V04 - PH Heidelberg

Kapitel 1: Kongruenzabbildungen, Vorlesung 4: Was kann, was soll Abbildungsgeometrie in der Schule?
Elementargeometrie
Skript zur gleichnamigen Vorlesung im WS 2008/2009
Vorlesung 4: Was kann, was soll Abbildungsgeometrie in der Schule?
www.ph-heidelberg.de/wp/gieding
Kapitel 1: Kongruenzabbildungen, Vorlesung 4: Was kann, was soll Abbildungsgeometrie in der Schule?
1. Das Anliegen der Vorlesung
Bewegungen sind seit längerer Zeit integraler Stoff des Geometrieunterrichts der Schule. Bereits in der
Primarstufe beschäftigen sich die Schüler mit achsensymmetrischen Figuren und in diesem
Zusammenhang mit Geradenspiegelungen.
In letzter Zeit zeigen die Lehrbücher insbesondere der SI eine vergleichsweise geringere Gewichtung der
Kongruenzabbildungen als etwa noch vor 5 Jahren. Eine Rückkehr zur eher statischen
Kongruenzgeometrie auf der Grundlage der Dreieckskongruenz scheint sich anzubahnen.
Die Vorlesung soll aufzeigen wodurch dieser Paradigmenwechsel zustande kam. In diesem
Zusammenhang wird aufgezeigt welche Probleme und welche Potenzen eine Kongruenzgeometrie auf
abbildungsgeometrischer Grundlage für den Unterricht der Primar- und insbesondere der Sekundarstufe
in sich birgt.
2. Noch einmal: Die zwei Aspekte der Kongruenzgeometrie
Kongruenzgeometrie
auf der Grundlage der Dreieckskongruenz
auf der Grundlage des Bewegungsbegriffs
 Ausgangspunkt:
Dreieckskongruenzsätze
 Ausgangspunkt:
Bewegung als abstandserhaltende Abbildung einer
Ebene auf sich
 Begriff der Kongruenz:
Zwei Figuren sind kongruent, wenn es eine
Bewegung gibt, die die beiden Figuren aufeinander
abbildet.
Handwerkszeug: Dreieckskongruenzssätze werden
aus den Eigenschaften von Bewegungen bewiesen.
 Begriff der Kongruenz:
Strecken sind kongruent, wenn sie dieselbe Länge
haben.
Winkel sind kongruent, wenn sie dieselbe Größe
haben.
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei
Seiten und dem eingeschlossenen Winkel
übereinstimmen. (SWS)
Beliebige Figuren sind kongruent, wenn ich sie in
zueinander kongruente Teildreiecke zerlegen kann.
 s. Einführung in die Geometrie,
Vorlesung Gieding WS 2007/08
Filler/Gieding SS 2008
(axiomatische Grundlage: Moise/Downs)

s. Einführung in die Geometrie,
Vorlesung Filler vor dem SS 2008, Gieding
WS 2005/2006
(axiomatische Grundlage: Kolmogorov)
3. Wege der Definition des Begriffs der Kongruenzabbildung
1. Allgemeiner Bewegungsbegriff → axiomatische Absicherung der Existenz von Bewegungen
(Bewegungsaxiom) → Kongruenzabbildung als Synonym → spezielle Kongruenzabbildungen
(Spiegelung, Drehung, Verschiebung),
2. Geradenspiegelung → axiomatische Begründung von Geradenspiegelungen →
Nacheinanderausführung von Geradenspiegelungen → Bewegung bzw. Kongruenzabbildung als
Nacheinanderausführung zweier bzw. dreier Geradenspiegelungen,
3. axiomatische Begründung der Dreieckskongruenz (SWS) → Definition der Bewegung als
abstandserhaltende Abbildung der Ebene auf sich → Synonym Kongruenzabbildung → definition
und Untersuchung spezieller Kongruenzabbildungen,
Kapitel 1: Kongruenzabbildungen, Vorlesung 4: Was kann, was soll Abbildungsgeometrie in der Schule?
4. axiomatische Begründung der Dreieckskongruenz (SWS) → Untersuchung von Geradenspiegelungen,
Verschiebungen, Drehungen → Bewegung bzw. Kongruenzabbildung als Nacheinanderausführung
von Spiegelungen, Verschiebungen und Drehungen.
4. abbildungsgeometrische Beweise
Lange vorherrschende Meinung in der Mathematikdidaktik:
Ein „sauberer“ abbildungsgeometrischer Beweis:
Satz:
Die Nacheinanderausführung zweier Drehungen mit zueinander komplementären Drehwinkeln ist eine
Verschiebung
Mehr für die Schule: „Der Klassiker“
Basiswinkelsatz:
In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander:
̅̅̅̅̅̅ ein gleichschenkliges Dreieck mit den Schenkeln 𝑎 = 𝐵𝐶
̅̅̅̅ und 𝑏 = 𝐴𝐵
̅̅̅̅.
Es sei 𝐴𝐵𝐶
Weil |𝑎| = |𝑏| gibt es eine Geradenspiegelung, die 𝑎 auf 𝑏 abbildet. Bei dieser Geradenspiegelung wird 𝛼
auf 𝛽 abgebildet.
Woher weiß ich, dass es die genannte Spiegelung gibt? Reine Anschauung. Warum sage ich nicht gleich:
Man sieht, dass die Basiswinkel gleich groß sind?
Peripheriewinkelsatz:
Peripheriewinkelwinkel über derselben Sehne sind kongruent.
C

