Begriffe und Formulierungen

Begriffe und Formulierungen (Entwurf)
Modul 1: Faltwinkel
Sequenz 1: Kante, Gerade, Strecke, Strahl
Wir nutzen ein Stück Papier und falten eine Kante. An dieser Kante kann man gerade Linien zeichnen.
Man nennt solche Linien in der Geometrie Geraden. Es gibt auch gekrümmte Linien. Geraden
zeichnet man mit dem Lineal. Sie können einen Namen bekommen: Oft nutzt man „g“ (wie Gerade)
oder „h“. Man sagt zum Beispiel, ich zeichne eine Gerade g. Geraden kann man nach beiden Seiten
immer wieder verlängern (bis zum Blattrand und darüber hinaus). Sie sind unendlich lang.
Man kann einen Abschnitt auf einer Geraden mit Punkten eingrenzen. Punkte setzt man als Punkt,
Strich oder Kreuzchen auf die Gerade. Durch die Punkte auf den Geraden findet man Strecken. Eine
Strecke reicht immer von einem Punkt bis zu einem anderen. Die Länge von Strecken, immer von
einem Punkt bis zu einem anderen, kann man mit dem Lineal messen. Punkte beschriftet man mit
großen Druckbuchstaben, z. B. A, B, C oder D. Eine Strecke mit den Punkten A und B heißt dann
Strecke AB.
Setzt man auf eine Gerade nur einen Punkt findet man eine Halbgerade oder einen Strahl. Es gibt nur
einen Anfangs- aber keinen Endpunkt, wie bei der Sonne die Sonnenstrahlen oder der Lichtstrahl.
Sequenz 2: sich schneidende Geraden, Ecken, Winkel, rechte Winkel, Rechtecke, rechteckige
Körper
Wenn Geraden sich begegnen oder sich schneiden, entstehen Ecken. Solche Ecken nennt man in der
Geometrie Winkel. Das Wort kennt ihr schon, z. B., wenn man sagt, etwas ist verwinkelt oder eine
winklige Gasse. Geraden können sich aufrecht begegnen wie bei einem Kreuz. Dann entstehen rechte
Winkel. Man kennzeichnet sie mit einem Viertel Kreisbogen und einem Punkt in der Ecke. Rechte
Winkel findet man überall in unserer Umwelt. Sie sorgen z. B. dafür, dass Gebäude und Möbel gerade
(aufrecht) stehen. Ecken, in die der rechte Winkel passt, sind rechtwinklig.
Figuren, in denen jede Ecke rechtwinklig ist, sind die Vierecke Rechteck und Quadrat sowie die
Körper, die aus diesen Flächen bestehen, der Würfel und der Quader. Man sagt auch, es sind
rechteckige Flächen und Körper. Rechtecke haben daher ihren Namen.
Sequenz 3: senkrechte Linien, parallele Linien, Parallelogramm
Wenn man den Faltwinkel aufklappt, sieht man ein Kreuz. In der Mitte des Kreuzes entdeckt man vier
rechte Winkel. Wenn sich Faltlinien oder Geraden so begegnen, sagt man, sie sind senkrecht
zueinander oder sie schneiden sich senkrecht oder stehen senkrecht aufeinander. Das kann man
auch an den rechteckigen Flächen und Körpern entdecken: Benachbarte Seiten oder Kanten sind
senkrecht zueinander.
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Wenn man den Faltwinkel noch einmal auf einer Kante faltet und das Faltprodukt aufklappt, entdeckt
man wiederum besondere Faltlinien. Man findet Linien oder Geraden, die sich genau
gegenüberliegen. Sie schneiden sich niemals. Solche Linien oder Geraden sind parallel zueinander.
Ein Viereck mit diesen Eigenschaften heißt deshalb auch Parallelogramm. Immer ein paar Seiten des
Vierecks liegen sich genau gegenüber. Sie haben überall den gleichen Abstand. So ist es beim
Rechteck und beim Quadrat auch. Diese Vierecke sind also auch Parallelogramme. Auch bei Würfel
und Quader entdeckt man Kanten, die parallel zueinander sind.
