3 + ๐3 ๐1 ๐2 − ๐3 ๐2 ๐1 =0 v) ๐โ × ๐โโ = โ0โ โบ ๐โ โฅ ๐โโ oder ๐โ = โ0โ oder ๐โโ = โ0โ Es sei ๐โ × ๐โโ = โโ 0 und ๐โ, ๐โโ ≠ โโ 0 โถ ๐2 ๐3 − ๐3 ๐2 = 0, ๐3 ๐1 − ๐1 ๐3 = 0, ๐1 ๐2 − ๐2 ๐1 = 0 Annahme: ๐1 ≠ 0 (a1 oder a2 oder a3 ≠ 0) ๐1 ๐1 ๐2 = ๐2 ๐ = โถ ๐2 = ๐๐2 , ๐1 = ๐๐1 , ๐3 = ๐๐3 ๐1 ๐1 ๐1 ๐1 ๐๐1 ๐ (๐2 ) = (๐๐2 ) = ๐ ( 2 ) ๐3 ๐3 ๐๐3 vi) |๐โ × ๐โโ| ist gleich dem Flächeninhalt des von ๐โ und ๐โโ aufgespannten Parallelogramms. (Beweis aus Sinussatz) ๏ฒ ๏ฒ a ๏ดb ๏ฒ a ๏ฒ b Bemerkung: ๐โ, ๐โโ, ๐โ × ๐โโ bilden ein Rechtssystem ๐ ๐ Definition: | | = ๐๐ − ๐๐, wobei a, b, c, d ∈ โ, heißt zweiseitige Determinante ๐ ๐ 3 5 Beispiel: | | = 3 ⋅ 1 − 5 ⋅ 2 = −7 2 1 Definition: dreiseitige Determinante ๐11 |๐21 ๐31 ๐12 ๐22 ๐32 ๐13 ๐ ๐23 | = ๐13 | 21 ๐31 ๐33 ๐22 ๐11 − ๐ | | 23 ๐32 ๐31 ๐12 ๐11 + ๐ | | 33 ๐32 ๐21 36 ๐12 ๐22 | Es wird eine Zeile oder Spalte ausgewählt (in diesem Beispiel die dritte Spalte), dessen Elemente mit ihrer jeweiligen Unterdeterminante multipliziert werden. Die Unterdeterminante des jeweiligen Elementes wird gebildet, indem symbolisch die Zeile und Spalte, in denen sich das Element befindet, gestrichen werden. Die verbliebenen Elemente bilden die Unterdeterminante. Für das Element a13 wird z.B. die erste Zeile und die dritte Zeile gestrichen, übrig bleiben die Elemente a21, a22, a31 und a32. Zusätzlich muss man noch die Regel beachten, dass wenn die Summe aus Zeilen- und Spaltenindex ungerade ist, das Produkt aus Element und Unterdeterminante mit Minus multipliziert werden müssen. Bei gerader Summe aus Zeilen- und Spaltenindex ist dies nicht nötig. Deshalb ist dies bei a23 (2 + 3 = 5 = ungerade) nötig, bei a13 (1 + 3 = 4 = gerade) hingegen nicht. Abschließend wird alles addiert. Beispiel: 1 3 1 2 1 1 3 1 3 |2 1 0| = 1 ⋅ | |−0⋅| |+2⋅| | = −1 − 10 = −11 3 1 3 1 2 1 3 1 2 ๐1 ๐1 ๐โ 1 0 0 โโ โโ ๐ ๐ ๐ โ ๐โ × ๐ = | 2 | , ๐ค๐๐๐๐ ๐โ = (0) , ๐โ = (1) , ๐ = (0) 2 โโ 0 0 1 ๐3 ๐3 ๐ โโ = (๐2 ๐3 − ๐3 ๐2 )๐โ − (๐1 ๐3 − ๐3 ๐1 )๐โ + (๐1 ๐2 − ๐2 ๐1 )๐ ๐2 ๐3 − ๐3 ๐2 = ( ๐1 ๐3 − ๐3 ๐1 ) ๐1 ๐2 − ๐2 ๐1 Sarrussche Regel (nur für Determinanten 3. Ordnung) Die oberen zwei Zeilen der Determinante werden unten nochmals wiederholt. + a1 a2 a3 a1 a2 b1 ๐โ b2 ๐โ b3 ๐โโ b1 ๐โ b2 ๐โ +โถ ๐1 ๐2 ๐โโ + ๐2 ๐3 ๐โ + ๐3 ๐1 ๐โ −โถ −๐3 ๐2 ๐โ + ๐1 ๐3 ๐โ + ๐2 ๐1 ๐โโ Anwendungen in der Mathematik Konstruktion von Vektoren, die senkrecht auf zwei gegebenen stehen: ๐โ = ๐โ × ๐โโ , ๐โ × ๐โโ ⊥ ๐โโ Berechnung des Flächeninhaltes eines Parallelogramms. Anwendungen in der Physik ๏ฒ F A ๏ฒ r P starrer Körper โโโ = ๐โ × ๐นโ heißt Moment der Kraft ๐นโ in P bezüglich A ๐ 37 Kraft in einen elektrischen Leiter in einem magnetischen Feld ๏ฒ B I ๏ฒ e In geraden elektrischen Leitern fließe der Strom I. Befindet sich in einem Magnetfeld der โโ. Dann wirkt auf ein Leiterstück der Länge s die Kraft konstanten magnetischen Feldstärke ๐ต โโ. ๐นโ = ๐ผ ⋅ ๐ ⋅ ๐โ × ๐ต Graßmannsche Entwicklungssatz ๐โ × (๐โโ × ๐โ) = (๐โ ⋅ ๐โ) ⋅ ๐โโ − (๐โ ⋅ ๐โโ) ⋅ ๐โ Jacobiidentität (๐โ + ๐โโ) × ๐โ + (๐โโ × ๐โ) × ๐โ + (๐โ × ๐โ) × ๐โโ = 0 2.1.3 Spatprodukt in โ3 Definition: Der Ausdruck [๐โ, ๐โโ, ๐โ] = (๐โ × ๐โโ) ⋅ ๐โ heißt Spatprodukt. Ist eine reelle Zahl. 1 2 −2 Beispiel: ๐โ = (1), ๐โโ = (−1), ๐โ = ( 0 ) 1 2 1 1 2 ๐โ −2 3 −2 โโ โโ 1 −1 ๐ โ [๐โ, ๐, ๐โ] = (๐โ × ๐) ⋅ ๐โ = | | ⋅ ( 0 ) = ( 0 ) ⋅ ( 0 ) = −9 1 −3 1 โโ 1 2 ๐ Eigenschaften: ๐1 ๐1 ๐1 i) ๐โ = (๐2 ), ๐โโ = (๐2 ), ๐โ = (๐2 ) ๐3 ๐3 ๐3 ๐1 โโ [๐โ, ๐, ๐โ] = |๐2 ๐3 ii) ๐1 ๐2 ๐3 ๐1 ๐2 | ๐3 Der Betrag des Spatproduktes ist gleich dem Rauminhalt des von ๐โ, ๐โโ, ๐โ aufgespannten Spats. ๏ฒ c ๏ฒ b ๏ฒ a ๐ = |[๐โ, ๐โโ, ๐โ]| 38 Rechenregeln: iii) [๐โ, ๐โโ, ๐โ] = [๐โโ, ๐โ, ๐โ] = [๐โ, ๐โ, ๐โโ], nur diese Reihenfolgen, Variablen nicht beliebig austauschbar iv) [๐โ, ๐โโ, ๐โ] = −[๐โโ, ๐โ, ๐โ] = −[๐โ, ๐โ, ๐โโ] = −[๐โ, ๐โโ, ๐โ] v) Sind zwei Faktoren gleich, verschwindet Spatprodukt [๐โ, ๐โ, ๐โโ] = 0 vi) gilt ๐ผ๐โ + ๐ฝ๐โโ + ๐พ๐โ = 0 mit gewissen Zahlen ๐ผ, ๐ฝ, ๐พ ∈ โ, dann gilt [๐โ, ๐โโ, ๐โ] = 0 Anwendungen Berechnung des Volumens eines Prismas 1 ๐๐ = |[๐โ, ๐โโ, ๐โ]| 2 ๏ฒ c ๏ฒ b ๏ฒ a Berechnung des Volumens eines Tetraeders 1 ๐๐ = |[๐โ, ๐โโ, ๐โ]| 6๏ฒ c ๏ฒ b ๏ฒ a 1 1 0 Beispiel: (0) , (1) , 0 0 4 1 4 1 (2) 2.1.4 1 0 1| โถ ๐๐ = 6 |0 1 0 0 1 4 1| 4| 1 1 1 1 = 6 (0 + 0 + 2) = 12 2 Lineare Unabhängigkeit Definition: Es seien โโโโโ, ๐1 โโโโโ, ๐2 … , โโโโโ ๐๐ k beliebige Vektoren des โ๐ . Eine der Form ๐1 โโโโโ ๐1 + ๐2 โโโโโ ๐2 + โฏ + ๐๐ โโโโโ ๐๐ mit ๐๐ ∈ โ, ๐ = 1, … , ๐ heißt Linearkombination der Vektoren โโโโโ, ๐1 … , โโโโโ. ๐๐ Die Vektoren ๐1 … , โโโโโ โโโโโ, ๐๐ heißen linear abhängig, wenn mindestens einer der Vektoren als Linearkombination der anderen dargestellt werden kann. Andernfalls heißen sie linear unabhängig. Zwei Vektoren ๐โ, ๐โโ sind linear abhängig, wenn ๐โ = ๐๐โโ oder ๐โโ = ๐๐โ. ๐โ und ๐โโ sind linear unabhängig, genau dann, wenn sie nicht parallel sind. In โ3 sind drei Vektoren linear abhängig, wenn ๐โ = ๐๐โโ + ๐๐โ oder ๐โโ = ๐พ๐โ + ๐ฟ๐โ oder ๐โ = ๐๐โ + ๐๐โโ. Die drei Vektoren heißen dann komplanar. Sie liegen in einer Ebene. 3 Vektoren ๐โ, ๐โโ , ๐โ ∈ โ3 sind genau dann linear unabhängig, wenn sie nicht in einer Ebene liegen. Das ist gleichbedeutend mit [๐โ, ๐โโ, ๐โ] ≠ 0 (Spatprodukt). 39 Bemerkung: ๐ + 1 Vektoren sind im โ๐ stets linear abhängig. ๐ Satz: Die Vektoren โโโโโ, ๐1 โโโโโ, ๐2 … , ๐ โโโโโโ sind genau dann linear unabhängig, wenn die ๐ ∈โ โ โ Gleichung ๐1 โโโโโ ๐1 + ๐2 โโโโโ ๐ 2 + โฏ + ๐๐ ๐ โโโโโโ ๐ = 0 nur durch ๐1 = ๐2 = โฏ = ๐๐ = 0 erfüllt werden kann. Sie sind linear abhängig, wenn mindestens ein ๐๐ ungleich Null gewählt werden kann. Beweis: a) Das System sei linear abhängig. Für ein i gilt: ๐๐ = ๐1 โโโโโ โโโโ ๐1 + โฏ + ๐๐−1 ๐ โโโโโโโโโ โโโโโโโโโ ๐๐ ๐−1 + ๐๐+1 ๐ ๐+1 + โฏ + ๐๐ โโโโโโ โโ 0 = ๐1 โโโโโ ๐1 + โฏ + ๐๐−1 โโโโโโโโโ ๐๐−1 −1 ๐๐ + ๐๐+1 โโโโโโโโโ ๐๐+1 + โฏ + ๐๐ ๐ โโโโโโ โ ⋅ โโโโ ๐ dieser Koeffizient ist ≠0 โโ โโโโ๐ = ๐1 โโโโโ ๐ ๐1 + ๐2 โโโโโ ๐ 2 + โฏ + ๐๐ ๐ โโโโโโ ๐ = 0 für gewisse ๐๐ , wobei ein ๐๐ ≠ 0 โถ −๐๐ โโโโ ๐๐ = ๐1 โโโโโ ๐1 + โฏ + ๐๐−1 โโโโโโโโโ ๐๐−1 + ๐๐+1 โโโโโโโโโ ๐๐+1 + โฏ + ๐๐ ๐ โโโโโโ ๐ ๐1 ๐๐ ๐๐ = − โโโโโ โโโโ ๐ − โฏ− ๐ โโโโโโ ๐๐ 1 ๐๐ ๐ โถ ๐โ lässt sich als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen. b) Geraden im Raum โ๐ 2.1.5 ๐ฆ = ๐๐ฅ + ๐ a) Parameterform einer Geraden y ๏ฒ S ๏ฒ r G r0 x ๐ฅ0 ๐ฅ ๐๐ฅ Stützvektor โโโโ ๐0 = (๐ฆ ), variabler Punkt auf Gerade ๐โ = (๐ฆ), Richtungsvektor ๐โ = (๐ ) 0 ๐ฆ ๐ฅ ๐ฅ0 ๐๐ฅ โถ (๐ฆ) = (๐ฆ ) + ๐ (๐ ) 0 b) ๐ฆ Parameterfreie Form einer Geraden y ๏ฒ r ๏ฒ n ๏ฒ ๏ฒ r ๏ญ ๏ชn φ G x ๐โโ = Normalenvektor mit Betrag = 1 ๐ = Abstand, senkrecht auf Gerade G ๐โ − ๐๐โโ ⊥ ๐โโ |⋅ ๐โโ 40 ๐โ ⋅ ๐โโ − ๐๐โโ ⋅ ๐โโ = 0 ๐โโ ⋅ ๐โโ = (๐โโ)2 = 1 ๐โ ⋅ ๐โโ = ๐ Hessesche Normalform einer Geraden ๐๐ฅ ๐ฅ ๐โ = (๐ฆ) ๐โโ = (๐ ) โถ ๐ฅ๐๐ฅ + ๐ฆ๐๐ฆ = ๐ ๐ฆ Bemerkung: Wegen |๐โโ| = 1 gilt ๐๐ฅ2 + ๐๐ฆ2 = 1 Negatives φ ist zugelassen, da man nicht entscheiden kann, ob ๐โโ oder −๐โโ besser ist. Beispiel: gegeben sei die Gerade ๐๐ฅ + ๐๐ฆ = ๐, wobei ๐2 + ๐ 2 ≠ 0. Wir normieren die Gleichung, indem wir durch √๐2 + ๐ 2 dividieren: ๐ ๐ ๐ ๐ฅ+ ๐ฆ= √๐2 + ๐ 2 √๐2 + ๐ 2 √๐2 + ๐ 2 ๐ Ist der Vektor ( ๐ โถ ๐โโ = √๐2 +๐2 ๐ ๐2 ๐2 ๐2 +๐2 ) ein Einheitsvektor? Ja: ๐2 +๐2 + ๐2 +๐2 = ๐2 +๐2 = 1 √๐2 +๐2 √๐2 + ๐ 2 ๐ (√๐2 + ๐ 2 ) Berechnung eines Normalenvektors aus einem Richtungsvektor ๐ฅ ๐ฅ −๐ฆ −๐ฆ ๐ฃโ = (๐ฆ) ๐ฃโ ๐ = ( ) ๐ฃโ ⊥ ๐ฃโ ๐ ๐ฃโ ⋅ ๐ฃโ ๐ = (๐ฆ) ⋅ ( ) = −๐ฆ๐ฅ + ๐ฆ๐ฅ = 0 ๐ฅ ๐ฅ Definition: ๐ ๐ โ๐ฃโ heißt rechtwinkliges Komplement zu ๐ฃ โโ. ๐ฃ โโ geht aus ๐ฃ โโ durch Drehung im mathematisch positiven Sinn (gegen Uhrzeigersinn) hervor. −4 3 Beispiel: Zu bestimmen ist der Abstand der Geraden ๐โ = ( ) + ๐ ( ) von Nullpunkt. 5 1 Überführung der Parameterdarstellung in die Hessesche Normalform: −5 −5 ( ) ( ) −4 3 −4 ๐0 = ( ) ๐โ = ( ) ๐โโ = โโโโ = −4 5 1 √25 + 16 √41 1 −5 1 19 19 3 (−15 − 4) = − ( )⋅( )= = ๐ โถ |๐| = = Abstand vom Ursprung 1 √41 −4 √41 √41 √41 2.1.6 Geraden und Ebenen im โ๐ Parameterform der Geraden ๐ฅ0 ๐๐ฅ ๐ฅ โ ๐ฆ ๐ Stützvektor โโโโ ๐0 = ( 0 ), variabler Punkt auf Gerade ๐โ = (๐ฆ), Richtungsvektor ๐ = ( ๐ฆ ) ๐ง0 ๐ง ๐๐ง ๐โ = โโโโ ๐0 + ๐๐โ ๐ ∈ โ 41 Lot fällt von einem Punkt auf eine Gerade im โ3 ๏ฒ S r* ๏ญ r1 r* r0 0 ๐โโโ∗ − โโโโ ๐1 ⊥ ๐โ ๐∗ = โโโโ โโโ ๐0 + ๐1 ๐โ für gewisse ๐1 ∈ โ r1 P โโ = 0 โโโโ∗ − โโโโโ) (๐ ๐1 ⋅ ๐ โโ − โโโโโ) โโ = 0 โโโโโ0 + ๐1 ๐ (๐ ๐1 ⋅ ๐ (โโโโโ ๐0 − โโโโโ) ๐1 ⋅ โ๐โ + ๐1 โ๐โ ⋅ โ๐โ = 0 โโโโโ1 − โโโโโ) (๐ ๐0 ⋅ โ๐โ ๐1 = 2 โโ| |๐ ๐∗ = โโโโ โโโ ๐0 + ๐1 ๐โ = โโโโ ๐0 + (๐โโโโ1 − โโโโ) ๐0 ⋅ ๐โ 2 |๐โ| ⋅ ๐โ Abstand von โโโโ ๐1 zur Geraden: |๐โโโ∗ − โโโโ| ๐1 Abstand zweier Geraden im Raum โ๐ a) Geraden sind parallel ๐บ1 : ๐โ = โโโโ ๐0 + ๐๐โ ๐บ2 : ๐โ = โโโโ ๐1 + ๐๐โ Wir fällen das Lot von โโโโ ๐1 auf ๐บ1 b) wenn sie sich nicht schneiden (und nicht parallel sind), heißen sie windschief S1 ๏ฒ ๏ฎc G1 r1 z 0 G2 y r2 โโโโ1 ๐บ1 : ๐โ = โโโโ ๐1 + ๐๐ โโโโ2 ๐บ2 : ๐โ = โโโโ ๐2 + ๐๐ x S2 Lot steht senkrecht auf โโโโโ ๐1 , โโโโโ ๐2 โโโโ1 × ๐ โโโโ2 ๐โ = ๐ ist Richtungsvektor von G. โโโโ1 ) − (๐โโโโ2 + ๐๐ โโโโ2 ) = ๐ ⋅ ๐โ (3 dimensional = 3 Gleichungen für drei Unbekannte λ, μ, ν (๐โโโโ1 + ๐๐ 1 Beispiel: Lot eines Punktes ๐ = (1) auf die Gerade G 1 42 2 ๐โ = ๐ (1) โโโโ ๐0 = โโ 0 0 โโ (โโโโโ− ๐ โโโโโ) ๐ ⋅๐ Fußpunkt des Lotes: โโโโ ๐∗ = โโโโโ ๐0 + ๐1 โ๐โ = โโโโโ ๐0 + 1 20 ⋅ โ๐โ โโ| |๐ 2 1 (1) ⋅ (1) 2 2 0 ⋅ (1) = 3 ⋅ (1) โโโโ ๐∗ = โ0โ + 12 5 2 + 12 0 0 6 2 1 1 1 5 3 1 1 1 Abstand: |โโโโ ๐∗ − โโโโโ| ๐1 = |5 (1) − (1)| = |( 3 ) − (1)| = 5 |(−2)| = 5 √1 + 4 + 25 = 5 √30 5 0 1 1 −5 0 Beispiel: Abstand von zwei Geraden −1 2 ๐บ1 : ๐โ = (0) + ๐ ( 5 ) 0 1 8 8 ๐บ2 : ๐โ = (7) + ๐ (−2) โถ Kreuzprodukt 1 1 −1 8 โโโโโ ๐๐ฅ โโโโโ โโโโโ ๐๐ฆ | = 5๐โโโโโ๐ฅ + โโโโโ ๐1 × ๐2 = | 5 −2 โโโโโ ๐๐ฆ − 38๐ โโโโ๐ง 0 1 โโโโ ๐๐ง −1 8 5 2 8 (0) + ๐ ( 5 ) − (7) − ๐ (−2) = ๐ ( 1 ) 0 1 −38 1 1 −1 8 6 5 ๐ ( 5 ) − ๐ (−2) − ๐ ( 1 ) = (7) 0 1 0 −38 1) 2) 3) −๐ − 8๐ − 5๐ = 6 −37 5๐ + 2๐ − ๐ = 7} umformen ๐ = 1470 −๐ + 38๐ = 0 37 ๐ = |๐ ⋅ ๐โ| = √1470 Definition: Ebene Es seien โโโโโ ๐0 , ๐โ und ๐โโ Vektoren des โ3 , wobei ๐โ und ๐โโ nicht kollinear sind. Dann beschreibt ๐โ = โโโโ ๐0 + ๐๐โ + ๐๐โโ ๐, ๐ ∈ โ eine Ebene im โ3 . Ebene wird durch Richtungsvektoren ๐โ, ๐โโ und den Ortsvektor โโโโโ ๐0 aufgespannt. Gegeben sind 3 Punkte durch ihre Ortsvektoren โโโโโ, ๐0 โโโโโ, ๐1 โโโโโ ๐2 . Dann sind ๐โ = โโ๐โ1โ − โโ๐โ0โ und ๐โโ = ๐2 − โโโโ โโโโ ๐0 Richtungsvektoren. Hessesche Normalform der Ebene ๐โ ⋅ ๐โโ = ๐ Abstand der Ebene vom Nullpunkt 43 โ๐โ = Einheitsnormalenvektor zur Ebene: ๐โ − โโโโ ๐0 ⊥ ๐โโ โถ (๐โ − โโโโ) ๐0 ⋅ ๐โโ = 0 mit โโโโ ๐0 als Lot von 0 auf die Ebene (๐โ − ๐ ⋅ ๐โโ) ⋅ ๐โโ = 0 โถ ๐โ ⋅ ๐โโ − ๐|๐โโ|2 = 0 0 ๏ฒ n ๏ฒ r φ ๐๐ฅ ๐ฅ gegeben sei ๐๐ฅ + ๐๐ฆ + ๐๐ง = ๐ ๐โ = (๐ฆ) ๐โโ = (๐๐ฆ ) ๐๐ง ๐ง 2 2 2 ๐ฅ๐๐ฅ + ๐ฆ๐๐ฆ + ๐ง๐๐ง = ๐ wobei √๐๐ฅ + ๐๐ฆ + ๐๐ง = 1 ๐ ๐ ๐ง ๐ ๐ฅ+ ๐ฆ+ ๐ง= โ โ โ โ √๐2 + ๐ 2 + ๐ 2 √๐2 + ๐ 2 + ๐ 2 √๐2 + ๐ 2 + ๐ 2 √๐2 + ๐ 2 + ๐ 2 ๐๐ฅ ๐๐ฆ ๐๐ง Lot auf eine Ebene ๐โ = โโโโ ๐0 + ๐๐โ + ๐๐โโ Lot von โโโโ ๐1 aus r1 r* 0 Lot hat Richtung ๐โ = ๐โ × ๐โโ ๐∗ zeigt zum Fußpunkt des Lotes โโโ ๐1 − โโโ โโโโ ๐∗ = ๐๐โ für gewisse ๐ ∈ โ ๐1 − โโโโ โโโโ ๐0 − ๐๐โ − ๐๐โโ = ๐๐โ ๐๐โ + ๐๐โโ + ๐๐โ = โโโโ ๐1 − โโโโ ๐0 Das ist ein Gleichungssystem ๐∗ = โโโโ โโโ ๐0 + ๐๐โ + ๐๐โโ ist dann bekannt ๐ = |๐โโโโ1 − โโโ| ๐∗ ist dann berechnet Lot auf Ebene in Hessesche Normalform ๏ฒ ๏ฎn r1 0 ๐โโโโ1 + ๐๐โโ liegt in Ebene E [๐โ − (๐โโโโ1 + ๐๐โโ)] ⋅ ๐โโ = 0 ๐โ๐โโ − โโโโ๐ ๐1 โโ + ๐|๐โโ|2 = 0 44 ๐ ๐ − โโโโ๐ ๐1 โโ + ๐ = 0 ๐ = ๐ − โโโโ๐ ๐1 โโ |๐| = |๐ − โโโโ๐ ๐1 โโ| Schnittgerade zweier Ebenen ๐ธ1 : ๐ธ2 : ๐โ ⋅ โโโโโ ๐1 = ๐1 } โโโโโ, ๐ โโโโโ ๐ sind nicht parallel ๐โ ⋅ โโโโโ ๐2 = ๐2 1 2 Richtungsvektor der Schnittgeraden ist ๐โ = ๐ โโโโโ1 × ๐ โโโโโ2 Ortsvektor โโโโ ๐0 der Schnittgeraden ist eine spezielle Lösung des Gleichungssystems: ๐1๐ฅ ๐ฅ + ๐1๐ฆ ๐ฆ + ๐1๐ง ๐ง = ๐1 ๐2๐ฅ ๐ฅ + ๐2๐ฆ ๐ฆ + ๐2๐ง ๐ง = ๐2 1. Versuch: ๐ง = 0 โถ dann x, y ausrechnen, falls es nicht klappt 2. Versuch: ๐ฅ = 0 โถ dann y, z ausrechnen, falls es nicht klappt 3. Versuch: ๐ฆ = 0 โถ dann x, z ausrechnen Normalvektor aus Parameterform ๐โ = โโโโ ๐0 + ๐๐โ + ๐๐โโ ๐โโ = ๐โ × ๐โโ |๐โ × ๐โโ| ๐ = โโโโ ๐0 ⋅ ๐โโ mit โโโโ ๐0 als beliebigen Punkt der Ebene (z.B. Ortsvektor) Schnittpunkt Ebene mit Gerade Geradengleichung in Ebenengleichung einsetzen, Parameter berechnen, Erhalten des Schnittpunktes. 2.2 Matrizen 2.2.1 Definition und elementare Rechenoperationen ๐11 ๐ฅ1 + โฏ + ๐1๐ ๐ฅ๐ = ๐1 ๐21 ๐ฅ1 + โฏ + ๐2๐ ๐ฅ๐ = ๐2 } a’s und b’s gegeben โฎ ๐๐1 ๐ฅ1 + โฏ + ๐๐๐ ๐ฅ๐ = ๐๐ Definition: Unter einer Matrix A vom Format (m, n) oder ๐ × ๐ (kein Vektorprodukt) verstehen wir ๐ด = ๐11 ๐12 โฏ ๐1๐ ๐21 ๐22 โฏ ๐2๐ ( โฎ โฎ โฑ โฎ ) mit m Zeilen und n Spalten. ๐๐๐ heißt Element der Matrix A. ๐๐1 ๐๐2 โฏ ๐๐๐ 45 ๐ด = (๐๐๐ )๐=1,…,๐ = (๐๐๐ ) ๐=1,…,๐ 2 1 Beispiel: ๐ด = ( 0 −1 ๐,๐ = (๐๐๐ ) ๐×๐ 3 ) โถ 2 × 3 Matrix 2 Definition: Eine ๐ × ๐ Matrix heißt quadratisch. Sie hat eine Hauptdiagonale. Eine Matrix die nur aus ๐๐๐ = 0 besteht, heißt Nullmatrix. Definition: Kroneckersymbol ๐ฟ๐๐ = { ๐ด = (๐ฟ๐๐ )๐×๐ 1 0 = 0 โฎ 0 ( ๐ด = (๐๐๐ ๐ฟ๐๐ )๐×๐ 0 1 0 โฎ 0 ๐11 0 =( โฎ 0 0 0 1 โฎ 0 โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ 0 ๐22 โฎ 0 0 ๐≠๐ 1 ๐=๐ 0 0 0 heißt Einheitsmatrix, Bezeichnung: I oder E โฎ 1) โฏ 0 โฏ 0 ) Diagonalmatrix โฑ โฎ โฏ ๐๐๐ Zwei ๐ × ๐-Matrizen ๐ด = (๐๐๐ )๐×๐ und ๐ต = (๐๐๐ )๐×๐ heißen gleich, wenn ๐๐๐ = ๐๐๐ ∀๐, ๐. Elementare Rechenoperationen ๐ด = (๐๐๐ ) ๐×๐ und ๐ต = (๐๐๐ ) ๐×๐ ๐ด ± ๐ต = (๐๐๐ ± ๐๐๐ ) ๐×๐ ๐๐ด = (๐๐๐๐ )๐×๐ Definition: Sei ๐ด = (๐๐๐ )๐×๐ dann heißt ๐ด๐ = (๐ฬ๐๐ )๐×๐ mit ๐ฬ๐๐ โ ๐๐๐ 1 2 Beispiel: ๐ด = ( 0 1 die zu A transponierte Matrix. 1 0 3 ) โถ ๐ด๐ = (2 1) 2 3 2 Es gilt: (๐ด๐ )๐ = ๐ด (๐ด + ๐ต)๐ = ๐ด๐ + ๐ต ๐ (๐๐ด)๐ = ๐๐ด๐ Eine Matrix vom Typ (1, n) heißt Zeilenvektor, eine Matrix vom Typ (m, 1) heißt Spaltenvektor. 1 Beispiel: (1, 2, 3) Zeilenvektor, ( ) Spaltenvektor 2 46 Vereinbarung: ๐1 Spaltenvektorschreibweise ๐ = ( โฎ ), Zeilenvektorschreibweise ๐ฬ = (๐1 , … , ๐๐ ) ๐๐ Multiplikation von Matrizen Definition: Es seien ๐ด = (๐๐๐ )๐,๐ und ๐ต = (๐๐๐ )๐,๐ Matrizen vom Typ (m, p) und (p, n). Dann ist das Produkt ๐ด ⋅ ๐ต = ๐ถ = (๐๐๐ )๐,๐ definiert durch ๐๐๐ = ∑๐๐=1 ๐๐๐ ⋅ ๐๐๐ . Zeilenanzahl der einen Matrix und Spaltenanzahl der anderen (beide = p) müssen übereinstimmen, sonst ist Multiplikation nicht möglich. 1 3 Beispiel: ๐ด = ( 2 4 6 0 ) ๐ต = (5 9 7 6 5 7 A๏ B ๏ฝ ๏ฆ1 3 0๏ถ ๏ง๏ง ๏ท๏ท ๏ 2 4 9 ๏จ ๏ธ ๏ฆ 6 ๏ญ1 ๏ถ ๏ง ๏ท ๏ง 5 10 ๏ท ๏ง๏ง ๏ท 7 8 ๏ท ๏จ ๏ธ −1 10 ) 8 Raketenmethode: eine Spalte der rechten Matrix steigt wie eine Rakete hoch und klappt dann auf die Zeile der linken Matrix um, mit der die Spalte multipliziert werden soll. Anschließend werden die Elemente wie beim Skalarprodukt paarweise multipliziert und die Produkte addiert. Dies wird so lange wiederholt, bis alle möglichen Kombinationen aus einer Zeile der linken mit einer Spalte der rechten Matrix ausgerechnet wurden. =( 6 ⋅ 1 + 5 ⋅ 3 + 7 ⋅ 0 −1 ⋅ 1 + 10 ⋅ 3 + 8 ⋅ 0 21 )=( 95 6 ⋅ 2 + 5 ⋅ 4 + 7 ⋅ 9 −1 ⋅ 2 + 10 ⋅ 4 + 8 ⋅ 9 Falksches Schema 6 -1 5 10 7 8 1 3 0 21 29 ๐ด⋅๐ต = 2 4 9 95 110 Die kreuzenden Bahnen werden multipliziert. 47 29 ) 110 Rechenregeln i) ii) iii) iv) ๐(๐ด ⋅ ๐ต) = (๐๐ด) ⋅ ๐ต = ๐ด ⋅ (๐๐ต) } Assoziativgesetze ๐ด ⋅ (๐ต ⋅ ๐ถ) = (๐ด ⋅ ๐ต) ⋅ ๐ถ ๐ด(๐ต + ๐ถ) = ๐ด๐ต + ๐ด๐ถ } Distributivgesetze (๐ต + ๐ถ)๐ด = ๐ต๐ด + ๐ถ๐ด (๐ด๐ต)๐ = ๐ด๐ ๐ต ๐ ๐ด ⋅ 0 = 0 ๐ด ⋅ ๐ธ = ๐ด = ๐ธ ⋅ ๐ด mit E als Einheitsmatrix Beweis iii) ๐ด = (๐๐๐ ) ๐ต = (๐๐๐ ) ๐ด๐ = (๐๐๐ ) = (๐ฬ๐๐ ) ๐ฬ๐๐ = ๐๐๐ ๐ต ๐ = (๐๐๐ ) = (๐ฬ๐๐ ) ๐ฬ๐๐ = ๐๐๐ ๐ต ๐ ๐ด๐ = ∑ ๐ฬ๐๐ ⋅ ๐ฬ๐๐ = (๐ฬ๐๐ ) ๐ ๐ด๐ต = ∑ ๐๐๐ ⋅ ๐๐๐ = (๐๐๐ ) ๐ (๐ด๐ต)๐ = (๐ฬ๐๐ ) wobei ๐ฬ๐๐ = ๐๐๐ ๐ฬ๐๐ = ๐๐๐ = ∑ ๐๐๐ ⋅ ๐๐๐ ๐ ๐ฬ๐๐ = ∑ ๐ฬ๐๐ ⋅ ๐ฬ๐๐ = ∑ ๐๐๐ ⋅ ๐๐๐ ๐ ๐ Rechenregeln Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ 1 1 1 2 3 1 2 3 ( ) (5) geht, (5) ( ) geht nicht 3 1 0 3 1 0 6 6 1 0 ๐ด=( ) 1 0 1 ๐ด⋅๐ต =( 1 1 1 ๐ต=( ) 0 0 2 1 )≠๐ต⋅๐ด=( 0 1 0 ) 0 Produkte mit Vektoren a) A sei vom Typ (m, n) ๐ฅ ∈ โ๐ ๐11 โฏ ๐1๐ ๐ฅ1 ๐11 ๐ฅ1 + โฏ + ๐1๐ ๐ฅ๐ ๐1 โฑ โฎ )⋅( โฎ )=( โฎ ๐ด๐ฅ = ( โฎ )=( โฎ ) ๐๐1 โฏ ๐๐๐ ๐ฅ๐ ๐๐1 ๐ฅ1 + โฏ + ๐๐๐ ๐ฅ๐ ๐๐ ๐ด๐ฅ = ๐ b) ๐ฅ, ๐ฆ ∈ โ๐ ๐ฅ ๐ ist ein Zeilenvektor ๐ ๐ฆ1 ๐ ๐ฅ ⋅ ๐ฆ = (๐ฅ1 , … , ๐ฅ๐ ) ( โฎ ) = ∑ ๐ฅ๐ ๐ฆ๐ = ๐ฅ ⋅ ๐ฆ Skalarprodukt ๐ฆ๐ ๐=1 48 ๐ฅ1 ๐ฅ1 ๐ฆ1 ๐ฅ ⋅ ๐ฆ = ( โฎ ) (๐ฆ1 , … , ๐ฆ๐ ) = ( โฎ ๐ฅ๐ ๐ฅ๐ ๐ฆ1 ๐ โฏ โฑ โฏ ๐ฅ1 ๐ฆ๐ โฎ ) ๐ฅ๐ ๐ฆ๐ ๐×๐ Mehrfache Produkte Zwei Matrizen ๐ด: (๐, ๐), ๐ต: (๐, ๐), ๐ฅ ∈ โ๐ ๐ด (๐ต๐ฅ) = (๐ด โ ๐ต)๐ฅ โ โ ∈โ๐ ∈โ๐ B ist Abbildung von โ๐ โถ โ๐ , A ist Abbildung von โ๐ โถ โ๐ , ๐ด โ ๐ต ist Abbildung von โ๐ โถ โ๐ (? oder โ๐ โถ โ๐ ?). Es gilt ๐ด โ ๐ต = ๐ด ⋅ ๐ต 2.2.2 Determinanten nur für quadratische ๐ด = ๐๐,๐ ๐11 ๐12 |๐ | = ๐11 ๐22 − ๐12 ๐21 21 ๐22 ๐11 ๐ | 21 ๐31 ๐12 ๐22 ๐32 ๐13 ๐23 | = ๐11 (๐22 ๐33 − ๐23 ๐32 ) − ๐12 (๐21 ๐33 − ๐23 ๐31 ) + ๐13 (๐21 ๐32 − ๐22 ๐31 ) ๐33 Die zweiten Indizes durchlaufen alle möglichen Umordnungen der Zahlen 1 und 2 bzw. 1, 2 und 3, d.h. alle Permutationen. Definition: Es sei (p1, …, pn) eine Permutation von (1, …, n). Gibt es ein ๐ ≤ ๐, so dass ๐๐ > ๐๐ , so liegt eine Inversion vor. Eine Permutation heißt gerade (oder ungerade), wenn die Anzahl der Inversionen gerade (oder ungerade) ist. Beispiel: (3, 2, 1) = 3 vor 2, 2 vor 1, 3 vor 1 → ungerade Permutation (3, 1, 2) = 3 vor 1, 3 vor 2 → gerade Permutation Das Minuszeichen steht vor ungeraden Permutationen Definition: sgn(๐1 , … , ๐๐ ) = { 1 wenn (๐1 , … , ๐๐ ) gerade −1 wenn (๐1 , … , ๐๐ ) ungerade Definition: Sei ๐ด = (๐๐๐ )๐×๐ eine quadratische Matrix. Als Determinante von A bezeichnet man den ๐11 โฏ ๐1๐ โฑ โฎ | = ∑ sgn(๐1 , … , ๐๐ ) ⋅ ๐1๐1 … ๐๐๐๐ mit (๐1 , … , ๐๐ ) ∈ ๐๐ Ausdruck det ๐ด = | โฎ ๐๐1 โฏ ๐๐๐ alle möglichen Permutationen. Satz: Für ๐๐๐ญ ๐จ gelten folgende Rechenregeln 49 ๐๐1 Sei ๐ด = (๐1 , … , ๐๐ ) mit ๐๐ = ( โฎ ) als Spaltenvektor ๐๐๐ 1 0 โฏ 0 0 1 โฏ 0 i) det ๐ธ = 1 mit Einheitsmatrix ๐ธ = ( ) โฎ โฎ โฑ โฎ 0 0 โฏ 1 ii) det (๐1 , … , ๐๐๐ , … , ๐๐ ) = ๐ det (๐1 , … , ๐๐ , … , ๐๐ ) eine Spalte wird mit λ multipliziert iii) iv) v) vi) det (๐1 , … , ๐๐ , … , ๐๐ , … , ๐๐ ) = − det (๐1 , … , ๐๐ , … , ๐๐ , … , ๐๐ ) Austausch zweier Spalten bewirkt Minuszeichen det (๐1 , … , ๐๐ + ๐, … , ๐๐ ) = det ๐ด + det (๐1 , … , ๐, … , ๐๐ ), b steht in i-te Spalte det ๐ด = det ๐ด๐ , beim Transponieren werden Zeilen mit Spalten vertauscht → Gesetze gelten auch für Zeilen det (๐1 , … , 0, … , ๐๐ ) = 0 vii) det (๐1 , … , ๐, … , ๐, … , ๐๐ ) = 0, bei zwei gleichen Spalten (Zeilen) ist Determinante gleich 0 viii) det ๐ด = det (๐1 , … , ๐๐ + ๐๐๐ , … , ๐๐ ) ๐ ≠ ๐, der Wert der Determinante ändert sich nicht, wenn man das λ-fache (๐ ∈ โ) einer Spalte zu einer anderen addiert 1 2+2⋅1 1 2 Beispiel: ( ) = −2 ( ) = −2 3 4+2⋅3 3 4 Berechnung von Determinanten Rekursive Methode über den Laplaceschen Entwicklungssatz Definition: Die durch Streichung der i-ten Zeile und j-ten Spalte in det ๐ด entstehende Determinante Dij wird als die zu aij gehörige Unterdeterminante bezeichnet. ๐ด๐๐ = (−1)๐+๐ ๐ท๐๐ 1 3 Beispiel: | 6 2 −2 9 −3 1 9 4 1 3 3+2 | ๐32 = 8 ๐ด32 = (−1) |3 1 8 −2 1 2 3 1 3 10 −3 3| 10 Satz: Laplacescher Entwicklungssatz ๐ด = (๐๐๐ )๐,๐ Vorzeichen, z.B. 4x4 Matrix: (−1)Zeile+Spalte + − =| + − − + − + + − + − − + | − + Für jedes ๐ ∈ {1, … , ๐} gilt: (nach Spalten) det ๐ด = ๐1๐ (−1)1+๐ ๐ท1๐ + ๐2๐ (−1)2+๐ ๐ท2๐ + โฏ + ๐๐๐ (−1)๐+๐ ๐ท๐๐ (nach Zeilen) det ๐ด = ๐๐1 (−1)๐+1 ๐ท๐1 + ๐๐2 (−1)๐+2 ๐ท๐2 + โฏ + ๐๐๐ (−1)๐+๐ ๐ท๐๐ 50 Beispiel: 1 1 | 0 1 0 1 0 1 2 2 0 0 1 2 | = 0 ⋅ (−1)1+3 ⋅ ๐ท31 + 0 ⋅ (−1)2+3 ⋅ ๐ท32 + 0 ⋅ (−1)3+3 ⋅ ๐ท33 + 3 ⋅ (−1)4+3 ⋅ ๐ท34 3 4 = −3 ⋅ ๐ท34 1 0 = −3 ⋅ |1 1 1 1 2 2| = −3 ⋅ (1 ⋅ (−2) + 0 + 1 ⋅ 0) = 6 0 Beispiel: 1 0 0 1 1 โถ 0 1 1 0 1 |1 2 1 1 1| = 0, Zeile 2 und 5 sind identisch, somit ist Determinante gleich 0 | | 1 4 1 0 1 โถ 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 =1⋅| |−1⋅| |+1⋅| | 4 1 0 1 1 4 1 1 1 4 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 möglichst Spalte/Zeile mit vielen Nullen für leichtere Berechnung wählen 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 = −1 ⋅ |4 1 1| + 1 ⋅ |4 1 1| − 1 ⋅ |2 1 1| + 1 ⋅ |1 4 1| = 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 2.2.3 Die Cramersche Regel gegeben: ๐ด = (๐๐๐ )๐,๐ ๐1 ๐=( โฎ) ๐๐ ๐ฅ1 gesucht: ๐ฅ = ( โฎ ) ๐ฅ๐ ๐ด๐ฅ = ๐ ๐ด๐๐ = (−1)๐+๐ ๐ท๐๐ det ๐ด = ๐1๐ ๐ด1๐ + ๐2๐ ๐ด2๐ + โฏ + ๐๐๐ ๐ด๐๐ (für k-te Spalte) Ersetzen wir die k-te Spalte durch eine andere, ๐ − ๐, so entsteht eine Determinante mit zwei gleichen Spalten, also ๐1๐ ๐ด1๐ + โฏ + ๐๐๐ ๐ด๐๐ = 0. Die ๐ด๐๐ ändert sich nicht. Nun Multiplikation der oberen Zeile mit xk und der unteren mit xr. ๐ฅ๐ det ๐ด = (๐1๐ ๐ด1๐ + โฏ + ๐๐๐ ๐ด๐๐ ) ⋅ ๐ฅ๐ → Addieren 0 = (๐1๐ ๐ด1๐ + โฏ + ๐๐๐ ๐ด๐๐ ) ⋅ ๐ฅ๐ ๐ฅ๐ det ๐ด = ๐ด1๐ (๐1๐ ๐ฅ๐ + ∑ ๐1๐ ๐ฅ๐ ) + โฏ + ๐ด๐๐ (๐๐๐ ๐ฅ๐ + ∑ ๐๐๐ ๐ฅ๐ ) ๐≠๐ ๐≠๐ ๐ฅ๐ det ๐ด = ๐ด1๐ ๐1 + โฏ + ๐ด๐๐ ๐๐ wegen ๐ด๐ฅ = ๐ ๐ด1๐ ๐1 + โฏ + ๐ด๐๐ ๐๐ ๐ฅ๐ = wenn det ๐ด ≠ 0 det ๐ด Folgerung: Hat ๐ด๐ฅ = ๐ eine Lösung, so ist xk durch die obige Formel gegeben, wenn det ๐ด ≠ 0. Umgekehrt liefert die obige Beziehung eine Lösung ๐ฅ von ๐ด๐ฅ = ๐ falls det ๐ด ≠ 0. 