M
A
B
Beweis (Schupp, Figuren und Abbildungen, S. 39f.)
C

s1
s2
M
A
k
B
Kapitel 1: Kongruenzabbildungen, Vorlesung 4: Was kann, was soll Abbildungsgeometrie in der Schule?
Es seien 𝑠1 und 𝑠2 die Mittelsenkrechten der Sehnen ̅̅̅̅
𝐴𝐶 und ̅̅̅̅
𝐵𝐶 .
̅̅̅̅ und 𝐵𝐶
̅̅̅̅ Sehnen der Kreises 𝑘 sind, gehen 𝑠1 und 𝑠2 durch den Mittelpunkt 𝑀 des Kreises 𝑘.
Da 𝐴𝐶
Der Punkt 𝐴 wird bei einer Spiegelung an 𝑠1 auf den Punkt 𝐵 abgebildet.
Der Punkt 𝐵 wird bei einer Spiegelung an 𝑠2 auf den Punkt 𝐶 abgebildet.
Insgesamt wird 𝐴 bei der Nacheinanderausführung 𝑠2 ∘ 𝑠1 auf 𝐶 abgebildet.
Wir wissen, dass die Nacheinanderausführung 𝑠2 ∘ 𝑠1 eine Drehung um 𝑀 mit dem Drehwinkel 2𝛽 mit
𝛽 = |∡(𝑠1 , 𝑠2 )| ist.
C

s1
s2
M 
k
A
B
𝑠2 ∘𝑠1
Bei dieser Drehung wird, wie bereits gezeigt, 𝐴 auf 𝐵 abgebildet: 𝐴 →
𝐵.
C

s1
s2
M 

k
A
B
Wir hätten also den Drehwinkel der Drehung 𝑠2 ∘ 𝑠1 auch als 𝛼 = ∡𝐴𝑀𝐵 bestimmen können.
Es muss also gelten: 𝛼 = 2𝛽.
Weil 𝑠1 und 𝑠2 sich schneidenden Geraden sind, ergänzen sich die Winkel 𝛽 und 𝛿 zu 180°. Andererseits
sind 𝛾 und 𝛿 zwei Innenwinkel eines Vierecks, dessen weitere Innenwinkel Rechte sind. Es gilt also: 𝛽 +
𝛿 = 180°, 𝛾 + 𝛿 = 180° und damit 𝛽 = 𝛾. Aus letzterem und 𝛼 = 2𝛽 folgt 𝛼 = 2𝛾.
C

s1
s2

M 

A
k
B
Kapitel 1: Kongruenzabbildungen, Vorlesung 4: Was kann, was soll Abbildungsgeometrie in der Schule?
Da alle Folgerungen unabhängig von der Lage des Punktes 𝐶 auf dem Kreisbogen über ̅̅̅̅
𝐴𝐵 sind, haben
̅̅̅̅
wir gezeigt, dass alle Peripheriewinkel über 𝐴𝐵 kongruent zueinander sind.
Anschaulich, einfach?
5. Konstruktionsaufgaben mittels der Abbildungsgeometrie lösen
5.1.
Nutzung von Achsensymmetrien
Aufgabe 1: Billard
Die Kugel 𝐴 soll so gestoßen werden, dass sie nach der Reflektion an Bande 𝑎 auf die Kugel 𝐵 stößt.
Konstruiere den Weg von Kugel 𝐴.
a
B
A
Lösung:
Was haben wir zu konstruieren?
L
B

a

D
A
Wir suchen auf 𝑎 eine Punkt 𝐿 mit folgenden Eigenschaften:
𝐷𝐿 sei das Lot in 𝐿 auf 𝑎. Die Winkel 𝛼 = ∡𝐴𝐿𝐷 und 𝛽 = ∡𝐵𝐿𝐷 müssen kongruent zueinander sein
(Einfallswinkel = Reflektionswinkel).
Analogie zur Optik:
Was würden wir sehen, wenn unsere Bande ein senkrecht zum Tisch aufgestellter Spiegel wäre?
Kapitel 1: Kongruenzabbildungen, Vorlesung 4: Was kann, was soll Abbildungsgeometrie in der Schule?
A'
B'
a
B
A
Weil 𝐴′ , 𝐵′ die Bilder von 𝐴 bzw. 𝐵 bei der Spiegelung an 𝑎 sind, ist ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝐴𝐴′𝐵′𝐵 ein gleichschenkliges Trapez.
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
Die Diagonalen 𝐴𝐵′ und 𝐵𝐴′ werden bei der Spiegelung an 𝑎 aufeinander abgebildet:
A'
B'
L
a
B
A
Da der Schnittpunkt 𝐿 der Geraden 𝐴𝐵′ und 𝐵𝐴′ auf den Schnittpunkt 𝐿′ der Geraden 𝐵𝐴′ und 𝐴𝐵′
abgebildet wird, fallen 𝐿 und 𝐿′ zusammen.
A'
B'
L=L' a
B
A
Der Punkt 𝐿 ist also ein Fixpunkt der Spiegelung an 𝑎 und liegt damit auf 𝑎.
Das Lot in 𝐿 auf 𝑎. wird bei der Spiegelung an 𝑎 auf sich selbst abgebildet.
A'
B'
L
a
B
A