Modul 2: Kreuz (Achsenkreuz)
Sequenz 1: Kreuz, Kreis, Quadrat
Wir falten ein Kreuz und kennzeichnen die vier rechten Winkel. Wir entdecken vier Strahlen von der
Mitte aus (evtl. verschiedenfarbig nachzeichnen). Die Strahlen markieren den Viertelkreis (ein rechter
Winkel), den Halbkreis (zwei rechte Winkel), den Dreiviertelkreis (drei rechte Winkel) und den ganzen
Kreis (vier rechte Winkel). Wir schlagen im Kreuz einen Viertelkreis, einen Halbkreis, einen
Dreiviertelkreis, einen Kreis (evtl. die Radien jeweils etwas vergrößern bzw. verkleinern).
Wir falten ein Kreuz und zeichnen die vier Strahlen von der Mitte M aus verschiedenfarbig nach. Um
den Punkt M schlagen wir einen Kreisbogen. Auf jeden Strahl hinterlässt die Kreislinie einen Punkt
(Punkt hervorheben). Verbinden wir die vier Punkte, entsteht ein besonderes Viereck, ein Quadrat.
Auf die Strahlen im Kreuz kann man also ein Quadrat setzen. Dieses Viereck passt genau in einen
Kreis. Evtl. das Viereck untersuchen: vier gleichlange Seiten, rechte Winkel in den Ecken.
Sequenz 2: Raute, Drachenviereck
Wir falten ein Kreuz und zeichnen die vier Strahlen von der Mitte M aus verschiedenfarbig nach. Mit
Hilfe des Zirkels lassen sich zwei weitere Vierecke auf dem Kreuz entdecken. Wir stechen mit der
Zirkelspitze in M ein und markieren links und rechts auf den Strahlen je einen Punkt im gleichen
Abstand. Wir verändern die Einstellung am Zirkel und setzen jetzt oben und unten den veränderten
Abstand. Verbindet man die vier Punkte zu einem Viereck, entsteht eine Raute (sieht wie ein Karo
aus). Evtl. das Viereck untersuchen: vier gleichlange Seiten. Gegenüberliegende Ecken (Winkel) sind
gleich groß. Die Faltlinien des Kreuzes ergeben die Mittellinien der Raute (später Symmetrieachsen
oder Spiegelachsen).
Wir falten ein Kreuz und zeichnen die vier Strahlen von der Mitte M aus verschiedenfarbig nach. Für
das dritte Viereck auf dem Kreuz stechen wir wieder mit der Zirkelspitze in M ein und setzen links
und rechts auf den Strahlen je einen Punkt im gleichen Abstand. Für den Punkt oben wählen wir
einen kleineren und unten einen größeren Abstand. Wenn wir die vier Punkte zu einem Viereck
verbinden, entsteht ein Drachenviereck. Evtl. das Viereck untersuchen: zwei Dreiecke übereinander,
oben ein flacheres, unten ein spitzeres. Das Drachenviereck kann zusätzlich aus dem Quadrat gefaltet
werden: Eine Mittellinie falten, die zwei Ecken verbindet Das Quadrat mit der Ecke nach unten auf
den Tisch legen und die linke und rechte Quadratseite aus dieser Sicht zur Mittellinie falten.
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Modul 3: Dreiecke
Sequenz 1: Dreiecke mit spitzen, flachen (stumpfen), rechtwinkligen Ecken (Winkeln)
Ein Dreieck erkennen wir an den drei Ecken oder den drei Seiten. Man kann auch sagen, wenn sich
drei Geraden in drei Punkten schneiden, entsteht ein Dreieck.
Es gibt unterschiedliche Dreiecke. Wenn wir Dreiecke zeichnen wollen, können wir zunächst eine
Dreieckseite zeichnen, eine Gerade mit den Punkten A und B. Den dritten Punkt C könnten wir ganz
dicht über oder unter der Strecke anordnen oder weiter von A und B entfernt. Wenn wir den Punkt C
mit A und B verbinden, können flache (stumpfe) oder spitze Dreiecke entstehen. Man sagt auch
spitzwinklige Dreiecke und stumpfwinklige Dreiecke.