51 ๐ด1๐ ๐1 + โฏ + ๐ด๐๐ ๐๐ ist gerade die Determinante, welche entsteht, wenn man in A die k-te ๐1 Spalte durch ( โฎ ) ersetzt. ๐๐ Satz: Das Gleichungssystem ๐ด๐ฅ = ๐ mit einer Matrix A, welche det ๐ด ≠ 0 erfüllt, hat genau eine Lösung ๐ฅ. ๐ฅ๐ = ๐1,1 |โฏ ๐๐,1 โฏ ๐1,๐−1 โฑ โฎ โฏ ๐๐,๐−1 ๐1 โฎ ๐๐ ๐1,๐+1 โฎ ๐๐,๐+1 โฏ โฑ โฏ ๐1,๐ โฎ | ๐๐,๐ det ๐ด 2 −1 −1 0 Beispiel: ๐ด = (−3 12 −2) ๐ = ( 7 ) 5 4 −6 −5 12 −2 −3 −2 −3 12 det ๐ด = 2 ⋅ | |+| |−| | = −28 4 −6 5 −6 5 4 für gesuchte Variable den Vektor ๐ in die jeweilige Spalte von A einsetzen 0 −1 −1 1 ๐ฅ1 = | 7 12 −2| = 5 det ๐ด −5 4 −6 2 0 −1 1 ๐ฅ2 = |−3 7 −2| = 3 det ๐ด 5 −5 −6 2 −1 0 1 ๐ฅ3 = |−3 12 7 | = 7 det ๐ด 5 4 −5 5 ๐ฅ = (3) 7 2.2.4 Lineare Unterräume, Basis, Dimension Vektoren im Raum โ๐ Je (n + 1) Vektoren im โ๐ sind linear abhängig. Begründung: Die Vektoren seien ๐1 + โฏ + ๐๐+1 . Wir betrachten das homogene lineare Gleichungssystem mit n Gleichungen für n + 1 Unbekannte. ๐1 ๐ฅ1 + ๐2 ๐ฅ2 + โฏ + ๐๐ ๐ฅ๐ + ๐๐+1 ๐ฅ๐+1 = 0 ๐ด๐ฅ = 0, Matrix A vom Typ (n, n + 1) Überführung des Gleichungssystems in andere Form durch Multiplizieren und Addieren: ๐11 ๐ฅ1 0 ๐22 irgendwas ( )⋅( โฎ )=0 โฎ โฑ ๐ฅ๐+1 0 โฏ 0 ๐๐๐ ๐๐,๐+1 Wenn ๐11 , … , ๐๐๐ ≠ 0 โถ ๐๐,๐+1 ๐ฅ๐+1 + ๐๐๐ ๐ฅ๐ = 0 โถ ๐ฅ๐ = − 52 ๐๐,๐+1 ๐๐๐ ๐ฅ๐+1 ๐ฅ๐+1 = 1 ๐ฅ๐−1 , ๐ฅ๐−2 , … nacheinander berechnen ๐๐−1,๐−1 ๐ฅ๐−1 + ๐๐−1,๐ ๐ฅ๐ + ๐๐−1,๐+1 ๐ฅ๐+1 = 0 Wenn einige ๐๐๐ = 0, ๐๐−1,๐−1 = 0, …, ๐๐๐ = 0, dann erhält man ๐ฅ๐+1 = 0, ๐ฅ๐ = 0, ๐ฅ๐−1 = 1 Definition: Eine nichtleere Menge von Vektoren ๐ ⊂ โ๐ heißt linearer Unterraum โ๐ , wenn mit ๐ฅ, ๐ฆ auf U auch ๐ฅ + ๐ฆ und ๐๐ฅ∀๐ ∈ โ in U liegen. Beispiel: Geraden durch Ursprung R2 Beispiel: Im โ3 betrachten wir ebenfalls eine Gerade durch den Ursprung oder eine Ebene durch Ursprung. Definition: Die maximal mögliche Zahl m voneinander linear unabhängiger Vektoren eines Unterraumes U von โ๐ heißt Dimension von U. ๐ = dim ๐. Beispiel: Eine Gerade hat Dimension 1, eine Ebene die Dimension 2. Definition: Ist U ein Unterraum der Dimension m und sind ๐1 , …, ๐๐ m linear unabhängige Vektoren von U, so heißt {๐1 , … , ๐๐ } eine Basis von U. 1) Unterraum: ๐ฅ, ๐ฆ ∈ ๐ โถ ๐๐ฅ + ๐๐ฆ ∈ ๐ ๐, ๐ ∈ โ ⇒ 0 ∈ U Nullvektor 2) Die maximal mögliche Anzahl m voneinander linear unabhängiger Vektoren eines Unterraumes U von โ๐ heißt Dimension von U, ๐ = dim ๐ 3) Unterraum U der Dimension m, ๐1 , … , ๐๐ ∈ ๐, seine Dimension ist unabhängig →{๐1 , … , ๐๐ } Basis von U ๐๐1 = 0 โถ ๐ = 0 ๐1 = 0 keine Basis Satz: U sei Unterraum der Dimension m mit Basis {๐1 , … , ๐๐ }. Dann lässt sich jedes ๐ฅ ∈ ๐ als Linearkombination der Basisvektoren darstellen. ๐ฅ = ๐1 ๐1 + โฏ + ๐๐ ๐๐ , wobei ๐1 , … , ๐๐ ∈ โ eindeutig bestimmt sind Beweis: ๐ฅ muss eine Linearkombination von ๐1 , … , ๐๐ sein, sonst wäre ๐ฅ der (๐ + 1)te linear unabhängige Vektor in U und dim ๐ > ๐ (**) โน ๐ฅ = ๐1 ๐1 + โฏ + ๐๐ ๐๐ (*) 53 Wir bilden die Differenz von (*) und (**) 0 = (๐1 − ๐1 ) ⋅ ๐1 + โฏ + (๐๐ − ๐๐ ) ⋅ ๐๐ Aus der linearen Unabhängigkeit folgt ๐1 = ๐1 , … , ๐๐ = ๐๐ Definition: Es seien ๐1 , … , ๐๐ beliebige Vektoren von โ๐ , dann heißt ๐ ๐ ๐ = span {๐1 , … , ๐๐ } = {๐ฅ ∈ โ : ๐ฅ = ∑ ๐๐ ๐๐ ๐๐ ∈ โ} ๐=1 der von ๐1 , … , ๐๐ aufgespannter Unterraum. Beispiel: n = 2 span{a1,a2}=R2 span{a1} span{a1,a2} a2 a1 a1 a1 a2 dim = 1 Sind ๐1 , … , ๐๐ linear unabhängig, so gibt dim span {๐1 , … , ๐๐ } = ๐ Definition: Es sei ๐ ∈ โ๐ ein Unterraum (0 ∈ ๐) rund ๐0 sei ein fester Vektor aus โ๐ , dann heißt ๐ = ๐0 + ๐ = {๐ฅ|๐ฅ =๐0 + ๐ฃ, ๐ฃ ∈ ๐} lineare Mannigfaltigkeit. U M r0 2.2.5 Rang einer Matrix, inverse Matrizen Definition: Sei A eine Matrix vom Format (m, n), dann heißt die Maximalanzahl linear unabhängiger Spalten (Zeilen) von A Spaltenrang (Zeilenrang). Beispiel: ๐ ๐ ๐ ๐ด= 2 2 0 (−1 0 2) 3 5 4 ๐งฬ1 ๐งฬ2 ๐งฬ3 ๐ = 2(๐ − ๐)→ Spaltenrang = 2 5 ๐งฬ3 = 2๐งฬ2 + 2 ๐งฬ1→ Zeilenrang = 2 54 Satz: Zeilen- und Spaltenrang jeder Matrix sind gleich. Wir sprechen daher vom Rang einer Matrix: rang ๐ด Bestimmen des Ranges einer Matrix 5 0 ๐ด=( 0 0 5 0 ๐ด=( 0 0 5 0 ๐ด=( 0 0 5 0 ๐ด=( 0 0 5 ๐ด = (0 0 0 1 2 4 3 −1 11 )โถ 5 4 7 2 8 −10 1 1 3 5 1 1 0 5 1 1 0 0 1 1 0 0 Vierte Zeile durch 2 und in zweite Zeile verschieben, Zeile 2 und 3 rücken entsprechend um eine Zeile nach unten. Dies erleichtert Rechnung und dient der besseren Anschaulichkeit des Ergebnisses. 2 4 −5 ) โถ zweite Zeile mal 3 und von dritten Zeile abziehen −1 11 4 7 2 4 4 −5 ) โถ zweite Zeile mal 5 und von vierter Zeile abziehen −13 26 4 7 2 4 4 −5 ) โถ dritte Zeile durch -13, vierte durch -16, dritte von vierte abziehen −13 26 −16 32 4 2 4| −5) โถ rang ๐ด = 3, da vierte Zeile linear abhängig von den anderen war 1 −2 0 0 4 Es sei jetzt A eine quadratische Matrix Definition: Eine Matrix A vom Typ (n, n) heißt regulär, wenn rang ๐ด = ๐, d.h. wenn A den maximal möglichen Rang besitzt. Satz: Eine Matrix ist genau dann regulär, wenn ihre Determinante ungleich Null ist. Gibt es eine Matrix X, für die gilt: ๐ด๐ = ๐ธ mit E = Einheitsmatrix? Wenn „ja“, dann heißt X die zu A inverse Matrix und A heißt invertierbar: ๐ = ๐ด−1 Unter welchen Bedingungen existiert ๐ด−1? Wie können wir ๐ด−1 berechnen? ๐ = (๐ฅ1 , … , ๐ฅ๐ ) ๐ด๐ = (๐ด๐ฅ1 , … , ๐ด๐ฅ๐ ) = ๐ธ 0 ๐ด๐ฅ1 = ๐1 โฎ โฎ mit ๐๐ = 1 โต mit 1 in i-te Spalte ๐ด๐ฅ๐ = ๐๐ โฎ (0) 55 Um X zu berechnen, haben wir n lineare Gleichungssysteme für die gesuchten Spaltenvektoren ๐ฅ1 , … , ๐ฅ๐ zu lösen. Ist A regulär, so gilt det ๐ด ≠ 0 und die Cramersche Regel zeigt, dass diese Gleichungen genau eine Lösung haben. Damit existiert ๐ = ๐ด−1 und ist eindeutig bestimmt. Ist umgekehrt ๐ด๐ = ๐ธ lösbar, so folgt aus dem Multiplikationssatz det(๐ด๐) = det ๐ด ⋅ det ๐ = det ๐ธ = 1. Daher muss gelten det ๐ด ≠ 0, det ๐ ≠ 0 โน A und X sind regulär. Satz: Eine quadratische Matrix ist genau dann invertierbar, wenn sie regulär ist. ๐ด−1 ist in diesen Fall eindeutig bestimmt und ebenfalls regulär. Außerdem gilt ๐ด ⋅ ๐ด−1 = ๐ด−1 ⋅ ๐ด = ๐ธ . Rechenregeln für inverse Matrizen (๐ด−1 )−1 = ๐ด 1) (๐ด๐ต )−1 = ๐ด−1 ๐ต −1 2) (๐ด๐ )−1 = (๐ด−1 )๐ 3) Beweis 2) ๐ต −1 ๐ด−1 = ๐ด๐ต = ๐ต −1 ๐ธ๐ต = ๐ต −1 ๐ต = ๐ธ ๐ด๐ต = ๐ต −1 ๐ด−1 = ๐ด๐ธ๐ด−1 = ๐ด๐ด−1 = ๐ธ Berechnung von ๐จ−๐ a) mit Hilfe von Determinanten ๐ด๐ฅ = ๐ ๐ = ๐ด−1 X habe die Spalten ๐ฅ๐ , ๐ฅ๐ sind Lösungen der Gleichung ๐ด๐ฅ๐ = ๐๐ ๐ฅ1๐ ๐ด๐๐ ๐ด1๐ ๐1 + โฏ + ๐ด๐๐ ๐๐ ๐ฅ๐ = ( โฎ ) โถ ๐ฅ๐๐ = = det ๐ด det ๐ด ๐ฅ๐๐ ๐ด๐๐ = (−1)๐+๐ ๐ท๐๐ Folgerung: Die Elemente xkj der Matrix ๐ = ๐ด−1 sind gegeben durch: ๐ฅ๐๐ = ๐ด๐๐ det ๐ด ๐ด−1 d.h. ๐ด11 1 ๐ด21 = ( โฎ det ๐ด ๐ด๐1 ๐ด12 ๐ด22 โฎ ๐ด๐2 โฏ ๐ด1๐ ๐ โฏ ๐ด2๐ ) โฑ โฎ โฏ ๐ด๐๐ Beispiel 1) 1 1 0 ๐ด = (0 1 2 ) 2 1 0 1) 2) prüfen auf Invertierbarkeit → det ๐ด = 2 ≠ 0 Dij’s berechnen, i-te Spalte und j-te Zeile wird gestrichen, Unterdeterminante berechnen. Unterdeterminanten nur mit (−1)๐+๐ multiplizieren, nicht mit dem Wert auf aij. 56 1 2 0 2 0 1 ๐ด11 = | | = −2 ๐ด12 = − | | = 4 ๐ด13 = | | = −2 1 0 2 0 2 1 1 0 1 0 1 1 ๐ด21 = − | |=0 ๐ด22 = | |=0 ๐ด23 = − | |=1 1 0 2 0 2 1 1 0 1 1 1 0 ๐ด31 = | | = 2 ๐ด32 = − | | = −2 ๐ด33 = | |=1 1 2 0 2 0 1 −2 4 −2 ๐ 1 −2 0 2 1 ๐ด−1 = ( 0 0 1 ) = ( 4 0 −2) 2 2 2 −1 1 −2 1 1 Beispiel 2) 2 −3 5 3 ๐ด=( ) det ๐ด = 1 โถ ๐ด−1 = ( ) −3 5 3 2 ๐ด ⋅ ๐ด−1 2 -3 = 5 3 1 3 2 0 -3 5 0 1 b) mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus (๐ด โฎ ๐ธ) โถ (๐ธ โฎ ๐ด−1 ) 2.3 Lineare Gleichungssysteme 2.3.1 Der Gaußsche Algorithmus ๐11 ๐ฅ1 + โฏ + ๐1๐ ๐ฅ๐ โฎ ๐๐1 ๐ฅ1 + โฏ + ๐๐๐ ๐ฅ๐ = ๐1 โฎ โฎ = ๐๐ Folgende Operationen verändern die Lösungsmenge des Gleichungssystems nicht: Vertauschen von Gleichungen Multiplizieren einer Gleichung mit ๐ ≠ 0 Addition eines beliebigen Vielfachen einer Gleichung zu einer anderen des Systems Idee des Gaußschen Algorithmus: Transformation des Gleichungssystems mit obigen Operationen auf Trapezgestalt. Beispiel 1) ๐ฅ1 + ๐ฅ2 + ๐ฅ3 = 6 ๐ฅ1 + 2๐ฅ2 + 3๐ฅ3 = 14 2๐ฅ1 − ๐ฅ2 + ๐ฅ3 = 3 Von zweiter Zeile die erste abziehen, von dritte das Zweifache der ersten abziehen. ๐ฅ1 + ๐ฅ2 + ๐ฅ3 = 6 ๐ฅ2 + 2๐ฅ3 = 8 −3๐ฅ2 − ๐ฅ3 = −9 Das Dreifache der zweiten Zeile zur dritten addieren. ๐ฅ1 + ๐ฅ2 + ๐ฅ3 = 6 ๐ฅ2 + 2๐ฅ3 = 8 5๐ฅ3 = 15 57 ๐ฅ3 = 3 ๐ฅ2 = 2 ๐ฅ1 = 1 grafische Interpretation: Schnittpunkt von drei sich schneidenden Ebenen Beispiel 2) ๐ฅ1 + ๐ฅ2 + ๐ฅ3 = 6 โน von zweiter Zeile die erste Abziehen โน 0 = 1 โถ nicht lösbar ๐ฅ1 + ๐ฅ2 + ๐ฅ3 = 7 grafische Interpretation: zwei parallele Ebenen Beispiel 3) ๐ฅ1 + ๐ฅ2 + ๐ฅ3 = 6 ๐ฅ + ๐ฅ2 + ๐ฅ3 = 6 โน 1 ๐ฅ1 + 2๐ฅ2 + 3๐ฅ3 = 14 ๐ฅ2 + 2๐ฅ3 = 8 Wir ersetzen eine beliebige Variable durch λ, z.B. ๐ = ๐ฅ3 ๐ฅ1 + ๐ฅ2 = 6 − ๐ โน ๐ฅ1 = −2 + ๐ ๐ฅ2 = 8 − 2๐ −2 1 −2 + ๐ ๐ฅโ = ( 8 − 2๐ ) = ( 8 ) + ๐ (−2) Geradengleichung 0 1 ๐ grafische Interpretation: Schnittgerade von zwei sich schneidenden Ebenen Beispiel 4) ๐ฅ1 +๐ฅ2 +๐ฅ3 = 6 ๐ฅ2 +๐ฅ1 +๐ฅ3 = 6 ๐ฅ1 +๐ฅ3 = 4 โถ ๐ฅ1 +๐ฅ3 = 4 ๐ฅ3 = 3 ๐ฅ3 = 3 Vertauschen von Spalten im Gaußschen Algorithmus nicht erlaubt. Allgemeines Schema Die Vorwärtselimination Man bringt durch eventuelle Zeilenvertauschung eine Zahl ≠ 0 an die erste Stelle der ersten Spalte und annulliert die darunter stehenden Zahlen durch Subtraktion eines passenden Vielfachen der neuen ersten Zeile von der zweiten, dritten, …. Auf diese Weise entsteht aus A|b eine Matrix B|c der Form ๐ ∗ โฏ ∗ ∗ โฏ ∗ ∗ โฎ (๐ต|๐) = ( 0 0 โฏ 0 ∗ โฏ โฎ | ) mit ๐ ≠ 0 โฎ โฑ โฎ โฎ โฑ โฎ โฎ 0 โฏ โฏ 0 ∗ โฏ ∗ ∗ ๐ ∗ โฏ ∗ ∗ โฏ ∗ ∗ โฎ 0 0 โฏ 0 =( | ) โฎ โฎ ๐ด1 ∗ 0 Falls ๐ด1 = 0 die Nullmatrix ist, ist die Elimination beendet. Andernfalls wiederholt man die obige Prozedur. 58 Es entsteht: ๐ 0 (๐|๐) = โฎ โฎ โฎ (0 ∗ โฏ โฏ โฏ โฏ 0 โฏ ๐ โฏ ∗ โฏ โฏ ∗ ∗ ∗ โฎ โฎ |๐๐+1 mit ๐, ๐ ≠ 0 0| โฎ โฎ โฎ 0 ๐๐ ) Die Lösbarkeitsentscheidung Das Gleichungssystem ist genau dann lösbar, wenn ๐๐+1 = ๐๐+2 = โฏ = 0. Wir setzen jetzt voraus, dass ๐๐+1 = โฏ = ๐๐ = 0. Wir lassen die (๐ + 1)-te bis m-te Gleichung weg. Wir erzeugen jetzt eine Dreiecksgestalt von M, indem wir die Diagonalkoeffizienten der Reihe nach untersuchen, ob sie verschieden von Null sind. Ist ein Diagonalkoeffizient gleich Null, wird die entsprechende Unbekannte xi parametrisiert. Im Ergebnis entsteht eine Dreiecksstruktur, die leicht aufgelöst werden kann. Beispiel: ๐ฅ1 + 2๐ฅ2 + 3๐ฅ3 = 6 1 2 ๐ฅ1 + 3๐ฅ2 + 4๐ฅ3 = 8 โถ (1 3 ๐ฅ1 + ๐ฅ2 + ๐ฅ3 = 2 1 1 36 1 4|8) โถ (0 12 0 2 3 6 1 1 1 | 2 ) โถ (0 −1 −2 −4 0 ๐ฅ3 = 2 2 3 6 1 1 | 2 ) โถ ๐ฅ2 = 0 ๐ฅ1 = 0 0 −1 −2 Beispiel: ๐ฅ1 + 2๐ฅ2 + 3๐ฅ3 = 6 1 โถ( ๐ฅ1 + ๐ฅ2 + ๐ฅ3 = 2 1 1 2 36 | )โถ( 0 1 12 ๐ฅ3 = ๐ 2 36 | ) โถ ๐ฅ2 = 4 − 2๐ โถGerade 1 24 ๐ฅ1 = −2 + ๐ Betrachten ๐จ๐ = ๐, das homogene Gleichungssystem Satz: a) ๐ด๐ฅ = 0 hat genau dann als einzige Lösung ๐ฅ1 = โฏ = ๐ฅ๐ = 0, wenn rang ๐ด = ๐ (n ist die Anzahl der Unbekannten). b) Die allgemeine Lösung des linearen Gleichungssystem ๐ด๐ฅ = 0 enthält n-rang ๐ด freie Variable. c) Ist die Zahl der Gleichungen kleiner als die Anzahl der Unbekannten (m < n), dann besitzt ๐ด๐ฅ = 0 von Null verschiedene Lösungen. Betrachten ๐จ๐ = ๐, das inhomogene Gleichungssystem Satz: a) Lösbarkeitstest ๐ด๐ฅ = ๐ ist genau dann lösbar, wenn gilt: rang(๐ด|๐) = rang ๐ด b) Struktur der Lösungsmenge. Ist das System ๐ด๐ฅ = ๐ lösbar, dann lässt sich die allgemeine Lösung darstellen in der Form ๐ฃ = ๐ฃ0 + ๐ mit der speziellen Lösung ๐ฃ0 von ๐ด๐ฃ0 = ๐ und der allgemeinen Lösung ๐ von ๐ด๐ = 0. c) Ist ๐ด๐ฅ = ๐ lösbar, dann enthält die allgemeine Lösung n-rang ๐ด freie Variable. ๐ด๐ฅ = ๐, sei ๐ฃ0 spezielle Lösung von ๐ด๐ฃ0 = ๐ ๐ด (๐ฅ − ๐ฃ0 ) = ๐ − ๐ = 0 ๐ด๐ = 0 und ๐ sei allgemeine Lösung 59 ๐ฅ − ๐ฃ0 = ๐ โถ ๐ฅ = ๐ฃ0 + ๐ ist allgemeine Lösung von ๐ด๐ฅ = ๐ 2.4 Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen A sei eine ๐ × ๐-Matrix. Eine Zahl ๐ ∈ โ heißt Eigenwert von A und ๐ฅ ∈ โ๐ ein zugehöriger Eigenvektor, wenn ๐ด๐ฅ = ๐๐ฅ und ๐ฅ ≠ 0. Bemerkung: ๐ด๐ฅ − ๐๐ฅ = (๐ด − ๐๐ธ)๐ฅ = 0 Da (๐ด − ๐๐ธ)๐ฅ = 0 eine nichttriviale Lösung haben soll, muss det(๐ด − ๐๐ธ) = 0 gelten. 5 8 (๐ด Beispiel: ๐ด = ( ) − ๐๐ธ)๐ฅ = 0 1 3 ๐ฅ1 1 0 5 8 5−๐ 8 [( )−๐( )] ๐ฅ = ( ) ⋅ (๐ฅ ) = 0 0 1 2 1 3 1 3−๐ 5−๐ 8 det | | = 0 โถ ๐1,2 = 4 ± √9 โถ ๐1 = 7 ๐2 = 1 1 3−๐ ๐ฅ11 1 0 −2 8 4 (๐ด − ๐1 ๐ธ)๐ฅ1 = [(5 8) − 7 ( )] ๐ฅ1 = ( ) ⋅ (๐ฅ ) = 0 โถ ๐ฅ11 − 4๐ฅ12 โถ ๐ฅ1 = ( ) 0 1 1 −4 1 1 3 12 Lösung von ๐ฅ1 beliebiger Vektor, der Gleichung erfüllt. Somit ist auch jedes Vielfache von ๐ฅ1 โถ ๐๐ฅ1 ≠ 0 Eigenvektor. (๐ด − ๐2 ๐ธ)๐ฅ2 = [(5 8) − (1 0 1 3 ๐ฅ21 0 4 8 −2 )] ๐ฅ2 = ( ) ⋅ (๐ฅ ) = 0 โถ ๐ฅ21 + 2๐ฅ22 โถ ๐ฅ2 = ( ) 1 1 2 1 22 Zum Eigenwert ๐1 = 7 gehört der Eigenvektor ๐ฅ1 = (4). Zum Eigenwert ๐2 = 1 gehört der 1 Eigenvektor ๐ฅ2 = (−2). 1 Die zur Bestimmung der Eigenwerte dienende Gleichung det(๐ด − ๐๐ธ) = 0 heißt charakteristische Gleichung von A. det(๐ด − ๐๐ธ) = 0 ist ein Polynom n-ten Grades in λ. ๐๐ด (๐) = det(๐ด − ๐๐ธ) heißt charakteristisches Polynom von A. Die Eigenwerte von A sind die Nullstellen von ๐๐ด (๐). (๐11 − ๐) ๐12 โฏ ๐1๐ (๐22 − ๐) โฏ ๐21 ๐2๐ ๐๐ด (๐) = โฎ โฎ โฑ โฎ ๐๐1 โฏ โฏ (๐๐๐ − ๐) Definition: Ist ein Eigenwert λ von A eine k-fache Nullstelle von ๐๐ด (๐), so heißt k algebraische Vielfachheit von λ. Die Menge aller Eigenvektoren von A bildet einen linearen Unterraum von โ๐ oder โ๐ . Dessen Dimension wird geometrische Vielfachheit von λ genannt. 1 0 Beispiel: ๐ด = ( ) det(๐ด − ๐๐ธ) = 0 0 1 ๐1,2 = 1 ist Eigenwert der algebraischen Vielfachheit = 2. ๐ฅ (๐ด − ๐๐ธ)๐ฅ = (0 0) (๐ฅ1 ) = 0 โถ (1) und (0) sind Lösungen, geometrische Vielfachheit = 0 0 0 2 1 2. 60 Beispiel: 2 0 ๐ด=( ) det(๐ด − ๐๐ธ) = 0 0 1 ๐1 = 2 und ๐2 = 1 sind beides Eigenwerte der algebraischen Vielfachheit = 1. Eigenvektor zu ๐1 = 2 ๐ฅ11 2−2 0 1 ( ) (๐ฅ ) = 0 โถ ๐ฅ1 = ( ) mit geometrische Vielfachheit = 1. 0 1−2 0 12 (Lösung des Gleichungssystems ergibt für ๐ฅ12 = 0 und ist unabhängig von ๐ฅ11 , daher kann es beliebig gewählt werden.) Eigenvektor zu ๐2 = 1 ๐ฅ21 2−1 0 0 ( ) (๐ฅ ) = 0 โถ ๐ฅ2 = ( ) mit geometrische Vielfachheit = 1. 0 1−1 22 1 2 1 Beispiel: ๐ด = ( ) โถ ๐1 = ๐2 = 2 mit algebraische Vielfachheit = 2 0 2 ๐ฅ 0 1 1 1 ( ) (๐ฅ ) = 0 โถ ๐ฅ = ( ) ist eindimensionaler Unterraum, geometrische Vielfachheit = 0 0 0 2 1. 2.5 Der Fall symmetrischer Matrizen A sei eine Matrix vom Typ ๐ × ๐ mit reellen Elementen ๐๐๐ ∈ โ. A heißt symmetrisch, wenn ๐ด = ๐ด๐ . Beispiel: ๏ฆ 1 2 3๏ถ ๏ง ๏ท A ๏ฝ ๏ง 2 4 5๏ท ๏ง 3 5 6๏ท ๏จ ๏ธ Satz: Eine reelle symmetrische Matrix hat folgende Eigenschaften: i) Alle Eigenwerte von A sind reell ii) Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind zueinander orthogonal iii) Algebraische und geometrische Vielfachheit sind für jeden Eigenwert gleich Beweis i) ๐ฅ ⋅ ๐ฅฬ = |๐ฅ|2 ist reell, ๐ฅ ≠ 0. Sei x Eigenvektor und λ Eigenwert. ๐๐ฅ ⋅ ๐ฅฬ = ๐ด๐ฅ ⋅ ๐ฅฬ = ๐ฅ ⋅ ๐ด๐ ๐ฅฬ = ๐ฅ ⋅ ๐ด๐ฅ = ๐ฅ ⋅ ๐๐ฅ = ๐|๐ฅ|2 (๐ − ๐)|๐ฅ|2 = 0 Division durch |๐ฅ|2 ≠ 0 โถ ๐ − ๐ = Re ๐ + ๐ Im ๐ − (Re ๐ − ๐ Im ๐) = 2๐ Im ๐ = 0 โถ ๐ ∈ โ Beweis ii) Es seien x1, x2 Eigenvektoren zu den Eigenwerten ๐1 ≠ ๐2 ๐1 ๐ฅ1 ๐ฅ2 = (๐ด๐ฅ1 ) ⋅ ๐ฅ2 = ๐ฅ1 ⋅ (๐ด๐ ๐ฅ2 ) = ๐ฅ1 (๐ด๐ฅ2 ) = ๐ฅ1 ๐2 ๐ฅ2 = ๐2 ๐ฅ1 ๐ฅ2 (๐1 − ๐2 ) ⋅ ๐ฅ1 ๐ฅ2 = 0, da ๐1 ≠ ๐2 โถ ๐ฅ1 ⋅ ๐ฅ2 = 0 โถ x1 und x2 sind orthogonal 61 Folgerung 1) Ist A reell und symmetrisch und sind alle n Eigenwerte voneinander verschieden, so bilden die n Eigenvektoren ๐ฅ1 , … , ๐ฅ๐ eine orthogonale Basis des โ๐ . Ist λ ein k-facher Eigenwert (algebraische Vielfachheit ist k), so hat der zugehörige Eigenunterraum ebenfalls die Dimension k. Die entsprechende Basis kann man mit dem Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren orthogonalisieren. Folgerung 2) Ist A reell und symmetrisch, so kann man stets Eigenvektoren ๐ฅ1 , … , ๐ฅ๐ finden, so dass ๐ฅ1 , … , ๐ฅ๐ eine orthogonale Basis des โ๐ bilden. 1 3 0 Beispiel: ๐ด = (3 −2 −1) reell und symmetrisch 0 −1 1 Eigenwerte: 1−๐ 3 0 3 −1 −2 − ๐ −1 det(๐ด − ๐๐ธ) = | 3 | − 3| | −2 − ๐ −1 | = (1 − ๐) | 0 1−๐ −1 1−๐ 0 −1 1−๐ = (1 − ๐)((−2 − ๐)(1 − ๐) − 1) − 3(3 − 3๐) = −๐3 + 13๐ − 12 = 0 durch Polynomdivision: ๐1 = 1 ๐2 = 3 ๐3 = −4 → sind voneinander verschieden ๐ฅ11 1−1 3 0 Eigenvektor von ๐1 : (๐ด − ๐1 ๐ธ)๐ฅ1 = ( 3 −2 − 1 −1 ) (๐ฅ12 ) = 0 0 −1 1 − 1 ๐ฅ13 Dritte Zeile ist linear abhängig von der ersten. Aus erster Zeile folgt: 0 ⋅ ๐ฅ11 + 3๐ฅ12 + 0 ⋅ ๐ฅ13 = 0 โถ ๐ฅ12 = 0 Eingesetzt in dritte Zeile: 3๐ฅ11 − 3๐ฅ12 − ๐ฅ13 = 0 โถ ๐ฅ11 = 1 ๐ฅ13 = 3 1 ๐ฅ1 = (0) ist Eigenvektor 3 −3 −3 Eigenvektor von ๐2 โถ ๐ฅ2 = (−2), Eigenvektor von ๐3 โถ ๐ฅ3 = ( 5 ) 1 1 ๐ฅ1 ⊥ ๐ฅ2 ๐ฅ1 ⊥ ๐ฅ3 ๐ฅ2 ⊥ ๐ฅ3 Wir normieren die Eigenvektoren (Normalvektor → Betrag = 1) 1 1 1 −3 1 −3 2 2 2 √ |๐ฅ1 | = 1 + 0 + 3 = √10 โถ ๐ฅ1 = (0) ๐ฅ2 = (−2) ๐ฅ3 = (5) √10 3 √14 1 √35 1 Wir fassen die normierten Eigenvektoren in einer Matrix C zusammen: ๐ฅ1 ๐ 1 0 0 ๐ถ = (๐ฅ1 , ๐ฅ2 , ๐ฅ3 ) ๐ถ ๐ ๐ถ = (๐ฅ2 ๐ ) ⋅ (๐ฅ1 , ๐ฅ2 , ๐ฅ3 ) = (0 1 0) = ๐ธ 0 0 1 ๐ฅ3 ๐ Definition: Eine Matrix C vom Typ ๐ × ๐ heißt orthogonal, wenn ๐ถ ๐ ๐ถ = ๐ธ โถ ๐ถ ๐ = ๐ถ −1 . 62 1 = det ๐ธ = det(๐ถ ๐ ๐ถ) −1 ๐ = det ๐ถ ๐ ⋅ det ๐ถ Folgerung: ๐ถ ๐= ๐ถ | ๐ถ ⋅ ๐ถ = ๐ธ = (det ๐ถ)2 1 = |det ๐ถ| Wir berechnen jetzt ๐ถ ๐ ๐ด๐ถ ๐ด๐ถ = ๐ด (๐ฅ1 , … , ๐ฅ๐ ) = (๐ด๐ฅ1 , … , ๐ด๐ฅ๐ ) = (๐1 ๐ฅ1 , … , ๐๐ ๐ฅ๐ ) ๐ฅ1 ๐ ๐1 ๐ฅ1 ๐ฅ1 ∅ ๐1 ∅ ๐ถ ๐ ๐ด๐ถ = (๐ฅ2 ๐ ) (๐1 ๐ฅ1 , … , ๐๐ ๐ฅ๐ ) = ( )=( ) โฑ โฑ ∅ ๐๐ ๐ฅ๐ ๐ฅ๐ ∅ ๐๐ ๐ฅ3 ๐ ๐ถ ๐ ๐ด๐ถ ist eine Diagonalmatrix, auf der Hauptdiagonalen stehen die Eigenwerte. Satz: Ist A eine reelle symmetrische Matrix, dann ist die Matrix C der orthonomierten Eigenvektoren orthogonal. Es gilt ๐ถ ๐ ๐ด๐ถ = diag(๐1 , … , ๐๐ ) Geometrische Bedeutung orthogonaler Matrizen als orthogonale Koordinatentransformation. Es sei C orthogonale Matrix, {๐1 , … , ๐๐ } orthogonale Basis im โ๐ . Wir betrachten ๐๐ = ๐ถ๐๐ ๐ = 1, … ๐. Dann ist auch {๐1 , … , ๐๐ } eine orthogonale Basis. Beweis: ๐ ๐๐ ⋅ ๐๐ = ๐๐ ๐ ⋅ ๐๐ = (๐ถ๐๐ ) ⋅ ๐ถ๐๐ = ๐๐ ๐ ๐ถ ๐ ๐ถ๐๐ 1 ๐=๐ = ๐๐ ๐ ๐๐ = { 0 ๐≠๐ Bemerkung: cos ๐ผ − sin ๐ผ Man kann für n = 2 zeigen, dass jede 2 × 2 Matrix C die Form ๐ถ = ( Dabei ist α der Drehwinkel. 2.6 Kurven und Flächen Hauptachsentransformation 2. Die Normalform der Quadriken im โ๐ (Konstante a, b, p alle ≠ ๐) rang ๐ด = 1 (Ein Eigenwert = 0) y Parabel ๐ฅ 2 − 2๐๐ฆ = 0 x 63 sin ๐ผ ) hat. cos ๐ผ Ordnung – y paralleles Geradenpaar ๐ฅ 2 − ๐2 = 0 leere Menge x ๐ฅ 2 + ๐2 = 0 y Gerade x = 0 ๐ฅ2 = 0 x rang ๐ด = 2 (Alle Eigenwerte ≠ 0) y 2 2 Ellipse (eventuell Kreis) ๐ฅ ๐ฆ + −1=0 ๐2 ๐ 2 leere Menge ๐ฅ2 ๐ฆ2 + +1=0 ๐2 ๐ 2 x y 2 2 Hyperbel ๐ฅ ๐ฆ − 2−1=0 2 ๐ ๐ Punkt ๐ฅ 2 + ๐2 ๐ฆ 2 = 0 x y Geradenpaar mit Schnittpunkt ๐ฅ 2 − ๐2 ๐ฆ 2 = 0 x Die Normalform der Quadriken im โ๐ (Konstante a, b, c, p alle ≠ ๐) rang ๐ด = 1 (Zwei Eigenwerte = 0) z x parabolischer Zylinder ๐ฅ 2 − 2๐๐ฆ = 0 y z paralleles Ebenenpaar ๐ฅ 2 − ๐2 = 0 y x leere Menge 2 2 ๐ฅ +๐ =0 64 z Ebene ๐ฅ2 = 0 y x rang ๐ด = 2 (Ein Eigenwert = 0) z elliptisches Paraboloid ๐ฅ2 ๐ฆ2 + − 2๐๐ง = 0 ๐2 ๐ 2 c y x z hyperbolisches Paraboloid ๐ฅ2 ๐ฆ2 − − 2๐๐ง = 0 ๐2 ๐ 2 y x leere Menge ๐ฅ2 ๐ฆ2 + +1=0 ๐2 ๐ 2 z elliptischer Zylinder ๐ฅ2 ๐ฆ2 + −1=0 ๐2 ๐ 2 y x z hyperbolischer Zylinder ๐ฅ2 ๐ฆ2 − +1=0 ๐2 ๐ 2 y x z Gerade ๐ฅ2 ๐ฆ2 + =0 ๐2 ๐ 2 y x z Ebenenpaar mit Schnittgerade ๐ฅ2 ๐ฆ2 − =0 ๐2 ๐ 2 y x 65 rang ๐ด = 3 (Alle Eigenwerte ≠ 0) z c ๐ฅ2 ๐ฆ2 ๐ง2 Ellipsoid (eventuell Kugel) + + −1=0 ๐2 ๐ 2 ๐ 2 a b y x ๐ฅ2 ๐ฆ2 ๐ง2 + + +1=0 ๐2 ๐ 2 ๐ 2 leere Menge z zweischaliges Hyperboloid ๐ฅ2 ๐ฆ2 ๐ง2 + − +1=0 ๐2 ๐ 2 ๐ 2 c x y z einschaliges Hyperboloid ๐ฅ2 ๐ฆ2 ๐ง2 + − −1=0 ๐2 ๐ 2 ๐ 2 x y b a ๐ฅ2 ๐ฆ2 ๐ง2 + + =0 ๐2 ๐ 2 ๐ 2 Punkt z a b c 2 2 2 ๐ฅ ๐ฆ ๐ง + 2− 2=0 2 ๐ ๐ ๐ Kegel y x Wir betrachten quadratische Gleichungen der Form: ๐๐ฅ 2 + ๐๐ฆ 2 + 2๐๐ฅ๐ฆ + ๐ ๐ฅ + ๐ก๐ฆ + ๐ข = 0 ๐ฅ ๐ฅ ๐ฅ ๐ ๐ ๐ฅ (๐ฅ, ๐ฆ) (โ ) (๐ฆ) + (๐ , ๐ก) (๐ฆ) + โ ๐ข = (๐ฅ, ๐ฆ)๐ด (๐ฆ) + ๐ ๐ (๐ฆ) + ๐ = 0 โ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ด Definition: Ein Polynom 2. Grades in den Variablen ๐ฅ1 , … , ๐ฅ๐ ist eine Funktion der Form: ๐ ๐ ๐ ๐ ๐(๐ฅ) = ๐ฅ ๐ด๐ฅ + ๐ ๐ฅ + ๐ = ∑ ๐๐๐ ๐ฅ๐ ๐ฅ๐ + ∑ ๐๐ ๐ฅ๐ + ๐ ๐=1 ๐=1 ๐=1 66 Die Menge aller Punkte ๐ฅ ∈ โ๐ mit ๐(๐ฅ) = 0 heißt Hyperfläche zweiter Ordnung oder Quadrik. Beispiel: ๐ท = diag(๐1 , … , ๐๐ ) ๐1 ๐ ๐(๐ฅ) = ๐ฅ ๐ท๐ฅ = (๐ฅ1 , … , ๐ฅ๐ ) ( ๐ฅ1 ๐ฅ1 ) ( โฎ ) = (๐1 ๐ฅ1 , … , ๐๐ ๐ฅ๐ ) ( โฎ ) = ๐1 ๐ฅ12 + โฏ + ๐๐ ๐ฅ๐2 ๐ฅ๐ ๐๐ ๐ฅ๐ ∅ โฑ ∅ Wir betrachten ๐(๐ฅ) = ๐ฅ ๐ ๐ด๐ฅ. Der Übergang zu einer anderen Basis ๐ต = (๐1 , … , ๐๐ ) geschieht mit der Substitution ๐ฅ = ๐ต๐ฆ. ๐ ๐(๐ฅ) = ๐ (๐ต๐ฆ) = (๐ต๐ฆ) ๐ด (๐ต๐ฆ) = ๐ฆ ๐ (๐ต๐ ๐ด๐ต)๐ฆ = ๐ฬ (๐ฆ) Definition: Als Hauptachsensystem der quadratischen Form ๐(๐ฅ) = ๐ฅ ๐ ๐ด๐ฅ bzw. der symmetrischen Matrix ๐ด = ๐ด๐ bezeichnet man eine Orthonomalbasis ๐ต = (๐1 , … , ๐๐ ) des โ๐ , wenn q im Koordinatensystem (0, ๐1 , … , ๐๐ ) rein quadratisch ist. Das ist genau dann der Fall, wenn ๐ต ๐ ๐ด๐ต Diagonalmatrix ist. Satz: Hauptachsentransformation Zu jeder quadratischen Form ๐(๐ฅ) = ๐ฅ ๐ ๐ด๐ฅ bzw. zu jeder reellen symmetrischen ๐ × ๐ Matrix gibt es wenigstens ein Hauptachsensystem. Man berechnet es wie folgt. Zu jeden der verschiedenen Eigenwerte ๐๐ von A bestimmt man eine Orthonormalbasis (๐) (๐) (๐1 , … , ๐๐๐ ) von (๐ด − ๐๐ ๐ธ)๐ฅ = 0 . zusammengesetzt, (1) (1) (2) Diese ergeben (2) (๐) Teilbasen ein in angegebener Reihenfolge Hauptachsensystem ๐ต= (๐) (๐1 , … , ๐๐1 , ๐1 , … , ๐๐2 , … , ๐1 , … , ๐๐๐ ) für das ๐ต ๐ ๐ด๐ต = diag (๐ ๐๐ , … , ๐๐ ) โ1 , … , ๐1 , … , โ ๐1 −mal ๐๐ −mal ( Wiederholung von ๐๐ nur nötig, wenn Eigenwerte mehrmals Vorkommen (siehe k1-mal ๐1 )) gilt und demzufolge: ๐(๐ฅ) = ๐ (๐ต๐ฆ) = ๐1 ๐ฆ12 + โฏ + ๐๐ ๐ฆ๐2 . Beispiel: 1 1 2 1 ๐ด=( ) hat die Eigenwerte ๐1 = 5 (5 + √5), ๐2 = 2 (5 − √5) 1 3 1 2 1 Eine Lösung von (๐ด − ๐1 ๐ธ)๐ฅ = 0 ist (1 + 1 ), normiert ergibt das ๐ = ( ). √5 √10+2√5 1 + √5 2 2 (−1 − √5) ๐ ⊥ ๐. 2 ๐ฅ Die quadratische Form: (๐ฅ, ๐ฆ)๐ด (๐ฆ) = 2๐ฅ 2 + 2๐ฅ๐ฆ + 3๐ฆ 2 hat im Koordinatensystem (0, ๐, ๐) ๐ฅ ๐ข 1 1 die Darstellung ๐1 ๐ข2 + ๐2 ๐ฃ 2 = 2 (5 + √5)๐ข2 + 2 (5 − √5)๐ฃ 2 wobei (๐ฆ) = (๐, ๐) ( ) = ๐ฃ 2 −1 − √5 ๐ข ( ) ( ). ๐ฃ 1 + √5 2 Senkrecht dazu ๐ = 1 √10+2√5 67 Beispiel: Wir betrachten ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง) = ๐ฅ 2 + 6๐ฅ๐ฆ − 2๐ฆ 2 − 2๐ฆ๐ง + ๐ง 2 ๐ฅ ๐ฆ ๐ง ๐ฅ 1 3 0 ๐ด= (3 −2 −1) ๐ฆ ๐ง 0 −1 1 1 Diagonal = Koeffizienten von x2, y2, z2. Andere Werte sind 2 Koeffizienten von xy, xz, yz. Eigenwerte: ๐1 = 1 ๐2 = 3 ๐3 = −4 normierte Eigenvektoren: 1 3 −3 1 1 1 ๐1 โถ ๐1 = (0), ๐2 โถ ๐2 = ( 2 ), ๐3 โถ ๐3 = ๐1 × ๐2 = (5) √10 √14 √35 3 −1 1 1 3 3 − √10 √14 √35 2 5 0 ๐ต= √14 √35 3 1 1 − (√10 √14 √35 ) Transformation auf Normalform 1. Schritt: Die Hauptachsentransformation des quadratischen Anteils ๐ต ๐ ๐ด๐ต = diag(๐1 , … , ๐๐ ) mit einem Hauptachsensystem ๐ต = (๐1 , … , ๐๐ ) von A liefert über eine Substitution ๐ฅ = ๐ต๐ฆ die Darstellung der Quadrik im Koordinatensystem (0, ๐1 , … , ๐๐ ) durch ๐1 ๐ฆ12 + โฏ + ๐๐ ๐ฆ๐2 + ๐พ1 ๐ฆ1 + โฏ ๐พ๐ ๐ฆ๐ + ๐ฝ = 0 2. Schritt: Mit der anschließenden Substitution ๐ฆ๐ falls ๐๐ = 0 ๐พ๐ ๐ง๐ = { ๐ฆ๐ + โต (quadratische Ergänzung) falls ๐๐ ≠ 0 2๐๐ werden die linearen Terme (falls möglich) „wegsubstituiert“. Diese Substitution entspricht einer Verschiebung des bereits gedrehten Koordinatensystems in einen anderen Ursprung. ๐ง = ๐ฆ + ๐ข, so folgt der Übergang von Koordinaten zu den z-Koordinaten über die Substitution ๐ฅ = ๐ต๐ฆ = ๐ต(๐ง − ๐ข) = ๐ต๐ง − ๐ต๐ข. Im neuen Koordinatensystem hat die Quadrik die Gleichung ๐1 ๐ง12 + โฏ + ๐๐ ๐ง๐2 + ๐๐+1 ๐ง๐+1 + โฏ + ๐๐ ๐ง๐ + ๐พ = 0, wobei ๐1 , … , ๐๐ ≠ 0 und ๐๐+1 = โฏ = ๐๐ = 0. Beispiel: ๐ฅ 2 + 2๐ฅ + ๐ฆ = 1 โถ (๐ฅ + 1)2 + ๐ฆ − 1 = 1 Beispiel: Typ und Normalform für folgende Quadrik ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง) = −๐ฅ 2 − ๐ฆ 2 + ๐ง 2 + 6๐ฅ๐ฆ + 2๐ฅ๐ง + 2๐ฆ๐ง − 12๐ฅ + 4๐ฆ − 10๐ง − 11 = 0 −1 3 1 1. Schritt) Matrix ๐ด = ( 3 −1 1) โถ Eigenwerte ๐1 = 3 ๐2 = −4 ๐3 = 0 1 1 1 68 normierte Eigenvektoren = Hauptachsensystem ๐1 = ๐ฅ ๐ฅ′ (๐ฆ) = ๐ต (๐ฆ′) = ๐ง ๐ง′ 1 1 1 √3 1 √2 1 − √2 √6 1 √3 1 (√3 0 √6 2 − √6) ๐ฅ′ 1 √2 (๐ฆ′) = (√2 √6 ๐ง′ √2 1 1 1 (1) ๐2 = (−1) √3 √2 1 0 1 ๐3 = ๐ฅ′ √3 ๐ฅ′ 1 √3 ๐ฅ′ −√3 1 ) (๐ฆ′) = 0 −2 ๐ง′ − ๐ฆ′ √2 ๐ฆ′ + ๐ง′ √6 ๐ง′ + √2 √6 ๐ฅ′ 2๐ง′ − √3 √6 ) √3 ( + 1 (1) √6 −2 1 Gleichungen für x, y und z in q einsetzen und zusammenfassen 3(๐ฅ′)2 − 4(๐ฆ′)2 − 6√3๐ฅ ′ − 8√2๐ฆ ′ + 2√6๐ง ′ − 11 = 0 Wie man erkennt, ist der Koeffizient von (๐ฅ′)2 gleich ๐1 = 3, von (๐ฆ′)2 gleich ๐2 = −4 und von (๐ง′)2 gleich ๐3 = 0. 2. Schritt) Durch quadratische Ergänzung ergibt sich die Verschiebung: 2 ๐ฅ ′′ = ๐ฅ ′ − √3 โถ 3(๐ฅ ′ − √3) = 3(๐ฅ′)2 − 6√3๐ฅ ′ + 9 2 ๐ฆ ′′ = ๐ฆ ′ + √2 โถ −4(๐ฆ ′ + √2) = −4(๐ฆ ′ )2 − 8√2๐ฆ ′ − 8 ๐ง ′′ = ๐ง ′ − √6 โถ 2√6(๐ง ′ − √6) = 2√6๐ง ′ − 12 โน 3(๐ฅ′′)2 − 4(๐ฆ′′)2 + 2√6๐ง ′′ = 0 โถ Rang 2, hyperbolischer Paraboloid Beispiel: ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง) = ๐ฅ 2 − ๐ฆ๐ง − 2๐ฅ + 3๐ฆ − 3๐ง + 4 = 0 1 0 0 1 1 0 −0,5) โถ Eigenwerte: ๐1 = 1 ๐2 = ๐3 = − (0 2 2 0 −0,5 0 1 0 0 1 1 Eigenvektoren: ๐1 = (0) ๐2 = ( 1 ) ๐3 = ๐1 × ๐2 = (1) √2 √2 0 −1 1 ๐ฅ ๐ฅ′ 0 0 1 √2 (๐ฆ ) = ( 0 1 1) (๐ฆ′) โถ Ausmultiplizieren und in q einsetzen √2 ๐ง 0 −1 1 ๐ง′ 1 1 (๐ฅ′)2 + (๐ฆ′)2 − (๐ง′)2 − 2๐ฅ ′ + 3√2๐ฆ ′ + 4 = 0 2 2 Koeffizienten der quadratischen Terme sind wieder die Eigenwerte. Mit quadratischer Ergänzung: 1 1 1 1 2 (๐ฅ ′ − 1)2 + (๐ฆ ′ + 3√2) − (๐ง′)2 − 6 = (๐ฅ′′)2 + (๐ฆ′′)2 − (๐ง′′)2 − 6 = 0 2 2 2 2 Rang = 3, einschaliges Hyperboloid 69 3. Differentialrechnung 3.1 Zahlenfolgen und Grenzwerte Definition: Zahlenfolge Eine Vorschrift die jedem ๐ ∈ โ genau eine Zahl ๐๐ ∈ โ (bzw. โ) zuordnet, heißt reelle (bzw. komplexe) Zahlenfolge. {๐1 , ๐2 , … }, {๐๐ }∞ ๐=1 Beispiel: 1 1 1 1 1 1 1) ๐๐ = ๐ 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , … 2) ๐๐ = (−1)๐ (−1)1 , 1, −1,1, −1, … 3) ๐๐ = ๐ ๐ ๐, 1, −๐, 1, ๐, −1, … 4) ๐๐ = 1 1,1,1, … stationäre Folge Definition: Konvergenz, Grenzwert Eine Zahlenfolge {๐๐ }∞ ๐=1 heißt konvergent gegen a, wenn ∀๐ > 0∃๐0 (๐). (๐๐ − ๐) < ๐ ∀๐ ≥ ๐0 . Die Zahl heißt Grenzwert der Folge {๐๐ }∞ ๐=1 . Schreibweise: ๐ = lim ๐๐ oder ๐๐ โถ ๐ für ๐ โถ ∞ ๐→∞ Umgangssprachlich: Wie klein auch ๐ > 0 vorgegeben wird, von einen gewissen Index n0 hat kein Glied der Folge einen Abstand ≥ ๐ zu a. a-ε a+ε Im Reellen a1 a3 a2 unendlich viele Werte innerhalb a1 ε Im Komplexen a a3 a2 1 1 lim = 0 Nullfolge ๐ ๐→∞ ๐ 1 1 |๐ − 0| < ๐ für alle ๐ ≥ ๐0 (๐) โถ ๐ < ๐ 1 ๐0 = [ ] + 1 ๐ [1,567] = 1 = [๐ฅ] = größte ganze Zahl für die gilt [๐ฅ] ≤ ๐ฅ 1 1 1 < [ ] + 1 โถ < ๐ ∀๐ ≥ ๐0 ๐ ๐ ๐ Beispiel: ๐๐ = Bemerkung: ๐๐ โถ ๐ โน ๐๐ − ๐ โถ 0 Rechengesetze für Folgen Wenn ๐๐ โถ 0 für ๐ → ∞ und |๐๐ | < |๐๐ | ∀๐ ∈ โ dann gilt ๐๐ โถ 0 für ๐ → ∞. 70 Sei ๐๐ โถ ๐, ๐๐ โถ ๐ für ๐ → ∞, dann gilt ∀๐ผ, ๐ฝ ∈ โ ๐ผ ⋅ ๐๐ ± ๐ฝ ⋅ ๐๐ โถ ๐ผ ⋅ ๐ ± ๐ฝ ⋅ ๐, d.h. lim (๐ผ ⋅ ๐๐ ± ๐ฝ ⋅ ๐๐ ) = ๐ผ lim ๐๐ ± ๐ฝ lim ๐๐ ๐→∞ ๐→∞ ๐→∞ Wenn ∃ lim ๐๐ und ∃ lim ๐๐ , dann gilt das und ∃ lim (๐ผ ⋅ ๐๐ ± ๐ฝ ⋅ ๐๐ ). ๐→∞ ๐๐ ๐๐ โถ ๐ ⋅ ๐ lim(๐๐ ๐๐ ) = lim ๐๐ ⋅ lim ๐๐ ๐ ๐๐๐ โถ ๐๐ lim (๐๐ )๐ = ( lim ๐๐ ) ๐→∞ ๐→∞ lim ๐๐ ๐๐ ๐ ๐๐ ๐→∞ โถ falls ๐ ≠ 0 lim = ๐→∞ ๐๐ ๐๐ ๐ lim ๐๐ ๐→∞ Wenn ๐๐ โถ 0 für ๐ โถ ∞ und {๐๐ } beschränkt ist, d.h. |๐๐ | < ๐ ∀๐, dann ist ๐๐ ⋅ ๐๐ Nullfolge. Das Produkt einer Nullfolge mit einer beschränkten Folge ist eine Nullfolge. 1 1 3−๐+ 3 3๐3 − ๐2 + 1 ๐ = lim 3 = 0 Beispiel: lim 4 = lim ๐ 2 ๐→∞ ๐ + ๐ − 2 ๐→∞ ๐→∞ ๐ ๐+ 3− 4 ๐ ๐ ๐ Es sei ๐ > 0, dann gilt lim √๐ = 1 ๐→∞ Satz 1: Seien {๐๐ }, {๐๐ } reelle und konvergente Zahlenfolgen i) Wenn ๐๐ ≤ ๐๐ ∀๐ ≥ ๐1 โถ lim ๐๐ ≤ lim ๐๐ ๐→∞ ii) ๐→∞ Wenn ๐๐ โถ ๐ und ๐๐ โถ ๐ für ๐ โถ ∞ sowie ๐๐ ≤ ๐๐ ≤ ๐๐ ∀๐ ≥ ๐1 , dann gilt auch ๐๐ โถ ๐ für ๐ โถ ∞ (Sandwich). Bemerkung: ๐๐ < ๐๐ ∀๐ ≥ ๐1 โ lim ๐๐ < lim ๐๐ ๐→∞ ๐→∞ 1 Beispiel: ๐๐ = 0 ∀๐ ๐๐ = > 0 โถ lim ๐๐ = lim ๐๐ = 0 ๐→∞ ๐→∞ n Beispiel: lim (√๐ + 1 − √๐) Typ "∞ − ∞" ๐→∞ = lim (√๐ + 1 − √๐)(√๐ + 1 + √๐) (√๐ + 1 + √๐) ๐→∞ = lim ๐→∞ √๐ Beispiel: lim √๐(√๐ + 1 − √๐) = lim √๐ ๐→∞ ๐+1−1 ๐→∞ + 1 + √๐ = lim ๐→∞ √๐ 1 + 1 + √๐ ≤ lim 1 ๐→∞ √๐ =0 1 (√๐ + 1 − √๐)(√๐ + 1 + √๐) √๐ = lim = ๐→∞ √๐ + 1 + √๐ 2 (√๐ + 1 + √๐) ๐ Es gilt: lim √๐ = 1 ๐→∞ ๐ Beweis: lim √๐ − 1 = 0 = ๐๐ ๐→∞ ๐(๐ − 1) 2 ๐(๐ − 1) 2 ๐ = (๐๐ + 1)๐ = 1 + ๐ ⋅ ๐๐ + ๐๐ + โฏ ≥ 1 + ๐๐ 2 2 ๐(๐ − 1) 2 2 โถ๐−1≥ ๐๐ โถ ≥ ๐๐2 ≥ 0 2 ๐ 2 โถ 0 ๐๐2 โถ 0 ๐๐ โถ 0 ๐ Definition: Eine Folge {๐๐ }∞ ๐=1 heißt monoton wachsend (bzw. fallend) wenn ๐๐ ≤ ๐๐+1 ∀๐ (bzw. ๐๐ ≥ ๐๐+1 ). Existiert eine Schranke ๐ > 0, so dass |๐๐ | ≤ ๐ ∀๐, so heißt {๐๐ } beschränkt. 71 Satz 2: Jede monotone und beschränkte Folge ist konvergent. ๐๐ = 0 = ๐๐ ๐→∞ ๐! ๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐+1 = ๐! ⋅ ๐+1 = ๐๐ ⋅ ๐+1 โถ für hinreichend großes n โถ ๐+1 < 1 โถ ๐๐+1 < ๐๐ {๐๐ } ist monoton fallend ๐๐ ≥ 0. Folge ist beschränkt. Beispiel: lim ๐๐ Nach Satz 2 existiert ein Grenzwert lim =๐ ๐→∞ ๐! ๐ ๐๐+1 โถ ๐ ๐๐ โถ ๐ โถ0 โถ๐=0 ๐+1 1 ๐ Betrachten: lim (1 + ) = ๐ ๐→∞ ๐ ∞ 1 1 1 Aus Beweis sieht man ๐ = 1 + 1 + + + โฏ = ∑ 2! 3! ๐! ๐=0 Definition: Eine Folge {๐๐ }, die nicht konvergiert, heißt divergent. Sie heißt „bestimmend divergent“ gegen +∞ (bzw. −∞), wenn ∀๐ > 0 (bzw. ∀๐ < 0) ๐๐ ≥ ๐ ∀๐ ≥ ๐0 (bzw. ๐๐ ≤ ๐ ∀๐ ≥ ๐0 ) lim ๐๐ = +∞ (bzw. lim ๐๐ = −∞) ๐→∞ ๐→∞ Beispiel: ๐๐ = 1 + (−1)๐ ๐1 = 0 ๐2 = 2 ๐3 = 0 ๐4 = 2 … divergent ๐! lim ๐ = +∞ ๐ > 0 bestimmt divergent ๐→∞ ๐ 3.2 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen Definition: Sei ๐ท ⊂ โ. Ein Punkt x0 heißt Häufungspunkt (HP) der Menge D, wenn eine Folge von Punkten ๐ฅ๐ ∈ ๐ท, ๐ฅ๐ ≠ ๐ฅ0 ∀๐ existiert mit lim ๐ฅ๐ = ๐ฅ0 . ๐→∞ Beispiel 1: ๐ท = (0,1] 1 1 für 1: 1 − ๐ ∈ ๐ท ๐ = 2,3, … lim 1 − ๐ = 1 1 1 ๐→∞ 1 1 1 1 für 2: 2 − ๐ ∈ ๐ท ๐ = 3,4, … lim 2 − ๐ = 2 ๐→∞ Beispiel 2: Jede reelle Zahl ist HP von โ Definition: Grenzwert einer Funktion ๐: ๐ท(๐) โถ โ sei eine Funktion einer reellen Veränderlichen, x0 sei HP von ๐ท(๐). Man sagt, dass f im Punkt x0 den Grenzwert a hat, wenn für jede gilt x0 konvergente Folge {๐ฅ๐ }, ๐ฅ๐ ∈ ๐ท(๐) ๐ฅ๐ ≠ ๐ฅ0 gilt lim ๐(๐ฅ๐ ) = 0 lim ๐(๐ฅ) = ๐ (??Satz verbessern, ergänzen??) ๐→∞ ๐ฅ→๐ฅ0 72 Bemerkung: Es ist nicht gefordert, dass x0 zum Definitionsbereich gehört. 1 Beispiel: ๐(๐ฅ) = ๐ฅ ⋅ sin ๐ฅ 1 In ๐ฅ0 = 0 ist f nicht definiert, x0 ist aber Häufungspunkt von ๐ท(๐) = โ โ {0} lim ๐ฅ sin ๐ฅ = ๐ฅ→0 0. 1 ๐ฅ>0 Beispiel: ๐(๐ฅ) = sgn ๐ฅ = { 0 ๐ฅ = 0 −1 ๐ฅ < 0 1 1 lim ๐(๐ฅ) existiert nicht, denn lim f ( ) = 1 lim f (− ) = −1 ๐ฅ→0 ๐→∞ ๐→∞ n n Definition des einseitigen Grenzwertes Gilt für jede Folge {๐ฅ๐ } mit ๐ฅ๐ โถ ๐ฅ0 , ๐ฅ๐ ∈ ๐ท(๐), ๐ฅ๐ > ๐ฅ0 (bzw. ๐ฅ๐ < ๐ฅ0 ) die Eigenschaft lim ๐(๐ฅ๐ ) = ๐, so heißt a rechtsseitiger (bzw. linksseitiger) Grenzwert in x0. ๐→∞ Schreibweise: ๐ = lim ๐(๐ฅ) (bzw. ๐ = lim ๐(๐ฅ)) ๐ฅ↓๐ฅ0 ๐ฅ↑๐ฅ0 oder ๐ = lim ๐(๐ฅ) (bzw. ๐ = lim ๐(๐ฅ)) ๐ฅ→๐ฅ0 +0 ๐ฅ→๐ฅ0 −0 oder ๐ = ๐(๐ฅ + 0) (๐๐ง๐ค. ๐ = ๐(๐ฅ0 − 0)) Beispiel: ๐(๐ฅ) = sgn ๐ฅ ๐ฅ0 = 0 ๐(−0) = lim sgn ๐ฅ = −1 ๐(+0) = lim sgn ๐ฅ = 1 ๐ฅ↑0 ๐ฅ↓0 Ist x0 sowohl Häufungspunkt von ๐ท(๐) ∩ {๐ฅ|๐ฅ < ๐ฅ0 } als auch von ๐ท(๐) ∩ {๐ฅ|๐ฅ > ๐ฅ0 }, so lim ๐(๐ฅ) = ๐ โบ lim ๐(๐ฅ) = lim ๐(๐ฅ) = ๐ ๐ฅ→๐ฅ0 ๐ฅ↑๐ฅ0 ๐ฅ↓๐ฅ0 Satz 3: Vorausgesetzt sei die Existenz von lim ๐(๐ฅ) und lim ๐(๐ฅ), dann gilt ๐ฅ→๐ฅ0 ๐ฅ→๐ฅ0 lim (๐(๐ฅ) ± ๐(๐ฅ)) = lim ๐(๐ฅ) ± lim ๐(๐ฅ) ๐ฅ→๐ฅ0 ๐ฅ→๐ฅ0 ๐ฅ→๐ฅ0 lim ๐(๐ฅ)๐(๐ฅ) = lim ๐(๐ฅ) ⋅ lim ๐(๐ฅ) ๐ฅ→๐ฅ0 ๐ฅ→๐ฅ0 lim ๐(๐ฅ) ๐ฅ→๐ฅ0 ๐(๐ฅ) ๐ฅ→๐ฅ0 = , falls lim ๐(๐ฅ) ≠ 0 ๐ฅ→๐ฅ0 ๐(๐ฅ) ๐ฅ→๐ฅ0 lim ๐(๐ฅ) lim ๐ฅ→๐ฅ0 Satz 4: gilt ๐(๐ฅ) ≤ ๐(๐ฅ) โถ lim ๐(๐ฅ) ≤ lim ๐(๐ฅ) ๐ฅ→๐ฅ0 ๐ฅ→๐ฅ0 Wenn zusätzlich gilt ๐(๐ฅ) ≤ โ(๐ฅ) ≤ ๐(๐ฅ) und lim ๐(๐ฅ) = lim ๐(๐ฅ) = ๐, so folgt auch ๐ฅ→๐ฅ0 lim โ(๐ฅ) = ๐. ๐ฅ→๐ฅ0 73 ๐ฅ→๐ฅ0 P1 1 P tan x sin x x 0 cos x Q1 A1 = Fläche des Dreiecks 0Q1P A2 = Fläche des Sektors 0Q1P A3 = Fläche des Dreiecks 0Q1P1 ๐ ๐ด1 < ๐ด2 < ๐ด3 0 < ๐ฅ < 2 1 ๐ด1 = sin ๐ฅ 2 1 ๐ฅ ๐ด2 = ๐ฅ (๐ 2 ๐ ⋅ ) 2 2๐ 1 ๐ด3 = tan ๐ฅ 2 ๐ sin ๐ฅ < ๐ฅ < tan ๐ฅ 0 < ๐ฅ < 2 sin ๐ฅ sin ๐ฅ sin ๐ฅ ๐ <1 ๐ฅ< โถ cos ๐ฅ < < 1 für 0 < ๐ฅ < ๐ฅ cos ๐ฅ ๐ฅ 2 ๐(๐ฅ) โ(๐ฅ) ๐ฅ ๐ฅ 2 ๐ฅ2 2 โ โ๐ฅ = 2 sin ( ) < 2 ( ) = lim cos ๐ฅ = 1 denn 0 ≤ 1 − cos โ โถ0 ๐ฅ→0 2 2 ๐(๐ฅ) 2 โถ lim โ(๐ฅ) = 0 โถ lim cos ๐ฅ = 1 ๐ฅ→0 ๐ฅ→0 sin ๐ฅ 0 sin ๐ฅ ๐ lim = 1 vom Typ denn cos โ๐ฅ < < โ 1 0<๐ฅ< โ ๐ฅ→0 ๐ฅ 0 ๐ฅ 2 ๐(๐ฅ) ๐(๐ฅ) โ(๐ฅ) sin ๐ฅ lim ๐(๐ฅ) = lim ๐(๐ฅ) = 1 โถ lim =1 ๐ฅ→0 ๐ฅ→0 ๐ฅ↓0 ๐ฅ Linksseitiger Grenzwert: sin ๐ฅ sin(−๐ฆ) − sin ๐ฆ sin ๐ฆ lim = lim = lim = lim =1 ๐ฅ↑0 ๐ฅ −๐ฆ↑0 ๐ฆ↓0 −๐ฆ ๐ฆ↓0 ๐ฆ −๐ฆ 1 lim(1 + ๐ฅ)๐ฅ = ๐ ๐ฅ→0 Definition: Es sei x0 ein Häufungspunkt von ๐ท(๐). Gilt lim ๐(๐ฅ๐ ) = +∞ für alle Folgen {๐ฅ๐ } mit ๐ฅ๐ ∈ ๐→∞ ๐ท(๐), ๐ฅ๐ ≠ ๐ฅ0 , ๐ฅ๐ โถ ๐ฅ0 dann schreiben wir lim ๐(๐ฅ) = +∞. Analog lim ๐(๐ฅ) = −∞. In ๐ฅ→๐ฅ0 ๐ฅ→๐ฅ0 diesen Fällen heißt x0 Polstelle. 1 Beispiel: ๐(๐ฅ) = ๐ฅ, Polstelle x = 0 Beispiel: rechtsseitige Polstelle Definition: Sei ๐: ๐ท(๐) โถ โ und x0 ein fester Punkt aus ๐ท(๐). f heißt stetig in x0, wenn ∀๐ > 0 ∃๐ฟ = ๐ฟ(๐) > 0, so dass |๐(๐ฅ) − ๐(๐ฅ0 )| < ๐ ∀๐ฅ ∈ ๐ท(๐): |๐ฅ − ๐ฅ0 | < ๐ฟ. 74 ๐(๐ฅ0 ) − ๐ < ๐(๐ฅ0 ) < ๐(๐ฅ0 ) + ๐ f(x) + ε Die Funktionswerte ๐(๐ฅ) weichen um weniger als ε von ๐(๐ฅ0 ) f(x) ab, wenn nur x nah genug an x0 liegt. Und dies muss für ein beliebiges ๐ > 0 gelten. f(x) - ε x0 - δ x0 x0 + δ Ist ๐ ⊂ ๐ท(๐) und f stetig in allen Punkten von M, so heißt f stetig auf M. Ist ๐ท(๐) = โ und f überall stetig, so heißt f eine stetige Funktion. Beispiel 1: ๐(๐ฅ) = ๐ ist stetig, da ๐(๐ฅ) − ๐(๐ฅ0 ) = 0 < ๐ ∀๐, ∀๐ฅ Beispiel 2: ๐(๐ฅ) = ๐ฅ ist stetig, |๐(๐ฅ) − ๐(๐ฅ0 )| = |๐ฅ − ๐ฅ0 | < ๐ falls |๐ฅ − ๐ฅ0 | < ๐, ๐ฟ(๐) = ๐ Definition: x0 sei HP. f ist stetig in x0 genau dann, wenn aus ๐ฅ๐ ∈ ๐ท(๐) und ๐ฅ๐ โถ ๐ฅ0 folgt ๐(๐ฅ๐ ) โถ ๐(๐ฅ0 ) für beliebige {๐ฅ๐ } mit ๐ฅ๐ โถ ๐ฅ0 . Satz 5: ๐ i) sind f und g in x0 stetig, so ist dies durch ๐ ± ๐, ๐ ⋅ ๐ und ๐ falls ๐(๐ฅ0 ) ≠ 0 ii) sind f und g stetige Funktionen, so ist es auch die mittelbare Funktion โ(๐ฅ) = ๐(๐(๐ฅ)) Beispiel 3: ๐(๐ฅ) = ๐ฅ ๐ Beispiel 4: alle Polynome mit konstanten Koeffizienten sind stetig Beispiel 5: alle gebrochen rationale Funktionen sind in ihrem Definitionsgebiet stetig Beispiel 6: ๐(๐ฅ) = sin ๐ฅ |sin ๐ฅ − sin ๐ฅ0 | ≤ |๐ฅ − ๐ฅ0 | < ๐ falls |๐ฅ − ๐ฅ0 | < ๐ฟ = ๐ ๐ฅ + ๐ฅ0 ๐ฅ − ๐ฅ0 ๐ฅ − ๐ฅ0 ๐ฅ − ๐ฅ0 |sin ๐ฅ − sin ๐ฅ0 | = 2 |cos ⋅ sin | ≤ 2 |sin | ≤ 2| | = |๐ฅ − ๐ฅ0 | 2 2 2 2 ๐ Beispiel 7: ๐(๐ฅ) = cos ๐ฅ cos ๐ฅ = sin (๐ฅ + 2 ) sind stetig Beispiel 8: tan ๐ฅ, cot ๐ฅ stetig auf Definitionsgebiet Beispiel 9: ex ist stetig Unstetige Funktion 1 Beispiel 1: Heaviside Funktion ๐ป(๐ฅ) = { 0 ๐ฅ≥0 ๐ฅ<0 1 ๐ฅ>0 Beispiel 2: sgn ๐ฅ = { 0 ๐ฅ = 0 −1 ๐ฅ < 0 1 1 -1 Beispiel 3: Sägezahnfunktion 1 1 ๐ฅ−๐ ๐− <๐ฅ <๐+ 2 2 ๐(๐ฅ) = { 1 0 ๐ฅ =๐+ 2 1 2 Klassifikation von Unstetigkeitsstellen f sei unstetig in x0 75 1 2 Fall a) Die einseitigen Grenzwerte ๐(๐ฅ0 − 0) und ๐(๐ฅ0 + 0) existieren beide und sind endlich. (Unstetigkeit 1. Art) ๐(๐ฅ0 − 0) = ๐(๐ฅ0 + 0) ≠ ๐(๐ฅ0 ) x0 oder ๐(๐ฅ0 − 0) ≠ ๐(๐ฅ0 + 0) x0 Fall b) ๐(๐ฅ0 − 0) oder ๐(๐ฅ0 + 0) existieren nicht (oder sind ±∞) (Unstetigkeit 2. Art) 1 z.B. ๐ฅ, ๐ฅ0 = 0 Polstelle Satz: wenn f stetig ist, dann gilt lim ๐(๐ฅ) = ๐ ( lim ๐ฅ) = ๐(๐ฅ0 ) ๐ฅ→๐ฅ0 ๐ฅ→๐ฅ0 Beispiel: lim cos x = cos (lim x) = cos 0 = 1 x→0 x→0 Satz 6: Zwischenwertsatz für stetige Funktionen Ist ๐: [๐, ๐] โถ โ stetig und y eine beliebige Zahl, die echt zwischen ๐(๐) und ๐(๐) liegt (d.h. ๐(๐) < ๐ฆ < ๐(๐) oder ๐(๐) > ๐ฆ > ๐(๐)), so gibt es mindestens eine ๐ฅ ∈ (๐, ๐) mit ๐(๐ฅ) = ๐ฆ. Beweis: Löwenfangmethode Siehe Quicksearch in Informatik. Immer Halbierung des gesuchten Bereichs. y a x b Die Umkehrfunktion einer streng monotonen und stetigen Funktion ist auf ihrem Definitionsgebiet stetig. ๐ Folgerung: Stetigkeit von den Arkusfunktionen √๐ฅ, Logarithmus, Areafunktion 3.3 Differentiation einer Funktion 3.3.1 Ableitung und Differential Definition: Eine Funktion f einer reellen Veränderlichen heißt differenzierbar im Punkt ๐ฅ0 ∈ ๐ท(๐), wenn der Grenzwert ๐(๐ฅ0 + โ) − ๐(๐ฅ0 ) lim = ๐′(๐ฅ0 ) โ→0 โ in โ existiert. Dabei ist vorausgesetzt, dass f in einer Umgebung von x 0 definiert ist. Die Zahl ๐′(๐ฅ0 ) heißt Ableitung von f an der Stelle x0. Ist f in allen Punkten einer Menge M differenzierbar, so heißt f differenzierbar auf M. Ist f differenzierbar auf ๐ท(๐), so heißt f differenzierbar. 76 ๐(๐ฅ0 + โ) − ๐(๐ฅ0 ) ๐−๐ = lim =0 โ→0 โ→0 โ โ f ist differenzierbar, ๐′(๐ฅ) = 0 ∀๐ฅ ∈ โ Beispiel 1: ๐(๐ฅ) = ๐ lim Beispiel 2: ๐(๐ฅ) = ๐ฅ ๐ ๐ ∈ โ (๐ฅ0 + โ)๐ − (๐ฅ0 )๐ ๐ฅ0๐ + ๐๐ฅ0๐−1 โ + โฏ + โ๐ − ๐ฅ0๐ = lim = lim (๐๐ฅ0๐−1 + โฏ + โ๐−1 ) = ๐๐ฅ0๐−1 โ→0 โ→0 โ→0 โ โ lim (๐ฅ ๐ )′ = ๐๐ฅ ๐−1 Beispiel 3: ๐(๐ฅ) = sin ๐ฅ lim sin(๐ฅ0 + โ) − sin ๐ฅ0 โ โ→0 (sin ๐ฅ)′ = cos ๐ฅ = lim โ โ 2 cos (๐ฅ0 + 2) sin 2 โ โ→0 โ โ sin 2 = lim cos (๐ฅ0 + ) ⋅ = cos ๐ฅ0 โ โ→0 2 2 (cos ๐ฅ)′ = − sin ๐ฅ Beispiel 4: (๐ ๐ฅ )′ = ๐ ๐ฅ Das Differential f(x+dx) dy f(x) x Δy ๐๐ฅ = Δ๐ฅ = ๐ฅ1 − ๐ฅ Δ๐ฆ = ๐(๐ฅ1 ) − ๐(๐ฅ) ๐๐ฆ = ๐′(๐ฅ)๐๐ฅ Allgemein: Δ๐ฆ ≠ ๐๐ฆ x+dx Gleichung der Tangente: ๐ฆ = ๐ ′ (๐ฅ)๐๐ฅ + ๐(๐ฅ) = ๐ ′ (๐ฅ) ⋅ (๐ฅ1 − ๐ฅ) + ๐(๐ฅ) ๐๐ฆ = ๐ฆ − ๐(๐ฅ) = ๐′(๐ฅ) ⋅ (๐ฅ1 − ๐ฅ) Die Größe ๐๐ฆ = ๐′(๐ฅ)๐๐ฅ heißt Differenzial von f an der Stelle x (Differential kann unendlich groß sein). Untersuchung des Restgliedes (Δy – dy) ๐(๐ฅ + โ) − ๐(๐ฅ) ๐(๐ฅ + โ) − ๐(๐ฅ) โบ lim (๐ ′ (๐ฅ) − )=0 โ→0 โ→0 โ โ ๐(๐ฅ + โ) − ๐(๐ฅ) = ๐ ′ (๐ฅ)โ + ๐(๐ฅ, โ), r = Restglied, Fehler ๐(๐ฅ + โ) − ๐(๐ฅ) ๐(๐ฅ, โ) = ๐ ′ (๐ฅ) + โ โ ๐(๐ฅ, โ) 0 = lim โ→0 โ ๐ ′ (๐ฅ) = lim Das Restglied wird von höherer Ordnung o sein als h. ๐(๐ฅ, โ) = ๐(โ) โถ o von h. Folgerung: lim ๐(๐ฅ + โ) − ๐(๐ฅ) = 0 โ→0 Wenn f differenzierbar ist, ist f stetig! Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion muss nicht stetig sein. 77 1 Beispiel: ๐(๐ฅ) = { ๐ฅ sin ๐ฅ ๐ฅ≠0 0 ๐ฅ=0 Beispiel 5: ๐(๐ฅ) = ๐ฅ ๐ ๐ ∈ โ, ๐ฅ > 0 ๐ (๐ฅ0 + โ) − โ→0 โ lim ๐ ๐ฅ0 ๐−1 = ๐ฅ0 lim โ ๐ (1 + ๐ฅ ) − 1 0 โ ๐ฅ0 โ→0 (๐ฅ ๐ )′ = ๐๐ฅ ๐−1 3.3.2 ๐−1 = ๐๐ฅ0 Differentiationsregeln (๐ผ๐ + ๐ฝ๐)′ = ๐ผ๐ ′ + ๐ฝ๐′ (๐ ⋅ ๐)′ = ๐ ′ ๐ + ๐๐′ Produktregel ๐ ′ ๐ ′ ๐ − ๐๐′ ( ) = ๐ ๐2 Quotientenregel sin ๐ฅ ′ cos ๐ฅ cos ๐ฅ − sin ๐ฅ (− sin ๐ฅ) 1 (tan ๐ฅ)′ = ( ) = = 2 cos ๐ฅ cos ๐ฅ cos2 ๐ฅ Sind f und g differenzierbar und ๐ โ ๐ erklärt, dann gilt: ′ (๐(๐(๐ฅ))) = ๐′(๐(๐ฅ)) ⋅ ๐′(๐ฅ) Kettenregel Beispiel: (๐ ๐ฅ )′ = ๐ ๐ฅ ⋅ ln ๐ ๐๐ฆ ๐๐ฆ ๐๐ง = ⋅ ๐๐ฅ ๐๐ง ๐๐ฅ Ableitung von Umkehrfunktion ๐ฆ = ๐(๐ฅ), die Umkehrfunktion soll existieren, f stetig, f differenzierbar. y ๐ −1 (๐ฆ) = ๐ −1 (๐(๐ฅ)) = ๐ฅ y ๏ฝ f ๏จx ๏ฉ x ๏ฝ f ๏ญ1 ๏จ y ๏ฉ x Austausch der Variablen ๐ฅ โท ๐ฆ ๐ฆ = ๐ −1 (๐ฅ) = ๐(๐ฅ) โบ ๐ฅ = ๐(๐ฆ) ๐(๐ฅ) − ๐(๐ฅ0 ) ๐ฆ − ๐ฆ0 1 1 1 = = → = ๐ฅ − ๐ฅ0 ๐(๐ฆ) − ๐(๐ฆ0 ) ๐(๐ฆ) − ๐(๐ฆ0 ) ๐ฆ→๐ฆ0 ๐′(๐ฆ0 ) ๐′(๐ −1 (๐ฅ0 )) ๐ฆ − ๐ฆ0 Wir zeigten: ๐ −1 (๐ฅ)−๐ −1 (๐ฅ0 ) ๐ฅ−๐ฅ0 → 1 ๐ฅ→๐ฅ0 ๐′(๐ −1 (๐ฅ0 )) Satz 7: 78 Ist f streng monoton und stetig in einer Umgebung des Punktes y0 und es existiere in y0 die Ableitung ๐′(๐ฆ0 ) ≠ 0, dann ist die Umkehrfunktion ๐ −1 im Punkt ๐ฅ0 = ๐(๐ฆ0 ) differenzierbar und es gilt: (๐ −1 )′ (๐ฅ0 ) = ๐๐ฆ 1 1 1 = = ๐′(๐ฆ0 ) ๐′(๐ −1 (๐ฅ0 )) ๐๐ฅ ๐๐ฅ ๐๐ฆ Beispiel: ๐ฆ = ln ๐ฅ โถ ๐ฅ = ๐ ๐ฆ = ๐(๐ฆ) (ln ๐ฅ)′ = (arcsin ๐ฅ)′ = Beispiel: ๐ฆ = arcsin ๐ฅ โถ ๐ฅ = sin ๐ฆ (arccos ๐ฅ)′ = − 1 √1 − ๐ฅ 2 (arctan ๐ฅ)′ = 1 1 1 = = (๐ ๐ฅ )′ ๐ ๐ฆ ๐ฅ 1 1 1 1 = = = (sin ๐ฆ)′ cos ๐ฆ √1 − sin2 ๐ฆ √1 − ๐ฅ 2 1 1 + ๐ฅ2 (arccot ๐ฅ)′ = − 1 1 + ๐ฅ2 Es gibt stetige Funktionen, die in einem (oder mehrere, auch unendlich viele) Punkte keine Ableitung besitzen. Definition: Rechts- und Linksseitige Ableitung ๐(๐ฅ0 + โ) − ๐(๐ฅ0 ) (rechtsseitig) (โ ↓ 0 = โ fällt gegen Null) โ↓0 โ ๐(๐ฅ0 + โ) − ๐(๐ฅ0 ) (linksseitig) (โ ↑ 0 = โ steigt gegen Null) ๐ ′ (๐ฅ0 − 0) = lim โ↑0 โ ๐ ′ (๐ฅ0 + 0) = lim Beispiel: ๐ฆ = |๐ฅ| = ๐(๐ฅ) ๐ ′ (๐ฅ + 0) = 1 ๐ ′ (๐ฅ − 0) = −1 Implizite Differentiation ๐ฅ Beispiel: ๐ฅ 2 + ๐ฆ 2 = 1 Wir leiten die Gleichung nach x ab: 2๐ฅ + 2๐ฆ๐ฆ ′ = 0 โถ ๐ฆ ′ = − ๐ฆ Ableitung der Hyperbel- und Areafunktionen 1 1 (sinh ๐ฅ)′ = cosh ๐ฅ (cosh ๐ฅ)′ = sinh ๐ฅ (tanh ๐ฅ)′ = (coth ๐ฅ)′ = − cosh2 ๐ฅ sinh2 ๐ฅ 1 1 (arsinh ๐ฅ)′ = (arcosh ๐ฅ ′ ) = 2 √1+๐ฅ2 √๐ฅ 1 −1 ′ ๐ฅ>1 1 (artanh ๐ฅ)′ = |๐ฅ| < 1 (arcoth ๐ฅ) = − 2 |๐ฅ| > 1 1−๐ฅ 2 ๐ฅ −1 3.3.3 Der Mittelwertsatz für differenzierbare Funktionen Satz 8: Fermat Ist f auf dem offenen Intervall (a, b) differenzierbar und hat f in ๐ฅ0 ∈ (๐, ๐) ein lokales Maximum oder Minimum, so gilt ๐ ′ (๐ฅ0 ) = 0. Lokales Minimum x0 mit ๐(๐ฅ) ≥ ๐(๐ฅ0 ) ∀๐ฅ in kleiner Umgebung von x0. Randpunkte a, b werden im Satz nicht behandelt. Beweis: Sei z.B. 1) x0 lokales Minimum ๐ฅ > ๐ฅ0 ๐ฅ โถ ๐ฅ0 ๐(๐ฅ)−๐(๐ฅ0 ) ๐ฅ−๐ฅ0 79 ≥ 0 โถ ๐′(๐ฅ0 + 0) ≥ 0 ๐ฅ < ๐ฅ0 ๐ฅ โถ ๐ฅ0 2) Da f differenzierbar ist, ๐(๐ฅ)−๐(๐ฅ0 ) ๐ฅ−๐ฅ0 gilt ๐ ′ (๐ฅ0 ≤ 0 โถ ๐′(๐ฅ0 − 0) ≤ 0 + 0) = ๐ ′ (๐ฅ0 − 0) = 0 Satz 9: von Rolle Ist ๐(๐ฅ) stetig auf [a, b] und differenzierbar in (a, b) und gilt ๐(๐) = ๐(๐) so existiert ein ๐ฅ0 ∈ (๐, ๐) mit ๐ ′ (๐ฅ0 ) = 0. ′ ๐(๐ฅ) = ๐ ๐ (๐ฅ) = 0 ′ es existiert ๐ (๐ฅ) = 0 a b Satz 10: 1. Mittelwertsatz der Differentialrechnung Ist f stetig auf [a, b] und differenzierbar in (a, b), so gibt es ein ๐ฅ0 ∈ (๐, ๐) und Parallel ๐(๐)−๐(๐) ๐−๐ = ๐′(๐ฅ0 ) . Anstieg der Tangente = Anstieg der Sekante. x0 Folgerung: ๐(๐ฅ + โ) − ๐(๐ฅ) = ๐′(๐ฅ + ๐โ)โ mit gewissen ๐ ∈ (0,1) (Formel von Lagrange) Verallgemeinerung des 1. Mittelwertsatzes: erfüllt g ebenfalls die Voraussetzungen des 1. Mittelwertsatzes und gilt ๐′(๐ฅ) ≠ 0 auf (a, b) so ∃๐ฅ0 ∈ (๐, ๐). 