Sequenz 2: Dreiecke mit einer Mittellinie – zwei gleichlange Seiten (Schenkel), unter dem
Halbkreis rechtwinklig
Dreiecke können auch eine Mittellinie haben. Wenn wir die Seite AB auf das Achsenkreuz setzen mit
dem gleichen Abstand links und rechts, kann der Punkt C (die Spitze des Dreiecks) auf der Mittellinie
angeordnet werden. Alle Punkte C sind dann gleichweit von A und B entfernt. Wenn verschiedene
Punkte C mit A und B zu Dreiecken verbunden werden, können wieder spitze und flache Dreiecke
entstehen. Weil die Spitze in der Mitte ist, haben diese Dreiecke zwei gleichlange Seiten. Man sagt
auch gleiche Schenkel. Diese Dreiecke heißen deshalb auch gleichschenklige Dreiecke. Setzt man den
Halbkreis über A und B, wird die Spitze C rechtwinklig.
Sequenz 3: Dreiecke mit drei gleichlangen Seiten – gleichseitige Dreiecke, drei Mittellinien,
Parkettieren
Wie gelingt es nun Dreiecke zu zeichnen oder zu falten, bei denen alle drei Seiten gleichlang sind?
Mit dem Zirkel kann man gleiche Längen erzeugen, deshalb lassen sich gleichseitige Dreiecke gut mit
dem Zirkel zeichnen. Eine Dreieckseite zeichnen wir mit dem Lineal und nehmen die Länge in die
Zirkelspanne (nehmen die Länge mit dem Zirkel auf). Mit dem Zirkel kann man jetzt die Länge in
Richtung Spitze vom Punkt A und B aus dransetzen. Dort, wo sich die kleinen Kreisbogenstücke
schneiden, finden wir die Spitze des Dreiecks, den Punkt C.
Für das Falten stellen wir uns ein Dreieck mit einer Mittellinie vor. Dann haben wir schon zwei
gleichlange Schenkel. Diese müssen dann aber auch so lang sein wie die Grundseite. Wir klappen
deshalb durch den Punkt A oder B die Grundseite zur Mittellinie und finden so den Punkt C auf der
Mittellinie. Wenn wir C mit A und B verbinden, erhalten wir ein gleichseitiges Dreieck.
Wir scheiden es aus und suchen nach weiteren Mittellinien (Symmetrieachsen).
Gleiche Dreiecke kann man so aneinander legen, dass man eine Fläche damit zudecken kann, ohne
dass Lücken bleiben - wie bei einem Parkett. Man nennt dieses Auslegen mit gleichen
(deckungsgleichen) Figuren Parkettieren.
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Modul 4: Vierecke
Sequenz 1: 4 Punkte, 4 Ecken, Vierecke, mit rechtwinkligen Ecken und geraden (senkrechten)
Seiten – Rechtecke (Quadrat)
Wenn man vier Punkte auf das Zeichenpapier setzt (die Punkte A, B, C, D) und diese der
Reihe nach miteinander verbindet, erhält man eine viereckige Figur, ein Viereck. Ein Viereck
kann besondere Eigenschaften haben. Zum Beispiel können alle vier Ecken rechtwinklig sein.
Ein solches rechtwinkliges Viereck heißt deshalb Rechteck. Hat das Rechteck gleichlange
Seiten, ist es ein Quadrat. In die Ecken dieser rechteckigen Figuren passt der Faltwinkel.
Sequenz 2: 4 Strecken, 4 Seiten, Vierecke, mit gleichlangen Seiten, Quadrat
Ein Viereck entsteht auch, wenn sich vier Geraden in vier Punkten schneiden (in den Punkten
A, B, C und D). Die vier entstandenen Strecken sind die Seiten des Vierecks (Seiten a, b, c, d).
Bei einem einfachen Viereck sind die Seiten unterschiedlich lang. Es gibt aber auch Vierecke,
bei denen alle Seiten gleichlang sind. So ist es z. B. bei dem Quadrat. Auch die Raute hat vier
gleichlange Seiten. Beide Vierecke lassen sich gut auf das (Achsen-)Kreuz setzen. Zeichnet
man das Kreuz auf Kästchenpapier, entsteht ein Quadrat, wenn man in alle vier Richtungen
des Kreuzes (auf allen vier Strahlen) vom Mittelpunkt aus die gleiche Kästchenanzahl abzählt,
die Eckpunkte markiert und verbindet. Ohne Kästchenpapier kann man mit dem Zirkel vom
Mittelpunkt des Kreuzes aus gleiche Abstände für die Eckpunkte des Quadrates setzen.