2. Mittelwertsatz 3.3.4 ๐(๐) − ๐(๐) ๐′(๐ฅ0 ) = ๐(๐) − ๐(๐) ๐′(๐ฅ0 ) Ableitungen höherer Ordnung ๐ ′′ (๐ฅ) = (๐′(๐ฅ))′ heißt 2. Ableitung von f. Voraussetzung ist es, dass ๐′(๐ฅ) wiederum als Funktion eine Ableitung besitzt. ๐ ′′′ (๐ฅ) = (๐′′(๐ฅ))′ ๐ (๐) (๐ฅ) = (๐ (๐−1) (๐ฅ)) ′ โถ ๐๐ ๐ ๐๐ฅ ๐ ๐ Beispiel: (sin ๐ฅ)′ = cos ๐ฅ = sin (๐ฅ + 2 ) (sin ๐ฅ)′′ = sin(๐ฅ + ๐) ๐ ๐ (sin ๐ฅ)(๐) = sin (๐ฅ + ๐ ) (cos ๐ฅ)(๐) = cos (๐ฅ + ๐ ) 2 2 Leibnitzsche Formel ๐ (๐) (๐ข ⋅ ๐ฃ) 3.3.5 ๐ = ∑ ( ) ๐ข(๐ข−๐) ๐ฃ ๐ ๐ Beweis über vollständige Induktion Die l’Hospitalsche Regel Satz: ๐, ๐: (๐, ๐) โถ โ seien in (a, b) differenzierbar und es gelte lim ๐(๐ฅ) = lim ๐(๐ฅ) = 0 ๐ฅ↑๐ oder lim ๐(๐ฅ) = lim ๐(๐ฅ) = +∞ ๐ฅ↑๐ ๐ฅ↑๐ 80 ๐ฅ↑๐ Ferner gelte ๐′(๐ฅ) ≠ 0 auf (a, b), dann gilt ๐(๐ฅ) ๐′(๐ฅ) lim = lim ๐ฅ↑๐ ๐(๐ฅ) ๐ฅ↑๐ ๐′(๐ฅ) falls der rechts stehende Grenzwert existiert. Erklärung: Anstatt Grenzwert von ๐(๐ฅ) ๐(๐ฅ) zu berechnen, kann man den Grenzwert von ๐′(๐ฅ) ๐′(๐ฅ) berechnen. sin ๐ฅ cos ๐ฅ 0 (vorher Typ , nach Ableitung lösbar) = lim =1 0 ๐ฅ→0 ๐ฅ ๐ฅ→0 1 1 − cos ๐ฅ sin ๐ฅ cos ๐ฅ 0 Beispiel 2: lim ๐ฅ = lim ๐ฅ = lim ๐ฅ = 1 (vorher Typ 0, nach Ableitung lösbar) ๐ฅ→0 ๐ − 1 − ๐ฅ ๐ฅ→0 ๐ − 1 ๐ฅ→0 ๐ Beispiel 1: lim Bemerkung: Der Satz gilt analog für ๐ฅ ↓ ๐, ๐ฅ ↑ +∞, ๐ฅ ↓ −∞ Beispiel 3: ๐ ๐๐ฅ ๐๐ ๐๐ฅ = lim = +∞ ๐ฅ→∞ ๐ฅ ๐ฅ→∞ 1 ๐ ๐ > 0 lim ๐ ๐ฅ ๐ ๐๐ฅ ๐๐ ๐ ๐ > 0 lim ๐ = ( lim ) = +∞ ๐ฅ→∞ ๐ฅ ๐ฅ→∞ ๐ฅ zμ stetige Funktion Die Exponentialfunktion wächst stärker als jede Potenzfunktion gegen unendlich. Behandlung unbestimmter Ausdrücke der Form 0 ⋅ ∞, ∞ − ∞ Fall 0 ⋅ ∞, ๐ โถ 0, ๐ โถ ∞ ๐(๐ฅ) ⋅ ๐(๐ฅ) = ๐(๐ฅ) 1 ๐(๐ฅ) = ๐(๐ฅ) 1 ๐(๐ฅ) ∞ 0 (erst Typ 0 ⋅ ∞, dann ∞ und zuletzt 0) 1 ln ๐ฅ 1 ๐ ๐ฅ Beispiel: lim ๐ฅ ⋅ ln ๐ฅ = lim −๐ = lim = lim ๐ฅ =0 ๐ฅ↓0 ๐ฅ↓0 ๐ฅ ๐ฅ→0 −๐๐ฅ −๐−1 ๐ฅ→0 −๐ ๐ฅ ๐ strebt schneller gegen 0 als Logarithmus gegen −∞ ๐ Fall ∞ − ∞, ๐ โถ ∞, ๐ โถ ∞ 1 1 1 1 ๐−๐ ๐(๐ฅ) − ๐(๐ฅ) = − = 1 1 1 1 ⋅ ๐ ๐ ๐ ๐ 1 1 ๐ฅ − sin ๐ฅ 1 − cos ๐ฅ sin ๐ฅ 0 Beispiel: lim ( − ) = lim = lim = lim = =0 ๐ฅ↓0 sin ๐ฅ ๐ฅ↓0 ๐ฅ→0 ๐ฅ→0 ๐ฅ ๐ฅ sin ๐ฅ sin ๐ฅ + ๐ฅ cos ๐ฅ 2 cos ๐ฅ − ๐ฅ sin ๐ฅ 2 3.3.6 Satz von Taylor Ziel ist die Darstellung unbekannter Funktionen mit Hilfe von Polynomen anzunähern. 81 Betrachten des Polynoms ๐(๐ฅ) = ๐0 + ๐1 ๐ฅ + ๐2 ๐ฅ 2 + โฏ + ๐๐ ๐ฅ ๐ Beobachtung ๐(0) = ๐0 , ๐′(0) = ๐1 , ๐′′(0) = 2๐2 , …, ๐ (๐) (0) = ๐! ๐๐ ๐′′(0) 2 ๐ (๐) (0) ๐ ′(0) ๐(๐ฅ) = ๐(0) + ๐ ⋅๐ฅ+ ๐ฅ + โฏ+ ๐ฅ 2! ๐! ๐′(๐ฅ0 ) ๐ (๐) (๐ฅ0 ) (๐ฅ − ๐ฅ0 ) + โฏ + (๐ฅ − ๐ฅ0 )๐ analog ๐(๐ฅ) = ๐(๐ฅ0 ) + 1! ๐! Satz: Taylorsche Formel ๐: [๐, ๐] โถ โ sei n-mal stetig differenzierbar und ๐ (๐+1) (๐ฅ) existiere im (a, b). Dann gilt für jedes ๐ฅ0 ∈ [๐, ๐]: ๐′(๐ฅ0 ) ๐′′(๐ฅ0 ) ๐ (๐) (๐ฅ0 ) (๐ฅ − ๐ฅ0 ) + (๐ฅ − ๐ฅ0 )2 + … + (๐ฅ − ๐ฅ0 )๐ + ๐ ๐ (๐ฅ) ๐(๐ฅ) = ๐(๐ฅ0 ) + 1! 2! ๐! und für das Restglied ๐ ๐ (๐ฅ) = ๐ (๐+1) (๐) (๐ฅ (๐+1)! − ๐ฅ0 )๐+1 wobei ๐ = ๐ฅ0 + ๐(๐ฅ − ๐ฅ0 ) und 0 < ๐ < 1. Bemerkung: falls ๐ฅ0 < ๐ฅ ๐ฅ0 < ๐ฅ0 + ๐(๐ฅ − ๐ฅ0 ) < ๐ฅ falls ๐ฅ0 > ๐ฅ ๐ฅ0 > ๐ฅ0 + ๐(๐ฅ − ๐ฅ0 ) > ๐ฅ ๐ kann nicht genau bestimmt werden für ๐ = 0: ๐(๐ฅ) = ๐(๐ฅ0 ) + ๐ ′ (๐) 1! (๐ฅ − ๐ฅ0 ) โถ ๐ ′ (๐) = ๐(๐ฅ)−๐(๐ฅ0 ) ๐ฅ−๐ฅ0 Mittelwertsatz Beispiel 1: ๐(๐ฅ) = ๐ ๐ฅ ๐ฅ0 = 0 ๐(0) = 1 ๐ ′ (๐ฅ) = ๐ ๐ฅ ๐ (๐) (๐ฅ) = ๐ ๐ฅ ๐ (๐) (0) = 1 1 1 1 ๐ 0+๐(๐ฅ−0) (๐ฅ − 0)๐+1 ๐ ๐ฅ = 1 + (๐ฅ − 0) + (๐ฅ − 0)2 + โฏ + (๐ฅ − 0)๐ + (๐ + 1)! 1! 2! ๐! ๐๐ฅ = 1 + ๐ฅ + ๐ ๐ฅ2 2! +โฏ+ ๐ฅ๐ ๐! ๐ ๐๐ฅ + ๐ ๐ mit ๐ ๐ = (๐+1)! ๐ฅ ๐+1 für ein festes aber beliebiges x ๐ ๐๐ฅ = ∑ ๐=0 ๐ฅ + ๐ ๐ (๐ฅ) ๐! ๐ ๐๐ฅ = ๐พ1 konstant bezüglich n ๐ฅ ๐+1 (๐+1)! ๐ฅ⋅…⋅๐ฅ ๐ฅ ๐ฅ ๐ฅ ๐พ2 =konst. bzgl. ๐ ๐ ๐ → ๐ฅ ๐ฅ = 1⋅2⋅…⋅(๐+1) โถ wähle Konstante ๐ ≥ ๐ฅ โถ= โ ⋅ ⋅ …⋅๐ ⋅โ ⋅ … ⋅ ๐+1 1 2 ๐+1 ๐→∞ ๐พ1 ⋅ ๐พ2 ⋅ 0 = 0 Ergebnis: Für jede Zahl ๐ฅ ∈ โ gilt die Taylorreihe: ∞ ๐ฅ ๐ =∑ ๐=0 ๐ฅ๐ ๐! speziell für ๐ฅ = 1: 1 1 1 ๐ = 1 + 1 + + + โฏ + + ๐ ๐ 2 6 ๐! 1 ๐⋅1 ๐ ๐ = ๐ ⋅ (๐+1)! ๐ = 1 (legen wir fest) 82 →0 wenn ๐→∞ ๐ ๐ ๐ = (๐+1)! bei ๐ = 4 Fehler = 1 120 Beispiel 2: ๐(๐ฅ) = sin ๐ฅ für alle x differenzierbar ๐(๐ฅ) = sin ๐ฅ ๐(0) = 0 ๐′(๐ฅ) = cos ๐ฅ ๐′(0) = 1 ๐′′(๐ฅ) = − sin ๐ฅ ๐′′(0) = 0 ′′′ (๐ฅ) ๐ = − cos ๐ฅ ๐′′′(0) = −1 โฎ โฎ 0 ๐ = gerade (๐) ๐ (0) = { (−1)๐−1 ๐ = 2๐ − 1 1 ๐ฅ3 ๐ฅ5 ๐ฅ 2๐−1 ๐−1 sin ๐ฅ = ๐ฅ − + ± โฏ + (−1) ⋅ + 0 + ๐ 2๐ (2๐ − 1)! 1! 3! 5! (−1)๐ mit ๐ 2๐ = ⋅ ๐ฅ 2๐+1 cos(๐๐ฅ) (2๐ + 1)! ๐ฅ 2๐+1 ๐ Abschätzung des Restgliedes: |๐ 2๐ | = |(−1) cos ๐๐ฅ| |(2๐+1)!| โ โ ๐→∞ 0 wie bei ๐ ๐ฅ Ergebnis: ∞ (−1)๐−1 2๐−1 ๐ฅ3 ๐ฅ5 sin ๐ฅ = ๐ฅ − + ± โฏ = ∑ ๐ฅ (2๐ − 1)! 3! 5! ๐=1 Wichtige Taylorreihen wie diese sollte man auswendig können. Beispiel 3: ๐(๐ฅ) = ln(๐ฅ + 1) in ๐ฅ0 = 0 ๐(๐ฅ) = ln(๐ฅ + 1) ๐(0) = 0 ′ (๐ฅ) −1 ๐ = (๐ฅ + 1) ๐ ′ (0) = 1 ๐ ′′ (๐ฅ) = −(๐ฅ + 1)−2 ๐ ′′ (0) = −1 ๐ ′′′ (๐ฅ) = (−1)(−2)(๐ฅ + 1)−3 ๐ ′′′ (0) = 2 ๐ (๐) (๐ฅ) = (−1)๐−1 (๐ − 1)! ⋅ (๐ฅ + 1)−๐ ๐ (๐) (0) = (−1)๐−1 (๐ − 1)! (−1)๐−1 (๐ − 1)! ๐ ๐ฅ 2 2๐ฅ 3 ln(๐ฅ + 1) = ๐ฅ − + − โฏ+ ๐ฅ + ๐ ๐ 2! 3! ๐! 2 3 ๐ ๐ฅ ๐ฅ ๐ฅ = ๐ฅ − + − โฏ + (−1)๐−1 + ๐ ๐ 2 3 ๐ (−1)๐ ๐! ๐ฅ ๐+1 Berechnung von ๐ ๐ = (๐๐ฅ+1)๐+1 ⋅ (๐+1)! ๐ฅ ๐+1 | ≤ 1 für ๐ฅ ∈ [0,1] (๐๐ฅ + 1)๐+1 1 |๐ ๐ | ≤ lim ๐ = 0 ๐ + 1 ๐→∞ ๐ (−1)๐−1 1 1 z.B. ๐ฅ = 1 ln 2 = 1 − 2 + 3 ± โฏ + ๐ + ๐ ๐ | 1 |๐ ๐ | ≤ โถ sehr schlechte Näherung für kleine n ๐+1 Ergebnis: für ๐ฅ ∈ [−1,1] gilt: 83 ∞ (−1)๐ 2๐ ๐ฅ2 ๐ฅ4 cos ๐ฅ = 1 − + ± โฏ = ∑ ๐ฅ (2๐)! 2! 4! ๐=0 ∞ ๐ฅ2 ๐ฅ3 ๐ฅ๐ ln(๐ฅ + 1) = ๐ฅ − + ± โฏ = ∑(−1)๐−1 2 3 ๐ ๐=1 Eingeschränkte Konvergenz der ln-Funktion. Beweis des Taylorschen Satzes und weitere Formen des Restglieds Wir gehen nach Burg/Haf/Wille, Band I (Analysis) vor und wählen zunächst eine natürliche Zahl p aus, 1 ≤ ๐ ≤ ๐ + 1, mit der wir eine sehr flexible Form des Restglieds erreichen können. Wir haben die Taylorsche Formel ๐(๐ฅ) = ๐(๐ฅ0 ) + ๐ ′ (๐ฅ0 ) ๐ (๐) (๐ฅ0 ) (๐ฅ − ๐ฅ0 ) + โฏ + (๐ฅ − ๐ฅ0 )๐ + ๐ ๐ (๐ฅ) 1! ๐! (1) zu diskutieren. Dabei ist nur zu beweisen, dass ๐ ๐ (๐ฅ) in der im Satz angegebenen Form dargestellt werden kann, denn ansonsten ist (1) durch Umstellung nach ๐ ๐ (๐ฅ) immer zu erfüllen. Wenn wir in (1) die Zahl ๐ฅ = ๐ฅ0 einsetzen, dann ist die Formel mit ๐ ๐ (๐ฅ) = 0 richtig, und dies stimmt mit der Aussage des Satzes überein. Also können wir im Weiteren voraussetzen ๐ฅ ≠ ๐ฅ0 . Als Ansatz für ๐ ๐ (๐ฅ) wählen wir ๐ ๐ (๐ฅ) = ๐(๐ฅ)(๐ฅ − ๐ฅ0 )๐ (2) mit einer von x abhängigen Konstante c und unserem gewählten p. Nun wird – und das ist der entscheidende Trick – x0 durch eine Variable z ersetzt, und bei festem x anstelle von f die Hilfsfunktion ๐ ′ (๐ง) ๐ (๐) (๐ง) (๐ฅ (๐ฅ − ๐ง)๐ + ๐(๐ฅ)(๐ฅ − ๐ง)๐ ๐น(๐ง) = ๐(๐ง) + − ๐ง) + โฏ + 1! ๐! (3) betrachtet. Sie sehen leicht, dass gilt ๐น(๐ฅ) = ๐(๐ฅ) und ๐น(๐ฅ0 ) = ๐(๐ฅ), also ๐น(๐ฅ0 ) = ๐น(๐ฅ). Nun können wir den Satz von Rolle anwenden. (Dessen Voraussetzungen sind erfüllt, weil f entsprechend oft stetig differenzierbar ist und ๐ (๐+1) noch existiert.) Nach diesem Satz existiert eine Zwischenstelle ๐ zwischen x und x0, so dass ๐น′ (๐) = 0 (4) gilt. Wenn sie die in (3) definierte Funktion F nach z differenzieren, dann stellen sie zu ihrer Überraschung fest, dass sich diese Ableitung auf den Ausdruck ๐ (๐+1) (๐ง) ′ (๐ง) (๐ฅ − ๐ง)๐ − ๐๐(๐ฅ)(๐ฅ − ๐ง)(๐−1) ๐น = ๐! reduziert. Wir setzen ๐ง = ๐ ein und erhalten wegen der Gleichung (4) ๐ (๐+1) (๐ง) (๐ฅ − ๐)๐ − ๐๐(๐ฅ)(๐ฅ − ๐)(๐−1) ๐! ๐ (๐+1) (๐) (๐ฅ − ๐)๐+1−๐ ๐(๐ฅ) = ๐! ๐ 0= 84 (5) Setzen wir (5) in (2) ein, so folgt ๐ ๐ (๐ฅ) = ๐ (๐+1) (๐) ๐!๐ (๐ฅ − ๐ฅ0 )๐ (๐ฅ − ๐)๐+1−๐ . Das ist die Form des Restglieds nach Schlömilch-Roche. Hier können wir noch frei über p verfügen. Setzen wir ๐ ๐ (๐ฅ) = ๐ (๐+1) (๐) (๐ฅ (๐+1)! ๐ = ๐ + 1, speziell so entsteht die im Satz Form − ๐ฅ0 )๐+1 , die Form nach Lagrange. Durch die Wahl ๐ = 1 entsteht ๐ ๐ (๐ฅ) = ๐ (๐+1) (๐) ๐! (๐ฅ − ๐ฅ0 )(๐ฅ − ๐)๐ , die Form nach Cauchy. 3.4 Anwendungen der Differentialrechnung 3.4.1 Newtonverfahren P(x1,f(x1)) f(x1) angegebene y=f(x) ๐(๐ฅ) = 0 Startwert x1 Tangente in ๐(๐ฅ1 , ๐(๐ฅ1 )) Schnittpunkt von Tangente mit x Achse = x2 ermitteln nun Tangente in ๐(๐ฅ2 , ๐(๐ฅ2 )) usw. x x2 Tangente in P: ๐ ′ (๐ฅ1 ) = Schnittpunkt: ๐ฅ2 = ๐ฅ1 − Formel: ๐ฅ๐+1 = ๐ฅ๐ − x1 ๐(๐ฅ)−๐(๐ฅ1 ) ๐ฅ−๐ฅ1 ๐(๐ฅ1 ) ๐ ′ (๐ฅ1 ) โน (๐ฅ − ๐ฅ1 ) = ๐(๐ฅ)−๐(๐ฅ1 ) ๐ ′ (๐ฅ1 ) ๐ ( ๐ฅ๐ ) ๐′(๐ฅ๐ ) Probleme: bei manchen Funktionen nähert man sich dem echten Wert nur langsam x1 x1 Bemerkung: ๐(๐ฅ) sei in einer Umgebung ๐ฅ stetig differenzierbar und ๐ฅ๐ ∈ ๐(๐ฅ) Beispiel: ๐(๐ฅ) = ๐ฅ 2 − 2 = 0 ๐ฅ = √2 ๐(๐ฅ๐ ) ๐ฅ๐2 − 2 ๐ฅ1 = 1,5 ๐ฅ๐+1 = ๐ฅ๐ − โน ๐ฅ๐+1 = ๐ฅ๐ − ๐′(๐ฅ๐ ) 2๐ฅ๐ ๐ฅ2 = 1,4166 85 Konvergenzgeschwindigkeit Definition: Konvergenz = Näherung dem richtigen Wert Entwickeln ๐ญ(๐) in ๐๐ = ๐ nach Taylor ๐ฅ๐+1 = ๐น(๐ฅ) = ๐ฅ − ๐(๐ฅ) ๐′(๐ฅ) ๐น(๐ฅ) = ๐ฅ 2 ๐น ′ (๐ฅ) =1− (๐′(๐ฅ)) − ๐(๐ฅ)๐′′(๐ฅ) 2 (๐′(๐ฅ)) = 1−1+0= 0 ๐น′′ (๐) (๐ฅ๐ − ๐ฅ)2 = ๐ฅ๐+1 Taylor: ๐น(๐ฅ) = ๐ฅ + 0 + โ 2! konst. โน |๐ฅ๐+1 − ๐ฅ| ≤ ๐(๐ฅ๐ − ๐ฅ)2 lokal quadratisch konvergent Bedingung: |๐น ′ (๐ฅ)| < 1 3.4.2 i) Kurvendiskussion Lokale Extrema f sei in (a, b) erklärt und ๐ฅ0 ∈ (๐, ๐), x0 liegt nicht auf Rand Definition: x0 heißt lokales Min (Max) von f wenn ein ๐ > 0 existiert, so dass ๐(๐ฅ0 ) ≤ ๐(๐ฅ) ∀๐ฅ ∈ (๐, ๐) mit |๐ฅ − ๐ฅ0 | < ๐ (bzw. ๐(๐ฅ0 ) ≥ ๐(๐ฅ)). Satz: Fermat Hat f in x0 ein lokales Min oder Max und ist f in x0 differenzierbar, so gilt ๐ ′ (๐ฅ0 ) = 0. f‘(x1,2)=0 x1 x2 f‘(x) existiert nicht x Satz: hinreichende + notwendige Bedingung 2. Ordnung für ein lokales Extremum Existiert ๐ ′′ (๐ฅ0 ) und hat f in x0 lokales Minimum (Maximum), dann gilt ๐ ′′ (๐ฅ0 ) ≥ 0 (bzw. ๐ ′′ (๐ฅ0 ) ≤ 0). Gilt ๐ ′ (๐ฅ0 ) = 0 und ๐ ′′ (๐ฅ0 ) > 0 (bzw. ๐ ′′ (๐ฅ0 ) < 0) so liegt in x0 ein lokales Minimum (Maximum) vor. Gegenbeispiel: ๐ฅ 3 ๐ฅ0 = 0 ๐ ′ (๐ฅ0 ) = 0 ๐ ′′ (๐ฅ0 ) = 0 keine Extremstelle → Wendepunkt Beispiel: 86 b β a α x ๐ฝ โถ max ๐+๐ ๐ = tan(๐ผ + ๐ฝ) = tan ๐ผ ๐ฅ ๐ฅ ๐+๐ ๐ ๐ฝ = arctan − arctan ๐ฅ ๐ฅ (๐ + ๐) ๐ ๐ฝ′ = − 2 + 2 =0 2 ๐ฅ + (๐ + ๐) ๐ฅ + ๐2 ๐ฅ = √๐(๐ + ๐) Allgemeine Regel Es sei ๐ ′ (๐ฅ0 ) = ๐ ′′ (๐ฅ0 ) = โฏ = ๐ (๐−1) (๐ฅ0 ) = 0 und ๐ (๐) (๐ฅ0 ) ≠ 0, dann hat f in x0 weder > 0 โถ Min Min noch Max, wenn n ungerade ist. Ist n gerade, dann gilt ๐ (๐) (๐ฅ0 ) { < 0 โถ Max 1 Beweis: ๐(๐ฅ) − ๐(๐ฅ0 ) = ๐! ๐ (๐) (๐)(๐ฅ − ๐ฅ0 )๐ ๐ (๐) (๐) hat gleiches Vorzeichen wie ๐ (๐) (๐ฅ0 ), falls x nahe an x0 liegt. n sei jetzt ungerade, dann wechselt (๐ฅ − ๐ฅ0 )๐ in x0 das Vorzeichen. โถ ๐(๐ฅ) − ๐(๐ฅ0 ) wechselt ebenfalls das Vorzeichen. Wenn n gerade ist (๐ฅ − ๐ฅ0 )๐ > 0 ∀๐ฅ ≠ ๐ฅ0 → lokales Min oder Max Beispiel: ๐(๐ฅ) = ๐ ๐ฅ + ๐ −๐ฅ + 2 cos ๐ฅ ๐ ′ (๐ฅ) = 0 โถ ๐ฅ0 = 0 ๐ ′′ (๐ฅ) = ๐ ′′′ (๐ฅ) = 0 โถ ๐ฅ0 = 0 ๐ ′′′′ (๐ฅ) ≠ 0 in x0, ๐ ′′′′ (๐ฅ0 ) = 4 โถ Min 1 Beispiel: ๐(๐ฅ) = {๐ −๐ฅ 0 ๐ (๐) (0) = 0 ∀∈ โค+ ii) 2 ๐ฅ>0 ๐ฅ≤0 Monotonie ๐ ′ (๐ฅ) > 0 in (a, b) โน ๐ wächst streng monoton ๐ ′ (๐ฅ) < 0 in (a, b) โน ๐ fällt streng monoton Bemerkung: ๐(๐ฅ) = ๐ฅ 3 ist streng monoton wachsend, aber ๐ ′ (0) = 0 iii) Wendepunkte Definition: 87 ๐: (๐, ๐) โถ โ heißt konvex (konkav), wenn ๐(๐๐ฅ + (1 − ๐)๐ฆ) ≤ ๐๐(๐ฅ) + (1 − ๐)๐(๐ฆ) (bzw. ๐(๐๐ฅ + (1 − ๐)๐ฆ) ≥ ๐๐(๐ฅ) + (1 − ๐)๐(๐ฆ)) für alle ๐ฅ, ๐ฆ ∈ (๐, ๐) und 0 < ๐ < 1. Gilt die strenge Ungleichheit „<“ (bzw. „>“) für 0 < ๐ < 1, so heißt f streng konvex (streng konkav). konvex konkav Man kann mit der zweiten Ableitung die Funktion auf Konvexität untersuchen ≥ 0 auf (๐, ๐) โถ konvex ๐ ′′ (๐ฅ) { ≤ 0 auf (๐, ๐) โถ konkav > 0 streng konvex ๐ ′′ (๐ฅ) { < 0 streng konkav Definition 1: Trennt x0 Bereiche in denen f streng konvex bzw. konkav ist, so heißt x0 Wendepunkt. Definition 2: Tangente durchstößt den Graph von f in x0 Tangente f Hinreichende Bedingung wenn ๐ ′′ (๐ฅ0 ) in x0 das Vorzeichen ändert. Bemerkung: Eine Kurvendiskussion umfasst die Bestimmung von Definitionsbereich, Wertebereich, Monotonie, Extrema, Wendepunkte, Konvexität/Konkavität, Verhalten im Unendlichen (±Unendlich), Asymptoten. Parameterdarstellung Definition: Eine stetige Funktion ๐ฆ: [๐, ๐] โถ โ๐ (๐ ≥ 2) heißt Weg in โ๐ , ihr Wertebereich heißt ๐ฅ1 (๐ก) ๐ Kurve in โ ๐พ(๐ก) = ( โฎ ), t = Parameter. ๐ฅ๐ (๐ก) b ๐พ(๐) =Anfang ๐พ(๐) =Ende a Beispiele: ๐พ(๐ก) = ( 1) Kreis ๐ฅ(๐ก) ) ๐ฆ(๐ก) ๐ฅ(๐ก) = ๐ cos ๐ก ๐ฆ(๐ก) = ๐ sin ๐ก denn ๐ฅ 2 + ๐ฆ 2 = ๐2 y x y 2) Ellipse ๐ฅ(๐ก) = ๐ cos ๐ก ๐ฆ(๐ก) = ๐ sin ๐ก x 88 3) Archimedische Spirale ๐ฅ(๐ก) = ๐๐ก cos ๐ก ๐ฆ(๐ก) = ๐๐ก sin ๐ก 4) Neilsche Parabel ๐ฅ = ๐ก3 ๐ฆ = ๐ก2 = ๐ฅ3 2 λ=1 5) Zykloide, Kreis rollender ๐ฅ = ๐(๐ก − ๐ sin ๐ก) ๐ฆ = ๐(1 − ๐ cos ๐ก) λ<1 λ>1 6) Astroide, Kreis rollt im ๐ฅ(๐ก) = ๐ cos3 ๐ก ๐ฆ(๐ก) = ๐ sin3 ๐ก Kreis Der Tangentenvektor ๐ฅ ′ (๐ก) An der Kurve im Punkt ๐ฅ(๐ก), ๐ฆ(๐ก) ist ๐พ ′ (๐ก) = ( ′ ) falls |๐พ ′ (๐ก)| ≠ 0 ๐ฆ (๐ก) Tangenteneinheitsvektor ๐พ ′ (๐ก) ๐(๐ก) = ′ |๐พ (๐ก)| 1 Normalenvektor ๐(๐ก) = |๐พ′ (๐ก)| ( −๐ฆ′(๐ก) ) steht senkrecht auf Tangentenvektor ๐(๐ก) ⋅ ๐(๐ก) = 0 ๐ฅ′(๐ก) Anwendung in Elektrotechnik Lissajous Figuren ๐ฅ(๐ก) = ๐ด1 sin(๐1 ๐ก − ๐1 ) ๐ฆ(๐ก) = ๐ด2 sin(๐2 ๐ก − ๐2 ) 0 ≤ ๐ก ≤ 2๐ 89 4. Integralrechnung für Funktionen einer Variablen 4.1 Das unbestimmte Integral Definition: ๐: (๐, ๐) โถ โ sei eine gegebene Funktion. Jede Funktion ๐น: (๐, ๐) โถ โ mit der Eigenschaft ๐น ′ (๐ฅ) = ๐(๐ฅ) ∀๐ฅ ∈ (๐, ๐) heißt Stammfunktion von f. Eigenschaften: ๏ท Mit ๐น(๐ฅ) ist auch ๐น(๐ฅ) + ๐ Stammfunktion von f (c-Konstante) ๏ท Alle Stammfunktionen von f unterscheiden sich nur durch die Konstante voneinander Beispiel 1: ๐น(๐ฅ) = ๐ฅ 2 ist Stammfunktion von ๐(๐ฅ) = 2๐ฅ Beispiel 2: ๐น(๐ฅ) = 1 − cos ๐ฅ ist Stammfunktion von sin ๐ฅ Definition: Die Gesamtheit aller Stammfunktionen von f heißt unbestimmtes Integral von f: ∫ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ = ๐น(๐ฅ) + ๐ ist eine spezielle Stammfunktion. Einfache Integrale 1 1) ∫ ๐ฅ ๐ ๐๐ฅ = ๐+1 ๐ฅ ๐+1 + ๐ ๐ ≠ −1 2) ∫ ๐ฅ ๐๐ฅ = ln|๐ฅ| + ๐ sei ๐ฅ < 0 ln|๐ฅ| = ln(−๐ฅ) 3) ∫ 1+๐ฅ 2 ๐๐ฅ = arctan ๐ฅ + ๐ 4) ∫ √1−๐ฅ2 ๐๐ฅ = arcsin ๐ฅ + ๐ 5) 6) 7) 8) ∫ ๐ ๐ฅ ๐๐ฅ = ln ๐ ๐ ๐ฅ + ๐ ∫ sin ๐ฅ ๐๐ฅ = − cos ๐ฅ + ๐ ∫ cos ๐ฅ ๐๐ฅ = sin ๐ฅ + ๐ 1 ∫ cos2 ๐ฅ ๐๐ฅ = tan ๐ฅ + ๐ 9) ∫ sin2 ๐ฅ ๐๐ฅ = − cot ๐ฅ + ๐ 1 1 1 1 1 Regeln i) ∫(๐ ⋅ ๐(๐ฅ) + ๐ ⋅ ๐(๐ฅ))๐๐ฅ = ๐ ∫ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ + ๐ ∫ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ ii) Partielle Integration ๐ = ๐(๐), ๐ = ๐(๐) ∫ ๐ข ⋅ ๐ฃ ′ ๐๐ฅ = ๐ข ⋅ ๐ฃ − ∫ ๐ข′ ⋅ ๐ฃ๐๐ฅ Beweis: (๐ข๐ฃ)′ = ๐ข′ ๐ฃ + ๐ข๐ฃ ′ โถ ๐ข๐ฃ = ∫ ๐ข′๐ฃ๐๐ฅ + ∫ ๐ข๐ฃ′๐๐ฅ Beispiel 1) ∫ โ ๐ฅ ln โ ๐ฅ ๐๐ฅ = ๐ฃ′ ๐ข ๐ฅ2 2 ln ๐ฅ − ∫ ๐ฅ2 2 1 ⋅ ๐ฅ ๐๐ฅ = 90 ๐ฅ2 2 ln ๐ฅ − ๐ฅ2 4 +๐ Beispiel 2) ∫ ๐ ๐ฅ sin ๐ฅ ๐๐ฅ = ๐ ๐ฅ sin ๐ฅ − ∫ ๐ ๐ฅ cos ๐ฅ ๐๐ฅ = ๐ ๐ฅ sin ๐ฅ − [๐ ๐ฅ cos ๐ฅ + ∫ ๐ ๐ฅ sin ๐ฅ ๐๐ฅ] 2 ∫ ๐ ๐ฅ sin ๐ฅ ๐๐ฅ = ๐ ๐ฅ (sin ๐ฅ − cos ๐ฅ) + ๐ ∫ ๐ ๐ฅ sin ๐ฅ ๐๐ฅ = iii) 1 ๐ฅ ๐ (sin ๐ฅ − cos ๐ฅ) + ๐ 2 Substitutionsregel ∫ ๐(๐(๐ฅ)) ⋅ ๐′(๐ฅ)๐๐ฅ = ๐น(๐(๐ฅ)) + ๐ f von φ von x (Kettenregel). Stammfunktion von äußerer Funktion durch Ableitung der inneren. 1 Beispiel 1) ∫ โ sin2 ๐ฅ cos ๐ฅ ๐๐ฅ = 3 (sin ๐ฅ)3 + ๐ ๐ก 2 ๐๐ก Praktische Durchführung: ๐ก = ๐(๐ฅ) ๐๐ก = ๐ ′ (๐ฅ)๐๐ฅ ∫ ๐(๐(๐ฅ))๐′(๐ฅ)๐๐ฅ = ∫ ๐(๐ก)๐๐ก = ๐น(๐ก) + ๐ = ๐น(๐(๐ฅ)) + ๐ Beispiel 2) ∫ sin3 ๐ฅ ๐๐ฅ = ∫ sin2 ๐ฅ ⋅ sin ๐ฅ ๐๐ฅ = ∫(1 − cos2 ๐ฅ) sin ๐ฅ ๐๐ฅ 1 1 = − ∫(1 − ๐ก 2 )๐๐ก = −๐ก + ๐ก 3 + ๐ = − cos ๐ฅ + (cos ๐ฅ)3 + ๐ 3 3 ๐ฅ 1 2๐ฅ 1 1 1 1 Beispiel 3) ∫ 1+๐ฅ 2 ๐๐ฅ = 2 ∫ 1+๐ฅ 2 ๐๐ฅ = 2 ∫ 1+๐ก ๐๐ก = 2 ln|1 + ๐ก| + ๐ = 2 ln|1 + ๐ฅ 2 | + ๐ Beispiel 4) 1 ∫ √1 − ๐ฅ 2 ๐๐ฅ = − ∫ √1 − cos 2 ๐ก ⋅ sin ๐ก ๐๐ก = − ∫ sin2 ๐ก ๐๐ก = − ∫ (1 − cos 2๐ก)๐๐ก 2 1 1 1 = − ๐ก − sin 2๐ก + ๐ = − (๐ก − sin ๐ก cos ๐ก) + ๐ 2 4 2 1 1 2 = − (๐ก − √1 − cos ๐ก ⋅ cos ๐ก) + ๐ = − (arccos ๐ฅ − √1 − ๐ฅ 2 ⋅ ๐ฅ) + ๐ 2 2 4.2 Das bestimmte Integral gegeben: Intervall [a, b] und eine beschränkte Funktion ๐: [๐, ๐] โถ โ d.h. |๐(๐ฅ)| ≤ ๐ ∀๐ฅ ∈ [๐, ๐] gesucht: Flächeninhalt A der Fläche „unter“ dem Graphen von f Methode: μ1 m1 x0=a x1 b=xn Zerlegung Z von [a, b] in Teilintervalle ๐ = ๐ฅ0 < ๐ฅ1 < โฏ < ๐ฅ๐ = ๐. ๐ = {๐ฅ0 , … , ๐ฅ๐ }, n beliebig groß. Lage der xk beliebig, Δ๐ฅ๐ = ๐ฅ๐ − ๐ฅ๐−1. |๐| = max Δ๐ฅ๐ heißt Durchmesser der Zerlegung. ๐๐ = sup ๐(๐ฅ), obere Inhalt ist ๐๐ Δ๐ฅ๐ ๐๐ = inf ๐(๐ฅ), untere Inhalt ist ๐๐ Δ๐ฅ๐ 91 Definition: ๐ ๐๐ (๐) = ∑ ๐๐ Δ๐ฅ๐ Darbousche Obersumme ๐=1 ๐ ๐๐ (๐) = ∑ ๐๐ Δ๐ฅ๐ Darbousche Untersumme ๐=1 Definition: ๐ผ๐ = inf ๐๐ (๐) ๐ Oberes Integral ๐ผ๐ = sup ๐๐ (๐) Unteres Integral ๐ Definition: bestimmtes Integral, Riemannsches Integral Stimmen ๐ผ๐ und ๐ผ๐ überein, so heißt f auf (a, b] integrierbar. In diesem Fall heißt der ๐ gemeinsame Wert ๐ผ = ๐ผ๐ Integral von f auf [a, b] und wir schreiben ๐ผ = ∫๐ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ. Beispiel: ๐(๐ฅ) = ๐ฅ, [a, b], Δ๐ฅ = ๐ ๐ฅ๐ = ๐Δ๐ฅ ๐๐ (๐) = ∑ ๐ฅ๐ Δ๐ฅ = ∑ ๐(Δ๐ฅ)2 = μi mi xi-1 ๐−๐ xi (๐ − ๐)2 ๐(๐ + 1) ๐โถ∞ 2 2 (๐ − ๐) (๐ − 1)๐ ๐๐ (๐) = ∑ ๐ฅ๐−1 Δ๐ฅ = ∑(๐ − 1)(Δ๐ฅ)2 = ⋅ ๐โถ∞ ๐2 2 2 (๐−๐) Grenzwert für beide 2 ⋅ ๐ ๐ lim ๐๐ (๐) ≥ ๐ผ๐ ≥ ๐ผ๐ ≥ lim ๐๐ (๐) โถ ∫ ๐ฅ๐๐ฅ = ๐→∞ ๐2 ๐→∞ ๐ (๐ − ๐)2 ๐2 Satz 1: Jede auf [a, b] stetige und jede auf [a, b] monotone Funktion ist integrierbar. Beispiel: für f nicht Riemann integrierbar 1 ๐ฅ rational ๐(๐ฅ) = { 0 ๐ฅ irrational 1 Beweis: Für stetige Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall: ∀๐ > 0 ∃๐ฟ = ๐ฟ(๐) > 0 |๐(๐ฅ) − ๐(๐ฆ)| < ๐ ∀๐ฅ, ๐ฆ ∈ [๐, ๐] mit |๐ฅ − ๐ฆ| < ๐ฟ „gleichmäßige Stetigkeit“: ๐ฟ = ๐ฟ(๐) hängt nicht von x, y ab. Zerlegen [a, b] so dass max|Δ๐ฅ๐ | < ๐ฟ ๐ ๐๐น − ๐๐น = ∑(๐(๐๐ ) − ๐(๐๐ ))Δ๐ฅ๐ < ๐ ∑ Δ๐ฅ๐ = ๐(๐ − ๐) ๐=1 Da ๐ > 0 beliebig klein seien kann โถ ๐๐น − ๐๐น Beweisidee für monotone Funktion: ๐๐น − ๐๐น = ∑(๐๐ − ๐๐ )Δ๐ฅ๐ < ๐ฟ ∑(๐๐ − ๐๐ ) = ๐ฟ ∑(๐(๐ฅ๐ ) − ๐(๐ฅ๐−1 )) = ๐ฟ(๐(๐) − ๐(๐)) 92 Riemanns Grundidee: Zerlegung Z, ๐ฅ๐−1 = ๐๐ ≤ ๐ฅ๐ mit i = beliebig ๐ ๐ = ∑ ๐(๐๐ )Δ๐ฅ๐ offenbar ๐๐ (๐) ≥ ๐ ≥ ๐ผ๐ (๐) ๐=1 Satz 2: Ist ๐: [๐, ๐] โถ โ beschränkt, dann ist f auf [a, b] genau dann integrierbar, wenn für |๐| โถ 0 die Riemannsche Integralsumme σ immer (gegen den gleichen Wert) konvergiert. Dann gilt: ๐ min ๐ = ∫ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ |๐|→0 ๐ Anwendung Tangentenformel der numerischen Integration Äquidistante Unterteilung der Länge: ๐ ๐−๐ ๐ , ๐๐ = Mittelpunkt von xi-1, ๐ฅ๐ : ๐๐ = ๐ ∫ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ ≈ ๐ = ∑ ๐(๐๐ )Δ๐ฅ๐ ๐=1 ๐ ๐ ๐ ∫ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ = ๐−๐ ๐ฅ๐ + ๐ฅ๐+1 ∑๐ ( )+ โ ๐ฟ ๐ 2 Fehler ๐=1 ๐ Ist ๐′′ definiert und stetig und ๐′′(๐ฅ) ≤ ๐ auf [a, b], dann gilt |๐ฟ| ≤ 1 ๐ ๐−2 ๐๐ฅ 1 Beispiel: ∫ ๐๐ฅ ≈ ∑ exp (1 + )⋅ ๐ฅ ๐ ๐ 2 ๐=1 1 1 1 ๐−2 1+ ๐ ๐(๐−๐)3 24๐2 mit exp(๐ฅ) = ๐ ๐ฅ Näherung des Integrals nicht besonders. Unmittelbar aus der Riemannschen Definition folgen folgende Regeln: ๐ Wir setzen ∫ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ = 0 ๐ ๐ ๐ ∫ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ = − ∫ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ (๐ < ๐) ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ∫(๐ผ๐(๐ฅ) + ๐ฝ๐(๐ฅ))๐๐ฅ = ๐ผ ∫ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ + ๐ฝ ∫ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ ∀๐ผ, ๐ฝ ∈ โ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ∫ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ = ∫ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ + ∫ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ≤ ๐(๐ฅ) ≤ ๐ข โถ ๐(๐ − ๐) ≤ ∫ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ ≤ ๐(๐ − ๐) ๐ 93 ๐ฅ๐ +๐ฅ๐+1 2 ๐ ๐ ๐(๐ฅ) ≤ ๐(๐ฅ) ∀๐ฅ ∈ [๐, ๐] โถ ∫ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ ≤ ∫ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ ๐ ๐ Satz 3: Mittelwertsatz der Integralrechnung ๐ Ist ๐: [๐, ๐] โถ โ stetig, so existiert ein ๐ ∈ (๐, ๐), so dass ∫๐ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ = ๐(๐) ⋅ (๐ − ๐) f f(ξ) a 4.3 b Der Hauptsatz Integralrechnung der Differential- und Satz 4: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ๐ฅ Ist ๐: [๐, ๐] โถ โ stetig, dann ist ๐น(๐ฅ) = ∫๐ ๐(๐ก)๐๐ก ๐ฅ ∈ [๐, ๐] eine Stammfunktion von f. Beweis: Zu zeigen ist ๐น ′ (๐ฅ) = ๐(๐ฅ) d.h. lim ๐น(๐ฅ+โ)−๐น(๐ฅ) โ ๐ฅ+โ = ๐(๐ฅ) ๐น(๐ฅ + โ) − ๐น(๐ฅ) = ∫ ๐(๐ก)๐๐ก = ๐(๐) ⋅ โ, für โ โถ 0 gilt ๐(๐) โถ ๐(๐ฅ) ๐ฅ ๐น(๐ฅ + โ) − ๐น(๐ฅ) = ๐(๐) โถ ๐(๐ฅ) für โ โถ 0 โ Folgerung: Jede stetige Funktion f besitzt eine Stammfunktion. ๐๐ฅ Beispiel: ๐(๐ฅ) = ๐ฅ besitzt eine Stammfunktion. Diese lässt sich analytisch ausrechnen. Satz 5: 2. Hauptsatz Ist eine Stammfunktion der stetigen Funktion ๐: [๐, ๐] โถ โ, dann gilt ๐ ∫ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ = ๐น(๐) − ๐น(๐) ๐ Beweis: ๐ฅ ๐น(๐ฅ) = ∫ ๐(๐ก)๐๐ก + ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐น(๐) − ๐น(๐) = ∫ ๐(๐ก)๐๐ก + ๐ − (∫ ๐(๐ก)๐๐ก + ๐) = ∫ ๐(๐ก)๐๐ก ๐ ๐ ๐ ๐ Bezeichnung: ∫๐ ๐(๐ก)๐๐ก = ๐น(๐ฅ)|๐๐ = ๐น(๐) − ๐น(๐) ๐1 ๐ Beispiel 1: ๐ด = ∫๐ ๐ฅ ๐๐ฅ = ln ๐ฅ|๐๐ = ln ๐ 94 f(x)= a 1 x b Beispiel 2: Aufteilen in zwei Flächen. Somit zwei Rechnungen. Erst integrieren bis zur ersten Nullstelle (Fläche 1), dann bis zur zweiten (Fläche 2). 1 ๐ 2 2๐ ๐ด = ∫ sin ๐ฅ ๐๐ฅ + |∫ sin ๐ฅ ๐๐ฅ | = 4 0 4.4 ๐ Integration rationaler Funktionen ๐(๐ฅ) gesucht: ∫ ๐(๐ฅ), p, q – Polynome i) Polynomdivision ๐(๐ฅ) = โ(๐ฅ) โ + ๐(๐ฅ) Polynom Beispiel: ii) ๐(๐ฅ) ๐(๐ฅ) โ mit grad ๐ < grad ๐ gebrochen rationale Funktion ๐ฅ 4 +3๐ฅ 3 +2๐ฅ 2 +1 ๐ฅ 2 +1 3๐ฅ = ๐ฅ 2 + 3๐ฅ + 1 − ๐ฅ 2 +1 โถ โ(๐ฅ) = ๐ฅ 2 + 3๐ฅ + 1 ๐(๐ฅ) = −3๐ฅ ๐(๐) Partialbruchzerlegung von ๐(๐), ๐ = ๐ ๐ซ๐๐ ๐ < ๐ ๐ซ๐๐ ๐ = ๐ Linearbruchzerlegung von ๐(๐ฅ). Bestimmung der Nullstellen von ๐(๐ฅ): ๐ผ1 , … , ๐ผ๐ mit den Vielfachheiten ๐1 , … , ๐๐ . Die Nullstellen können komplex sein. ๐1 + โฏ + ๐๐ = ๐ ๐(๐ฅ) = (๐ฅ − ๐ผ1 )๐1 (๐ฅ − ๐ผ2 )๐2 … (๐ฅ − ๐ผ๐ )๐๐ Die komplexen Nullstellen treten paarweise auf (p und q sind reelle Polynome). Mit ๐ผ๐ ist auch ๐ผ๐ Nullstelle. Beispiel: ๐ฅ 2 + 1 = 0 โถ ๐ผ1 = ๐ ๐ผ2 = ๐ = −๐ Wir fassen beide Nullstellen zusammen (๐ฅ − ๐ผ๐ )(๐ฅ − ๐ผ๐ ) = ๐ฅ 2 + ๐ฝ๐ฅ + ๐พ 2 (๐ฅ − ๐ผ๐ )(๐ฅ − ๐ผ๐ ) = ๐ฅ 2 − (๐ผ๐ + ๐ผ๐ )๐ฅ + ๐ผ๐ ๐ผ๐ = ๐ฅ 2 − 2(Re ๐ผ๐ )๐ฅ + (๐ผ๐ ) โถ ๐ฝ, ๐พ ∈ โ โน ๐(๐ฅ) = (๐ฅ − ๐ผ1 )๐1 (๐ฅ − ๐ผ2 )๐2 … (๐ฅ − ๐ผ๐ )๐๐ (๐ฅ 2 + ๐ฝ1 ๐ฅ + ๐พ1 )๐1 … (๐ฅ 2 + ๐ฝ๐ฟ ๐ฅ + ๐พ๐ฟ )๐๐ฟ , wobei ๐ผ1 , … , ๐ผ๐ ∈ โ ๐ฝ๐ , ๐พ๐ ∈ โ ๐ ๐ฟ ๐ด๐๐๐ ๐ต๐๐๐ ๐ฅ + ๐ถ๐๐๐ ๐ด๐1 ๐ต๐1 ๐ฅ + ๐ถ๐1 ๐(๐ฅ) = ∑( + โฏ+ ) + ∑ ( + ) ๐๐ ๐(๐ฅ) ๐ฅ 2 + ๐ฝ๐ ๐ฅ + ๐พ๐ (๐ฅ 2 + ๐ฝ ๐ฅ + ๐พ )๐๐ (๐ฅ − ๐ผ๐ ) (๐ฅ − ๐ผ ) ๐=1 ๐ ๐ ๐=1 95 ๐ ๐ (๐ฅ) Beispiel 1) ๐(๐ฅ) = 2๐ฅ 3 −๐ฅ 2 −10๐ฅ+19 ๐ฅ 2 +๐ฅ−6 = 2๐ฅ − 3 + 5๐ฅ+1 ๐ฅ 2 +๐ฅ−6 Nullstellen von q: ๐ผ1 = 2 ๐ผ2 = −3 5๐ฅ + 1 ๐ด1 ๐ด2 = + (๐ฅ − 2)(๐ฅ + 3) ๐ฅ − 2 ๐ฅ + 3 1. Möglichkeit: Mit (๐ฅ − 2)(๐ฅ + 3) multiplizieren und Koeffizientenvergleich ausführen 5๐ฅ + 1 = ๐ด1 (๐ฅ + 3) + ๐ด2 (๐ฅ − 2) = (๐ด1 + ๐ด2 )๐ฅ + 3๐ด1 − 2๐ด2 ๐ฅ1 : 5 = ๐ด1 + ๐ด2 Gleichungssystem lösen ๐ฅ 0 : 1 = 3๐ด1 − 2๐ด2 11 14 ๐ด1 = ๐ด2 = 5 5 2. Möglichkeit: Grenzwertmethode 5๐ฅ + 1 ๐ด1 ๐ด2 |⋅ (๐ฅ − 2) = + (๐ฅ − 2)(๐ฅ + 3) ๐ฅ − 2 ๐ฅ + 3 5๐ฅ + 1 ๐ด2 (๐ฅ − 2) |๐ฅ = 2 = ๐ด1 + ๐ฅ+3 ๐ฅ+3 ๐ด1 = 11 5 5๐ฅ + 1 ๐ด1 (๐ฅ + 3) + ๐ด2 |๐ฅ = −3 = ๐ฅ−2 ๐ฅ−2 ๐ด2 = 14 5 Ergebnis: ∫ ๐(๐ฅ) 11 1 14 1 11 14 ๐๐ฅ = ∫ (2๐ฅ − 3 + ⋅ + ⋅ ) ๐๐ฅ = ๐ฅ 2 − 3๐ฅ + ln(๐ฅ − 2) + ln(๐ฅ + 3) + ๐ ๐(๐ฅ) 5 ๐ฅ−2 5 ๐ฅ+3 5 5 ๐(๐ฅ) ๐ฅ 3 −10๐ฅ 2 +7๐ฅ−3 Beispiel 2: ๐(๐ฅ) = ๐ฅ 4+2๐ฅ3−2๐ฅ2−6๐ฅ+5 Nullstellen von q: (๐ฅ − 1)2 (๐ฅ 2 + 4๐ฅ + 5) ๐(๐ฅ) ๐ด11 ๐ด12 ๐ต๐ฅ + ๐ถ = + + 2 2 ๐(๐ฅ) ๐ฅ − 1 (๐ฅ − 1) ๐ฅ + 4๐ฅ + 5 1. Multiplikation mit ๐ฅ 4 + 2๐ฅ 3 − 2๐ฅ 2 − 6๐ฅ + 5 โถ Koeffizientenvergleich, dauert sehr lange 2. Multiplikation mit (๐ฅ − 1)2 ๐ฅ 3 − 10๐ฅ 2 + 7๐ฅ − 3 ๐ต๐ฅ + ๐ถ (๐ฅ − 1)2 |๐ฅ = 1 = ๐ด11 (๐ฅ − 1) + ๐ด12 + 2 2 ๐ฅ + 4๐ฅ + 5 ๐ฅ + 4๐ฅ + 5 ๐ด12 = − 1 2 Multiplikation des Zwischenergebnis mit (๐ฅ − 1) ๐ฅ 3 − 10๐ฅ 2 + 7๐ฅ − 3 1 ๐ด11 ๐ต๐ฅ + ๐ถ |⋅ (๐ฅ − 1) + = + 2 2 2 2 (๐ฅ − 1) (๐ฅ + 4๐ฅ + 5) 2(๐ฅ − 1) ๐ฅ − 1 ๐ฅ + 4๐ฅ + 5 ๐ฅ 3 − 10๐ฅ 2 + 7๐ฅ − 3 1 ๐ต๐ฅ + ๐ถ (๐ฅ − 1) + = ๐ด11 + 2 2 (๐ฅ − 1)(๐ฅ + 4๐ฅ + 5) 2(๐ฅ − 1) ๐ฅ + 4๐ฅ + 5 โ 2๐ฅ 3 − 19๐ฅ 2 + 18๐ฅ − 1 (๐ฅ − 1)(2๐ฅ 2 − 17๐ฅ + 1) 2๐ฅ 2 − 17๐ฅ + 1 ๐ต๐ฅ + ๐ถ (๐ฅ − 1) |๐ฅ = 1 = = = ๐ด11 + 2 2(๐ฅ − 1)(๐ฅ 2 + 4๐ฅ + 5) 2(๐ฅ − 1)(๐ฅ 2 + 4๐ฅ + 5) 2(๐ฅ 2 + 4๐ฅ + 5) ๐ฅ + 4๐ฅ + 5 96 ๐ด11 = − 14 7 =− 20 10 2๐ฅ 2 − 17๐ฅ + 1 7 1 ๐ต๐ฅ + ๐ถ =− ⋅ + 2 2 2(๐ฅ − 1)(๐ฅ + 4๐ฅ + 5) 10 ๐ฅ − 1 ๐ฅ + 4๐ฅ + 5 2๐ฅ 2 − 17๐ฅ + 1 7 1 17๐ฅ 2 − 57๐ฅ + 40 ๐ต๐ฅ + ๐ถ + ⋅ = = 2 2 2 2(๐ฅ − 1)(๐ฅ + 4๐ฅ + 5) 10 ๐ฅ − 1 10(๐ฅ − 1)(๐ฅ + 4๐ฅ + 5) ๐ฅ + 4๐ฅ + 5 17๐ฅ − 40 ๐ต๐ฅ + ๐ถ = 2 2 10(๐ฅ + 4๐ฅ + 5) ๐ฅ + 4๐ฅ + 5 17 ๐ฅ − 4 = ๐ต๐ฅ + ๐ถ 10 ∫ ๐(๐ฅ) ๐๐ฅ ๐๐ฅ 1,7๐ฅ − 4 ๐๐ฅ = −0,7 ∫ − 0,5 ∫ +∫ 2 ๐๐ฅ 2 (๐ฅ − 1) ๐(๐ฅ) ๐ฅ−1 ๐ฅ + 4๐ฅ + 5 0,5 = −0,7 ln|๐ฅ − 1| + + 0,85 ln(๐ฅ 2 + 4๐ฅ + 5) − 7,4 arctan(๐ฅ + 2) + ๐ ๐ฅ−1 Integration der Partialbrüche ๐๐ฅ = ln|๐ฅ − ๐ผ| + ๐ ๐ฅ−๐ผ ๐๐ฅ 1 (๐ฅ − ๐ผ)1−๐ + ๐ ∫ = ๐ (๐ฅ − ๐ผ) 1−๐ ∫ ∫ ๐ฅ2 ๐ต๐ฅ + ๐ถ ๐ต 2๐ฅ ๐ถ ๐๐ฅ = ∫ 2 ๐๐ฅ + ∫ 2 ๐๐ฅ + ๐ฝ๐ฅ + ๐พ 2 ๐ฅ + ๐ฝ๐ฅ + ๐พ ๐ฅ + ๐ฝ๐ฅ + ๐พ ๐ต ๐ถ−2๐ฝ ๐ต 2๐ฅ + ๐ฝ ๐ต = ∫ 2 ๐๐ฅ + ∫ 2 ๐๐ฅ = ln|๐ฅ 2 + ๐ฝ๐ฅ + ๐พ| + โฏ 2 ๐ฅ + ๐ฝ๐ฅ + ๐พ ๐ฅ + ๐ฝ๐ฅ + ๐พ 2 ๐ฅ 2 + ๐ฝ๐ฅ + ๐พ = (๐ฅ + ๐)2 + ๐2 ๐๐ฅ 1 ๐๐ฅ ๐ฅ+๐ ∫ = ∫ =๐ก | 2 (๐ฅ + ๐)2 + ๐2 ๐2 ๐ ๐ฅ+๐ ( ) +1 ๐ 1 ๐ 1 1 ๐ฅ+๐ = 2∫ 2 ๐๐ก = arctan ๐ก = arctan ๐ ๐ก +1 ๐ ๐ ๐ ๐= ๐ฝ ๐ฝ2 1 ๐ = √๐พ − = √4๐พ − ๐ฝ 2 2 4 2 ๐ต 2๐ถ − ๐ต๐ฝ 2๐ฅ + ๐ฝ 2 | ln| ๐ฅ + ๐ฝ๐ฅ + ๐พ + arctan +๐ ๐ฅ2 + ๐ฝ๐ฅ + ๐พ 2 √4๐พ − ๐ฝ2 √4๐พ − ๐ฝ2 ๐ต๐ฅ + ๐ถ ๐ต ๐ต๐ฝ ๐๐ฅ ∫ 2 ๐๐ฅ = − ∫ +๐ (๐ฅ + ๐ฝ๐ฅ + ๐พ)๐ (๐ฅ2 + ๐ฝ๐ฅ + ๐พ)๐ 2(๐ − 1)(๐ฅ2 + ๐ฝ๐ฅ + ๐พ)๐−1 2 ∫ ๐ต๐ฅ + ๐ถ ๐๐ฅ = Rekursionsformel ∫ ๐๐ฅ (๐ฅ2 + ๐ฝ๐ฅ + ๐พ)๐ = 1 2๐ฅ + ๐ฝ ๐๐ฅ [ + 2(2๐ − 3) ∫ ] (๐ − 1)(4๐พ − ๐ฝ 2 ) (๐ฅ2 + ๐ฝ๐ฅ + ๐พ)๐−1 (๐ฅ2 + ๐ฝ๐ฅ + ๐พ)๐−1 97 4.5 Uneigentliche Integrale 4.5.1 Integrale unbeschränkter Funktionen 1 Beispiel: ∫0 1 √1−๐ฅ ๐๐ฅ , Polstelle bei x = 1, x < 1 1 ๐ก ๐ก 1 ๐ก 1 Wir betrachten zunächst: ∫0 ๐๐ฅ , wobei 0 < ๐ก < 1 ∫0 ๐๐ฅ = −2√1 − ๐ฅ|0 = √1−๐ฅ √1−๐ฅ −2√1 − ๐ก + 2 1 ∫ 0 1 √1 − ๐ฅ ๐ก ๐๐ฅ = lim ∫ ๐ก↑1 0 1 √1 − ๐ฅ ๐๐ฅ = lim(−2√1 − ๐ก + 2) = 2 ๐ก↑1 Definition: Sei −∞ < ๐ < ๐ < ∞ und f sei auf jedem Teilintervall [a, t] mit ๐ < ๐ก < ๐ beschränkt und ๐ก integrierbar, aber unbeschränkt auf [a, b]. Existiert der Grenzwert lim ∫๐ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ, so definiert man ๐ ∫๐ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ = ๐ก lim ∫๐ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ ๐ก↑๐ ๐ก↑๐ und nennt diesen Grenzwert uneigentliches Integral. Das Integral heißt in diesem Fall konvergent. Analog definiert man falls die Polstelle von f in ๐ ๐ก a liegt. Falls sie in c liegt ๐ < ๐ < ๐, definiert man ∫๐ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ = lim ∫๐ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ + ๐ก↑๐ ๐ lim ∫๐ก ๐(๐ฅ)๐๐ฅ. ๐ก↓๐ a Dabei müssen beide Grenzwerte existieren. c b Beispiel 1: sei ๐ < ๐ผ < 1 1 0 −1 −1 1 1 1 1 ๐๐ฅ ๐๐ฅ ๐๐ฅ ๐๐ฅ 1 ∫ ๐ผ ๐๐ฅ = ∫ ๐ผ + ∫ ๐ผ = 2 ∫ ๐ผ = 2 lim ∫ ๐ผ = 2 lim ๐ฅ1−๐ผ |1๐ก ๐ก↓0 ๐ก↓0 |๐ฅ| |๐ฅ| ๐ฅ ๐ฅ ๐ฅ 1−๐ผ 0 0 ๐ก 1 2 [1 − ๐ก1−๐ผ ] = = 2 lim ๐ก↓0 1 − ๐ผ 1−๐ผ 11 11 Beispiel 2: ∫0 ๐ฅ ๐๐ฅ = lim ∫๐ก ๐ก↓0 ๐ฅ ๐๐ฅ = limln ๐ฅ|1๐ก = lim − ln ๐ก โถ +∞ ๐ก↓0 ๐ก↓0 Dieses uneigentliche Integral konvergiert nicht. Bemerkung: Ebenso wenig existiert das Integral 1 ๐ก −1 −1 1 ๐๐ฅ ๐๐ฅ ๐๐ฅ ∫ = lim ∫ + lim ∫ = โ −∞ + ∞ ๐ก↑0 ๐ก↓0 ๐ฅ ๐ฅ ๐ฅ unbestimmter ๐ก Ausdruck 98 Definition: f habe nur in ๐ ∈ (๐, ๐) eine Polstelle. Existiert der Grenzwert ๐ ๐−๐ฟ ๐ ๐ถ๐ป ∫ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ = lim (∫ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ + ∫ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ), ๐ฟ↓0 ๐ ๐ ๐+๐ฟ ๐ so heißt dieser Cauchyscher Hauptwert des Integrals ∫๐ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ. Andere Bezeichnung: v.p. ๐ ∫๐ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ valeur principale. Beispiel: −๐ฟ 1 1 ๐๐ฅ ๐๐ฅ ๐๐ฅ ๐ถ๐ป ∫ = lim ( ∫ + ∫ ) = lim[ln|๐ฅ||๐ฟ−1 + ln ๐ฅ|1๐ฟ ] = lim(ln ๐ฟ − ln 1 + ln 1 − ln ๐ฟ) = 0 ๐ฟ↓0 ๐ฟ↓0 ๐ฟ↓0 ๐ฅ ๐ฅ ๐ฅ −1 −1 ๐ฟ 1 Wenn Funktionen symmetrisch (siehe ๐ฅ) sind, heben sich beide Flächen auf โถ ๐ด = 0 โถ Cauchy-Hauptwert oder v.p. 4.5.2 Integrale über unbeschränkten Intervallen ๐ก ∞ Beispiel: ∫ ๐ −๐ฅ ๐๐ฅ = lim ∫ ๐ −๐ฅ ๐๐ฅ = lim [−๐ −๐ฅ ]|๐ก0 = lim [−๐ −๐ฅ + 1] = 1 ๐ก→∞ 0 ๐ก→∞ ๐ก→∞ 0 Definition: f sei auf jedem endlichen Intervall [a, t] mit a < t beschränkt und integrierbar. Existiert der ๐ก Grenzwert lim ∫๐ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ, so heißt dieses ebenfalls uneigentliches Integral ∞ ๐ก→∞ ๐ก ∫ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ = lim ∫ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ ๐ก→∞ ๐ ๐ Dieses Integral heißt konvergent. ๐ ๐ก ∞ 0 Analoge Definition: ∫ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ , ∫ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ = lim ∫ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ + lim ∫ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ ๐ก→∞ −∞ −∞ ๐ →−∞ 0 ๐ Beide Grenzwerte müssen existieren. Beispiel 1: sei α > 1 ∞ ๐ก ๐ก ๐๐ฅ ๐๐ฅ 1 ๐ก1−๐ผ 1 1 1−๐ผ ∫ ๐ผ = lim ∫ ๐ผ = lim [ ๐ฅ ]| = lim − = ๐ก→∞ ๐ก→∞ 1 − ๐ผ ๐ก→∞ 1 − ๐ผ ๐ฅ ๐ฅ 1−๐ผ ๐ผ−1 1 1 1 99 ∞ ๐๐ฅ Beispiel 2: ∫1 ๐ก ๐๐ฅ = lim ∫1 ๐ฅ ๐ก→∞ ๐ฅ = lim ln ๐ฅ|1๐ก = lim ln ๐ก = +∞ Integral konvergiert nicht ๐ก→∞ ∞ ๐ก→∞ ๐ก ∫0 cos ๐ฅ ๐๐ฅ = lim ∫0 cos ๐ฅ ๐๐ฅ = lim sin ๐ฅ|1๐ก = lim sin ๐ก ๐ก→∞ ๐ก→∞ ๐ก→∞ konvergiert nicht Beispiel 3: 4.5.3 existiert nicht, Kombination beider Typen Definition: Gammafunktion ∞ Γ(๐ผ) = ∫ ๐ −๐ฅ ๐ฅ ๐ผ−1 ๐๐ฅ ๐ผ > 0 0 Man kann zeigen, dass das obige uneigentliche Integral für α > 0 konvergiert. Es gilt Γ(๐ผ + 1) = ๐ผΓ(๐ผ) Spezialfall Γ(๐) = (๐ − 1)! Wenn die Stammfunktion sich nicht elementar berechnen lässt, benötigen wir andere Konvergenzkriterien für die uneigentlichen Integrale. Majorantenkriterium: ๐ Gilt |๐(๐ฅ)| ≤ ๐(๐ฅ) auf [a, b), ๐ < ๐ < ∞, f messbar und existiert ∫๐ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ, so existiert ๐ ๐ auch ∫๐ |๐(๐ฅ)|๐๐ฅ sowie ∫๐ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ. Gegenbeispiel: 0 ๐ฅ:irrational ๐(๐ฅ) = { } f ist nicht integrierbar 1 ๐ฅ:rational 4.6 Mathematische Anwendungen der Integration 4.6.1 Flächen zwischen Graphen von Funktionen f > g, f und g beschränkt Durch Verschiebung um eine Konstante c > 0, können wir erreichen, dass ๐(๐ฅ) + ๐ > 0, ๐(๐ฅ) + ๐ > 0 f(x) g(x) Flächeninhalt bleibt unberührt. f(x)+c ๐ ๐ ๐ ๐ด = ∫(๐(๐ฅ) + ๐)๐๐ฅ − ∫(๐(๐ฅ) + ๐)๐๐ฅ = ∫(๐(๐ฅ) − ๐(๐ฅ))๐๐ฅ g(x)+c ๐ ๐ ๐ 1 1 2 3 1 1 Beispiel 1: ๐ด = ∫(√๐ฅ − ๐ฅ 2 )๐๐ฅ = ๐ฅ 2 − ๐ฅ 3 | = 3 3 3 0 0 Beispiel 2: cos ๐ฅ und sin ๐ฅ 100 ๐ 4 ๐ ๐ ๐ด = ∫|cos ๐ฅ − sin ๐ฅ|๐๐ฅ = ∫(cos ๐ฅ − sin ๐ฅ)๐๐ฅ + ∫(sin ๐ฅ − cos ๐ฅ)๐๐ฅ = 2√2 0 4.6.2 0 ๐ 4 Flächen von Sektoren Flächeninhalt von „sternförmigen Gebieten“, von einem Mittelpunkt aus kann man jeden Punkt des Randes geradlinig erreichen ohne einen anderen Randpunkt zu erreichen. a) Ebene in Polarkoordinaten ๐ฅ = ๐ cos ๐ ๐ฆ = ๐ sin ๐ ๐ = ๐(๐) ๐ ≥ 0 ๐ผ ≤ ๐ ≤ ๐ฝ y gesucht: Flächeninhalt des Sektors β φ α x Leibnizsche Sektorformel ๐ฝ 1 2 ๐ด = ∫(๐(๐)) ๐๐ 2 ๐ผ Flächeninhalt eines Sektors 1 2 ๐ ⋅ Δ๐๐ ๐ Flächeninhalt eines Kreissektors mit Winkel Δ๐๐ und Radius r Integral entsteht analog zum Riemannintegral Beispiel: Fläche eines vierblättrigen Kleeblattes ๐ 2 1 1 ๐ด = 4 ⋅ ∫ ๐ 2 (๐)๐๐ ๐ = |sin 2๐| 2 ๐ 2 0 = 2 ∫ sin2 2๐ ๐๐ = 0 b) y ๐ 2 Sektoren in anderen Parameterdarstellungen Es liege wieder ein Sektor vor: ๐ฆ ๐ฅ(๐ก) ๐พ(๐ก) = ( ) ๐ ≤ ๐ก ≤ ๐ ๐ = √๐ฅ 2 + ๐ฆ 2 ๐ = arctan ๐ผ = ๐(๐) ๐ฝ = ๐(๐) ๐ฆ(๐ก) ๐ฅ t = Parameter r φ x 101 Leibnizsche Sektorformel ๐ฝ 1 ๐ด = |∫ ๐ 2 (๐)๐๐| Betrag da Umkehr ab ๐ผ < ๐ฝ oder ๐ฝ < ๐ผ 2 ๐ผ ๐ฆ ′ ๐๐ = ๐ ๐๐ก ๐ = (arctan ) = ๐ฅ ′ ′ ๐ ๐ฅ๐ฆ ′ − ๐ฆ๐ฅ′ ๐ฅ๐ฆ ′ − ๐ฆ๐ฅ′ ๐ฅ๐ฆ ′ − ๐ฆ๐ฅ′ ⋅ = 2 = ๐ฆ 2 ๐ฅ2 ๐ฅ + ๐ฆ2 ๐2 1 + (๐ฅ ) 1 ๐ 1 ๐ฅ๐ฆ ′ − ๐ฆ๐ฅ′ 1 2 ๐ด = |∫ ๐ ⋅ ๐๐ก| = |∫(๐ฅ(๐ก)๐ฆ ′ (๐ก) − ๐ฆ(๐ก)๐ฅ′(๐ก))๐๐ก| 2 2 ๐ 2 ๐ ๐ Beispiel: Flächeninhalt einer Ellipse ๐ฅ = ๐ cos ๐ก ๐ฆ = ๐ sin ๐ก 0 ≤ ๐ก ≤ 2๐ ๐ 2 1 ๐ด = 4 ∫ (๐ cos ๐ก ⋅ ๐ cos ๐ก + ๐ sin ๐ก ⋅ ๐ sin ๐ก)๐๐ก 2 0 ๐ 2 ๐ = 2 ∫ ๐๐(cos 2 ๐ก + sin2 ๐ก)๐๐ก = 2๐๐๐ก|02 = ๐๐๐ 0 1 ๐ Bemerkung: Oftmals ist t die Zeit ๐ฅ ′ (๐ก) = ๐ฅฬ (๐ก) ๐ด = 2 |∫๐ (๐ฅ๐ฆฬ − ๐ฅฬ ๐ฆ)๐๐ก| 4.6.3 Volumina von Rotationskörpern y ๐ ≤ ๐ฅ ≤ ๐ ๐ฆ 2 + ๐ง 2 ≤ ๐ 2 (๐ฅ) y=f(x) Rotation um x-Achse xi-1 xi schmale Scheibe: ๐๐2 ๐ ⋅ Δ๐ฅ๐ – Volumen x ๐ ๐ = ๐ ∫ ๐ 2 (๐ฅ)๐๐ฅ z ๐ Beispiel: Rotationsparaboloid ๐ฆ = √๐ฅ y โ ๐ = ๐∫๐ x 0 โ 2 (๐ฅ)๐๐ฅ โ ๐ฅ2 ๐ = ๐ ∫ ๐ฅ๐๐ฅ = ๐ | = โ2 2 0 2 0 h z 102 4.6.4 Längenberechnung von Kurvenstücken y t=a γ(t1) ๐ฅ(๐ก) ๐พ(๐ก) = ( ) ๐≤๐ก≤๐ ๐ฆ(๐ก) t=b γ(t2) gesucht: Länge der Kurve x Wieder Unterteilung der Geraden in viele Abschnitte (Approximation der Kurve durch Polygonenzug (rot)). [a, b] wird zerlegt ๐ = ๐ก0 < ๐ก1 … < ๐ก๐ = ๐. Länge des Polygonenzuges approximiert l. ๐ ๐ 2 ๐ = ∑|๐พ(๐ก๐ ) − ๐พ(๐ก๐−1 )| = ∑ √(๐ฅ(๐ก๐ ) − ๐ฅ(๐ก๐−1 )) + (๐ฆ(๐ก๐ ) − ๐ฆ(๐ก๐−1 )) ๐=1 2 ๐=1 Definition: Ist die Zahl sup ∑๐๐=1|๐พ(๐ก๐ ) − ๐พ(๐ก๐−1 )| = ๐ endlich, so heißt die Kurve γ auf [a, b] ๐ rektifizierbar und l die Länge des Weges γ (Bogenlänge). Unter welchen Bedingungen ist die Kurve rektifizierbar und wie können wir l berechnen? Zusatzvoraussetzung: γ glatt, d.h. stetig differenzierbar. ๐ฅ(๐ก๐ ) − ๐ฅ(๐ก๐−1 ) = ๐ฅฬ (๐๐ )Δ๐ก๐ ๐ฆ(๐ก๐ ) − ๐ฆ(๐ก๐−1 ) = ๐ฆฬ (๐๐ )Δ๐ก๐ ๐ ๐ 2 2 2 2 ∑ √(๐ฅ(๐ก๐ ) − ๐ฅ(๐ก๐−1 )) + (๐ฆ(๐ก๐ ) − ๐ฆ(๐ก๐−1 )) = ∑ √(๐ฅฬ (๐๐ )) + (๐ฆฬ (๐๐ )) Δ๐ก๐ ๐=1 ๐=1 ๐ 2 2 โถ ∫ √(๐ฅฬ (๐ก)) + (๐ฆฬ (๐ก)) ๐๐ก ๐ ๐ 2 2 Die Länge der Kurve ist ๐ = ∫ √(๐ฅฬ (๐ก)) + (๐ฆฬ (๐ก)) ๐๐ก ๐ Spezialfall ๐ฆ = ๐(๐ฅ) ๐ ≤ ๐ฅ ≤ ๐ ๐ฅ = ๐ก ๐ฅฬ (๐ก) = 1 ๐ ′ (๐ก) = ๐ ′ (๐ฅ) = ๐ฆ ′ (๐ฅ) ๐ 2 ๐ = ∫ √1 + (๐ฆ′(๐ฅ)) ๐๐ฅ ๐ Beispiel: Länge des Parabelbogens 2 ๐ฆ = ๐ฅ 2 0 ≤ ๐ฅ ≤ 2 ๐ = ∫ √1 + (2๐ฅ)2 ๐๐ฅ = 4,64 0 103 Bogendifferential dy = linearer Anteil von Δy Δy dy dx=Δx Δs ๐๐ = √(๐๐ฅ)2 + (๐๐ฆ)2 ๐ ds ๐ ๐ ๐ = ∫ ๐๐ = ∫ √๐๐ฅ 2 + ๐๐ฆ 2 = ∫ √(๐ฅฬ ๐๐ก)2 + (๐ฆฬ ๐๐ก)2 ๐๐ก dx=Δx 4.6.5 0 0 ๐ Oberfläche von Rotationskörpern Die Länge des Streifens: 2๐๐(๐๐ ) y Breite: ๐๐ ๐ x ๐ ๐ 2 ∑ 2๐๐(๐๐ )๐๐ ๐ ≈ ∑ 2๐๐(๐๐ )√1 + (๐′(๐๐ )) ๐๐ฅ๐ z ๐=1 ๐=1 ๐ 2 Mantelfläche: ๐ = 2๐ ∫ ๐(๐ฅ)√1 + (๐′(๐ฅ)) ๐๐ฅ ๐ 4.6.6 a) Numerische Integration Trapezregel Grundidee: Zwischen zwei Punkten wird ๐ฆ = ๐(๐ฅ) durch eine Gerade ersetzt und über diese wird integriert: y f(x) ๐ฝ ๐ฝ ∫ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ ≈ ∫ [๐(๐ผ) + x α ๐ผ ๐ผ ๐(๐ฝ) − ๐(๐ผ) ๐(๐ผ) + ๐(๐ฝ) (๐ฅ − ๐ผ)] ๐๐ฅ = (๐ฝ − ๐ผ) โ ๐ฝ−๐ผ 2 mittlere Höhe β ๐ฝ Diese Idee verfeinern wir nun, indem wir für ∫๐ผ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ schreiben: โ = ๐ฆ๐ = ๐(๐ฅ๐ ) ๐ = 0,1, … , ๐ ๐ y f(x) ๐ฅ2 ๐ ๐ ∫ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ = ∫ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ + ∫ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ + โฏ + ∫ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ ๐ x Geraden ๐ฅ1 ๐−๐ ๐ ๐ฅ1 ๐ฅ๐−1 ๐(๐) + ๐(๐ฅ1 ) ๐(๐ฅ1 ) + ๐(๐ฅ2 ) ๐(๐ฅ๐−1 ) + ๐(๐) ≈โ +โ + โฏ+โ 2 2 2 ๐(๐ฅ0 ) ๐(๐) = โ{ + ๐(๐ฅ1 ) + โฏ + ๐(๐ฅ๐−1 ) + } 2 2 ๐ ๐ฆ0 + ๐ฆ๐ ∫ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ = โ ( + ๐ฆ1 + โฏ + ๐ฆ๐−1 ) + ๐ฟ 2 mit δ = Fehler ๐ 104 , ๐ฅ๐ = ๐ + ๐โ, Fehlerabschätzung: |๐ฟ| = b) (๐−๐)3 12๐2 max |๐ ′′ (๐ฅ)| ๐ฅ∈[๐,๐] Simpsonsche Regel α α+β 2 Grundidee: Durch 3 angegebenen Punkte wird eine Parabel gelegt und über diese wird integriert. β ๐ผ+๐ฝ ๐ผ+๐ฝ (๐ฅ − ๐ผ) (๐ฅ − ) (๐ฅ − ๐ฝ) ) (๐ฅ − ๐ผ)(๐ฅ − ๐ฝ) ๐ผ+๐ฝ 2 2 ๐2 (๐ฅ) = ๐(๐ผ) +๐( ) + ๐(๐ฝ) ๐ผ+๐ฝ ๐ผ+๐ฝ ๐ผ+๐ฝ ๐ผ+๐ฝ 2 (๐ฝ − ๐ผ) (๐ฝ − (๐ผ − ) (๐ผ − ๐ฝ) ( − ๐ผ) ( − ๐ฝ) ) 2 2 2 2 (๐ฅ − ๐ผ+๐ฝ ๐2 (๐ฅ) ist Polynom 2. Grades und es gilt: ๐2 (๐ผ) = ๐(๐ผ), ๐2 ( ๐ฝ 2 ) = ๐( ๐ผ+๐ฝ 2 ), ๐2 (๐ฝ) = ๐(๐ฝ) ๐ฝ ∫ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ ≈ ∫ ๐2 (๐ฅ)๐๐ฅ = โฏ = ๐ผ ๐ผ sei n geradzahlig: ๐ฅ2 ๐ ๐ฝ−๐ผ ๐ผ+๐ฝ (๐(๐ผ) + 4๐ ( ) + ๐(๐ฝ)) Keplersche Fassregel 6 2 ๐ฅ4 ๐ ∫ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ = ∫ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ + ∫ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ + โฏ + ∫ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ ๐ ๐ ๐ ๐ฅ2 ๐ฅ๐−2 2โ โ = (๐(๐) + 4๐(๐ฅ1 ) + ๐(๐ฅ2 )) + (๐(๐ฅ2 ) + 4๐(๐ฅ3 ) + ๐(๐ฅ4 )) + โฏ 6 3 โ = (๐(๐ฅ0 ) + 4๐(๐ฅ1 ) + 2๐(๐ฅ2 ) + 4๐(๐ฅ3 ) + โฏ + 4๐(๐ฅ๐−1 ) + ๐(๐ฅ๐ )) + ๐ฟ 3 ∫ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ = ๐ โ ๐−๐ (๐ฆ0 + 4๐ฆ1 + 2๐ฆ2 + โฏ + 2๐ฆ๐−2 + 4๐ฆ๐−1 + ๐ฆ๐ ) + ๐ฟ โ = ๐ = 2๐ ๐ ∈ โ 3 ๐ Fehlerabschätzung: |๐ฟ| ≤ 1 ๐๐ฅ Beispiel: ∫0 1+๐ฅ 2 (๐ − ๐)5 max|๐ (4) (๐ฅ)| 180(2๐)4 [๐,๐] 1 ๐๐ฅ ๐ = 4 ∫0 1+๐ฅ 2 ≈ 0,78539 auf 5 Stellen genau, sehr gute Näherung Bemerkung: gegeben seien k + 1 Punkte x0, …, xk und Funktionswerte y0, …, yk. Dann geht folgendes Polynom ๐๐ (๐ฅ) durch diese Punkte: (๐ฅ − ๐ฅ1 )(๐ฅ − ๐ฅ2 ) … (๐ฅ − ๐ฅ๐ ) (๐ฅ − ๐ฅ0 )(๐ฅ − ๐ฅ2 ) … (๐ฅ − ๐ฅ๐ ) + ๐ฆ1 +โฏ (๐ฅ0 − ๐ฅ1 )(๐ฅ0 − ๐ฅ2 ) … (๐ฅ0 − ๐ฅ๐ ) (๐ฅ1 − ๐ฅ0 )(๐ฅ1 − ๐ฅ2 ) … (๐ฅ1 − ๐ฅ๐ ) (๐ฅ − ๐ฅ0 )(๐ฅ − ๐ฅ1 ) … (๐ฅ − ๐ฅ๐−1 ) + ๐ฆ๐ (๐ฅ๐ − ๐ฅ0 ) … (๐ฅ๐ − ๐ฅ๐−1 ) ๐๐ (๐ฅ) = ๐ฆ0 Lagrangesches Interpolationspolynom 105 5. Unendliche Reihen 5.1 Reihen mit konstanten Gliedern 5.1.1 Grundbegriffe ∞ 1 1 1 1 1 Beispiel 1: 1 + + + + + โฏ = ∑ endlich oder unendlich? 2 3 4 5 ๐ ๐=1 ∞ 1 1 1 1 1 ๐ Beispiel 2: + + + +โฏ=1= ∑( ) 2 4 8 16 2 ∞ ๐=1 1 8 … 1 4 1 1 1 Beispiel 3: 1 + + + โฏ = ∑ 2 4 9 ๐ 1 2 ๐=1 Definition: Es sei {๐๐ }∞ ๐=1 eine Folge reeller (oder komplexer) Zahlen. Dann heißt die Folge {๐ ๐ }∞ , wobei ๐ = ๐ 1 1 ๐ 2 = ๐1 + ๐2 … ๐ ๐ = ๐1 + โฏ + ๐๐ Partialsummenfolge. ๐=1 Diese Partialsummenfolge wird auch als unendliche Reihe bezeichnet. Die Zahlen ak heißen Glieder der Reihe. Definition: Die unendliche Reihe heißt konvergent, wenn die zugehörige Partialsummenfolge konvergent ๐ ist. Andernfalls heißt sie divergent. Ist ∑∞ ๐=1 ๐๐ = lim ∑๐=1 ๐๐ = lim ๐ ๐ konvergent, so ๐→∞ ๐→∞ heißt ๐ = lim ๐ ๐ = ∑∞ ๐=1 ๐๐ Grenzwert (oder Summe) der unendlichen Reihe. ๐→∞ Beispiel 1: sei ๐ ∈ โ, ๐๐ = ๐ ๐−1 geometrische Reihe (Torte) ๐๐ − 1 ๐ 1 = ๐ 0 = 1 ๐ 2 = 1 + ๐ ๐ ๐ = 1 + ๐ + โฏ + ๐ ๐−1 = ๐−1 Denn (1 + โฏ + ๐ ๐−1 )(๐ − 1) = ๐ ๐ − 1 sei |๐| < 1, dann gilt lim ๐ ๐ = 0 ๐→∞ ๐๐ −1 1 lim ๐ ๐ = lim = = ๐→∞ ๐→∞ ๐ − 1 ๐−1 1−๐ 1 ๐−1 Für |๐| < 1 ist die geometrische Reihe konvergent und ∑∞ = 1−๐. ๐=1 ๐ Eine unendliche Reihe ∑∞ ๐=1 ๐๐ kann nur dann konvergieren, wenn lim ๐๐ = 0. ๐→∞ Nur eine Bedingung von vielen, nicht alle ๐∞ = 0 sind konvergent. ๐ Beweis: Es sei ∑∞ ๐=1 ๐๐ = ๐ konvergent, ๐ ๐ = ∑๐=1 ๐๐ Partialsummenfolge lim ๐ ๐ = ๐ lim ๐ ๐−1 = ๐ 0 = ๐ − ๐ = lim (๐ ๐ − ๐ ๐−1 ) = lim ๐๐ ๐→∞ ๐→∞ ๐→∞ ๐→∞ Folgerung: Für |๐| > 1 konvergiert die geometrische Reihe nicht, denn lim ๐ ๐ ≠ 0 ๐→∞ Beispiel 2: ๐๐ = 1 ๐ lim ๐๐ = 0 ๐→∞ 106 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1+ + + + + + + + + + + โฏ+ +โฏ 2 โ 3 4 โ 5 6 7 8 โ 9 10 11 16 1 >2⋅ 4 1 > 2 1 >4⋅ 8 1 > 2 1 1 >8⋅ 16 1 > 2 unendliche Addition von 2, somit unendlich ∞ ∑ ๐๐ > ๐=1 ∞ ∑ ๐=1 1 1 + โฏ + = +∞ 2 2 1 = +∞ Harmonische Reihe ist divergent ๐ Beispiel 3: Teleskopreihe ∞ ๐ ๐ ๐=1 ๐=1 ๐=1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∑ ๐ =∑ = ∑( − ) = (1 − ) + ( − ) + โฏ + ( − )=1− ๐(๐ + 1) ๐ ๐(๐ + 1) ๐ ๐+1 2 2 3 ๐ ๐+1 ๐+1 1 lim 1 − =1 ๐→∞ ๐+1 5.1.2 Konvergenzkriterien Satz 1: Cauchysches Konvergenzkriterium Eine Reihe ∑∞ ๐=1 ๐๐ konvergiert genau dann, wenn ∀๐ = 0 ∃๐0 (๐): |๐๐ + ๐๐+1 + โฏ + ๐๐+๐ | < ๐ ∀๐ > ๐0 , ∀๐ ∈ โ Umgangssprachlich: Von einem gewissen Index n0 ab ist die Summe beliebig vieler weiterer Summanden beliebig klein. Definition: Alternierende Reihe ๐+1 Eine Reihe der Form ∑∞ ๐๐ mit ๐๐ ≥ 0 heißt alternierend. ๐=1(−1) 1 1 1 Beispiel: 1 − 2 + 3 − 4 … Satz 2: Leibnizsches Kriterium Eine alternierende unendliche Reihe, bei welcher die Beträge der Glieder eine monotone Nullfolge bilden, ist stets konvergent. Beweisidee: |๐๐ + ๐๐+1 + โฏ + ๐๐+๐ | = |๐๐ + ๐๐+1 + โฏ + ๐๐+๐ | ≤ |๐๐ | ๐๐ , ๐๐ − ๐๐+1 ≤ ๐๐ (da cm monotone Nullfolge) ๐๐ − ๐๐+1 + ๐๐+2 ≤ ๐๐ โถ Nach Satz 1 liegt Konvergenz vor Beispiel: ∑∞ ๐=1 ∞ (−1)๐+1 ๐ 1 1 = 1 − 2 + 3 … ist konvergent (−1)๐+1 ∑ = ln 2 ๐ ๐=1 107 Satz 3: Majorantenkriterium Es sei ∑๐๐=1 ๐๐ eine unendliche Reihe, deren Konvergenzverhalten unbekannt ist und ∑∞ ๐=1 ๐๐ eine Reihe mit positiven Gliedern, die als konvergent bekannt ist und die Abschätzung |๐๐ | ≤ ๐๐ ∀๐ ≥ ๐0 konvergente Majorante. Dann ist ∑∞ ๐=1 ๐๐ konvergent. Beweis: |๐๐ + ๐๐+1 + โฏ + ๐๐+๐ | ≤ |๐๐ | + โฏ + |๐๐+๐ | ≤ ๐๐ + โฏ + ๐๐+๐ < ๐ mit ∀๐ > ๐0 ∀๐ ∈ โ โถ Satz 1 zeigt Konvergenz ∑∞ ๐=1 ๐๐ . 1 1 1 Beispiel: ∑∞ ๐=1 ๐ 2 = 1 + 4 + 9 + โฏ diese Reihe konvergiert 1 1 ๐๐ = 2 < = ๐๐ ๐๐ < ๐๐ ∑ ๐๐ < ∞ โถ ∑ ๐๐ < ∞ (๐ − 1)๐ ๐ ∞ 1 ๐2 ∑ 2= ๐ 6 ๐=1 Satz 4: Wurzelkriterium ๐ Es sei ∑∞ ๐=1 ๐๐ eine unendliche Reihe mit ๐๐ ≥ 0 ∀๐ und es existiert ๐ = lim √๐๐ . Für ๐ < ๐→∞ 1 konvergiert sie, für ๐ > 1 divergiert sie. Für ๐ = 1 sind beide Fälle möglich. Beweisskizze: Sei ๐ < 1 โถ ๐√๐๐ ≤ ๐ฬ < 1 ∀๐ > ๐0 โถ ๐๐ ≤ ๐ฬ ๐ geometrische Reihe ist konvergente Majorante → Konvergenz ∑∞ ๐=1 ๐๐ . Wenn ๐ > 1 โถ ๐๐ ≥ 1 ∀๐ ≥ ๐0 โถ ๐๐ keine Nullfolge โถ ∑∞ ๐=1 ๐๐ ist divergent. ๐=1 1 ๐๐ = ๐ ∞ 1 1 lim √ = =1 ๐ ๐→∞ ๐ lim √๐ ๐ ∑ ๐=1 ๐→∞ ๐=1 1 ๐๐ = 2 ๐ 1 ist bekanntlich divergent. ๐ ∞ 1 1 lim √ 2 = 2 =1 ๐ ๐→∞ ๐ lim √๐ ๐ ∑ ๐=1 ๐→∞ ∞ ∞ 1 Beispiel: ∑ (ln ๐)๐ 1 1 1 lim √ = lim =0=๐<1โถ∑ konvergiert ๐ ๐→∞ (ln ๐) ๐→∞ ln ๐ (ln ๐)๐ ๐ ๐=2 ๐=2 Satz 5: Quotientenkriterium Es sei ๐๐ > 0 ∀๐. Existiert ein ๐ < 1, so dass konvergent. Gilt ๐๐+1 ๐๐ 1 ist konvergent. ๐2 ≥ 1 ∀๐ ≥ ๐0 , so ist die Reihe ๐๐+1 < ๐ ∀๐ > ๐0 , dann ist ∑∞ ๐=1 ๐๐ ๐๐ ∞ ∑๐=1 ๐๐ divergent. Beweis: ๐0 = 0 ohne Beschränkung der Allgemeinheit. Wir lassen die ersten Glieder weg, ๐ ๐ fangen irgendwo an : ๐2 < ๐, ๐3 < ๐, … , 1 2 ๐๐+1 ๐๐ Multipliziere ๐๐+1 <๐→ ๐1 < ๐๐ ๐๐ < ๐1 ⋅ ๐ ๐−1 geometrische Reihe bildet eine Majorante → Konvergenz. ๐ Sei ๐๐+1 ≥ 1 ∀๐ ≥ ๐0 โถ ๐๐๐ ≥ ๐๐ โถ ๐๐ โ 0 divergent. ๐ 108 ∞ Beispiel 7: ∑ ๐=1 ๐ฅ๐ ๐ฅ๐ ๐ฅ > 0 ๐๐ = ๐! ๐! ๐๐+1 ๐ฅ ๐+1 ๐ฅ ๐ ๐ฅ = : = (๐ + 1)! ๐! ๐ + 1 ๐๐ ๐ฅ lim = 0 = ๐ < 1 โถ Konvergenz ๐→∞ ๐ + 1 ∞ Beispiel 8: ∑ ๐๐ฅ ๐−1 ๐ฅ > 0 ๐=1 ๐๐+1 (๐ + 1)๐ฅ ๐ ๐ + 1 = = ๐ฅ→ ๐ฅ ๐→∞ ๐๐ ๐๐ฅ ๐−1 ๐ 0 ≤ ๐ฅ < 1 Konvergenz, ๐ฅ ≥ 1 divergent Definition: Eine unendliche Reihe heißt absolut konvergent, wenn ∑∞ ๐=1|๐๐ | konvergiert. Beispiel: ∞ 1 ∑(−1)๐+1 ist nicht absolut konvergent ๐ ๐=1 ∞ ∑(−1)๐+1 ๐=1 1 ist absolut konvergent ๐2 Bemerkung: Anwendungen des Wurzel- bzw. Quotientenkriteriums auf Reihen mit Gliedern beliebigen Vorzeichens. ∑|๐๐ | untersuchen (absolute Konvergenz nachweisen) ∑ ๐๐ folgt aus Majorantenkriterium Warnung: Umordnungen von Reihen mit unendlich vielen Gliedern, sowohl mit positiven als auch mit negativen Vorzeichen können jede beliebige Summe ergeben. 