Möchte man eine Raute auf das Kreuz setzen, zählt man jeweils auf den Strahlen, die sich
gegenüberliegen, die gleiche Kästchenanzahl ab. Diese Abstände kann man natürlich auch
mit dem Zirkel setzen. Es gibt auch Vierecke, bei denen sind immer nur zwei Seiten
gleichlang, wie beim Rechteck zum Beispiel. Auch das Drachenviereck hat jeweils zwei
gleichlange Seiten. Man kann es auch auf das Kreuz setzen: Wenn das Kreuz senkrecht vor
uns liegt, setzt man links und rechts von der Mitte den gleichen Abstand und markiert die
beiden Eckpunkte. Nach oben nimmt man für den dritten Eckpunkt einen kürzeren Abstand
von der Mitte als nach unten, wo man den vierten Eckpunkt markiert. Man kann sich dabei
die Drachenform vorstellen.
Auch das gleichschenklige Trapez hat zwei gleichlange Seiten. Wie der Name des Vierecks
schon sagt, sind es die Schenkel, die gleichlang sind. Ausgehend von einem gleichschenkligen
Dreieck, bei dem man die Spitze auf der Mittellinie zur Grundseite (nach unten) faltet, kann
man es leicht herstellen.
Sequenz 3: Vierecke mit parallelen Seiten, Parallelogramme (Raute, Trapez, Rechteck,
Quadrat)
Erinnern wir uns an das Herstellen des Faltwinkels in Modul 1. Wenn man eine Kante des
Faltwinkels genau aufeinander faltet und dann das Papier aufklappt, findet man Faltlinien,
die sich genau gegenüber liegen (die überall den gleichen Abstand haben). Diese Linien
nannten wir parallele Linien. Ergänzt man die Faltlinien mit Bleistift und Lineal zu Vierecken,
erhält man Vierecke mit parallelen Seiten. Ist ein Paar Seiten parallel, sind es Trapeze. Ist
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auch das andere Seitenpaar parallel, heißen die Vierecke Parallelogramme. Kommen weitere
Eigenschaften hinzu (z. B. die Ecken sind rechtwinklig oder die Seiten sind gleichlang),
entstehen Rechtecke, Quadrate oder Rauten. Es sind alles Vierecke mit parallelen Seiten.
Nur das Drachenviereck macht eine Ausnahme.
Sequenz 4: Mittellinien in Vierecken (Symmetrieachsen, Spiegelachsen)
Vierecke können keine, eine oder mehrere Mittellinien haben. Man muss immer gleiche
Hälften aufeinander falten können. Wenn man gleiche Hälften aufeinander falten kann, sagt
man auch, das Viereck ist symmetrisch. Die Mittellinien heißen auch Symmetrieachsen. Bei
manchen Figuren kann man sich gut vorstellen, dass sie eine Symmetrieachse haben, z. B.
beim Drachenviereck und beim gleichschenkligen Trapez. Beim Rechteck und bei der Raute
findet man sogar zwei Mittellinien. Beim Rechteck kann man einmal längs und einmal quer
falten. Bei der Raute einmal so, dass die großen Winkel (die großen Ecken) aufeinander
liegen und einmal so, dass die kleinen Winkel (die kleinen Ecken) aufeinander liegen. Das
Quadrat ist das Viereck mit den meisten Mittellinien: viermal kann man Hälften aufeinander
falten, zweimal durch die Seitenmitten und zweimal durch die Ecken. Das einfache Viereck
und das einfache Trapez haben keine Mittellinie.