5.2 Grundbegriffe von Funktionenreihen und –folgen Die Glieder an der Reihe sollen jetzt von x abhängen (๐ฅ ∈ โ oder ๐ง ∈ โ) ๐๐ = ๐๐ (๐ฅ). Beispiel: ๐๐ = ๐ฅ ๐ ๐ = 1,2, … Konvergenzverhalten: lim ๐๐ (๐ฅ) =? ๐→∞ lim ๐ฅ ๐ = 0 wenn |๐ฅ| < 1 ๐→∞ lim ๐ฅ ๐ existiert nicht wenn |๐ฅ| > 1 ๐→∞ lim ๐ฅ ๐ = 1 wenn ๐ฅ = 1 ๐→∞ ๐ฅ = −1 keine Konvergenz Wenn −1 < ๐ฅ ≤ 1 dann existiert eine Grenzfunktion lim ๐๐ (๐ฅ) = ๐(๐ฅ) ๐→∞ 109 lim ๐ ๐→∞ ๐ x Beobachtung: Obwohl alle ๐๐ (๐ฅ) stetig sind, ist ๐(๐ฅ) unstetig x4 0 (๐ฅ) = {0 0 < ๐ฅ < 1 1 ๐ฅ=1 1 Definition: Es sei {๐๐ (๐ฅ)}∞ ๐=1 eine auf ๐ท ⊂ โ definierte Folge von Funktionen. Existiert die Grenzfunktion ๐(๐ฅ) = lim ๐๐ (๐ฅ) ∀๐ฅ ∈ ๐ท, so heißt ๐๐ (๐ฅ) punktweise konvergent gegen ๐(๐ฅ) ๐→∞ auf D. Gilt strenger ∀๐ > 0 ∃๐0 = ๐0 (๐) (n0 soll nicht gleichmäßig konvergent gegen ๐(๐ฅ) auf D). Man schreibt ๐๐ (๐ฅ) → ๐(๐ฅ). ๐→∞ Beispiel: ๐ท = [0, ๐] 0 < ๐ < 1. Dann gilt ๐๐ (๐ฅ) = ๐ฅ ๐ → 0 auf D. ๐→∞ Alle xn konvergieren mindestens so schnell gegen Null wie bn. Satz 6: Die Grenzfunktion ๐(๐ฅ) jeder gleichmäßig auf D konvergenten Folge stetiger Funktion ๐๐ (๐ฅ) ist ebenfalls stetig. Definition: Es sei {๐๐ (๐ฅ)}∞ ๐=1 eine Folge von Funktionen ๐๐ : ๐ท โถ โ. Dann heißt die (๐ฅ) unendliche Reihe ∑∞ ๐ Funktionsreihe. ๐=1 ๐ ๐ฅ๐ ๐ฅ Beispiel 1: ∑∞ ๐=1 ๐! Potenzreihe (= ๐ − 1) Beispiel 2: ∑∞ ๐=1 sin(๐๐ฅ) ๐ 1 Fourierreihe (= 2 (๐ − ๐ฅ), 0 < ๐ฅ < 2๐) Definition: Die Funktionsreihe ∑∞ ๐=1 ๐๐ (๐ฅ) heißt gleichmäßig konvergent, wenn die entsprechende Partialsummenfolge ๐ ๐ (๐ฅ) = ∑๐๐=1 ๐๐ (๐ฅ) gleichmäßig konvergiert. Satz 7: Kriterium von Weierstraß ∞ Besitzt eine Funktionsreihe ∑∞ ๐=1 ๐๐ (๐ฅ) eine Zahlenreihe ∑๐=1 ๐๐ als konvergente Majorante: |๐๐ (๐ฅ)| ≤ ๐๐ , ∑∞ ๐=1 ๐๐ konvergent, dann ist die Funktionsreihe gleichmäßig konvergent. Beispiel: ∑∞ ๐=1 ist. sin(๐๐ฅ) ๐2 sin(๐๐ฅ) ist gleichmäßig konvergent, da | ๐2 1 1 | ≤ ๐ 2 und ∑∞ ๐=1 ๐ 2 konvergent Folgerung: Sind ๐๐ (๐ฅ) stetig auf D und ist ∑∞ ๐=1 ๐๐ (๐ฅ) gleichmäßig konvergent, so ist auch die ∞ ∑ (๐ฅ) Grenzfunktion ๐(๐ฅ) = ๐=1 ๐๐ stetig. 5.3 Potenzreihen ๐ Definition: Eine Funktionsreihe der Form ∑∞ ๐=0 ๐๐ ⋅ ๐ง mit Koeffizienten ๐๐ ∈ โ und der Variablen ๐ง ∈ โ heißt Potenzreihe. ∞ Beispiel 1: ∑ ๐ง ๐=1 ∞ ๐−1 (= ∑ ๐ง ๐ ) ๐=0 110 ๐ ๐ ๐ = ∑ ๐ง ๐−1 = ∞ ๐=1 ๐ง ๐ − 1 für |๐ง|<1 → lim ๐ง ๐ = 0 ๐→∞ ๐ง−1 ๐ง๐ − 1 −1 1 = = ๐→∞ ๐ง − 1 ๐ง−1 1−๐ง ∑ ๐ง ๐−1 = lim ๐ ๐ = lim ๐→∞ ๐=1 ∞ 1 , |๐ง| < 1 für |๐ง| > 1 liegt Divergenz vor 1−๐ง ∑ ๐ง๐ = ๐=0 Geometrische Reihe im Komplexen Im Re 1 Konvergenzkreis |๐ง| < 1 Bemerkung: Alle Taylorreihen sind Potenzreihen Eigenschaften von Potenzreihen Satz 8: Konvergenzradius Jede Potenzreihe besitzt einen Konvergenzradius ๐ ∈ [0, ∞], so dass die Reihe im Konvergenzkreis {๐ง ∈ โ, |๐ง| < ๐} konvergiert und für |๐ง| > ๐ divergiert. In jedem Kreis vom Radius ๐ฬ < ๐ um den Nullpunkt konvergiert die Reihe gleichmäßig. Konvergenz innerhalb Kreis Beweis Skizze: Wurzelkriterium ๐ ๐ lim √|๐๐ ||๐ง|๐ = lim √|๐๐ | ⋅ |๐ง| < 1 ๐→∞ ๐→∞ Es liegt Konvergenz vor, wenn |๐ง| < ~ r wenn |๐ง| > r 1 ๐ lim √|๐๐ | ๐→∞ Falls lim ๐√|๐๐ | existiert, so gilt für den Konvergenzradius ๐→∞ ๐= ๐ 0 falls lim √|๐๐ | = ∞ ∞ falls lim √|๐๐ | = 0 ๐→∞ ๐ ๐→∞ 1 sonst ๐ lim √|๐๐ | {๐→∞ Allgemein: 1 ๐= ๐ lim √|๐๐ | ๐→∞ ∞ ๐ง๐ Beispiel 2: ∑ ๐! ๐=0 ๐ lim √๐! = schwer zu lösen ๐→∞ 111 1 ๐ lim √|๐๐ | ๐→∞ und Divergenz, Wenn es schwierig wird, weichen wir auf Quotientenkriterium aus. Wurzelkriterium ist schärfer, aber wenn Quotientenkriterium Konvergenz bringt, dann auch gut. |๐ง| ๐๐+1 (๐ง) ๐ง ๐+1 ๐! = ⋅ ๐= → 0 (๐ + 1)! ๐ง ๐๐ (๐ง) ๐ + 1 ๐→∞ Reihe konvergiert für alle z. Konvergenzradius ๐ = ∞. ๐ง๐ Definition: ๐ ๐ง = ∑∞ ๐=0 ๐! Beispiel 3: ln(1 + ๐ฅ) = ๐ฅ − ๐ฅ2 + 2 Konvergenzradius ๐ = 1 ๐๐ = ๐ lim √|๐๐ | = lim 1 ๐→∞ ๐√๐ ๐→∞ ๐ฅ3 − ๐ฅ4 3 4 (−1)๐+1 ๐+1 + โฏ = ∑∞ ๐=1(−1) ๐ฅ๐ ๐ ๐ =1 Folgerung: Die logische Reihe konvergiert für −1 < ๐ฅ < 1. So konvergiert wegen dem Leibnizkriterium auch für ๐ฅ = 1. Beispiel 4: ∞ ๐ง3 ๐ง5 ๐ง 2๐−1 ๐−1 sin ๐ง = ๐ง − + − โฏ = ∑(−1) (2๐ − 1)! 3! 5! ๐=1 ∞ ๐ง2 ๐ง4 ๐ง 2๐ ๐ cos ๐ง = 1 − + − โฏ = ∑(−1) (2๐)! 2! 4! ๐=0 Konvergenzradius ๐ = +∞ Durch Addition beider Reihen erkennbar, weil dann ex Reihe (schon errechnet). Differentiation und Integration reeller Potenzreihen ๐ gegeben: Potenzreihe ๐(๐ฅ) = ∑∞ ๐>0 ๐=0 ๐๐ ๐ฅ ′ (๐ฅ), ๐ gesucht: ๐ ∫๐ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ Satz 9: Differentiation Die Funktion f ist im Konvergenzintervall (-r, r) differenziebar und ∞ ๐ ′ (๐ฅ) = ∑ ๐๐๐ ๐ฅ ๐−1 = ๐1 + 2๐2 ๐ฅ + โฏ ๐=1 Die durch Differentiation entstandene Reihe hat wieder den Konvergenzradius r. ๐ ๐ ๐ Bemerkung: lim √๐ ⋅ |๐๐ | = lim √๐ ⋅ lim √|๐๐ | ๐→∞ Beispiel 5: sin ๐ฅ = ๐ฅ − (sin ๐ฅ)′ = cos ๐ฅ = 1 − ๐→∞ ๐ฅ3 3! 2 + ๐ฅ5 5! ๐→∞ −โฏ 4 ๐ฅ ๐ฅ + −โฏ 2! 4! Bemerkung: Potenzreihen dürfen in (-r, r) gliedweise differenziert werden, d.h. 112 ′ ∞ ๐ ′ (๐ฅ) ∞ = (∑ ๐๐ (๐ฅ)) = ∑ ๐๐′ (๐ฅ) Ansonsten Vorsicht ๐=1 ๐=1 Satz 10: Integration Die durch (x) dargestellte Funktion f ist auf jedem Teilintervall [๐, ๐] ⊂ (−๐, ๐) integrierbar ๐ ๐ ๐ ๐ ∞ ๐ und es gilt ∫๐ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ = ∫๐ (∑∞ ๐=0 ๐๐ ๐ฅ )๐๐ฅ = ∑๐=0 ๐๐ ∫๐ ๐ฅ ๐๐ฅ . ๐ฅ ๐ฅ ๐ ๐๐ ∞ ๐+1 Insbesondere ist ๐น(๐ฅ) = ∫๐ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ = ∑∞ +๐ ๐=0 ๐๐ ∫๐ ๐ฅ ๐๐ฅ = ∑๐=0 ๐+1 ๐ฅ Stammfunktion zu ๐(๐ฅ). Gliedweise Integration ist in (-r, r) erlaubt. Multiplikation von Potenzreihen ∞ ∞ ∑ ๐๐ ⋅ ∑ ๐๐ = (๐0 + ๐1 + ๐2 + โฏ ) ⋅ (๐0 + ๐1 + ๐2 + โฏ ) = ๐0 ๐0 + ๐0 ๐1 + โฏ ๐=0 ๐=0 Reihenfolge unklar, ähnliche Gefahren, wie Umordnen? Bei der Reihenfolge gibt es Freiheiten. Die Reihenfolge der Summation kann das Konvergenzverhalten und die Summe der unendlichen Reihe beeinflussen. Bei Potenzreihen gibt es diese Probleme nicht. ๐0 ๐1 ๐2 โฎ ๐0 ๐0 ๐0 ๐0 ๐1 ๐0 ๐2 ๐1 ๐1 ๐0 ๐1 ๐1 ๐1 ๐2 ๐2 ๐2 ๐0 ๐2 ๐1 ๐2 ๐2 โฏ ∑ ๐๐ ⋅ ∑ ๐๐ = ∑ ๐๐ Addition der Diagonalen (von links unten, nach rechts oben) ๐0 = ๐0 ๐0 ๐1 = ๐0 ๐1 + ๐1 ๐0 ๐2 = ๐0 ๐2 + ๐1 ๐1 + ๐2 ๐0 Satz 11: Multiplikation ∞ ๐ ๐ Für das Produkt zweier Potenzreihen ∑∞ gilt ein gemeinsamer ๐=0 ๐๐ ๐ง , ∑๐=0 ๐๐ ๐ง ∞ ∞ ∞ ๐ ๐ ๐ Konvergenzkreis (∑๐=0 ๐๐ ๐ง )(∑๐=0 ๐๐ ๐ง ) = ∑๐=0 ๐๐ ๐ง mit ๐๐ = ๐0 ๐๐ + ๐1 ๐๐−1 + โฏ + ๐๐ ๐0 = ∑๐๐=0 ๐๐ ๐๐−๐ . Bemerkung: (๐๐ ๐ง ๐ )(๐๐−๐ ๐ง ๐−๐ ) = ๐๐ ๐๐−๐ ๐ง ๐+๐−๐ = ๐๐ ๐๐−๐ ๐ง ๐ Beispiel 6: Additionstheorem für e-Funktion ∞ ๐ ∞ ๐ง ๐ฃ๐ ๐ง ๐ฃ ๐ =∑ ๐ =∑ ๐! ๐! ๐=0 ∞ ๐ ๐=0 ∞ ๐ ∞ ๐ง ๐ฃ ๐ ⋅๐ = ∑ ⋅∑ = ∑ ๐๐ ๐! ๐! ๐ง ๐ฃ ๐ ๐=0 ๐ ๐=0 ๐−๐ ๐ ๐=0 ๐ ๐ง ๐ฃ ๐! 1 1 ๐ 1 ๐๐ = ∑ ⋅ =∑ ⋅ ๐ง ๐ ๐ฃ ๐−๐ = ∑ ( ) ๐ง ๐ ๐ฃ ๐−๐ = (๐ง + ๐ฃ)๐ ๐ ๐! ๐! (๐ − ๐)! ๐! (๐ − ๐)! ๐! ๐! ๐=0 ∞ ๐ ๐ง ⋅ ๐๐ฃ = ∑ ๐=0 ๐=0 ๐=0 ๐ (๐ง + ๐ฃ) = ๐ ๐ง+๐ฃ โถ ๐ ๐ง1 +๐ง2 = ๐ ๐ง1 ⋅ ๐ ๐ง2 ∀๐ง1 , ๐ง2 ∈ โ ๐! 113 ๐ Bemerkung: Man kann Potenzreihen allgemeiner Natur betrachten: ∑∞ ๐=0 ๐๐ (๐ง − ๐ง0 ) , Konvergenzkreis {๐ง; |๐ง − ๐ง0 | < ๐} Division von Potenzreihen ๐ Es sei ๐(๐ฅ) = ∑∞ ๐0 ≠ 0, dann kann man ๐=0 ๐๐ ๐ฅ 1 1 ๐ =๐ positiven Konvergenzradius entwickeln, d.h. ๐(๐ฅ) = ๐0 + ∞ ∞ ∞ ๐=0 ๐=0 ๐=0 1 0 +๐1 ๐ฅ+โฏ ๐1 ๐ฅ + ๐2 ๐ฅ 2 in eine Potenzreihe mit ๐ + โฏ = ∑∞ ๐=0 ๐๐ ๐ฅ . 1 ๐(๐ฅ) = 1 = (∑ ๐๐ ๐ฅ ๐ ) (∑ ๐๐ ๐ฅ ๐ ) = ∑ ๐๐ ๐ฅ ๐ ๐(๐ฅ) Koeffizientenvergleich: ๐0 = ๐0 ๐0 = 1 ๐1 = ๐0 ๐1 + ๐1 ๐0 = 0 ๐2 = ๐0 ๐2 + ๐1 ๐1 + ๐2 ๐0 = 0 โฎ ak bekannt 1 ๐1 ๐0 −๐1 ๐1 − ๐2 ๐0 ๐1 = − ๐2 = … ๐0 ๐0 ๐0 alle bk werden nacheinander ausgerechnet. ๐0 = ๐ ∑∞ ๐=0 ๐๐ ๐ฅ ๐ ∑∞ ๐=0 ๐๐ ๐ฅ ๐ = ∑∞ ๐=0 ๐๐ ๐ฅ (?? was ist d, ist c gemeint??) Analog über Koeffizientenvergleich 1 ๐ต 2๐ ๐ 2๐ Beispiel: coth ๐ฅ = ๐ฅ ∑∞ ๐ต2๐ = Bernoullische Zahlen ๐=1 (2๐)! 4 ๐ง 5.4 Fourierreihen gegeben: ๐: โ โถ โ, 2π-periodisch. Wir wollen f in eine trigonometrische Reihe entwickeln. Ansatz: ๐(๐ฅ) = ๐0 2 + ๐1 cos ๐ฅ + ๐1 sin ๐ฅ + ๐2 cos 2๐ฅ + ๐2 sin 2๐ฅ + โฏ ∞ ๐0 (∗) ๐(๐ฅ) = + ∑(๐๐ cos ๐๐ฅ + ๐๐ sin ๐๐ฅ) 2 ๐=1 Nahezu jede stetige Funktion kann man so zerlegen. Orthogonalitätsrelationen: ๐ i) ๐ ∫ 1 ⋅ cos ๐๐ฅ ๐๐ฅ = ∫ 1 ⋅ sin ๐๐ฅ ๐๐ฅ = 0 ∀๐ ∈ โ −๐ ๐ −๐ ๐ ii) ∫ cos ๐๐ฅ ⋅ cos ๐๐ฅ ๐๐ฅ = ∫ sin ๐๐ฅ ⋅ sin ๐๐ฅ ๐๐ฅ = { −๐ −๐ 114 0 ๐ ๐≠๐ ๐=๐ ๐ ๐ iii) ∫ cos ๐๐ฅ ⋅ sin ๐๐ฅ ๐๐ฅ = 0 ∀๐, ๐ ∈ โ −๐ ∫ 1 ⋅ 1๐๐ฅ = 2๐ −๐ Das Funktionssystem {1, cos ๐ฅ , sin ๐ฅ , cos 2๐ฅ , … } bildet ein System von zu einander „orthogonalen Funktionen“. Wir bestimmen nun die Koeffizienten ๐0 , ๐1 , … , ๐1 , ๐2 , … wie folgt: ๐ Wir multiplizieren (*) mit 1 und bilden das Integral ∫−๐ … ๐๐ฅ ๐ ๐ ๐ ∞ ๐ ๐0 ∫ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ = ∫ ๐๐ฅ + ∑ ๐๐ ∫ cos ๐๐ฅ ๐๐ฅ + ๐๐ ∫ sin ๐๐ฅ ๐๐ฅ 2 ๐=1 โ −๐ โ −๐ −๐ −๐ 0 0 ( ) ๐0 = ๐ 1 ∫ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ = ๐ −๐ ๐0 ๐ ๐ฅ| = ๐0 ๐ 2 −๐ Nun multiplizieren wir (*) mit cos ๐๐ฅ und integrieren von –π bis π: ๐ ๐ ๐ ∞ ๐ ๐0 ∫ ๐(๐ฅ) cos ๐๐ฅ ๐๐ฅ = ∫ cos ๐๐ฅ ๐๐ฅ + ∑ (๐๐ ∫ cos ๐๐ฅ ⋅ cos ๐๐ฅ ๐๐ฅ + ๐๐ ∫ โ sin ๐๐ฅ ⋅ cos ๐๐ฅ ๐๐ฅ ) = ๐๐ ⋅ ๐ 2 0 ๐=1 โ −๐ −๐ −๐ −๐ โ 0 ๐ ๐๐ = ≠0 nur für ๐=๐ ๐ 1 1 ∫ ๐(๐ฅ) cos ๐๐ฅ ๐๐ฅ ๐๐ = ∫ ๐(๐ฅ) sin ๐๐ฅ ๐๐ฅ ๐ ๐ −๐ −๐ Zusammengefasst ๐๐ = ๐๐ = ๐ 1 ∫ ๐(๐ฅ) cos ๐๐ฅ ๐๐ฅ ๐ = 0,1,2,3, … ๐ 1 −๐ ๐ ∫ ๐(๐ฅ) sin ๐๐ฅ ๐๐ฅ ๐ ๐ = 1,2,3,4, … −๐ ak, bk Fourierkoeffizienten Vorbemerkungen: ๐ฟ ๐+๐ฟ i) Hat ๐: โ โถ โ die Periode L, dann gilt ∫0 ๐(๐ฅ)๐๐ฅ = ∫0 ๐(๐ฅ)๐๐ฅ ∀๐ ∈ โ denn ๐ฟ ii) ๐ = ∫0 ๐ฟ + ∫๐ ๐+๐ฟ ๐ฟ ๐+๐ฟ ๐ฟ ๐ , ∫๐ = ∫๐ + ∫๐ฟ = ∫๐ + ∫0 0 wenn F ungerade ist ๐น(๐ฅ) = −๐น(๐ฅ) ๐ ∫−๐ ๐น(๐ฅ)๐๐ฅ = { ๐ 2 ∫0 ๐น(๐ฅ)๐๐ฅ wenn F gerade ist ๐น(๐ฅ) = ๐น(−๐ฅ) ∫0 Folgerung Sei f eine gerade Funktion 2 ๐ โถ ๐(๐ฅ) cos ๐๐ฅ gerade โถ ๐๐ = ๐ ∫0 … โถ ๐(๐ฅ) sin ๐๐ฅ ungerade โถ ๐๐ = 0 115 Sei f eine ungerade Funktion โถ ๐(๐ฅ) cos ๐๐ฅ ungerade โถ ๐๐ = 0 2 ๐ โถ ๐(๐ฅ) sin ๐๐ฅ gerade โถ ๐๐ = ๐ ∫0 … ๐ 2 ๐๐ = ∫ ๐(๐ฅ) cos ๐๐ฅ ๐๐ฅ ๐ ๐๐ = 0 ๐ gerade 2 ∫ ๐(๐ฅ) sin ๐๐ฅ ๐๐ฅ ๐ ๐๐ = 0 ๐ ungerade 0 ๐ ๐๐ = 0 Ungerade Funktionen ergeben eine reine Sinusreihe, gerade Funktionen eine Cosinusreihe. ๐๐ฅ Beispiel 1: Sägezahnkurve ๐(๐ฅ) = { 0 -π −๐ < ๐ฅ < ๐, ๐ > 0 , f wird 2π periodisch fortgesetzt ๐ฅ=๐ π Original Sägezahn Da f ungerade ๐๐ = 0 ๐ π -π 10-te Partialsumme ๐ ๐ ๐ (−1)๐+1 2 2๐ 2๐ ๐ฅ 1 ๐๐ = ∫ ๐(๐ฅ) sin ๐๐ฅ ๐๐ฅ = ∫ ๐ฅ sin ๐๐ฅ ๐๐ฅ = (− cos ๐๐ฅ| + ∫ โ cos ๐๐ฅ ๐๐ฅ ) = ⋅ 2๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ 0 0 0 ∞ 0 (−1)๐+1 0 sin ๐ฅ sin 2๐ฅ − +โฏ) ๐ 1 2 ๐=1 sin 2๐ฅ sin 3๐ฅ für ๐ = 1 ๐(๐ฅ) = 2 (sin ๐ฅ − + −โฏ) 2 3 ๐ ๐ 1 1 1 mit ๐ฅ = [ = 1− + − +โฏ] 2 4 3 5 7 ๐(๐ฅ) = 2๐ ∑ sin ๐๐ฅ = 2๐ ( Gibbs-Phänomen y Die Maxima der Überschwinger bilden Gerade Si(π) 0.179• π 2 N=6 π 2 anzunähernde Funktion N=3 x xN xN+3 116 Beispiel 2: Rechteckfunktion 1 0<๐ฅ<๐ ๐(๐ฅ) = { 0 ๐ฅ = 0, ๐ฅ = ๐ −1 −๐ < ๐ฅ < 0 ๐๐ = 0 π ๐ 2 ๐๐ = ∫ 1 ⋅ sin ๐๐ฅ ๐๐ฅ |cos ๐๐ฅ = (−1)๐ ๐ 0 0 2 1 ๐ = (− ((−1) − 1)) = { 4 ๐ ๐ − ๐๐ ๐(๐ฅ) = ๐ gerade ๐ ungerade 4 sin 3๐ฅ sin 5๐ฅ (sin ๐ฅ + + +โฏ) ๐ 3 5 Satz: Konvergenz von Fourierreihen Die Funktion ๐: โ โถ โ sei 2π-periodisch und stückweise glatt, d.h. i) ii) In einem Intervall der Länge 2π ist f mit Ausnahme von höchstens endlich vielen Punkten x stetig differenzierbar. In diesen Ausnahmepunkten existiert die links- und rechtsseitigen Grenzwerte ๐(๐ฅ๐ − 0), ๐(๐ฅ๐ + 0), ๐ ′ (๐ฅ๐ − 0), ๐ ′ (๐ฅ๐ + 0) Dann konvergiert die Fourierreihe in den Stetigkeitspunkten x von f gegen ๐(๐ฅ) und gegen 1 den Mittelwert 2 (๐(๐ฅ๐ − 0) + ๐(๐ฅ๐ + 0)) in den Unstetigkeitspunkten. Beispiel 3: Fourierreihenentwicklung von x2 ๐(๐ฅ) = ๐ฅ 2 − ๐ < ๐ฅ < ๐ gerade ๐๐ = 0 π ๐ 2 ๐๐ = ∫ ๐ฅ 2 cos ๐๐ฅ ๐๐ฅ ๐ = 0,1, … ๐ 0 ๐ 2 2 1 3๐ 2 2 2 ๐0 = ∫ ๐ฅ ๐๐ฅ = ⋅ ๐ฅ | = ๐ ๐ ๐ 3 3 0 0 4 ๐2 ∞ ๐๐ = (−1)๐ ⋅ ∞ ๐0 ๐2 cos ๐๐ฅ ๐ฅ = + ∑ ๐๐ cos ๐๐ฅ = + 4 ∑(−1)๐ −๐ <๐ฅ <๐ 2 3 ๐2 2 ๐=1 ๐=1 Spezialfälle: ∞ (−1)๐+1 ๐2 1 1 ๐2 1 1 ๐ฅ=0 0= + 4 (−1 + 2 − 2 + โฏ ) โถ =1− 2+ 2−โฏ= ∑ 3 2 3 12 2 3 ๐2 2 ๐ฅ = ๐ cos ๐๐ = (−1)๐ ๐ 2 = ∞ ∞ ๐=1 ๐=1 ๐=1 ๐ 1 1 1 1 ๐2 +4∑ 2 ∑ 2 = 1+ + +โฏ = 3 ๐ ๐ 4 9 6 117 Die komplexe Schreibweise von Fourierreihen 1 1 (cos ๐๐ฅ + ๐ sin ๐๐ฅ − ๐ sin ๐๐ฅ + cos ๐๐ฅ) = (๐ ๐๐๐ฅ + ๐ −๐๐๐ฅ ) 2 2 1 ๐๐๐ฅ ๐ sin ๐๐ฅ = (๐ − ๐ −๐๐๐ฅ ) = (๐ −๐๐๐ฅ − ๐ ๐๐๐ฅ ) 2๐ 2 cos ๐๐ฅ = ๐ ๐ ๐ ๐ ๐=1 ๐=1 ๐=1 ๐=−๐ ๐0 ๐0 ๐๐ − ๐๐๐ ๐๐๐ฅ ๐๐ + ๐๐๐ −๐๐๐ฅ + ∑(๐๐ cos ๐๐ฅ + ๐๐ sin ๐๐ฅ) = +∑ ⋅๐ +∑ ⋅๐ = ∑ ๐๐ ๐ ๐๐๐ฅ 2 2 2 2 1 (๐ − ๐๐๐ ) ๐>0 2 ๐ 1 ๐๐ = ๐ ๐=0 2 0 1 {2 (๐−๐ + ๐๐−๐ ) ๐ < 0 Im Falle von Konvergenz der Fourierreihe ∞ ๐(๐ฅ) = ∑ ๐๐ ๐ ๐๐๐ฅ komplexe Form der Fourierreihe ๐=−∞ ๐ ๐ ๐ −๐ −๐ −๐ 1 1 1 ๐๐ = (๐๐ ± ๐๐๐ ) = { ∫ ๐(๐ฅ) cos ๐๐ฅ ๐๐ฅ ± ๐ ∫ ๐(๐ฅ) sin ๐๐ฅ ๐๐ฅ } = ∫ ๐(๐ฅ)๐ ±๐๐๐ฅ ๐๐ฅ 2 2๐ 2๐ ๐ = 1 ∫ ๐(๐ฅ)๐ −๐๐๐ฅ ๐๐ฅ ๐ = 0, ±1, ±2 2๐ −๐ Andere Periodenlänge f habe anstelle von 2π die Periode ๐ฟ > 0 ๐(๐ฅ + ๐ฟ) = ๐(๐ฅ) Variablentransformation 2๐ ๐ฟ ๐ฟ ๐ก= ๐ฅโบ๐ฅ= ๐ก ๐(๐ฅ) = ๐ ( ๐ก) = ๐ฬ(๐ก) ๐ฟ 2๐ 2๐ ๐ฟ ๐ฟ ๐ฟ ๐ฬ(๐ก + 2๐) = ๐ ( (๐ก + 2๐)) = ๐ ( ๐ก + ๐ฟ) = ๐ ( ๐ก) = ๐ฬ(๐ก) mit Periode 2๐ 2๐ 2๐ 2๐ ∞ ๐0 ๐ฬ(๐ก) = + ∑(๐๐ cos ๐๐ก + ๐๐ sin ๐๐ก) 2 ๐=1 ๐ฟ 2 ๐ ๐๐ = 1 1 2๐ 2๐ ∫ ๐ฬ(๐ก) cos ๐๐ก ๐๐ก = ∫ ๐(๐ฅ) cos ( ๐๐ฅ) ⋅ ๐๐ฅ ๐ ๐ ๐ฟ ๐ฟ −๐ ๐๐ = 2 ๐ฟ ๐ฟ 2 − 2๐ ∫ ๐(๐ฅ) cos ( ๐ฟ − 2 ๐ฟ ๐๐ฅ) ๐๐ฅ ๐ฟ 2 ๐ = 0,1,2, … 118 ๐๐ = ๐ฟ 2 2 ๐ฟ 2๐ ∫ ๐(๐ฅ) sin ( ๐ฟ − 2 ๐(๐ฅ) = ๐0 ๐ฟ ๐๐ฅ) ๐๐ฅ ๐ = 1,2,3, … ∞ 2๐ 2๐ + ∑ (๐๐ cos ( ๐๐ฅ) + ๐๐ sin ( ๐๐ฅ)) 2 ๐ฟ ๐ฟ ๐=1 119 6. Integraltransformation 6.1 Fouriertransformation 6.1.1 Einführung Integraltransformation Differentialgleichung → andere Gleichung Nützlich bei Problemen im Bildbereich Beispiel für partiellen Differentialoperator ๐ ๐ผ1 ๐ ๐ผ2 ๐ ๐ผ๐ ๐ผ ∑ ๐๐ผ ๐ท ๐ผ โถ ∑ ๐๐ผ ๐ ๐ผ ๐ท ๐ผ = ( ) ( ) …( ) ๐ = ๐ ๐ผ1 … ๐ ๐ผ๐ ๐๐ฅ1 ๐๐ฅ2 ๐๐ฅ๐ Beispiel: ๐2 ๐2 [ 2 + 2 ] ๐ข = ๐ ๐น๐ด๐ข = (๐ 2 + ๐2 )๐น๐ข = ๐น๐ ๐๐ฅ ๐๐ฆ Umwandlung eines Differentialoperators in einen Multiplikationsoperator. Lösung des transformierten Problems → Rücktransformation → Lösung im Bildbereich Für periodische Funktionen kennen wir die Fourierreihe ๐ ∞ ๐(๐ฅ) = ∑ ๐๐ ๐ ๐๐๐ฅ ๐=−∞ 1 mit ๐๐ = ∫ ๐(๐ฅ)๐ −๐๐๐ฅ ๐๐ฅ 2๐ −๐ ∞ ๐(๐ฅ) = ∫ ๐ฬ(๐ )๐ ๐๐ ๐ฅ ๐๐ฅ mit −∞ ∞ 1 ๐ฬ (๐ ) = ∫ ๐(๐ก)๐ −๐๐ ๐ก ๐๐ก 2๐ −∞ Definition: ๐ฬ(๐ ) heißt Fouriertransformation von ๐(๐ก). ๐ฬ(๐ ) = ๐น(๐(๐ก)) Bemerkung: i) ๐ฬ(๐ ) ist ein uneigentliches Integral, da die Grenzen ±∞ sind. ii) Bei der Integration sind Real- und Imaginärteil getrennt auszurechnen ∞ ∞ ∞ ∫ (๐(๐ก) + ๐๐(๐ก))๐๐ก = ∫ ๐(๐ก)๐๐ก + ๐ ∫ ๐(๐ก)๐๐ก −∞ −∞ −∞ Beispiel 1: Rechteckfunktion (2π periodisch) 1 π -1 Fourierreihe hat folgende Koeffizienten: 120 ๐ ๐ −๐ −๐ ๐ 1 1 ๐๐ = ∫ ๐(๐ฅ)๐ −๐๐๐ฅ ๐๐ฅ = ∫ ๐(๐ฅ)(cos ๐๐ฅ − ๐ sin ๐๐ฅ)๐๐ฅ 2๐ 2๐ = ๐ 1 [ ∫โ ๐(๐ฅ) cos ๐๐ฅ ๐๐ฅ − ๐ ∫ ๐(๐ฅ) sin ๐๐ฅ ๐๐ฅ] 2๐ 0 −๐ 2๐ ๐ cos ๐๐ฅ − ๐๐ = ⋅ | = { ๐๐ ๐ ๐ 0 0 ๐ −๐ ๐ ungerade ๐ = 0, ±1, ±2, … ๐ gerade Der Graph aller ck (bzw. |ck| ergibt das diskrete Spektrum: -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 Beispiel 2: Rechteckimpuls (nichtperiodisch) 1 −๐ ≤ ๐ฅ ≤ ๐ ๐(๐ฅ) = { 0 sonst -a a ๐ ∞ ๐ ๐ 1 1 1 1 ๐ฬ(๐ ) = ∫ ๐(๐ก)๐ −๐๐ ๐ก ๐๐ก = ∫ ๐ −๐๐ ๐ก ๐๐ก = ∫ cos ๐ ๐ก ๐๐ก + ∫(−๐ sin ๐ ๐ก)๐๐ก 2๐ 2๐ 2๐ 2๐ โ −๐ −∞ −๐ −๐ 0, da sin ungerade ๐ = 1 1 sin ๐๐ ∫ cos ๐ ๐ก ๐๐ก = ⋅ für ๐ ≠ 0 ๐ ๐ ๐ 0 1 ๐ ๐ sin ๐๐ Für ๐ = 0 ergibt sich ๐ฬ(0) = 2๐ ⋅ 2๐ = ๐. Das ist lim ๐ ๐ →0 ๐๐ . Kontinuierliches Spektrum von f Satz 1: Existenz der Fouriertransformation ∞ Ist ๐: โ โถ โ stückweise stetig und auf โ absolut integrierbar, d.h. ∫−∞|๐(๐ฅ)|๐๐ฅ < ∞, dann existiert ๐ฬ(๐ ). ∞ ∞ ∞ Beweisidee: | ∫ ๐(๐ก)๐ −๐๐ ๐ก ๐๐ก| ≤ ∫ |๐(๐ก)||๐ −๐๐ ๐ก |๐๐ก = ∫ |๐(๐ก)|๐๐ก −∞ −๐๐ก Beispiel 3: ๐(๐ก) = {๐ 0 −∞ −∞ ๐ก ≥ 0 ๐ > 0 fixiert ๐ก<0 121 1 ∞ ๐ ∞ 1 1 1 ๐ฬ(๐ ) = ∫ ๐ −๐๐ก ๐ −๐๐ ๐ก ๐๐ก = ∫ ๐ −(๐+๐๐ )๐ก ๐๐ก = lim ∫ ๐ −(๐+๐๐ )๐ก ๐๐ก 2๐ 2๐ 2๐ ๐→∞ 0 0 0 1 1 1 1 1 1 ๐ = lim (− ๐ −(๐+๐๐ )๐ก |0 ) = ( − lim ๐ −๐๐ ๐ −๐๐ ๐ ) = 2๐ ๐→∞ ๐ + ๐๐ 2๐ ๐ + ๐๐ ๐→∞ ๐ + ๐๐ 2๐(๐ + ๐๐ ) Bemerkung: Schreibweise ๐ฬ(๐ ) = ๐น[๐(๐ก)], ๐ฬ = ๐น๐ 6.1.2 i) ii) Eigenschaften der Fouriertransformation ๐น(๐1 + ๐2 ) = ๐น๐1 + ๐น๐2 ๐น(๐๐) = ๐๐น๐ Linearität von F ๐น[๐(๐ก ± ๐)] = ๐ ±๐๐ ๐ ๐น[๐(๐ก)] ∞ ∞ ∞ −∞ −∞ −∞ 1 1 1 ∫ ๐(๐ก + ๐)๐ −๐๐ ๐ก ๐๐ก = ∫ ๐(๐)๐ −๐๐ (๐−๐) ๐๐ = ๐ ๐๐ ๐ ∫ ๐(๐)๐ −๐๐ ๐ ๐๐ 2๐ 2๐ 2๐ ๐ก + ๐ = ๐ ๐ก = ๐ − ๐ ๐๐ก = ๐(๐ก + ๐) = ๐๐ Beispiel: Verschobener Rechteckimpuls ๐ −๐๐ ๐ sin ๐๐ −๐๐ ๐ (๐ก)](๐ ) ๐น[๐๐ =๐ ๐น[๐(๐ก)] = ๐๐ = ๐(๐ก − ๐) ๐ ๐ -a+c iii) a+c Streckung ๐น[๐(๐๐ก)](๐ ) = ∞ 1 ๐ ๐น[๐(๐ก)] ( ) |๐| ๐ ∞ ∞ −∞ −∞ ๐ 1 ๐ 1 1 1 1 1 ๐ ∫ ๐(๐๐ก)๐ −๐๐ ๐ก ๐๐ก = ∫ ๐(๐)๐ −๐๐ ๐ ⋅ ๐๐ = ⋅ ∫ ๐(๐)๐ −๐๐๐ ๐๐ = ๐ฬ ( ) 2๐ 2๐ ๐ ๐ 2๐ ๐ ๐ −∞ ๐ 1 ๐๐ก = ๐ ๐ก = ๐๐ก = ๐๐ ๐ ๐ −∞ 1 1 Wenn ๐ < 0 ist, entsteht ∫+∞ ๐๐ โถ −๐ = |๐| iv) Verschiebung im Frequenzbereich ๐น[๐ ๐๐๐ก ๐(๐ก)](๐ ) = ๐น[๐(๐ก)](๐ − ๐) Satz 2: Es sei ๐: โ โถ โ stückweise glatt und f sowie ๐ ′ seien absolut integrierbar auf โ, dann gilt: ๐น[๐ ′ (๐ก)](๐ ) = ๐๐ ๐น[๐(๐ก)](๐ ) ๐ฬ ′ (๐ ) = ๐๐ ๐ฬ(๐ ) Beweisandeutung: ๐ 1 ′ 1 ๐น[๐ ′ (๐ก)] = ๐ (๐ก)๐ −๐๐ ๐ก ๐๐ก = ๐→−∞ lim ∫ ๐ ′ (๐ก)๐ −๐๐ ๐ก ๐๐ก 2๐ 2๐ ๐→+∞ ๐ 122 ๐ ∞ 1 1 ๐ = ๐→−∞ lim ๐(๐ก)๐ −๐๐ ๐ก |๐ − ∫ ๐(๐ก)(−๐๐ )๐ −๐๐ ๐ก ๐๐ก = ๐๐ ∫ ๐(๐ก)๐ −๐๐ ๐ก ๐๐ก 2๐ 2๐ ๐→+∞ ๐ −∞ Folgerung: ๐น[๐ (๐) (๐ก)](๐ ) = (๐๐ )๐ ๐น[๐] Ist ๐น[๐1 ] ⋅ ๐น[๐2 ] eine Fouriertransformation einer dritten Funktion? Definition: Es seien f1, f2 in โ stetige Funktionen, die absolut integrierbar sind und f1 ist beschränkt. ∞ Dann existiert das Integral ∫−∞ ๐1 (๐ก − ๐ข)๐2 (๐ข)๐๐ข, welches Faltung genannt wird, von f1 und 1 ∞ f2. Bezeichnung: (๐1 ∗ ๐2 )(๐ก) = 2๐ ∫−∞ ๐1 (๐ก − ๐ข) ⋅ ๐2 (๐ข)๐๐ข Satz 3: Unter obigen Voraussetzungen existiert ๐น[๐1 ∗ ๐2 ] und es gilt: ๐น[๐1 ∗ ๐2 ](๐ ) = ๐น[๐1 ](๐ ) ⋅ ๐น[๐2 ](๐ ) ๐1ฬ ∗ ๐2 = ๐ฬ1 ⋅ ๐ฬ2 Umkehrformel ๐ด ๐(๐ก) = lim ∫ ๐ฬ(๐ )๐ ๐๐ก๐ ๐๐ ๐ด→∞ gilt für alle Stetigkeitspunkte −๐ด ๐ด ∞ −๐ด −∞ ๐(๐ก + 0) + ๐(๐ก − 0) Allgemeiner: = lim ∫ ๐ฬ(๐ )๐ ๐๐ก๐ ๐๐ = ๐ถ๐ป ∫ ๐ฬ(๐ )๐ ๐๐ก๐ ๐๐ ๐ด→∞ 2 6.2 Laplacetransformation 6.2.1 Einführung ∞ Definition: Es sei gegeben ๐: [0, ∞) โถ โ, dann heißt die Funktion ๐น(๐ง) = ∫0 ๐ −๐ง๐ก ๐(๐ก)๐๐ก , ๐ง ∈ โ Laplace-Transformierte von f. Bezeichnung: ๐น = โ[๐(๐ก)] In der Regel konvergiert das Integral nicht für alle ๐ง ∈ โ. Forderung: |๐(๐ก)| ≤ ๐๐ ๐พ๐ก mit ๐ > 0 und ๐พ ∈ โ „f ist höchstens exponentieller Ordnung γ“ Satz 4: ๐: [0, ∞) โถ โ sei stückweise stetig und |๐(๐ก)| ≤ ๐๐ ๐พ๐ก , dann existiert die LaplaceTransformierte ๐น(๐ง) für ๐ง ∈ โ mit Re ๐ง > ๐พ. {๐ง| Re ๐ง > ๐พ} heißt Konvergenzhalbebene. Beweisidee: ∞ |∫ ๐ 0 −๐ง๐ก ∞ ๐(๐ก)๐๐ก| ≤ ∫ ๐ ∞ −(Re ๐ง)๐ก |๐ −๐(Im ๐ง)๐ก ||๐(๐ก)|๐๐ก ≤ ๐ ∫ โ ๐ −(Re ๐ง)๐ก ๐ ๐พ๐ก ๐๐ก 0 0 123 −(Re ๐ง−๐พ)<0 ∞ ≤ ๐ ∫ ๐ −๐๐ก ๐๐ก < ∞ ๐ > 0 0 Beispiel 1: Verschobene Heaviside Funktion โ๐ (๐ก) = { [ a 0 1 0≤๐ก<๐ ๐ก≥๐ ∞ โ[โ๐ (๐ก)] = ∫ โ๐ 0 C 0 ๐ ∞ (๐ก)๐−๐ง๐ก ๐๐ก =∫ ๐−๐ง๐ก ๐๐ก = lim ∫ ๐−๐ง๐ก ๐๐ก ๐→∞ ๐ ๐ ๐ −๐−๐ง๐ก −๐−๐๐ก −๐−๐๐ก = lim | = lim − ๐→∞ ๐ง ๐ ๐→∞ ๐ง ๐ง −๐๐ง Re ๐ง > 0 lim ๐ =0 Konvergenz Halbebene ๐→∞ โ[โ๐ (๐ก)] = ๐−๐๐ง ๐ง Beispiel 2: Kosinus / Sinus Funktion ∞ ∞ ∞ โ[cos ๐๐ก] + ๐โ[sin ๐๐ก] = ∫ ๐ −๐ง๐ก cos ๐๐ก ๐๐ก + ๐ ∫ ๐ −๐ง๐ก sin ๐๐ก ๐๐ก = ∫ ๐ −๐ง๐ก ⋅ ๐ ๐๐๐ก ๐๐ก 0 0 ∞ = lim ∫ ๐ (−๐ง+๐๐)๐ก ๐๐ก = ๐→∞ 0 โ[cos ๐๐ก] = ๐ง2 0 1 ๐ lim ๐ (−๐ง+๐๐)๐ก |0 −๐ง + ๐๐ ๐→∞ 1 1 1 (0 − 1) = = ( lim ๐ (−๐ง+๐๐)๐ − 1) = −๐ง + ๐๐ ๐→∞ −๐ง + ๐๐ ๐ง − ๐๐ ๐ง + ๐๐ ๐ง + ๐๐ = = (๐ง − ๐๐)(๐ง + ๐๐) ๐ง 2 + ๐ 2 ๐ โ[sin ๐๐ก] = 2 ๐ง + ๐2 ๐ง + ๐2 1 Beispiel 3: โ[๐ ๐๐ก ] = ๐ง−๐ Re ๐ง > ๐ 6.2.2 i) ii) Eigenschaften der Laplacetransformation โ[๐1 (๐ก) + ๐2 (๐ก)] = โ[๐1 (๐ก)] + โ[๐2 (๐ก)] beide Transformationen müssen existieren โ[๐๐(๐ก)] = ๐โ[๐(๐ก)] Linearität der Laplacetransformation Wenn โ[๐(๐ก)] = ๐น(๐ง), so gilt โ[๐ ๐ฟ๐ก ๐(๐ก)] = ๐น(๐ง − ๐ฟ) Verschiebungssatz 1 ๐ง โ[๐(๐๐ก)] = ๐ ๐น (๐ ) Streckungssatz ๐ > 0 iii) โ[โ๐ฟ (๐ก)๐(๐ก − ๐ฟ)] = ๐ −๐ฟ๐ง ๐น(๐ง) Dämpfung im Bildbereich f(t) f(t-δ) δ hδ(t)•f(t-δ) t vorne durch 0 ersetzt 124 Beweis: ∞ ∫๐ −๐ง๐ก ∞ โ๐ฟ (๐ก) ⋅ ๐(๐ก − ๐ฟ)๐๐ก = ∫ ๐ 0 ∞ −๐ง๐ก ๐ (๐ก โ − ๐ฟ) ๐๐ก = ∫ ๐ ๐ฟ ๐ ∞ −๐ง(๐+๐ฟ) ๐(๐)๐๐ = ๐ −๐ฟ๐ง 0 ∫ ๐ −๐ง๐ ๐(๐)๐๐ = ๐ −๐ฟ๐ง ๐น(๐ง) 0 Beispiel 4: โ[cosh ๐๐ก] = โ [ ๐ ๐๐ก + ๐ −๐๐ก 1 1 1 1 ๐ง ] = (โ[๐ ๐๐ก ] + โ[๐ −๐๐ก ]) = ( + )= 2 gilt für Re ๐ง > |๐| 2 2 2 ๐ง−๐ ๐ง+๐ ๐ง − ๐2 Definition: ๐1 , ๐2 : โ โถ โ seien stückweise stetig, ๐1 (๐ก) = ๐2 (๐ก) = 0 für ๐ก < 0 ๐ก (๐1 ∗ ๐2 )(๐ก) = ∫0 ๐1 (๐ก − ๐ข)๐2 (๐ข)๐๐ข heißt Faltung von f1 und f2 iv) Faltungssatz Sei f1 stetig, f2 stückweise stetig. f1 und f2 seien von exponentieller Ordnung γ, ๐1 (๐ก) = ๐2 (๐ก) = 0 für ๐ก < 0. Dann existiert โ[๐1 ∗ ๐2 ] und für Re ๐ง > ๐พ gilt: โ[๐1 ∗ ๐2 ] = โ[๐1 ] ⋅ โ[๐2 ] v) Differentiation ๐: [0, ∞) โถ โ sei stetig und stückweise glatt und von exponentieller Ordnung γ. Dann gilt für Re ๐ง > ๐พ โ[๐ ′ (๐ก)] = ๐ง ⋅ โ[๐(๐ก)] − ๐(0) Beweisidee: ๐ ∞ โ[๐ ′ (๐ก)] =∫๐ −๐ง๐ก ′ (๐ก)๐๐ก 0 ๐ = lim ∫ ๐ ๐→∞ ๐ −๐ง๐ก ⋅๐ ′ (๐ก)๐๐ก 0 = lim {๐ ๐→∞ −๐ง๐ก ๐(๐ก)|๐0 − ∫(−๐ง)๐ −๐ง๐ก ๐(๐ก)๐๐ก} 0 ๐ = lim (๐(๐)๐ −๐ง๐ ) − ๐(0) + lim ∫ ๐ −๐ง๐ก ๐(๐ก)๐๐ก = ๐งโ[๐] − ๐(0) ๐→∞ ๐→∞ 0 โ[๐ ′′ (๐ก)] = ๐งโ[๐ ′ (๐ก)] − ๐ ′ (0) = ๐ง{๐งโ[๐(๐ก)] − ๐(0)} − ๐ ′ (0) = ๐ง 2 โ[๐(๐ก)] − ๐ง๐(0) − ๐ ′ (0) โ[๐ (๐) (๐ก)] = ๐ง ๐ โ[๐(๐ก)] − ๐ง ๐−1 ๐(0) − ๐ง ๐−2 ๐ ′ (0) − โฏ − ๐ (๐−1) (0) Beispiel: ๐ฆ ′ (๐ก) + ๐ฆ(๐ก) = ๐ −๐ก ๐ฆ(0) = 1 ๐ก > 0 gewöhnliche Differentialgleichung mit gegebenem Anfangswert. Mit Laplacetransformation: โ[๐ฆ ′ (๐ก)] + โ[๐ฆ(๐ก)] = โ[๐ −๐ก ] 1 ๐งโ[๐ฆ(๐ก)] − ๐ฆ(0) + โ[๐ฆ(๐ก)] = ๐ง+1 1 1 (๐ง + 1)โ[๐ฆ(๐ก)] = + ๐ฆ(0) = +1 ๐ง+1 ๐ง+1 1 1 โ[๐ฆ(๐ก)] = + 2 (๐ง + 1) ๐ง+1 Für ๐ฆ(๐ก) brauchen wir eine Umkehroperation ๐(๐ก) โถ โ[๐(๐ก)] = ๐น(๐ง) โถ โ −1 [๐น(๐ง)] = ๐(๐ก) 125 vi) Komplexe Umkehrfunktion ๐น(๐ง) sei analytische Funktion für Re ๐ง > ๐ mit lim ๐น(๐ง) = 0 (gleichmäßig bezüglich |๐ง|→∞ ๐ +๐∞ ∫๐ −๐∞ |๐น(๐ง)||๐๐ง| arg ๐ง) und Originalfunktion. < ∞, dann ist ๐น(๐ง) Laplace-Transformierte der ๐ +๐∞ 1 โ −1 [๐น(๐ง)] = ๐(๐ก) = ∫ ๐ ๐ง๐ก ๐น(๐ง)๐๐ง 2๐๐ ๐ −๐∞ Analytische Funktion hat in โ konvergente Potenzreihe Fortführung des Beispiels: 1 โ −1 [ ] = ๐ −๐ก 1+๐ง โ −1 ๐ก ๐ฆ(๐ก) = ๐ก๐ −๐ก + ๐ −๐ก ๐ฆ ′ (๐ก) = ๐ −๐ก − ๐ก๐ −๐ก − ๐ −๐ก 0 vii) Integration ๐ก 1 โ [∫ ๐(๐ข)๐๐ข] = โ[๐(๐ก)] ๐ง 0 ๐ก Beweis: ๐(๐ก) = ∫0 ๐(๐ข)๐๐ข ๐′ (๐ก) = ๐(๐ก) โ [๐ โ โ′ (๐ก)] = ๐งโ[๐(๐ก)] − ๐(0) ๐(๐ก) 0 ๐ก โ[๐(๐ก)] = ๐งโ[๐(๐ก)] = ๐ง ⋅ โ [∫ ๐(๐ข)๐๐ข] 0 Beispiel: 1 โ[๐ก] = โ [∫ 1๐๐ก ] = 0 1 1 โ[1] = 2 ๐ง ๐ง ๐ก โ[๐ก ๐ก ๐ก 1 [ ] = โ −1 [โ[๐ −๐ก ] ⋅ โ[๐ −๐ก ]] = (๐ ∗ ๐)(๐ก) = ∫ ๐ −(๐ก−๐ข) ๐ −๐ข ๐๐ข = ∫ ๐ −๐ก ๐๐ข = ๐ −๐ก ∫ ๐๐ข = ๐ก๐ −๐ก (1 + ๐ง)2 2] 2 2 = 2โ [∫ ๐ข๐๐ข] = โ[๐ก] = 3 ๐ง ๐ง 0 โ[๐ก ๐ ] = ๐! ๐ง ๐+1 Beispiel: Rechteckimpuls c a b ๐(๐ก) = ๐(โ๐ (๐ก) − โ๐ (๐ก)) 126 0 0 ๐ −๐๐ง ๐ −๐๐ง ๐ ๐น(๐ง) = โ[๐(๐ก)] = ๐(โ[โ๐ (๐ก)] − โ[โ๐ (๐ก)]) = ๐ ( − ) = (๐ −๐๐ง − ๐ −๐๐ง ) ๐ง ๐ง ๐ง ๐! Beispiel 7: โ[๐ ๐๐ก ๐ก ๐ ] Verschiebungssatz โ[๐ ๐๐ก ๐ก ๐ ] = ๐น(๐ง − ๐) = (๐ง−๐)๐+1 siehe oben 3๐ง−5 1 2 1 2 Beispiel 8: ๐น(๐ง) = ๐ง 2 −4๐ง+3 = ๐ง−1 + ๐ง−3 ๐(๐ก) = โ −1 (๐ง−1 + ๐ง−3) = ๐ ๐ก + 2๐ 3๐ก ๐ Beispiel 9: ๐ฆ ′′ (๐ก) + 9๐ฆ(๐ก) = cos 2๐ก ๐ฆ(0) = 1 ๐ฆ ( 2 ) = −1 ๐ง ๐ง 2 ๐น(๐ง) − ๐ง๐ฆ(0) − ๐ฆ โ′ (0) + 9๐น(๐ง) = โ[cos 2๐ก] = 2 ๐ง +4 =๐ unbekannt ๐ง (๐ง 2 + 9)๐น(๐ง) = ๐ง + ๐ + 2 ๐ง +4 ๐ง+๐ ๐ง 4 ๐ง ๐ ๐ง ๐น(๐ง) = 2 + 2 = + + ๐ง + 9 (๐ง + 4)(๐ง 2 + 9) 5 ๐ง 2 + 9 ๐ง 2 + 9 5(๐ง 2 + 4) 4 ๐ 1 ๐ฆ(๐ก) = cos 3๐ก + sin 3๐ก + cos 2๐ก 5 3 5 ๐ 12 ๐ฆ ( ) einsetzen โถ ๐ = 2 5 6.2.3 Liste der Transformationsgleichungen ๐(๐ก) ๐น(๐ง) 1 ๐ง 1 ๐ง2 ๐! ๐+1 ๐ง Γ(๐ + 1) ๐ง ๐+1 1 ๐ง−๐ 1 t ๐ก๐ ๐ ∈ โ ๐ก ๐ ๐ > −1 ๐ ๐๐ก ๐ −๐ง๐ก0 bzw. 1 ๐ฟ(๐ก − ๐ก0 ) bzw. ๐ฟ(๐ก) 1 − (๐ + ln ๐ง) ๐ง 1 (๐ง − ๐)๐ ln ๐ก ๐ก ๐−1 ๐ ๐๐ก ๐∈โ (๐ − 1)! ๐ก๐ฝ−1 ๐ ๐๐ก ๐ฝ>0 Γ(๐ฝ) 1 (๐ง − ๐)๐ฝ ๐ ๐ง 2 + ๐2 ๐ง 2 ๐ง + ๐2 ๐ (๐ง − ๐)2 + ๐2 sin ๐๐ก cos ๐๐ก ๐ ๐๐ก sin ๐๐ก 127 ๐ง−๐ (๐ง − ๐)2 + ๐2 ๐ 2 ๐ง − ๐2 ๐ง 2 ๐ง − ๐2 ๐ (๐ง − ๐)2 − ๐2 ๐ ๐๐ก cos ๐๐ก sinh ๐๐ก cosh ๐๐ก ๐ ๐๐ก sinh ๐๐ก ๐ง−๐ (๐ง − ๐)2 − ๐2 ๐ ๐๐ก cosh ๐๐ก ๐ก sin ๐๐ก (๐ง 2 2๐๐ง + ๐2 )2 ๐ก cos ๐๐ก ๐ง 2 − ๐2 (๐ง 2 + ๐2 )2 ๐ ′ (๐ก) ๐ง๐น(๐ง) − ๐(0) ๐ (๐) (๐ก) ๐ ∈ โ ๐ง ๐ ๐น(๐ง) − ๐ง ๐−1 ๐(0) − โฏ − ๐ (๐−1) (0) ๐ก ๐น(๐ง) ๐ง ∫ ๐(๐ข)๐๐ข 0 ∞ ๐ง ๐(๐ข) ∫ ๐๐ข ๐ข 1 ∫ ๐น(๐ค)๐๐ค ๐ง ๐ก 0 ๐ก ๐น1 (๐ง) ⋅ ๐น2 (๐ง) ∫ ๐1 (๐ข)๐2 (๐ก − ๐ข)๐๐ข 0 (−1)๐ ๐ก ๐ ๐(๐ก) ๐ ∈ โ ๐น (๐) (๐ง) ๐ −๐๐ก ๐(๐ก) ๐น(๐ง + ๐) 1 ๐ก ๐( ) ๐ > 0 ๐ ๐ ๐น(๐๐ง) ๐๐1 (๐ก) + ๐๐2 (๐ก) ๐๐น1 (๐ง) + ๐๐น2 (๐ง) 1 ๐ฝ0 (๐๐ก) √๐ง 2 + ๐2 128 7. Gewöhnliche Differentialgleichungen 7.1 Einführung Beispiel 1: gesucht ๐ฆ = ๐(๐ฅ) mit ๐ฆ ′ (๐ฅ) = ๐ฆ(๐ฅ), gewöhnliche DGL 1. Ordnung Lösung: ๐ฆ = ๐ ๐ฅ oder ๐ฆ = ๐๐ ๐ฅ , c = beliebige Konstante Beispiel 2: ๐ฆ ′′ (๐ฅ) + ๐ฆ(๐ฅ) = 0, gewöhnliche DGL 2. Ordnung Lösung: ๐ฆ(๐ฅ) = sin ๐ฅ ๐ฆ(๐ฅ) = cos ๐ฅ ๐ฆ(๐ฅ) = ๐1 sin ๐ฅ + ๐2 cos ๐ฅ Beispiel 3: elektrischer Schwingkreis i u ๐ข๐ = ๐(๐ก) ⋅ ๐ ๐ข๐ฟ (๐ก) = ๐ฟ R L ๐๐(๐ก) ๐(๐ก) = ๐ถ ⋅ ๐๐ก ๐ข๐ฟ (๐ก) + ๐ข๐ถ (๐ก) + ๐ข๐ (๐ก) = ๐ข(๐ก) ๐2 ๐ข๐ถ (๐ก) ๐๐ข๐ถ (๐ก) ๐ฟ๐ถ + ๐ ๐ถ + ๐ข๐ถ (๐ก) = ๐ข(๐ก) 2 ๐๐ก ๐๐ก C ๐๐ข๐ถ (๐ก) ๐๐ก Beispiel 4: Exponentielles Wachstum Anzahl der Population ๐(๐ก) zum Zeitpunkt t. Δ๐~๐ผ๐(๐ก)Δ๐ก Δ = Zuwachs Zuwachs der Population ist in einem kleinen Zeitintervall proportional zum Vermehrungsintegral α und zur Länge des Zeitintervalls. Δ๐ = ๐ผ๐(๐ก) Δ๐ก โถ 0 ๐′ (๐ก) = ๐ผ๐(๐ก) Δ๐ก Lösung: ๐(๐ก) = ๐๐ ๐ผ๐ก Zum Zeitpunkt ๐ก0 = 0 sei P0 vorhanden ๐(๐ก0 ) = ๐๐ ๐ผ๐ก0 = ๐๐ ๐ผ0 = ๐ โถ ๐(๐ก) = ๐(0)๐ ๐ผ๐ก Menschheitsentwicklung: In 35 Jahren Verdoppelung der Menschheit. 1986 gab es 5 Milliarden Menschen. ๐(๐ก + ๐ฟ) = 2๐(๐ก) ๐ฟ = 35 ๐0 = ๐ ๐ผ(๐ก+๐ฟ) = 2๐0 ๐ ๐ผ๐ก โถ ๐ ๐ผ๐ฟ = 2 โถ ๐ผ๐ฟ = ln 2 ln 2 ln 2 ๐ผ= = ≈ 0,02 pro Jahr ๐ฟ 35 Somit 2050 rund 18 Milliarden, 2500 rund 148 Billionen = 1 m2 Erdfläche pro Mensch Silberne Taschenuhr von Leibniz y Uhr Faden nach oben gezogen Faden ist jeweils tangential zur Bahnkurve straffer Faden a ๐ฆ ′ (๐ฅ) = − Uhr x โ √๐2 − ๐ฅ 2 ๐ + √๐2 − ๐ฅ 2 =− ๐ฆ(๐ฅ) = ๐ ln ( ) − √๐2 − ๐ฅ 2 + ๐ ๐ฆ(๐) = 0 ๐ = 0 ๐ฅ ๐ฅ ๐ฅ 129 Definition: Ist ๐น = ๐น(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ1 , … , ๐ฆ๐ ): โ๐+2 โถ โ eine gegebene Funktion ๐ + 2 Variablen, so heißt die Gleichung der Form ๐น (๐ฅ, ๐ฆ(๐ฅ), ๐ฆ ′ (๐ฅ), … , ๐ฆ (๐) (๐ฅ)) = 0 gewöhnliche DGL n-ter Ordnung, wobei die höchste wirklich vorkommende Ableitung ๐ฆ (๐) (๐ฅ) sein soll. Beispiel: ๐ sin ๐ฆ ′′′ (๐ฅ) = tan ๐ฅ DGL 3. Ordnung 7.2 Elementare Lösungsmethoden für DGL 1. Ordnung 7.2.1 Trennung der Veränderlichen (nichtlineare) ๐(๐ฅ) ๐ฆ ′ (๐ฅ) = โ(๐ฆ) vorausgesetzt g stetig โ ≠ und stetig differenzierbar ๐ ๐ป(๐ฆ) = ∫๐ โ(๐ฆ)๐๐ฆ Stammfunktion von h ๐ฅ ๐บ(๐ฅ) = ∫๐ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ Stammfunktion von g Stammfunktionen sind bekannt ′ โ(๐ฆ(๐ฅ)) ⋅ ๐ฆ ′ (๐ฅ) = ๐(๐ฅ) โท (๐ป(๐ฆ(๐ฅ))) = ๐(๐ฅ) โถ ๐ป(๐ฆ(๐ฅ)) = ∫ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ + ๐ = ๐บ(๐ฅ) + ๐ ๐ฆ(๐ฅ) = ๐ป −1 (๐บ(๐ฅ) + ๐) ๐ป ′ = โ ≠ 0 โถ ๐ป ist monoton โถ ∃๐ป −1 1 Beispiel 1: ๐ฆ ′ = ๐ฅ ⋅ ๐ฆ ๐(๐ฅ) = ๐ฅ โ(๐ฆ) = ๐ฆ 1 2 1 2 ๐๐ฆ ๐๐ฆ 1 =๐ฅ⋅๐ฆโถ = ๐ฅ๐๐ฅ โถ ln|๐ฆ| = ๐ฅ 2 + ๐ โถ |๐ฆ| = ๐ 2๐ฅ +๐ = ๐ฆ = ๐ ๐ ⋅ ๐ 2๐ฅ ๐๐ฅ ๐ฆ 2 1 2 โถ ๐1 ⋅ ๐ 2๐ฅ wenn |๐ฆ| = ๐ฆ Wenn |๐ฆ| = −๐ฆ โถ ๐1 < 0 Wenn ๐ฆ = 0 โถ ๐1 = 0 1 2 Lösung: ๐ฆ = ๐1 ๐ 2๐ฅ ist für beliebige ๐1 ∈ โ ๐๐ข(๐ก) Beispiel 2: ๐ข′ (๐ก) = sin ๐ก ⋅ ๐ ๐ข(๐ก) โถ ๐๐ก = sin ๐ก ⋅ ๐ ๐ข(๐ก) ๐ −๐ข ๐๐ข = sin ๐ก ๐๐ก −๐ −๐ข = − cos ๐ก + ๐ −๐ข = ln(cos ๐ก − ๐) ๐ข(๐ก) = − ln(cos ๐ก − ๐) c wird so gewählt, das cos ๐ก − ๐ > 0 Spezielle DGL, die man in DGL mit getrennten Veränderlichen umformen kann. i) ๐ฆ ๐ฆ(๐ฅ) Typ ๐ฆ ′ (๐ฅ) = ๐ (๐ฅ ) Substitution ๐ง(๐ฅ) = ๐ฆ ′ (๐ฅ) = ๐ง(๐ฅ) + ๐ฅ๐ง ′ (๐ฅ) = ๐(๐ง) ๐(๐ฅ) − ๐ง ๐๐ง ๐๐ฅ ๐ง ′ (๐ฅ) = โถ = ,… ๐ฅ ๐(๐ง) − ๐ง ๐ฅ ๐ฅ 130 โถ ๐ฆ(๐ฅ) = ๐ฅ ⋅ ๐ง(๐ฅ) ๐ฆ ๐ฆ 2 ๐ฆ ๐ฅ ๐ง ๐ฅ ๐ง2 ๐ฅ Beispiel 3: ๐ฆ ′ (๐ฅ) = 1 + โ + (โ ) ๐ง= 1 + ๐ง + ๐ง2 − ๐ง 1 + ๐ง2 = ๐ฅ ๐ฅ ๐๐ง 1 + ๐ง 2 ๐๐ง ๐๐ฅ = โถ = โถ arctan ๐ง = ln|๐ฅ| + ๐ โถ ๐ง = tan(ln|๐ฅ| + ๐) ๐๐ฅ ๐ฅ 1 + ๐ง2 ๐ฅ ๐ฆ(๐ฅ) = ๐ฅ๐ง = ๐ฅ tan(ln|๐ฅ| + ๐) ๐ง ′ (๐ฅ) = ii) 7.2.2 ๐ฆ ′ (๐ฅ) = ๐(๐๐ฅ + ๐๐ฆ + ๐) ๐ง = ๐๐ฅ + ๐๐ฆ + ๐ ๐ง′ − ๐ ๐ง′ − ๐ ๐ง ′ = ๐ + ๐๐ฆ ′ ๐ฆ ′ = ๐(๐ง) = โถ ๐ง ′ = ๐๐(๐ฅ) + ๐ ๐ ๐ Exakte Differentialgleichungen (??hier fehlt ein ganzes Unterkapitel??) 7.3 Geometrische Interpolation, Eindeutigkeit von Lösungen Existenz und ๐ฆ ′ = ๐(๐ฅ, ๐ฆ), f gegeben Im Punkt (x, y) gibt ๐(๐ฅ, ๐ฆ) den Anstieg ๐ฆ ′ (๐ฅ) an, den eine Lösung ๐ฆ(๐ฅ) der DGL haben muss, deren Graph durch (x, y) läuft. Die so konstruierten Graphen heißen Feldlinien. Der Graph von ๐ฆ(๐ฅ) muss eine Feldlinie sein (schneiden sich nicht). Eulersches Polygonzugverfahren ๐ฆ ′ (๐ฅ) = ๐(๐ฅ, ๐ฆ(๐ฅ)) ๐ฆ(๐ฅ0 ) = ๐ ๐ฆ ′ (๐ฅ0 ) = ๐(๐ฅ0 , ๐ฆ(๐ฅ0 )) = ๐(๐ฅ0 , ๐) h = Größe des Teilschrittes zum nächsten x Wert Zwischen x0 und ๐ฅ0 + โ gehen wir auf der Geraden mit dem Anstieg ๐ฆ′ (๐ฅ0 ). y1 In ๐ฅ1 = ๐ฅ0 + โ gilt ๐ฆ(๐ฅ1 ) ≈ ๐ฆ1 = ๐ + โ ⋅ ๐(๐ฅ0 , ๐ฆ(๐ฅ0 )) nach Einsetzen der a gegebenen Gleichung für ๐ฆ′ (๐ฅ). In (x1, y1) gilt ′( ) ๐ฆ ๐ฅ1 = ๐(๐ฅ1 , ๐ฆ(๐ฅ1 )) ≈ ๐(๐ฅ1 , ๐ฆ1 ). In diese Richtung gehen wir bis ๐ฅ2 = ๐ฅ0 + 2โ usw. ๐ฆ๐+1 = ๐ฆ๐ + โ๐(๐ฅ๐ , ๐ฆ๐ ), wobei ๐ฅ๐ = ๐ฅ0 + ๐โ. x 0 x0+h Beispiel 1: ๐ฆ ′ (๐ฅ) = ๐ฆ(๐ฅ) ๐ฅ > 0 ๐ฆ(0) = 1 Exakte Lösung: ๐ฆ(๐ฅ) = ๐ ๐ฅ Betrachten [0, 2] 2 Wir machen n = 20 Teilpunkte im Intervall, somit โ = 0,1 = 20 131 ๐ฆ๐+1 = ๐ฆ๐ + โ๐(๐ฆ๐ ) = ๐ฆ๐ + โ๐ฆ๐ = (1 + โ)๐ฆ๐ ๐ฆ1 = (1 + โ)๐ฆ0 = 1 + โ ๐ฆ2 = (1 + โ)๐ฆ1 = (1 + โ)2 โฎ ๐ฆ๐ = (1 + โ)๐ ๐ฆ1 = 1,1 ๐ 0,1 = 1,105 ๐ฆ2 = 1,2 ๐ 0,2 = 1,221 โฎ โฎ ๐ฆ20 = 6,7 ๐ 2 = 7,389 zu großer Fehler Satz 1: Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf Die Funktion ๐ = ๐(๐ฅ, ๐ฆ) sei im Rechteck ๐ท = {(๐ฅ, ๐ฆ): |๐ฅ − ๐ฅ0 | ≤ ๐, |๐ฆ − ๐ฆ0 | ≤ ๐} stetig und die Ableitung von ๐๐ฆ (๐ฅ, ๐ฆ) von f nach y sei ebenfalls in D stetig. Dann gibt es ein โ > 0, so dass im Intervall (๐ฅ0 − โ, ๐ฅ0 + โ) genau eine Lösung ๐ฆ = ๐ฆ(๐ฅ) des Anfangsproblems ๐ฆ ′ (๐ฅ) = ๐(๐ฅ, ๐ฆ(๐ฅ)) ๐ฆ(๐ฅ0 ) = ๐ฆ0 existiert. i) โ = min (๐, ๐ ), max|๐(๐ฅ,๐ฆ)| andere Werte siehe Satz 1, min{1,3,5} = 5, D = Rechteck ๐ท ii) (?? hier fehlt was ??) Beispiel: Die Lösung kann auf ganz โ existieren, sie muss es aber nicht. 1 ๐ฆ ′ = ๐ฆ 2 ๐ฆ(0) = 1 ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐ฆ 2 โถ ๐ฆ(๐ฅ) = 1−๐ฅ 1 Blow Up bei x = 1. Die Lösung existiert nur auf (−∞, 1) Beispiel: ๐ฆ ′ = √|๐ฆ| ๐ฆ = 0 ist Lösung. Weitere Lösungen: ๐ฅ+๐ 2 ( ) ๐ฆ>0 2 ๐ฆ(๐ฅ0 ) = 0 und ๐ฅ0 = 0 ๐ฆ(๐ฅ) = ๐ฅ+๐ 2 {− ( 2 ) ๐ฆ < 0 Für die Randwertaufgabe gibt es zwei Lösungen in jedem noch so kleinen Rechteck um (0, 0) ๐ฅ 2 ( ) ๐ฆ1 = 0 ๐ฆ2 (๐ฅ) = { 2 2 ๐ฅ −( ) 2 y2 ๐ฅ≥0 y1 ๐ฅ<0 Sind die Voraussetzungen erfüllt? f stetig 1 1 ๐ฆ > 0 ๐๐ฆ′ โถ +∞ für ๐ฆ ↓ ๐ฟ 2 √๐ฆ Zweite Voraussetzung des Satzes von Picard-Lindelöf ist nicht erfüllt. ๐(๐ฆ) nicht stetig. ๐๐ฆ′ = 7.4 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung ๐ฆ ′ = ๐(๐ฅ)๐ฆ + โ(๐ฅ) (= ๐(๐ฅ, ๐ฆ), ๐ ist linear in ๐ฆ) 132 Fall 1: โ(๐ฅ) = 0 โถ ๐ฆ ′ = ๐(๐ฅ) ⋅ ๐ฆ homogene Gleichung ๐ฅ Ansatz: ๐ฆ(๐ฅ) = ๐๐ ∫ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ ๐ฆ ′ = ๐(๐ฅ)๐ฆ ๐ฆ(๐ฅ0 ) = ๐ฆ0 Eine Lösung: ๐ฆ(๐ฅ) = ๐ฆ0 ๐ ๐ฅ 0 ∫๐ฅ ๐(๐ก)๐๐ก , Satz 1 → Lösung eindeutig Fall 2: โ(๐ฅ) ≠ 0 โถ ๐ฆ ′ − ๐(๐ฅ)๐ฆ = โ(๐ฅ) inhomogene Gleichung ๐ฅ Ansatz: ๐ฆ(๐ฅ) = ๐(๐ฅ)๐ ∫ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ (Variation der Konstanten) ๐ฅ ๐บ(๐ฅ) = ∫ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ sei Stammfunktion von ๐(๐ฅ) ๐ฆ(๐ฅ) = ๐(๐ฅ)๐ ๐บ(๐ฅ) ๐ฆ ′ − ๐(๐ฅ)๐ฆ = ๐ ′ (๐ฅ)๐ ๐บ(๐ฅ) + ๐(๐ฅ)๐ ๐บ(๐ฅ) ⋅ โ ๐บ ′ (๐ฅ) − ๐(๐ฅ)๐(๐ฅ)๐ ๐บ(๐ฅ) โถ ๐ ′ (๐ฅ)๐ ๐บ(๐ฅ) = โ(๐ฅ) ๐(๐ฅ) โถ ๐ ′ (๐ฅ) = ๐ −๐บ(๐ฅ) โ(๐ฅ) ๐ฅ ๐(๐ฅ) = ∫ ๐ −๐บ(๐ฅ) โ(๐ฅ)๐๐ฅ = ∫ โ(๐ก)๐ −๐บ(๐ก) ๐๐ก ๐ฅ0 ๐ฅ Spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung ist ๐ฆ๐ผ (๐ฅ) = (∫๐ฅ โ(๐ก)๐ −๐บ(๐ก) ๐๐ก) ⋅ ๐ ๐บ(๐ฅ) wobei ๐บ(๐ฅ) = 0 ๐ฅ ∫๐ฅ ๐(๐ก)๐๐ก 0 ๐ฆ๐ป′ − ๐(๐ฅ)๐ฆ๐ป = 0 H für homogene Lösung ๐ฆ๐ผ′ − ๐(๐ฅ)๐ฆ๐ผ = โ(๐ฅ) I für inhomogene Lösung (๐ฆ๐ป + ๐ฆ๐ผ )′ − ๐(๐ฅ)(๐ฆ๐ป + ๐ฆ๐ผ ) = โ(๐ฅ) Die Gesamtheit aller Lösungen der inhomogenen Gleichung setzt sich zusammen aus der allgemeinen Lösung yH der homogenen Gleichung und einer speziellen Lösung yI der inhomogenen Gleichung: ๐ฆ = ๐ฆ๐ป + ๐ฆ๐ผ Satz 2: Die allgemeine Lösung y der inhomogenen linearen DGL 1. Ordnung setzt sich zusammen aus der allgemeinen Lösung yH der homogenen Gleichung und einer beliebigen speziellen Lösung yI der inhomogenen Gleichung. ๐ฅ ๐ฅ ๐ฆ = ๐ฆ๐ป + ๐ฆ๐ผ = ๐๐ ๐บ(๐ฅ) + ( ∫ โ(๐ก)๐ −๐บ(๐ก) ๐๐ก) ⋅ ๐ ๐บ(๐ฅ) mit ๐บ(๐ฅ) = ∫ ๐(๐ก)๐๐ก ๐ฅ0 ๐ฅ0 Bei Vorgabe von ๐ฆ(๐ฅ0 ) = ๐ฆ0 , dann setzen wir ๐ = ๐ฆ0 ๐ฆ . ๐ฆ ๐ป Beispiel 1: ๐ฆ ′ = ๐ฅ + 5๐ฅ ๐ฅ > 0 ๐ฅ0 = 1 โถ ๐ฆ(๐ฅ0 ) = ๐ฆ0 = 0 = ๐ = ๐ ๐บ(๐ฅ) 1 ๐ฆ ′ − ๐(๐ฅ)๐ฆ = โ(๐ฅ) โถ ๐(๐ฅ) = โ(๐ฅ) = 5๐ฅ ๐ฅ ๐ฅ ๐ฅ ๐๐ก ๐บ(๐ฅ) = ∫ ๐(๐ก)๐๐ก = ∫ = ln|๐ก||1๐ฅ = ln ๐ฅ ๐ก ๐ฆ๐ผ ๐ ๐บ(๐ฅ) ๐ฅ0 ๐ฅ ๐ฅ0 ๐ฅ ๐ฅ 1 = ∫ โ(๐ก)๐ −๐บ(๐ก) ๐๐ก = ∫ 5๐ก๐ − ln ๐ก ๐๐ก = ∫ 5๐ก ⋅ ๐๐ก = 5๐ก|๐ฅ๐ฅ0 = 5(๐ฅ − 1) ๐ก ๐ฅ0 ๐ฅ0 ๐ฆ = ๐ฆ๐ป + ๐ฆ๐ผ = (๐ฆ0 + 5(๐ฅ − 1))๐ ๐ฆ ′ = 5(๐ฅ − 1) + 5๐ฅ ln ๐ฅ ๐ฅ0 = 5๐ฅ(๐ฅ − 1) 133 ๐ฆ(๐ฅ) = ๐(๐ฅ)๐ ∫ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ + ๐ฆ๐ป Ansatz merken Beispiel 2: S R u(t) L Angelegt Wechselspannung ๐ข(๐ก) = ๐0 sin ๐๐ก Schalter S wird zum Zeitpunkt ๐ก = 0 geschlossen ๐(๐ก) ๐๐ ๐ข = ๐ข๐ + ๐ข๐ฟ ๐ข๐ = ๐(๐ก) ⋅ ๐ ๐ข๐ฟ = ๐ฟ ๐๐ก ๐ ๐(๐ก) + ๐ฟ๐ ′ (๐ก) = ๐0 sin ๐๐ก ๐ ๐ Lösung: ๐ ๐(๐ก) + ๐ฟ๐ ′ (๐ก) = 0 โถ ๐ ′ (๐ก) = − ๐ฟ ๐(๐ก) โถ ๐๐ป (๐ก) = ๐๐ − ๐ฟ ๐ก ๐ Variation der Konstanten: ๐(๐ก) = ๐(๐ก)๐ − ๐ฟ ๐ก ๐ ๐ ๐ ๐ einsetzen: ๐ ๐(๐ก)๐ − ๐ฟ ๐ก + ๐ฟ๐ ′ (๐ก)๐ − ๐ฟ ๐ก + ๐ฟ๐(๐ก) (− ๐ฟ ) ๐ − ๐ฟ ๐ก = ๐0 sin ๐๐ก ๐ ′ (๐ก) = ๐ ๐ ๐0 ๐ ๐ก ๐0 ๐0 ๐ก ๐ฟ (๐ sin ๐๐ก − ๐ฟ๐ cos ๐๐ก) + ๐1 ๐ ๐ฟ sin ๐๐ก โถ ๐(๐ก) = ∫ ๐ ๐ฟ ๐ก sin ๐๐ก ๐๐ก = 2 ๐ 2 2 ๐ฟ ๐ฟ ๐ +๐ฟ ๐ ๐ ๐ ๐0 − ๐ก ๐ฟ (๐ ๐(๐ก) = ๐(๐ก)๐ − ๐ฟ ๐ก = 2 sin ๐๐ก − ๐ฟ๐ cos ๐๐ก) + ๐ ๐ 1 ๐ + ๐ฟ2 ๐ 2 ๐0 ๐๐ฟ๐0 (−๐ฟ๐) ๐(0) = 2 + ๐ = 0 โถ ๐ = 1 1 ๐ + ๐ฟ2 ๐ 2 ๐ 2 + ๐ฟ2 ๐ 2 ๐ ๐0 ๐๐ฟ๐0 (๐ sin ๐๐ก − ๐ฟ๐ cos ๐๐ก) + ๐(๐ก) = 2 ๐−๐ฟ ๐ก 2 2 2 2 2 โ โ ๐ +๐ฟ ๐ ๐ +๐ฟ ๐ Lösung für eingeschwungenen Zustand ๐๐ (๐ก) geht gegen 0, wenn t größer wird (๐กโซ0) 7.5 Nichtlineare Differentialgleichungen Ordnung und Systeme 1. Ordnung 7.5.1 Einführung höherer Wir betrachten DGL n-ter Ordnung der Form ๐ฆ (๐) (๐ฅ) = ๐ (๐ฅ, ๐ฆ(๐ฅ), … , ๐ฆ (๐−1) (๐ฅ)) (*). Die allgemeine Lösung hat n Integrationskonstanten c1, …, cn. Diese kann man festlegen 0 durch Vorgabe von n Anfangsbedingungen ๐ฆ(๐ฅ0 ) = ๐ฆ0 , ๐ฆ ′ (๐ฅ0 ) = ๐ฆ10 , … , ๐ฆ (๐−1) (๐ฅ0 ) = ๐ฆ๐−1 . Wir führen die DGL n-ter Ordnung auf ein System 1. Ordnung zurück: ๐ฆ1 (๐ก) = ๐ฆ(๐ก) ๐ฆ2 (๐ก) = ๐ฆ ′ (๐ก) = ๐ฆ1′ (๐ก) ๐ฆ3 (๐ก) = ๐ฆ ′′ (๐ก) = ๐ฆ2′ (๐ก) โฎ 1) System: ๐ฆ1′ = ๐ฆ2 โฎ ๐ฆ๐′ = ๐(๐ฅ, ๐ฆ1 , … , ๐ฆ๐−1 ) Anfangsbedingungen: ๐ฆ1 (๐ฅ0 ) = ๐ฆ0 ๐ฆ2 (๐ฅ0 ) = ๐ฆ10 134 โฎ 0 ๐ฆ๐ (๐ฅ0 ) = ๐ฆ๐−1 2) 7.5.2 i) Das System erster Ordnung (2.) mit Anfangsbedingung und die Gleichung (*) n-ter Ordnung mit Anfangsbedingung sind äquivalent. Elementare Lösungsmethoden für Differentialgleichungen 2. Ordnung spezielle nichtlineare Typ ๐ฆ ′′ = ๐(๐ฅ, ๐ฆ ′ ), f hängt nicht von y ab. ๐ง(๐ฅ) = ๐ฆ ′ (๐ฅ) โถ ๐ง ′ = ๐ฆ ′′ โน ๐ง ′ = ๐(๐ฅ, ๐ง) Beispiel: DGL der Kettenlinie: ๐ฆ ′′ = ๐√1 + (๐ฆ ′ )2 ๐๐ง ๐๐ง ๐ง(๐ฅ) = ๐ฆ ′ (๐ฅ) โถ ๐ง ′ (๐ฅ) = = ๐ √1 + ๐ง 2 โถ = ๐๐๐ฅ ๐๐ฅ √1 + ๐ง 2 arsinh ๐ง = ๐๐ฅ + ๐1 โถ ๐ง = sinh(๐๐ฅ + ๐1 ) = ๐ฆ ′ (๐ฅ) 1 ๐ฆ(๐ฅ) = cosh(๐๐ฅ + ๐1 ) + ๐2 ๐ ii) Typ ๐ฆ ′′ = ๐(๐ฆ, ๐ฆ ′ ), f hängt nicht von x ab. Substitution ๐(๐ฆ) = ๐ฆ ′ (๐ฅ(๐ฆ)), y wird als unabhängige Variable eingeführt. ๐๐ฅ 1 1 1 ๐ฅ ′ (๐ฆ) = = = ′ = ๐๐ฆ ๐๐ฆ ๐ฆ (๐ฅ(๐ฆ)) ๐(๐ฆ) ๐๐ฅ ๐ 1 1 ๐′ (๐ฆ) = ๐ฆ ′ (๐ฅ(๐ฆ)) = ๐ฆ ′′ (๐ฅ(๐ฆ)) ⋅ ๐ฅ ′ (๐ฆ) = ๐(๐ฆ, ๐ฆ ′ ) ⋅ = ๐(๐ฆ, ๐) ⋅ ๐๐ฆ ๐ ๐ Wir erzeugen eine DGL 1. Ordnung für p: 1 ๐′ (๐ฆ) = ๐(๐ฆ, ๐) ⋅ ๐ Diese DGL lösen wir. ๐๐ฆ Wir erhalten ๐(๐ฆ) = ๐ฆ ′ = ๐๐ฅ = 1 ๐๐ฆ ๐๐ฅ 1 ๐๐ฆ ๐ฅ ′ (๐ฆ) = ๐(๐ฆ) ๐ฅ(๐ฆ) = ∫ ๐(๐ฆ) ๐ฅ(๐ฆ) ist Lösung โถ ๐ฆ = ๐ฆ(๐ฅ) ist Umkehrfunktion iii) Typ ๐ฆ ′′ = ๐(๐ฆ), f hängt nicht von x und ๐ฆ ′ ab. 1 ๐ ๐ ๐ฆ ′′ ⋅ ๐ฆ ′ = ๐(๐ฆ) ⋅ ๐ฆ ′ โถ 2 ๐๐ฅ (๐ฆ ′ )2 = ๐๐ฅ ๐น(๐ฆ) ๐น(๐ฆ) = Stammfunktion zu f. 2 ๐ฆ ′ = 2๐น(๐ฆ(๐ฅ)) + ๐1 โถ ๐ฆ ′ = ±√2๐น(๐ฆ(๐ฅ)) + ๐1 Nehmen an √ ≠ 0 wir betrachten „+“ โถ ๐ฆ ′ > 0 Umkehrfunktion existiert ๐ฅ = ๐ฅ(๐ฆ) ๐ฅ ′ (๐ฆ) = ๐๐ฅ 1 1 ๐๐ฆ = = ๐ฅ(๐ฆ) = ∫ โถ ๐ฆ = ๐ฆ(๐ฅ) ๐๐ฆ ๐๐ฆ √2๐น (๐ฆ) + ๐1 √2๐น (๐ฆ) + ๐1 ๐๐ฅ 1 Beispiel: ๐ฆ ′′ = − ๐ฆ 2 ๐ฆ(0) = 2 ๐ฆ ′ (0) = 1 1 2 โถ ๐น(๐ฆ) = ๐ฆ −1 โถ ๐ฆ ′ = ±√ + ๐1 2 ๐ฆ ๐ฆ 1 ๐ฅ ′ (๐ฆ) = ± √2๐ฆ −1 + ๐1 ๐(๐ฆ) = − 135 ist Umkehrfunktion Frage des Vorzeichens: 1 Da ๐ฆ ′ (0) = 1 > 0, muss ๐ฆ ′ (๐ฅ) = ๐ฅ ′ (๐ฆ) am Anfang positiv sein. ๐ฅ ′ (๐ฆ) = 2 2 1 √๐ฆ ๐ฆ ′ (0) = 1 = √ + ๐1 = √ + ๐1 โถ ๐1 = 0 โถ ๐ฅ ′ (๐ฆ) = = ๐ฆ(0) 2 2 √2 √ ๐ฆ 1 2 √ + ๐1 ๐ฆ 2 3 ๐ฅ(๐ฆ) = 3 ๐ฆ 2 ⋅ 1 √2 + ๐ โถ ๐ฅ(๐ฆ) = √2 3 ๐ฆ2 3 + ๐ setzen ๐ฅ = 0, ๐ฆ = 2 ein, um c zu berechnen 1 2 4 4 4 9 3 4 3 √2 3 √2 3 0= 22 + ๐ = + ๐ โถ ๐ = − โถ ๐ฆ 2 = ๐ฅ + โถ ๐ฆ = ( ) (๐ฅ + ) 3 3 3 3 3 2 3 7.6 Nichtlineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 7.6.1 Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung Homogene Gleichung ๐ฆ (๐) + ๐๐−1 ๐ฆ (๐−1) + โฏ + ๐1 ๐ฆ ′ + ๐0 ๐ฆ = 0 Ansatz: ๐ฆ(๐ฅ) = ๐ ๐๐ฅ ๐๐ ๐ ๐๐ฅ + ๐๐−1 ๐๐−1 ๐ ๐๐ฅ + โฏ + ๐1 ๐๐ ๐๐ฅ + ๐0 ๐ ๐๐ฅ = 0 ๐(๐) = ๐๐ + ๐๐−1 ๐๐−1 + โฏ + ๐1 ๐ + ๐0 = 0 ๐(๐) heißt charakteristisches Polynom der homogenen DGL. ๐(๐) = 0 heißt charakteristische Gleichung. Definition: Ein System von n linear unabhängiger Lösungen ๐ฆ1 (๐ฅ), … , ๐ฆ๐ (๐ฅ) der homogenen Gleichung heißt Fundamentalsystem. Fall I: ๐1 , … , ๐๐ seien reell und paarweise verschieden und Lösung von ๐(๐) = 0, dann gibt es n linear unabhängige Lösungen von (0): ๐ ๐1 ๐ฅ , … , ๐ ๐๐ ๐ฅ Beispiel: ๐ฆ ′′ − 3๐ฆ ′ + 2๐ฆ = 0, Ansatz: ๐ฆ = ๐ ๐๐ฅ ๐2 − 3๐ + 2 = 0 (๐ − 1)(๐ − 2) = 0 ๐1 = 1 ๐2 = 2 ๐ฆ1 (๐ฅ) = ๐ ๐ฅ ๐ฆ2 (๐ฅ) = ๐ 2๐ฅ sind linear unabhängige Lösungen von (0). Sie bilden ein Fundamentalsystem. Fall II: λk sei komplex ๐ฆ(๐ฅ) = ๐ ๐๐๐ฅ löst die Gleichung (0) Mit λk ist auch ๐๐ Nullstelle von ๐(๐) = 0 (Achtung: Voraussetzung ๐๐ ∈ โ) ๐๐ = ๐๐ + ๐๐๐ ๐๐ = Re ๐๐ ๐๐ = Im ๐๐ ๐ ๐๐ ๐ฅ = ๐ (๐๐ +๐๐๐)๐ฅ = ๐ ๐๐ ๐ฅ (cos ๐๐ ๐ฅ + ๐ sin ๐๐ ๐ฅ) 136 Summe oder Differenz zweier Lösungen oder homogene Gleichung ist ebenfalls Lösung von 1 (0). 2 (๐ ๐๐ ๐ฅ + ๐ ๐๐ ๐ฅ ) = ๐ ๐๐ ๐ฅ cos ๐๐ ๐ฅ ist ebenfalls Lösung von (0) und diese ist reell. 1 2๐ (๐ ๐๐๐ฅ − ๐ ๐๐ ๐ฅ ) = ๐ ๐๐ ๐ฅ sin ๐๐ ๐ฅ ist ebenfalls Lösung von (0) und diese ist reell. Beispiel: ๐ฆ ′′ (๐ฅ) + ๐ฆ(๐ฅ) = 0 ๐ฆ = ๐ ๐๐ฅ ๐(๐) = ๐2 + 1 = 0 ๐1 = +๐ ๐2 = −๐ 1 1 ๐ฆ1 = ๐ ๐๐ฅ ๐ฆ2 = ๐ −๐๐ฅ 2 (๐ฆ1 + ๐ฆ2 ) = cos ๐ฅ und 2๐ (๐ฆ1 − ๐ฆ2 ) = sin ๐ฅ sind reelle Lösungen. Fall III: Es gibt mehrfache Nullstellen. λk sei r-fache reelle oder komplexe Nullstelle, dann sind ๐ ๐๐ ๐ฅ , ๐ฅ ⋅ ๐ ๐๐ ๐ฅ , … , ๐ฅ ๐−1 ๐ ๐๐ ๐ฅ linear unabhängige Lösungen der homogenen Gleichung. Wir untersuchen hier nur die Gleichung 2. Ordnung: ๐ฆ ′′ + ๐1 ๐ฆ ′ + ๐0 ๐ฆ = 0 ๐(๐) = ๐2 + ๐1 ๐ + ๐0 = 0. ๐(๐) habe doppelte Nullstelle ๐ = ๐1. Ansatz: ๐ฆ = ๐ ๐1 ๐ฅ d.h. ๐(๐) = (๐ − ๐1 )2 0 = ๐2 − 2๐1 ๐ + ๐12 = ๐2 + ๐1 ๐ + ๐0 mit ๐1 = −2๐1 ๐0 = ๐12 ๐ฆ = ๐ ๐1 ๐ฅ ist Lösung von ๐ฆ ′′ + ๐1 ๐ฆ ′ + ๐0 ๐ฆ = 0. Wir weisen jetzt nach, dass ๐ฆ = ๐ฅ๐ ๐1 ๐ฅ Lösung der gegebenen DGL ist. ′ ๐ฆ ′ = (๐ฅ๐ ๐1 ๐ฅ ) = ๐ ๐1 ๐ฅ + ๐ฅ๐1 ๐ ๐1 ๐ฅ ๐ฆ ′′ = ๐1 ๐ ๐1 ๐ฅ + ๐1 ๐ ๐1 ๐ฅ + ๐ฅ๐12 ๐ ๐1 ๐ฅ = (2๐1 + ๐ฅ๐12 )๐ ๐1 ๐ฅ Einsetzen in DGL und umformen. โถ (2๐ โ 1 + ๐1 + ๐ฅ (๐ โ 12 + ๐1 ๐1 + ๐0 )) ๐ ๐1 ๐ฅ = 0 −๐1 +๐1 =0 siehe oben=0 Wir erhalten folgendes Fundamentalsystem: ist λ r-fache reelle Nullstelle von ๐(๐), ๐ ≥ 1, so sind ๐ ๐๐ ๐ฅ , ๐ฅ๐ ๐๐ ๐ฅ , … , ๐ฅ ๐−1 ๐ ๐๐ ๐ฅ r linear unabhängige Lösungen der homogenen Gleichung. Sind ๐๐ = ๐๐ + ๐๐๐ , ๐๐ = ๐๐ − ๐๐๐ ein Paar konjugiert komplexe r-fache Nullstellen von ๐(๐), so sind ๐ ๐๐ ๐ฅ cos ๐๐ ๐ฅ, ๐ฅ๐ ๐๐ ๐ฅ cos ๐๐ ๐ฅ, …, ๐ฅ ๐−1 ๐ ๐๐ ๐ฅ cos ๐๐ ๐ฅ und ๐ ๐๐ ๐ฅ sin ๐๐ ๐ฅ, ๐ฅ๐ ๐๐ ๐ฅ sin ๐๐ ๐ฅ, …, ๐ฅ ๐−1 ๐ ๐๐ ๐ฅ sin ๐๐ ๐ฅ 2r linear unabhängige Lösungen. Insgesamt entsteht ein Fundamentalsystem von n linear unabhängiger Lösungen. Beispiel 1: ๐ฆ ′′ − 4๐ฆ = 0 ๐(๐) = ๐2 − 4 = (๐ − 2)(๐ + 2) = 0 ๐1 = 2 ๐2 = −2 Fundamentalsystem: ๐ฆ1 = ๐ 2๐ฅ ๐ฆ2 = ๐ −2๐ฅ Allgemeine Lösung: ๐ฆ(๐ฅ) = ๐1 ๐ 2๐ฅ + ๐2 ๐ −2๐ฅ 1 Beispiel 2: ๐ฆ ′′′ − ๐ฆ = 0 ๐(๐) = ๐3 − 1 = 0 ๐1 = 1 ๐2,3 = − 2 ± ๐ j•Im Re ๐ฅ Fundamentalsystem: ๐ฆ1 = ๐ ๐ฅ ๐ฆ2 = ๐ −2 cos ๐ฅ ๐ฅ √3 ๐ฅ 2 Allgemeine Lösung: ๐ฆ(๐ฅ) = ๐1 ๐ ๐ฅ + ๐ −2 (๐2 cos ๐ฆ3 = ๐ −2 sin √3 ๐ฅ 2 Beispiel 3: ๐ฆ (4) + 2๐ฆ ′′ + ๐ฆ = 0 137 + ๐3 sin √3 ๐ฅ 2 √3 ๐ฅ) 2 √3 2 ๐4 + 2๐2 + 1 = 0 ๐2 = ๐ ๐ 2 + 2๐ + 1 = 0 ๐ = ๐2 = −1 doppelte Nullstelle ๐1 = ๐ ๐2 = −๐ sind beides doppelte Nullstellen Fundamentalsystem: ๐ฆ1 = ๐ 0⋅๐ฅ cos ๐ฅ = cos ๐ฅ ๐ฆ2 = ๐ฅ cos ๐ฅ ๐ฆ3 = sin ๐ฅ ๐ฆ4 = ๐ฅ sin ๐ฅ Allgemeine Lösung: ๐ฆ(๐ฅ) = ๐1 cos ๐ฅ + ๐2 ๐ฅ cos ๐ฅ + ๐3 sin ๐ฅ + ๐4 ๐ฅ sin ๐ฅ Inhomogene Gleichung ๐ฆ (๐) + ๐๐−1 ๐ฆ (๐−1) + โฏ + ๐1 ๐ฆ ′ + ๐0 ๐ฆ = ๐(๐ฅ) Allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung ist die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung + spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung. ๐ฆ = ๐ฆ๐ป + ๐ฆ๐ผ Bestimmung einer speziellen Lösung. i) ii) Variation der Konstanten Man benutzt das Fundamentalsystem der homogenen Gleichung und wählt den Ansatz ๐ฆ๐ผ = ๐1 (๐ฅ)๐ฆ1 + โฏ + ๐๐ (๐ฅ)๐ฆ๐ . (Führt zum Ziel, ist aber sehr aufwendig.) Wahl von speziellen, dem Typ von ๐(๐ฅ) angepassten Ansätzen Störfunktion ๐(๐ฅ) Ansatz für yI ๐ 0 + ๐ 1 ๐ฅ + โฏ + ๐ ๐ ๐ฅ๐ ๐ด0 + ๐ด1 ๐ฅ + โฏ + ๐ด๐ ๐ฅ๐ falls ๐(0) ≠ 0 ๐ฅ ๐ (๐ด0 + ๐ด1 ๐ฅ + โฏ + ๐ด๐ ๐ฅ๐ ) falls 0 eine r-fache Nullstelle von p ist (๐ด0 + ๐ด1 ๐ฅ + โฏ + ๐ด๐ ๐ฅ๐ )๐ ๐๐ฅ falls ๐(๐) ≠ 0 ๐ฅ ๐ (๐ด0 + ๐ด1 ๐ฅ + โฏ + ๐ด๐ ๐ฅ๐ )๐ ๐๐ฅ falls a eine rfache Nullstelle von p ist (๐ด0 + ๐ด1 ๐ฅ + โฏ + ๐ด๐ ๐ฅ๐ ) cos ๐๐ฅ + (๐ต0 + ๐ต1 ๐ฅ + โฏ + ๐ต๐ ๐ฅ๐ ) sin ๐๐ฅ falls ๐(๐๐) ≠ 0 ๐ฅ ๐ [(๐ด0 + ๐ด1 ๐ฅ + โฏ + ๐ด๐ ๐ฅ๐ ) cos ๐๐ฅ + (๐ต0 + ๐ต1 ๐ฅ + โฏ + ๐ต๐ ๐ฅ๐ ) sin ๐๐ฅ] falls jb eine r-fache Nullstelle von p ist [(๐ด0 + ๐ด1 ๐ฅ + โฏ + ๐ด๐ ๐ฅ๐ ) cos ๐๐ฅ + (๐ต0 + ๐ต1 ๐ฅ + โฏ + ๐ต๐ ๐ฅ๐ ) sin ๐๐ฅ]๐ ๐๐ฅ falls ๐(๐ + ๐๐) ≠ 0 ๐ฅ ๐ [(๐ด0 + ๐ด1 ๐ฅ + โฏ + ๐ด๐ ๐ฅ๐ ) cos ๐๐ฅ + (๐ต0 + ๐ต1 ๐ฅ + โฏ + ๐ต๐ ๐ฅ๐ ) sin ๐๐ฅ]๐ ๐๐ฅ falls ๐ + ๐๐ eine r-fache Nullstelle von p ist ๐ ๐๐ฅ (๐0 + ๐1 ๐ฅ + โฏ + ๐๐ ๐ฅ๐ ) cos ๐๐ฅ oder } ⋅ (๐0 + ๐1 ๐ฅ + โฏ + ๐๐ ๐ฅ๐ ) sin ๐๐ฅ cos ๐๐ฅ oder } ⋅ ๐ ๐๐ฅ (๐0 + ๐1 ๐ฅ + โฏ + ๐๐ ๐ฅ๐ ) sin ๐๐ฅ 7.6.2 Anwendungen auf Gleichungen 2. Ordnung ๐ฆ ′′ (๐ก) + ๐๐ฆ ′ (๐ก) + ๐๐ฆ(๐ก) = ๐(๐ก) Homogene Gleichung ๐ฆ ′′ (๐ก) + ๐๐ฆ ′ (๐ก) + ๐๐ฆ(๐ก) = 0 ๐(๐) = ๐2 + ๐๐ + ๐ = 0 138 ๐ ๐2 1 √๐2 − 4๐ ) ๐1,2 = − ± √ − ๐ = (−๐ ± โ 2 4 2 Δ=Diskriminante mögliche Fälle: 1 (−๐ ± √Δ) Δ > 0 zwei verschiedene reelle Wurzeln 2 ๐ ๐1,2 = − Δ = 0 eine reelle Doppelwurzel 2 1 {2 (−๐ ± ๐√−Δ) Δ < 0 zwei zueinander konjugiert komplexe Wurzeln Fundamentalsystem: Δ>0 ๐ ๐1 ๐ก ๐ ๐2 ๐ก ๐1 ๐ก Δ=0 ๐ ๐ก๐ ๐1 ๐ก Δ < 0 ๐1 = ๐ผ + ๐๐ฝ ๐2 = ๐ผ − ๐๐ฝ Lösung: ๐ ๐ผ๐ก cos ๐ฝ๐ก ๐ ๐ผ๐ก sin ๐ฝ๐ก ๐(๐ก) = ๐ด sin ๐๐ก oder ๐(๐ก) = ๐ด cos ๐๐ก โถ ๐(๐ก) = ๐ด๐ ๐๐๐ก = ๐ด cos ๐๐ก + ๐๐ด sin ๐๐ก suchen komplexwertige Lösung ๐ฆ(๐ก) = ๐ฃ(๐ก) + ๐๐ค(๐ก) Realteil von y löst die Gleichung mit ๐(๐ก) = ๐ด cos ๐๐ก ๐ฆ ′′ + ๐๐ฆ ′ + ๐๐ฆ = (๐ฃ + ๐๐ค)′′ + ๐(๐ฃ + ๐๐ค)′ + ๐(๐ฃ + ๐๐ค) = ๐ฃ ′′ + ๐๐ฃ ′ + ๐๐ฃ + ๐(๐ค ′′ + ๐๐ค ′ + ๐๐ค) = ๐ด(cos ๐๐ก + ๐ sin ๐๐ก) Durchführung der Methode: Ansatz: ๐ฆ(๐ก) = ๐ต๐ ๐๐๐ก ๐ฆ ′′ + ๐๐ฆ ′ + ๐๐ฆ = ๐ต(๐๐)2 ๐ ๐๐๐ก + ๐ต๐(๐๐)๐ ๐๐๐ก + ๐ต๐๐ ๐๐๐ก ! 