Sequenz 5: Haus der Vierecke
Man kann Vierecke nach ihren Eigenschaften wie in einem Haus anordnen. Ganz oben (im Dach)
bekommt das einfache (allgemeine) Viereck seinen Platz. Es hat vier Ecken, vier Seiten und keine
Mittellinie. Unter dem Dach (auf der nächsten Ebene) wohnen das gleichschenklige Trapez (links),
das Parallelogramm (in der Mitte) und das Drachenviereck (rechts). Diese drei Vierecke haben schon
viele besondere Merkmale, zum Beispiel findet man in allen drei Vierecken gleichlange Seiten und
gleichgroße Ecken (Winkel). Zum Teil haben sie auch parallele Seiten (Trapez, Parallelogramm). Das
gleichschenklige Trapez und das Drachenviereck haben eine Mittellinie (Symmetrieachse,
Spiegelachse). In der Etage darunter wohnen zwei Vierecke, das Rechteck (links) und die Raute
(rechts). Es kommen noch mehr Eigenschaften dazu. Beim Rechteck sind alle Winkel gleichgroß und
bei der Raute alle Seiten. Die Vierecke werden nach unten hin immer regelmäßiger. Dadurch nimmt
die Anzahl der Symmetrieachsen zu. Rechteck und Raute haben schon zwei Symmetrieachsen und
das Quadrat, das ganz unten in der Mitte wohnt, hat sogar vier Symmetrieachsen. Das Quadrat ist
das regelmäßigste Viereck durch seine gleichlangen Seiten und gleichgroßen Winkel.
Modul 5: Streifengeometrie
Sequenz 1: Streifen, parallele Kanten, parallele Seiten, Trapez, rechtwinkliges Trapez,
gleichschenkliges (symmetrisches) Trapez; Raute; rechteckige Figuren mit parallelen Seiten:
Rechteck, Quadrat; Zylinder aus einem Streifen gerollt
An einem Streifen (Papierstreifen, ca. 2,5 cm breit) finden wir parallele Kanten, Kanten, die sich
genau gegenüberliegen (die überall den gleichen Abstand haben). Zerschneidet man den Streifen so,
dass Vierecke entstehen (demonstrieren), nehmen die Vierecke die Eigenschaft (einmal parallele
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Seiten) vom Streifen mit. Vierecke mit parallelen Seiten heißen Trapeze (griech. trapèzion:
Tischchen).
Schneidet man Trapeze aus einem rechteckigen Streifen, dann sieht man, dass auch rechtwinklige
Trapeze möglich sind (entstehen an den Enden des Streifens, Trapeze mit zwei rechten Winkeln).
Faltet man den Streifen einmal und schneidet vom doppelt liegenden Streifen rechts bzw. links von
der Faltkante ein Viereck ab und klappt dieses auseinander, entsteht ein gleichschenkliges oder
symmetrisches Trapez (mit einer Mittellinie bzw. Symmetrieachse).
Faltet man den Streifen nur ein Stück aufeinander, so, dass ein „V“ entsteht und hält man das „V“
gegen das Licht, entdeckt man dort, wo zwei Streifenstücke übereinander liegen (in der Spitze des
„V“) ein (gleichschenkliges) Dreieck. Schneidet man das doppelt liegende Dreieck aus, erhält man ein
besonderes Trapez, ein Viereck mit zweimal parallelen Seiten, ein Parallelogramm. Dieses
Parallelogramm hat sogar gleichlange Seiten und wird deshalb auch Raute (oder Rhombus) genannt.
Faltet man den Streifen so aufeinander, dass Kanten genau aufeinanderliegen, entstehen
rechtwinklige Figuren, Rechtecke. Rechtecke sind also auch ganz besondere Trapeze. Faltet man am
Ende des rechtwinkligen Streifens eine Ecke so nach unten oder oben auf eine Kante, dass Kanten
genau aufeinanderliegen, entsteht ein doppelt liegendes (gleichschenkliges) Dreieck. Schneidet man
das Dreieck ab und klappt es auf, erhält man eine gleichseitige rechtwinklige Figur, ein Quadrat.
Rollt man einen rechtwinkligen Streifen zusammen, erhält man einen Zylinder (genauer: den Mantel
eines Zylinders). Man kann auch sehen, dass die Flächen oben und unten (Grund- und Deckfläche)
Kreisflächen sind. (Das Netz eines Zylinders besteht also aus einem Rechteck und zwei gleichgroßen
Kreisflächen.)