2 ๐๐๐ก = ๐ต ((๐๐) ๐ + ๐(๐๐) + ๐) ๐ ๐๐๐ก = ๐ด๐ ๐๐๐ก โ ๐(๐๐) ๐ด ๐ต = ๐(๐๐) falls ๐(๐๐) ≠ 0 ๐ด spezielle Lösung: ๐ฆ(๐ก) = ๐(๐๐) ๐ ๐๐๐ก falls ๐(๐๐) ≠ 0 ๐ฃ = Re ๐ฆ(๐ก) löst die reelle Gleichung mit ๐(๐ก) = ๐ด cos ๐๐ก ๐ค = Im ๐ฆ(๐ก) löst die reelle Gleichung mit ๐(๐ก) = ๐ด sin ๐๐ก ! Falls ๐(๐๐) = 0 Ansatz: ๐ฆ(๐ก) = ๐ต๐ก๐ ๐๐๐ก โถ ๐ต(2๐๐ + ๐)๐ ๐๐๐ก + ๐ต๐ก๐ ๐๐๐ก ๐(๐๐) = ๐ด๐ ๐๐๐ก โ =0 ๐ด ๐ต= 2๐๐ + ๐ ๐ด ๐ฆ(๐ก) = 2๐๐+๐ ๐ ๐๐๐ก falls ๐(๐๐) = 0 Beispiel: ๐ข′′ (๐ก) + 2๐ข′ (๐ก) + 2๐ข(๐ก) = sin 2๐ก ๐ข(0) = ๐ข′ (0) = 1 Anfangswertproblem Homogene Gleichung: ๐(๐) = ๐2 + 2๐ + 2 ๐1,2 = −1 ± √1 − 2 = −1 ± ๐ Fundamentalsystem: ๐ −๐ก cos ๐ก ๐ −๐ก sin ๐ก Allgemeine Lösung: ๐ข๐ป = ๐1 ๐ −๐ก cos ๐ก + ๐2 ๐ −๐ก sin ๐ก Inhomogene Gleichung: Störfunktion sin 2๐ก = Re(−๐๐ 2๐๐ก ) Ansatz: ๐ข๐ผ (๐ก) = ๐๐ 2๐๐ก , da ๐(2๐) ≠ 0 139 1 ๐ ๐((2๐)2 + 2(2๐) + 2)๐ 2๐๐ก = −๐๐ 2๐๐ก โถ ๐(−2 + 4๐) = −๐ โถ ๐ = − + 5 10 1 ๐ 1 1 2๐๐ก ๐ข๐ผ (๐ก) = (− 5 + 10) ๐ Interessant ist nur Realteil: ๐ข๐ผ (๐ก) = − 5 cos 2๐ก − 10 sin 2๐ก 1 1 Allgemeine Lösung: ๐ข = ๐ข๐ป + ๐ข๐ผ = ๐1 ๐ −๐ก cos ๐ก + ๐2 ๐ −๐ก sin ๐ก − 5 cos 2๐ก − 10 sin 2๐ก Bestimmung der Konstanten: 1 6 ๐ข(0) = ๐1 − = 1 ๐1 = 5 5 2 1 ๐ข′ (๐ก) = −๐ −๐ก (๐1 cos ๐ก + ๐2 sin ๐ก) + ๐ −๐ก (−๐1 sin ๐ก + ๐2 cos ๐ก) + sin 2๐ก − cos 2๐ก 5 5 1 12 ′ (0) ๐ข = −๐1 + ๐2 − = 1 โถ ๐2 = 5 5 6 −๐ก 1 ๐ข(๐ก) = ๐ (cos ๐ก + 2 sin ๐ก) − (2 cos 2๐ก + sin 2๐ก ) 5 10 7.6.3 Mechanische und elektrische Schwingungsprobleme ๐ฟ๐ข๐ถ′′ + ๐ ๐ข๐ถ′ + 1 1 ๐ข๐ถ = ๐ข Schwingkreis ๐ถ ๐ถ Mechanisches Schwingungssystem r k R ωt Feder m Masse Dämpfer ๐๐ฅฬ (๐ก) + ๐๐ฅฬ (๐ก) + ๐๐ฅ(๐ก) = ๐0 cos ๐๐ก ๐0 = ๐ ⋅ ๐ ๐ ๐ ๐0 ๐ฅฬ (๐ก) + ๐ฅฬ (๐ก) + ๐ฅ(๐ก) = cos ๐๐ก ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ homogene Gleichung: ๐ฅฬ (๐ก) + ๐ ๐ฅฬ (๐ก) + ๐ ๐ฅ(๐ก) = 0 ๐ ๐ 1 ๐= ๐= ๐1,2 = (−๐ ± √๐ 2 − 4๐๐) ๐ ๐ 2๐ Diskriminante: Δ = ๐ 2 − 4๐๐ Fall I: Δ > 0 „Starke Dämpfung“ ๐ 2 > 4๐๐ โถ ๐1 als auch λ2 sind kleiner als Null. ๐ฅ(๐ก) = ๐1 ๐ ๐1 ๐ก + ๐2 ๐ ๐2 ๐ก โถ 0 wenn ๐ก โถ +∞. Bewegung klingt exponentiell gegen Null ab. Fall II: Δ = 0 „Aperiodischer Grenzfall“ ๐ ๐ 2 = 4๐๐ โถ ๐1 = ๐2 = ๐ = − 2๐ ๐ฅ(๐ก) = ๐1 ๐ ๐๐ก + ๐2 ๐ก๐ ๐๐ก ๐ฅ(๐ก) โถ 0 für ๐ก โถ ∞ Fall III: Δ < 0 „Schwache Dämpfung“ ๐ฅ(๐ก) = ๐ −๐ฟ๐ก (๐1 cos ๐๐ ๐ก + ๐2 sin ๐๐ ๐ก) ๐ฟ = ๐ ๐ ๐2 ๐๐ = √ − 2๐ ๐ 4๐2 140 ๐ ๐ Im dämpfungsfreien Fall (๐ = 0) โถ ๐ฅฬ + ๐ ๐ฅ = 0 ๐๐ = ๐0 = √๐ Definition: ω0 ist Eigenfrequenz des ungedämpften Systems ωe ist Eigenfrequenz des gedämpften Systems δ Abklingkonstante Lösungen des homogenen Gleichungssystems heißen freie Schwingungen, die des inhomogenen heißen erzwungene Schwingungen. Resonanzkatastrophe ๐ ๐0 cos ๐๐ก โถ ๐ฅฬ + ๐02 ๐ฅ = ๐ด๐ ๐๐๐ก wenn ๐ ≠ ๐0 ergibt: ๐0 ๐ฅ(๐ก) = ๐1 cos ๐0 ๐ก + ๐2 sin ๐0 ๐ก + cos ๐๐ก 2 ๐(๐0 − ๐ 2 ) ๐ homogene Gleichung: ๐2 + ๐02 = 0 ๐1,2 = ±๐๐0 ๐(๐๐0 ) = 0 ๐ด = ๐0 Ansatz: ๐ฅ๐ผ (๐ก) = ๐ต๐ก๐ ๐๐0 ๐ก ′′ ๐ต(๐ก๐ ๐๐0 ๐ก ) + ๐ต๐02 ๐ก๐ ๐๐0 ๐ก = ๐ด๐ ๐๐0 ๐ก ′ ๐ต(๐ ๐๐0 ๐ก + ๐ก๐๐0 ๐ ๐๐0 ๐ก ) + ๐ต๐02 ๐ก๐ ๐๐0 ๐ก = ๐ต(2๐๐0 ๐ ๐๐0 ๐ก + ๐ก(๐๐0 )2 ๐ ๐๐0 ๐ก ) + ๐ต๐02 ๐ก๐ ๐๐0 ๐ก = ๐ด ๐0 1 ๐ต= = 2๐๐0 ๐ 2๐๐0 ๐0 1 ๐0 −๐๐ก ๐0 (cos ๐0 ๐ก + ๐ sin ๐0 ๐ก))} = ๐ฅ๐ผ (๐ก) = Re { ๐ก๐ ๐๐0 ๐ก } = Re { ( ๐ก sin ๐0 ๐ก ๐ 2๐๐0 ๐ 2๐0 2๐๐0 ๐ฅฬ (๐ก) + ๐ ๐ฅ(๐ก) = 7.6.4 ๐ Anwendung der Laplacetransformation Differentialgleichungen Beispiel 1: ๐ฆ ′′ ๐2 ๐ฆ = 0 ๐ฆ(0) = 1 ๐ฆ ′ (0) = ๐ Laplace-Transformation: ๐ง 2 ๐น(๐ง) − ๐ง๐ฆ(0) − ๐ฆ ′ (0) + ๐2 ๐น(๐ง) = 0 ๐ง๐ฆ(0) + ๐ฆ ′ (0) ๐ง+๐ ๐ง ๐ ๐น(๐ง) = = 2 = 2 + 2 2 2 2 2 ๐ +๐ง ๐ +๐ง ๐ +๐ง ๐ + ๐ง2 ๐ ๐ฆ(๐ฅ) = cos ๐๐ฅ + sin ๐๐ฅ ๐ Die Lösung ist eindeutig nach obigen Satz. Beispiel 2: System von gewöhnlichen Differentialgleichungen Transformatorschaltung R U L R M i1 i2 Trafo mit induktiven Widerstand M. ๐ < ๐ฟ 141 auf lineare Bei ๐ก = 0 wird der Schalter geschlossen 1) ๐ ๐1 + ๐ฟ(๐1 )′ + ๐(๐2 )′ = ๐ Primärstromkreis 2) ๐ ๐2 + ๐ฟ(๐2 )′ + ๐(๐1 )′ = 0 Sekundärstromkreis ๐1 (0) = ๐2 (0) = 0 โ[๐l ] = Fl (z) l = 1,2 1) ๐ ๐น1 (๐ง) + ๐ฟ๐ง๐น1 (๐ง) − ๐1 (0) + ๐๐ง๐น2 (๐ง) − ๐2 (0) = ๐โ[1] ๐ ๐ ๐น1 (๐ง) + ๐ฟ๐ง๐น1 (๐ง) + ๐๐ง๐น2 (๐ง) = ๐ง 2) ๐๐ง๐น1 (๐ง) + (๐ + ๐ฟ๐ง)๐น2 (๐ง) = 0 ๐ + ๐ฟ๐ง ๐๐ง ๐ด=( ) det ๐ด = (๐ฟ2 − ๐2 )๐ง 2 + 2๐ ๐ฟ๐ง + ๐ 2 ๐๐ง ๐ + ๐ฟ๐ง 1 ๐ + ๐ฟ๐ง −๐๐ง ๐ด−1 = ( ) det ๐ด −๐๐ง ๐ + ๐ฟ๐ง ๐ 1 1 ๐น1 −1 ( ) = ๐ด (๐ง) = ( ๐(๐ + ๐ฟ๐ง)) ๐น2 det ๐ด ๐ง 0 −๐๐ 1 ๐(๐ + ๐ฟ๐ง) ๐น1 (๐ง) = ๐ง (๐ฟ2 − ๐2 )๐ง 2 + 2๐ ๐ฟ๐ง + ๐ 2 −๐๐ ๐น2 (๐ง) = 2 (๐ฟ − ๐2 )๐ง 2 + 2๐ ๐ฟ๐ง + ๐ 2 Nullstellenbestimmung aus Nenner für Partialbrüche ๐ฟ๐ ๐ฟ2 ๐ 2 ๐ 2 (๐ฟ2 − ๐2 ) ๐ฟ๐ ๐ ๐ √ ± − =− 2 ± 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (๐ฟ − ๐ ) (๐ฟ − ๐ )(๐ฟ − ๐ ) ๐ฟ −๐ ๐ฟ −๐ ๐ฟ − ๐2 ๐ ๐ ๐ง1 = − ๐ง2 = − ๐ฟ+๐ ๐ฟ−๐ ๐ 1 ๐ 1 ๐ ๐น1 (๐ง) = − − + 2๐ ๐ง − ๐ง1 2๐ ๐ง − ๐ง2 ๐ ๐ง ๐ 1 ๐ 1 ๐น2 (๐ง) = − + 2๐ ๐ง − ๐ง1 2๐ ๐ง − ๐ง2 ๐ง1,2 = − Rücktransformation ๐ ๐ ๐ง๐ก ๐ ๐ − ๐ ๐ก ๐ (๐ 1 + ๐ ๐ง2 ๐ก ) + = − ๐1 (๐ก) = − (๐ ๐ฟ+๐ + ๐ −๐ฟ−๐๐ก ) + 2๐ ๐ 2๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ง๐ก ๐ − ๐ก − ๐ก (๐ 1 − ๐ ๐ง2 ๐ก ) = − ๐2 (๐ก) = − (๐ ๐ฟ+๐ − ๐ ๐ฟ−๐ ) 2๐ 2๐ i i1(t) i2(t) t Beispiel 3: Anwendung bei speziellen variablen Koeffizienten ๐ฅ๐ฆ ′′ (๐ฅ) + ๐ฆ ′ (๐ฅ) + 2๐ฅ๐ฆ(๐ฅ) = 0 ๐ฆ(0) = 1 ๐ฆ ′ (0) = 0 ๐๐ ๐ ๐ โ[๐ก ๐ฆ(๐ก)] = (−1) โ[๐ฆ(๐ก)] ๐๐ง๐ โ[๐ฅ๐ฆ ′′ (๐ฅ)] + โ[๐ฆ ′ (๐ฅ)] + 2โ[๐ฅ๐ฆ(๐ฅ)] = 0 ๐ ๐ − (๐ง 2 ๐น(๐ง) − ๐ง๐ฆ(0) − ๐ฆ ′ (0)) + ๐ง๐น(๐ง) − ๐ฆ(0) − 2 ๐น(๐ง) = 0 ๐๐ง ๐๐ง 142 −2๐ง๐น(๐ง) − ๐ง 2 ๐น ′ (๐ง) + 1 + ๐ง๐น(๐ง) − 1 − 2๐น ′ (๐ง) = 0 (๐ง 2 + 2)๐น ′ (๐ง) + ๐ง๐น(๐ง) = 0 ๐๐น ๐ง =− 2 ๐๐ง ๐น ๐ง +2 1 ln ๐น = − ln(๐ง 2 + 2) + ๐ 2 ๐ ๐น= √๐ง 2 + 2 ๐ฆ(๐ง) = ๐ฝ0 (√2๐ฅ) Besselfunktion mit ๐ฝ0 (0) = 1 7.7 Systeme linearer Differentialgleichungen konstanten Koeffizienten 7.7.1 Formulierung, Eliminationsmethode mit ๐ฆฬ 1 (๐ก) = ๐11 ๐ฆ1 (๐ก) + โฏ + ๐1๐ ๐ฆ๐ (๐ก) + ๐ 1 (๐ก) ๐ฆฬ 2 (๐ก) = ๐21 ๐ฆ1 (๐ก) + โฏ + ๐2๐ ๐ฆ๐ (๐ก) + ๐ 2 (๐ก) โฎ ๐ฆฬ๐ (๐ก) = ๐๐1 ๐ฆ1 (๐ก) + โฏ + ๐๐๐ ๐ฆ๐ (๐ก) + ๐ ๐ (๐ก) ๐๐๐ ∈ โ si Störfunktion, gesucht ๐ฆ1 , … , ๐ฆ๐ Wenn ๐ 1 (๐ก) = โฏ = ๐ ๐ (๐ก) = 0, dann ist System homogen, sonst inhomogen. Anfangsbedingung: ๐ฆ1 (๐ก0 ) = ๐ฆ10 , … , ๐ฆ๐ (๐ก0 ) = ๐ฆ๐0 (nur andere Schreibweise, yn0 ist Zahl keine Funktion) ๐11 โฏ ๐1๐ ๐ฆ10 ๐ฆ1 (๐ก) ๐ 1 (๐ก) โฑ โฎ ) ๐ฆ0 = ( โฎ ) ๐ฆ(๐ก) = ( โฎ ) ๐ (๐ก) = ( โฎ ) ๐ด = ( โฎ ๐ โฏ ๐ ๐ฆ๐0 ๐ฆ๐ (๐ก) ๐ ๐ (๐ก) ๐1 ๐๐ ๐ฆฬ (๐ก) = ๐ด๐ฆ(๐ก) + ๐ (๐ก) ๐ฆ(๐ก0 ) = ๐ฆ0 Eliminationsmethode 3 ๐ขฬ = −3๐ข − ๐ฃ + ๐ก ๐ข(0) = − 8 1 ๐ฃฬ = ๐ข − ๐ฃ + ๐ก 2 ๐ฃ(0) = 8 ๐ก −3 −1 ๐ด=( ) ๐ (๐ก) = ( 2 ) ๐ก 1 −1 Differenzieren die erste Gleichung: ๐ขฬ = −3๐ขฬ − ๐ฃฬ + 1 = −3๐ขฬ − (๐ข − ๐ฃ + ๐ก 2 ) + 1 |−๐ฃ = 3๐ข − ๐ก + ๐ขฬ = −3๐ขฬ − ๐ข − ๐ก 2 − ๐ขฬ − 3๐ข + ๐ก + 1 = −4๐ขฬ − 4๐ข − ๐ก 2 + ๐ก + 1 ๐ขฬ + 4๐ขฬ + 4๐ข = 1 + ๐ก − ๐ก 2 Lösung der homogenen Gleichung: (rechte Seite = 0) ๐ข๐ป (๐ก) = ๐1 ๐ −2๐ก + ๐2 ๐ก๐ −2๐ก |๐2 + 4๐ + 4 = 2(๐ + 2) = ๐(๐) spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung: ๐ข๐ (๐ก) = ๐ + ๐๐ก + ๐๐ก 2 ๐(0) ≠ 0 Einsetzen { ๐ขฬ ๐ (๐ก) = ๐ + 2๐๐ก ๐ขฬ ๐ (๐ก) = 2๐ 143 2๐ + 4(๐ + 2๐๐ก) + 4(๐ + ๐๐ก + ๐๐ก 2 ) = 4๐๐ก 2 + (4๐ + 8๐)๐ก + 2๐ + 4๐ + 4๐ = 1 + ๐ก − ๐ก 2 Koeffizientenvergleich: 1 4 3 ๐ก1 : 4๐ + 8๐ = 1 ๐= 4 3 ๐ก 0 : 2๐ + 4๐ + 4๐ = 1 ๐ = − 8 3 3 1 2 ๐ข๐ (๐ก) = − + ๐ก − ๐ก 8 4 4 ๐ก2: 4๐ 2 = −1 ๐=− Allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung: 3 3 1 ๐ข(๐ก) = ๐ข๐ป + ๐ข๐ = ๐1 ๐ −2๐ก + ๐2 ๐ก๐ −2๐ก − + ๐ก − ๐ก 2 (∗) 8 4 4 3 ๐ข(0) = ๐1 − โถ ๐1 = 0 8 3 1 ๐ขฬ (0) = 3๐ข(0) − ๐ฃ(0) + 0 = −3 (− ) − = 1 8 8 3 1 Wir differenzieren (*) und setzen ๐ก = 0 โน ๐ขฬ (0) = ๐2 + 4 โถ ๐2 = 4 1 3 3 1 ๐ข(๐ก) = ๐ก๐ −2๐ก − + ๐ก − ๐ก 2 4 8 4 4 1 1 −2๐ก ๐ฃ(๐ก) = − (1 + ๐ก)๐ + (3 − 6๐ก + 6๐ก 2 ) 4 8 7.7.2 Die Matrixmethode ๐ฆฬ = ๐ด๐ฆ + ๐ ๐ฆ(0) = ๐ฆ0 (A-Matrix) Lösen des homogenen Gleichungssystems: Schritt 1: Bestimmung aller Eigenwerte von A und deren Vielfachheit aus ๐(๐) = det(๐ด − ๐๐ธ) = 0 mit E = Einheitsmatrix ๐ × ๐ (p = Polynom n-ten Grades) Es gibt reelle oder komplexe Nullstellen der Ordnung 1 oder höher: λ1 mit Vielfachheit n1, …, λr mit Vielfachheit nr Schritt 2: Ansatz: ๐ฆ(๐ก) = ๐ ๐1 ๐ก ๐1 (๐ก) + โฏ + ๐ ๐๐ ๐ก ๐๐ (๐ก) ๐๐ (๐ก) Vektoren (n-dimensional) bestehen aus Polynomen vom grad ≤ ๐๐ − 1. ๐๐1 Falls ๐๐ = 1, so ist ๐๐ (๐ก) = ( โฎ ) ๐๐๐ ∈ โ mit l = Index ๐๐๐ Schritt 3: Einsetzen des Ansatzes und Koeffizientenvergleich 144 Beispiel 1: ๐ขฬ = ๐ข + ๐ฃ ๐ข(0) = 0 1 1 โน๐ด=( ) ๐ฃฬ = 4๐ข − 2๐ฃ ๐ฃ(0) = 5 4 −2 1−๐ 1 | | = 0 = ๐2 + ๐ − 6 ๐1,2 = −0,5 ± 2,5 4 −2 − ๐ ๐ข(๐ก) = ๐ด๐ −3๐ก + ๐ต๐ 2๐ก ๐ข(๐ก) ๐ด ๐ต Ansatz: โน( ) = ( ) ๐ −3๐ก + ( ) ๐ 2๐ก ๐ฃ(๐ก) ๐ถ ๐ท ๐ฃ(๐ก) = ๐ถ๐ −3๐ก + ๐ท๐ 2๐ก Einsetzen und Koeffizientenvergleich ๐ขฬ = −3๐ด๐ −3๐ก + 2๐ต๐ 2๐ก = ๐ข + ๐ฃ = (๐ด + ๐ถ)๐ −3๐ก + (๐ต + ๐ท)๐ 2๐ก ๐ฃฬ = 3๐ถ๐ −3๐ก + 2๐ท๐ 2๐ก = 4๐ข − 2๐ฃ = (4๐ด − 2๐ถ)๐ −3๐ก + (4๐ต − 2๐ท)๐ 2๐ก Koeffizientenvergleich: ๐ −3๐ก und ๐ 2๐ก sind linear unabhängig −3๐ด = ๐ด + ๐ถ โถ ๐ถ = −4๐ด 2๐ต = ๐ต + ๐ท −3๐ถ = 4๐ด − 2๐ถ 2๐ท = 4๐ต − 2๐ท โถ ๐ต = ๐ท โน ๐ข(๐ก) = ๐ด๐ −3๐ก + ๐ต๐ 2๐ก ๐ฃ(๐ก) = −4๐ด๐ −3๐ก + ๐ต๐ 2๐ก ๐ข(0) = ๐ด + ๐ต = 0 ๐ด = −1 } Anfangsbedingungen ๐ฃ(0) = −4๐ด + ๐ต = 5 ๐ต = 1 ๐ข(๐ก) = −๐ −3๐ก + ๐ 2๐ก ๐ฃ(๐ก) = 4๐ −3๐ก + ๐ 2๐ก Beispiel 2: ๐ขฬ = 3๐ข − 4๐ฃ ๐ข(0) = 3 3 −4 โน๐ด=( ) ๐ฃฬ = ๐ข − ๐ฃ ๐ฃ(0) = 1 1 −1 3−๐ −4 | | = 0 = ๐2 − 2๐ + 1 ๐ = 1 Vielfachheit 2 1 −1 − ๐ Ansatz: ๐ข(๐ก) = ๐ ๐ก (๐ด + ๐ต๐ก) ๐ข(๐ก) ๐ด + ๐ต๐ก โน( ) = ๐๐ก ( ) ๐ก (๐ถ โ ๐ฃ(๐ก) ๐ถ + ๐ท๐ก ๐ฃ(๐ก) = ๐ + ๐ท๐ก) ๐(๐ก) Einsetzen des Ansatzes in das System: ๐ขฬ = ๐ ๐ก (๐ด + ๐ต๐ก) + ๐ต๐ ๐ก = 3(๐ด + ๐ต๐ก)๐ ๐ก − 4(๐ถ + ๐ท๐ก)๐ ๐ก ๐ฃฬ = ๐ ๐ก (๐ถ + ๐ท๐ก) + ๐ท๐ ๐ก = (๐ด + ๐ต๐ก)๐ ๐ก − (๐ถ + ๐ท๐ก)๐ ๐ก Koeffizientenvergleich: ๐ด ๐ต ๐ขฬ , ๐ก 0 : ๐ด + ๐ต = 3๐ด − 4๐ถ โถ ๐ถ = − 2 4 1 ๐ก : ๐ต = 3๐ต − 4๐ท ๐ฃฬ , ๐ก 0 : ๐ถ+๐ท =๐ด−๐ถ ๐ต ๐ก1 : ๐ท =๐ต−๐ท โถ๐ท = 2 ๐ข(๐ก) = (๐ด + ๐ต๐ก)๐ ๐ก ๐ด ๐ต ๐ต ๐ฃ(๐ก) = ( 2 − 4 + 2 ๐ก) ๐ ๐ก mit den Anfangsbedingungen ๐ด = 3, ๐ต = 2 Beispiel 3: ๐ขฬ = 3๐ข + 2๐ฃ ๐ฃฬ = −5๐ข + ๐ฃ ๐ข(0) = 2 3 2 โน๐ด=( ) ๐ฃ(0) = 2 −5 1 145 3−๐ | −5 2 | = 0 = ๐2 − 4๐ + 13 ๐1,2 = 2 ± 3๐ 1−๐ ๐ข(๐ก) = ๐ด๐ 2๐ก cos 3๐ก + ๐ต๐ 2๐ก sin 3๐ก Ansatz: ๐ฃ(๐ก) = ๐ถ๐ 2๐ก cos 3๐ก + ๐ท๐ 2๐ก sin 3๐ก ๐ข(๐ก) = 2๐ 2๐ก (cos 3๐ก + sin 3๐ก) Ergebnis: ๐ฃ(๐ก) = 2๐ 2๐ก (cos 3๐ก − 2 sin 3๐ก) Lösung des inhomogenen Systems: Variation der Konstanten Beispiel 4: ๐ฅฬ = 4๐ฅ + ๐ฆ − 36๐ก ๐ฆฬ = −2๐ฅ + ๐ฆ − 2๐ ๐ก ๐ฅ๐ป = ๐ถ1 ๐ 3๐ก + ๐ถ2 ๐ 2๐ก Allgemeine Lösung des homogenen Systems ๐ฆ๐ป = −๐ถ1 ๐ 3๐ก − 2๐ถ2 ๐ 2๐ก partikuläre Lösung des inhomogenen Systems: ๐ฅ (๐ก) = ๐ถ1 (๐ก)๐ 3๐ก + ๐ถ2 (๐ก)๐ 2๐ก Ansatz: ๐ ๐ฆ๐ (๐ก) = −๐ถ1 (๐ก)๐ 3๐ก − 2๐ถ2 (๐ก)๐ 2๐ก ๐ฅฬ ๐ = ๐ถ1ฬ ๐ 3๐ก + 3๐ถ1 ๐ 3๐ก + ๐ถ2ฬ ๐ 2๐ก + 2๐ถ2 ๐ 2๐ก = 4(๐ถ1 ๐ 3๐ก + ๐ถ2 ๐ 2๐ก ) − ๐ถ1 ๐ 3๐ก − 2๐ถ2 ๐ 2๐ก − 36๐ก ๐ถ1ฬ ๐ 3๐ก + ๐ถ2ฬ ๐ 2๐ก = −36๐ก ๐ฆฬ ๐ = −๐ถ1ฬ ๐ 3๐ก − 2๐ถ2ฬ ๐ 2๐ก = −2๐ ๐ก Unbekannte: ๐ถ1ฬ , ๐ถ2ฬ ๐ถ1ฬ = (−72๐ก − 2๐ ๐ก )๐ −3๐ก ๐ถ2ฬ = 36๐ก๐ −2๐ก + 2๐ −๐ก ๐ถ1 (๐ก) = 24๐ก๐ −3๐ก + 8๐ −3๐ก + ๐ −2๐ก ๐ถ2 (๐ก) = −18๐ก๐ −2๐ก − 9๐ −2๐ก − 2๐ −๐ก Partikuläre Lösung des Systems ๐ฅ๐ (๐ก) = (24๐ก๐ −3๐ก + 8๐ −3๐ก + ๐ −2๐ก )๐ 3๐ก + (−18๐ก๐ −2๐ก − 9๐ −2๐ก − 2๐ −๐ก )๐ 2๐ก = 6๐ก − 1 − ๐ ๐ก ๐ฆ๐ (๐ก) = 12๐ก + 10 + 3๐ ๐ก Allgemeine Lösung: ๐ฅ(๐ก) = ๐ฅ๐ป (๐ก) + ๐ฅ๐ (๐ก) ๐ฆ(๐ก) = ๐ฆ๐ป (๐ก) + ๐ฆ๐ (๐ก) 7.8 Rand- und Eigenwertprobleme 7.8.1 Randprobleme Beispiele: ๐ฆ ′′ − ๐ฆ = 0 ๐ฅ ∈ [0,1] Differentialgleichung ๐ฆ ′ (0) + ๐ฆ(0) = 1 ๐ฆ ′ (1) = 0 Randbedingungen ๐2 − 1 = 0 ๐1 = 1 ๐2 = −1 ๐ฆ(๐ฅ) = ๐ถ1 ๐ ๐ฅ + ๐ถ2 ๐ −๐ฅ mit Randbedingungen: 1 ๐ถ1 − ๐ถ2 + โ ๐ถ1 + ๐ถ2 = 1 โถ ๐ถ1 = โ 2 ′ (0) ๐ฆ ๐ฆ(0) ๐ฆ ′ (1) = ๐ถ1 ๐ 1 − ๐ถ2 ๐ −1 = 0 โถ ๐ถ2 = 1 2 ๐ 2 146 1 ๐ฆ(๐ฅ) = (๐ ๐ฅ + ๐ 2−๐ฅ ) Die Lösung existiert und ist eindeutig 2 Beispiel: ๐ฆ ′′ = 0 ๐ฅ ∈ [0,1] ๐ฆ(0) = 0 ๐ฆ ′ (1) − ๐ฆ(1) = 0 Randbedingungen ๐ฆ(๐ฅ) = ๐ถ1 ๐ฅ + ๐ถ2 ๐ฆ(0) = ๐ถ2 = 0 ๐ฆ ′ (1) − ๐ฆ(1) = ๐ถ1 − (๐ถ1 − ๐ถ2 ) = 0 โถ ๐ถ2 = 0, C1 ist beliebig ๐ฆ(๐ฅ) = ๐ถ1 ๐ฅ ist die allgemeine Lösung unseres Problems Das Randwertproblem ist nicht eindeutig lösbar. Beispiel: ๐ฆ ′′ = 1 ๐ฅ ∈ [0,1], zweimal integrieren, nicht über eλx ๐ฆ(0) = 0 ๐ฆ ′ (1) − ๐ฆ(1) = 0 ๐ฅ2 ๐ฆ(๐ฅ) = + ๐ถ1 ๐ฅ + ๐ถ2 ๐ฆ(0) = ๐ถ2 = 0 2 1 1 ๐ฆ ′ (1) − ๐ฆ(1) = 1 + ๐ถ1 − 2 − ๐ถ1 − ๐ถ2 ≠ 2 nicht lösbar (1) ๐ฟ[๐ฆ] = ๐ฆ ′′ + ๐1 (๐ฅ)๐ฆ + ๐2 (๐ฅ)๐ฆ = ๐(๐ฅ) ๐ฅ ∈ [๐, ๐] (2) ๐ ๐ [๐ฆ] = ๐ผ๐ ๐ฆ(๐) + ๐ฝ๐ ๐ฆ ′ (๐) + ๐พ๐ ๐ฆ(๐) + ๐ฟ๐ ๐ฆ ′ (๐) = ๐๐ ๐ = 1,2 ๐ผ๐ , ๐ฝ๐ , ๐พ๐ , ๐ฟ๐ ∈ โ Allgemeine Lösung hat die Form: (3) ๐ฆ = ๐ฆ0 (๐ฅ) + ๐ถ1 ๐ฆ1 (๐ฅ) + ๐ถ2 ๐ฆ2 (๐ฅ) ๐ฆ0 (๐ฅ) ist eine spezielle Lösung des inhomogenen Problems (1) und ๐ฆ1 (๐ฅ), ๐ฆ2 (๐ฅ) sind ein Fundamentalsystem des homogenen Problems ๐ฟ[๐ฆ] = 0. Wir setzen (3) in (2) ein: ๐ ๐ [๐ฆ] = ๐ ๐ [๐ฆ0 + ๐ถ1 ๐ฆ1 + ๐ถ2 ๐ฆ2 ] ๐ = 1,2 ๐ถ ๐ [๐ฆ ] + ๐ถ2 ๐ 1 [๐ฆ2 ] = ๐1 − ๐ 1 [๐ฆ0 ] (4) Gleichungssystem für ๐ถ1 , ๐ถ2 { 1 1 1 ๐ถ1 ๐ 2 [๐ฆ1 ] + ๐ถ2 ๐ 2 [๐ฆ2 ] = ๐2 − ๐ 2 [๐ฆ0 ] ๐ 1 [๐ฆ1 ] ๐ 1 [๐ฆ2 ] det | | kann Null werden oder verschieden von Null sein. ๐ 2 [๐ฆ1 ] ๐ 2 [๐ฆ2 ] Satz: Die Funktionen f1, f2, g seien in [a, b] stetig. Dann ist das inhomogene Randwertproblem (1), (2) genau dann eindeutig lösbar, wenn ๐ท ≠ 0 ist. Im Fall ๐ท = 0 besitzt das homogene Randwertproblem nichttriviale Lösungen, während das inhomogene Randwertproblem entweder nicht oder nicht eindeutig lösbar ist. Beispiel: ๐ฆ ′′ − ๐ฆ = 0 Fundamentalsystem ๐ฆ1 (๐ฅ) = ๐ ๐ฅ ๐ฆ2 (๐ฅ) = ๐ −๐ฅ ๐ 1 [๐ฆ] = ๐ฆ ′ (0) + ๐ฆ(0) = 1 ๐ 2 [๐ฆ] = ๐ฆ ′ (1) = 0 ๐ 1 [๐ฆ1 ] = ๐ฆ1′ (0) + ๐ฆ1 (0) = 1 + 1 = 2 ๐ 1 [๐ฆ2 ] = ๐ฆ2′ (0) + ๐ฆ2 (0) = −1 + 1 = 0 ๐ 2 [๐ฆ1 ] = ๐ฆ1′ (1) = ๐ ๐ 2 [๐ฆ2 ] = ๐ฆ2′ (1) = −๐ −1 2 0 ๐ท=| | = −2๐ −1 ≠ 0 โถ Randwertproblem ist eindeutig lösbar ๐ −๐ −1 7.8.2 Eigenwertprobleme (1) ๐ฟ[๐ฆ] − ๐๐ฆ = 0 in [a, b] (2) ๐ ๐ [๐ฆ] = 0 ๐ = 1,2 L, Rj wie 7.8.1 147 y und λ sind gesucht. Insbesondere sind diejenigen λ gesucht, für die das Randwertproblem nichttriviale Lösungen y besitzt. Jedes solche λ heißt Eigenwert des homogenen Randwertproblems und jede zugehörige Lösung y heißt Eigenfunktion (oder Eigenlösung). Beispiel: ๐ฆ ′′ + ๐๐ฆ = 0 in [0, l] ๐ฆ(0) = 0 ๐ฆ(๐) = 0 ๐(๐) = ๐ 2 + ๐ = 0 ๐1,2 = ±√−๐ ๐ < 0 โถ Fundamentalsysteme ๐ ๐1 ๐ฅ , ๐ ๐2 ๐ฅ ๐ = 0 โถ Fundamentalsysteme 1, x ๐ > 0 โถ Fundamentalsysteme cos √๐๐ฅ, sin √๐๐ฅ Für ๐ < 0 allgemeine Lösung ๐ฆ(๐ฅ) = ๐ถ1 ๐ ๐1 ๐ฅ + ๐ถ2 ๐ ๐2 ๐ฅ ๐ฆ(0) = 0 ๐ถ1 ๐ 0 + ๐ถ2 ๐ 0 = 0 ๐ฆ(๐) = 0 ๐ถ1 ๐ ๐1 ๐ + ๐ถ2 ๐ ๐2 ๐ = 0 1 1 | ๐1 ๐ | = ๐ ๐2 ๐ − ๐ ๐1 ๐ ≠ 0 ๐ถ1 = ๐ถ2 = 0 ๐ ๐ ๐2 ๐ ๐ฆ(๐ฅ) ≡ 0 ist interessant, da keine Eigenwerte ermittelt wurden. Für ๐ = 0 ๐ฆ = ๐ถ1 + ๐ถ2 ๐ฅ allgemeine Lösung ๐ฆ(0) = 0 = ๐ถ1 ๐ฆ(๐) = ๐ถ1 + ๐ถ2 ๐ = 0 โถ ๐ถ2 = 0 ๐ฆ(๐ฅ) ≡ 0 keine Eigenwerte sind vorhanden, ๐ = 0 ist kein Eigenwert. Für ๐ > 0 ๐ฆ(๐ฅ) = ๐ถ1 cos √๐๐ฅ + ๐ถ2 sin √๐๐ฅ ๐ฆ(0) = ๐ถ1 cos 0 + ๐ถ2 sin 0 = ๐ถ1 = 0 ๐๐ ๐ ๐ฆ ∈ โ, ๐ถ๐ ∈ โ die ๐ฆ(๐) = ๐ถ1 cos √๐๐ + ๐ถ2 sin √๐๐ = 0 โถ sin √๐๐ = 0 โถ √๐๐ = ๐๐ โถ √๐ = ๐ 2 ๐2 โน ๐๐ = ๐2 ๐ = 1,2, … ∈ โ sind Eigenwerte und ๐ฆ๐ (๐ฅ) = ๐ถ๐ sin zugehörige Eigenfunktion. 7.9 Lineare Differentialgleichungen Koeffizienten 7.9.1 Formulierung und Lösungsverhalten ๐๐๐ฅ ๐ mit variablen Wir betrachten lineare DGL 1. Ordnung ๐ฆ1′ (๐ฅ) = ๐11 (๐ฅ)๐ฆ1 (๐ฅ) + โฏ + ๐1๐ (๐ฅ)๐ฆ๐ (๐ฅ) + ๐1 (๐ฅ) โฎ ๐ฆ๐′ (๐ฅ) = ๐๐1 (๐ฅ)๐ฆ1 (๐ฅ) + โฏ + ๐๐๐ (๐ฅ)๐ฆ๐ (๐ฅ) + ๐๐ (๐ฅ) ๐๐๐ (๐ฅ), ๐๐ (๐ฅ) gegeben, ๐ฆ๐ (๐ฅ) gesucht Kürzere Schreibweise ๐ฆ1 (๐ฅ) ๐11 (๐ฅ) โฏ ๐1๐ (๐ฅ) ๐1 (๐ฅ) โฑ โฎ ) ๐(๐ฅ) = ( โฎ ) โน ๐ฆ ′ = ๐ด(๐ฅ)๐ฆ + ๐(๐ฅ) ๐ฆ(๐ฅ) = ( โฎ ) ๐ด(๐ฅ) = ( โฎ ๐ฆ๐ (๐ฅ) ๐๐1 (๐ฅ) โฏ ๐๐๐ (๐ฅ) ๐๐ (๐ฅ) 148 ๐ฆ10 Dazu Randbedingung: ๐ฆ(๐ฅ0 ) = ๐ฆ0 = ( โฎ ) ๐ฆ๐0 Existenz und Eindeutigkeit Satz: Das lineare Anfangswertproblem ๐ฆ ′ = ๐ด(๐ฅ)๐ฆ + ๐(๐ฅ), ๐ฆ(๐ฅ0 ) = ๐ฆ0 mit stetigen Koeffizientenfunktionen aij, bi besitzt auf (−∞, ∞) genau eine Lösung ๐ฆ(๐ฅ). Globale Existenz + Eindeutigkeit. Wir haben gesehen, dass DGL höherer Ordnung zu Systemen äquivalent sind. Folglich können wir auch folgende Gleichung behandeln: ๐ฆ (๐) + ๐๐−1 (๐ฅ)๐ฆ (๐−1) + โฏ + ๐1 (๐ฅ)๐ฆ ′ + ๐0 (๐ฅ)๐ฆ = ๐(๐ฅ) mit den Anfangsbedingungen 0 ๐ฆ(๐ฅ0 ) = ๐ฆ00 , ๐ฆ ′ (๐ฅ0 ) = ๐ฆ10 , …, ๐ฆ (๐−1) (๐ฅ0 ) = ๐ฆ๐−1 โถ mit stetigen Koeffizienten ist bei gegeben Anfangswerten eindeutig lösbar. 7.9.2 Homogene lineare Systeme 1. Ordnung ๐ฆ ′ = ๐ด(๐ฅ) = ๐ฆ homogenes System offensichtlich gilt: Sind ๐ฆ1 (๐ฅ), … , ๐ฆ๐ (๐ฅ) Lösungen des homogenen Systems, so ist auch ๐ฆ(๐ฅ) = ๐ถ1 ๐ฆ1 (๐ฅ) + โฏ + ๐ถ๐ ๐ฆ๐ (๐ฅ) Lösung, wobei ๐ถ๐ ∈ โ beliebig gewählt werden können. Frage: Wie viele verschiedene Lösungen hat das homogene System? Beispiel: ๐ฆ ′′ + ๐ฆ = 0 ๐ฆ1 = ๐ฆ ๐ฆ2 = ๐ฆ ′ ๐ฆ′ + ๐ฆ = 0 ๐ฆ ′ = ๐ฆ2 โน 2 ′ 1 โบ ′1 ๐ฆ1 = ๐ฆ2 ๐ฆ2 = −๐ฆ1 0 1 ๐ด(๐ฅ) = ( ) −1 0 Lösung der DGL ๐ฆ ′′ + ๐ฆ = 0 sind ๐ฆ = cos ๐ฅ und ๐ฆ = sin ๐ฅ. cos ๐ฅ cos ๐ฅ sin ๐ฅ sin ๐ฅ Lösung des Systems: ๐ฆ1 = ((cos ๐ฅ)′ ) = ( ) ๐ฆ2 = ((sin ′ ) = ( ) − sin ๐ฅ ๐ฅ) cos ๐ฅ Diese sind linear unabhängig: cos ๐ฅ sin ๐ฅ | | = cos2 ๐ฅ + sin2 ๐ฅ = 1 − sin ๐ฅ cos ๐ฅ cos ๐ฅ sin ๐ฅ ๐ผ( )+๐ฝ( )=0 − sin ๐ฅ cos ๐ฅ Da det ≠ 0 โถ ๐ผ = ๐ฝ = 0 โน ๐ฆ (1) und ๐ฆ (2) sind linear unabhängig. Definition: Die Vektorfunktionen ๐ฆ1 (๐ฅ), … , ๐ฆ๐ (๐ฅ) heißen linear unabhängig auf [a, b], falls aus ๐ผ1 ๐ฆ1 (๐ฅ) + โฏ + ๐ผ๐ ๐ฆ๐ (๐ฅ) = 0 ∀๐ฅ ∈ [๐, ๐] folgt ๐ผ1 = โฏ = ๐ผ๐ = 0. Andernfalls heißt das System von Funktionen ๐ฆ1 , … , ๐ฆ๐ linear abhängig. Satz 3: Die Elemente ๐๐๐ (๐ฅ) von ๐ด(๐ฅ) seien stetig auf [a, b], dann hat das homogene System ๐ฆ ′ = ๐ด(๐ฅ)๐ฆ n linear unabhängige Lösungen. 149 Definition: Eine Funktionensystem von n linear unabhängigen Lösungen von ๐ฆ ′ = ๐ด(๐ฅ)๐ฆ heißt Fundamentalsystem. Wie erkennt man ein Fundamentalsystem? Definition: Gegeben sei ein Funktionensystem ๐ฆ1 (๐ฅ), … , ๐ฆ๐ (๐ฅ). Wir bilden die Matrix ๐(๐ฅ) = [๐ฆ1 (๐ฅ), … , ๐ฆ๐ (๐ฅ)]. ๐(๐ฅ) = det ๐(๐ฅ) heißt Wronski-Determinante des Systems ๐ฆ1 (๐ฅ), … , ๐ฆ๐ (๐ฅ). Satz 4: Seien ๐ฆ1 (๐ฅ), … , ๐ฆ๐ (๐ฅ) Lösungen der homogenen Gleichung ๐ฆ ′ = ๐ด(๐ฅ)๐ฆ mit stetigem ๐ด(๐ฅ) auf [a, b], dann gilt (i). Entweder ๐(๐ฅ) = 0 oder ๐(๐ฅ) ≠ 0 ∀๐ฅ ∈ [๐, ๐]. ๐ฆ1 (๐ฅ), … , ๐ฆ๐ (๐ฅ) bilden genau dann ein Fundamentalsystem, wenn ๐(๐ฅ) ≠ 0 ∀๐ฅ ∈ [๐, ๐]. Beweisidee zu i): Wäre ๐(๐ฅ0 ) = 0 für nur ein ๐ฅ0 ∈ [๐, ๐] โน ๐ผ1 ๐ฆ1 (๐ฅ0 ) + โฏ + ๐ผ๐ ๐ฆ๐ (๐ฅ0 ) = 0, dann sind ๐ฆ1 (๐ฅ0 ), … , ๐ฆ๐ (๐ฅ0 ) linear abhängig in x0, ๐ผ = (๐ผ1 , … , ๐ผ๐ ) ≠ 0. Damit löst ๐ฆ(๐ฅ) = ๐ผ1 ๐ฆ1 (๐ฅ0 ) + โฏ + ๐ผ๐ ๐ฆ๐ (๐ฅ0 ) das homogene DGL-System mit dem Anfangswert ๐ฆ0 = 0. Dieses hat immer die eindeutige Lösung ๐ฆ = 0 โถ ๐(๐ฅ) = 0. i) −1 1 ๐ฅ(๐ฅ 2 + 1) ๐ฅ 2 (๐ฅ 2 + 1) Beispiel: ๐ = 2 ๐ด(๐ฅ) = ๐ฅ>0 −๐ฅ 2๐ฅ 2 + 1 [ ๐ฅ2 + 1 ๐ฅ(๐ฅ 2 + 1) ] 1 ๐ฆ1 ๐ฆ1′ 1 − (1) (2) ( ′ ) = ๐ด(๐ฅ) (๐ฆ ) โถ ๐ฆ = ( ) ๐ฆ = ( ๐ฅ ) ๐ฆ2 2 ๐ฅ ๐ฅ2 1 1 −๐ฅ ๐(๐ฅ) = | | = ๐ฅ 2 + 1 ≠ 0 ∀๐ฅ โน ๐ฆ (1) , ๐ฆ (2) bilden ein Fundamentalsystem auf (0, ∞). 2 ๐ฅ ๐ฅ Satz 5: Ist ๐ฆ1 (๐ฅ), … , ๐ฆ๐ (๐ฅ) auf [a, b] ein Fundamentalsystem der homogenen Gleichung ๐ฆ ′ = ๐ด(๐ฅ)๐ฆ, so lässt sich jede Lösung auf [a, b] in der Form ๐ฆ(๐ฅ) = ๐ถ1 ๐ฆ1 (๐ฅ) + โฏ + ๐ถ๐ ๐ฆ๐ (๐ฅ) schreiben. 7.9.3 Inhomogene lineare Systeme 1. Ordnung ๐ฆ ′ = ๐ด(๐ฅ)๐ฆ + ๐(๐ฅ) Allgemeine Lösung hat die Darstellung ๐ฆ = ๐ฆ๐ป + ๐ฆ๐ผ . ๐ฆ๐ป ist allgemeine Lösung des homogenen Systems ๐ฆ๐ผ ist spezielle Lösung des inhomogenen Systems 150 Satz: Die allgemeine Lösung des inhomogenen Systems lässt sich mit Hilfe des Fundamentalsystems ๐ฆ1 (๐ฅ), … , ๐ฆ๐ (๐ฅ) des homogenen Systems ๐ฆ ′ = ๐ด(๐ฅ)๐ฆ und einer beliebigen speziellen Lösung ๐ฆ๐ผ des inhomogenen Systems in der Form: ๐ฆ(๐ฅ) = ๐ฆ๐ผ (๐ฅ) + ๐ถ1 ๐ฆ1 (๐ฅ) + โฏ + ๐ถ๐ ๐ฆ๐ (๐ฅ) ๐ถ๐ ∈ โ beliebig darstellen. Die Bestimmung einer speziellen Lösung: Variation der Konstanten Ansatz: ๐ฆ๐ผ (๐ฅ) = ๐ถ1 (๐ฅ)๐ฆ1 (๐ฅ) + โฏ + ๐ถ๐ (๐ฅ)๐ฆ๐ (๐ฅ) = ๐(๐ฅ) ⋅ ๐ถ(๐ฅ) Fundamentalmatrix. ๐ฆ๐ผ′ = ๐ด(๐ฅ)๐ฆ๐ผ + ๐ ′ (๐ ⋅ ๐ถ) = ๐ด(๐ฅ)๐๐ถ + ๐ ′ ๐ ⋅ ๐ถ + ๐ ⋅ ๐ถ ′ = ๐ด(๐ฅ)๐๐ถ + ๐ Es gilt ๐ ′ = ๐ด๐ โถ ๐ ′ ๐ถ = ๐ด๐๐ถ ๐(๐ฅ)๐ถ ′ (๐ฅ) = ๐(๐ฅ) โถ ๐ถ ′ (๐ฅ) = ๐ −1 (๐ฅ)๐(๐ฅ) ๐ −1 existiert, da ๐ ≠ 0 ๐ถ(๐ฅ) = ∫ ๐ −1 (๐ฅ)๐(๐ฅ)๐๐ฅ โถ Einsetzen in Ansatz −1 ๐ฅ(๐ฅ 2 + 1) Beispiel: ๐ด(๐ฅ) = −๐ฅ 2 [ ๐ฅ2 + 1 1 1 ๐ฅ 2 (๐ฅ 2 + 1) ๐(๐ฅ) = (๐ฅ ) 2๐ฅ 2 + 1 1 ๐ฅ(๐ฅ 2 + 1) ] 1 1 −๐ฅ 1 −๐ฅ 1 (1) (2) Fundamentalsystem: ๐ฆ = ( ) ๐ฆ = ( ) ๐(๐ฅ) = [ ] ๐ฅ ๐ฅ2 ๐ฅ ๐ฅ2 ๐ฅ2 1 ๐ 2 ๐ฅ −๐ฅ 2 2 1 det ๐ = ๐ฅ 2 + 1 ๐ −1 = [1 ] = ๐ฅ + 1 ๐ฅ(๐ฅ + 1) 2 1 1+๐ฅ −๐ฅ 1 ๐ฅ 2 [๐ฅ 2 + 1 ๐ฅ +1 ] 2 ๐ฅ 1 ๐ฅ 1 1 1 2 2 + ๐ฅ + 1 ๐ฅ(๐ฅ + 1) −1 2 2 ๐ ๐= (๐ฅ) = (๐ฅ + 1 ๐ฅ(๐ฅ + 1)) = (๐ฅ) −๐ฅ 1 1 0 0 [๐ฅ 2 + 1 ๐ฅ2 + 1 ] 1 ln|๐ฅ| −1 (๐ฅ)๐(๐ฅ)๐๐ฅ ๐ถ(๐ฅ) = ∫ ๐ = ∫ (๐ฅ ) ๐๐ฅ = ( ) 0 0 spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung: 1 ln ๐ฅ ๐ฆ๐ผ (๐ฅ) = (ln|๐ฅ|)๐ฆ1 (๐ฅ) + 0๐ฆ2 (๐ฅ) = (ln|๐ฅ|) ( ) = ( ) für ๐ฅ > 0 ๐ฅ ๐ฅ ln ๐ฅ Allgemeine Lösung: ๐ฆ(๐ฅ) = ( 1 1 ln ๐ฅ ) + ๐ถ1 ( ) + ๐ถ2 (− ๐ฅ) ๐ฅ ๐ฅ ln ๐ฅ ๐ฅ2 151 mit ๐(๐ฅ) als