Sequenz 2: Streifen mit gleicher und unterschiedlicher Breite übereinander: Quadrat-Raute,
Rechteck-Parallelogramm
Legt man zwei Streifen gleicher Breite rechtwinklig aufeinander (Geodreieck in eine Ecke halten) und
hält diese gegen das Licht, sieht man dort, wo die gleichbreiten Streifen aufeinander liegen, ein
besonderes Viereck – ein Quadrat. Legt man den oberen Streifen schräg auf den unteren und macht
wieder die Lichtprobe, sieht man, dass die Ecken des Vierecks nicht mehr rechtwinklig sind. Die
gleiche Seitenlänge bleibt jedoch erhalten, da die Streifen gleich breit sind. Man erhält eine Raute.
Legt man zwei Streifen unterschiedlicher Breite rechtwinklig aufeinander und hält diese gegen das
Licht, sieht man, dass jetzt ein Rechteck entstanden ist. Legt man den oberen Streifen schräg auf den
unteren und macht die Lichtprobe, entsteht ein Parallelogramm.
Sequenz 3 Experimente: Fünfeck (Stern); Möbiusband (eine Fläche mit nur einer Seite,)
Legt man einen Streifen wie zu einem Kragen und zieht das eine Ende durch den Kragen durch (so,
wie man einen Knoten bindet), kann man ein (regelmäßiges) Fünfeck knoten. Die überstehenden
Streifenenden kann man nach hinten falten oder auch abschneiden. Verbindet man im Fünfeck jede
zweite Ecke miteinander, erhält man einen Stern mit fünf Zacken (Pentagramm).
Schaut man sich einen Papierstreifen an, kann man eine Fläche oben und eine Fläche unten sehen.
Dreht man einen Papierstreifen einmal und klebt ihn dann zusammen, verschwindet eine Fläche, es
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entsteht ein sogenanntes Möbiusband – eine Fläche mit nur einer Seite. Überprüfen kann man das
Verschwinden einer Fläche indem man von der Klebstelle aus mit dem Finger auf dem Band
entlangläuft. Man kommt an der Ausgangsposition wieder an. Im Zusammenhang mit dem
Möbiusband sind noch weitere Experimente möglich. So lässt sich ein Streifen beispielsweise auch
zweimal drehen und zusammenkleben. Man könnte noch einen Streifen hinzunehmen, der zu einem
einfachen Ring zusammengeklebt wird. Die Aufgabe, die gestellt werden könnte: Was geschieht
jeweils, wenn man den einfachen Ring, das Möbiusband (einmal gedreht) und das zweimal gedrehte
Band der Länge nach durchschneidet? Es entstehen zwei Ringe, ein großer Ring (beim Möbiusband)
und zwei ineinander hängende Ringe (beim doppelt gedrehten Band).
Modul 6: Geometrie im Kreis
Sequenz 1: Kreis, Geraden im Kreis (Radius, Durchmesser, Sehne); Symmetrie im Kreis; der
Kreis und seine Teile
Wie entsteht ein Kreis? Man braucht einen (festen) Punkt. An diesen Punkt lege einen kleinen
Bleistift oder ein Stäbchen (z. B. Streichholz) an. Der Bleistift oder das Stäbchen wird ganz langsam
um den festen Punkt gedreht und bei jeder kleinen Drehung ans Ende des Stäbchens ein kleiner
Punkt gesetzt, so, dass zahlreiche Punkte, die um den festen Punkt immer mit dem gleiche Abstand
geführt wurden, entstehen. Man kann schon sehen, dass dabei eine Kreislinie entsteht. Man kann die
entstandenen Punkte vorsichtig miteinander verbinden. Es entsteht ein Kreis. Der Kreis ist also eine
Linie, die von einem festen Punkt überall den gleichen Abstand hat. Den festen Punkt nennt man
meistens M (Mittelpunkt) und das Stäbchen, das wir um diesen Punkt geführt haben, ist (entspricht
dem) Radius (wie bei einem Rad, die Speiche eines Rades). Wenn wir mit dem Zirkel Kreise zeichnen,
übernimmt der Abstand von Zirkelspitze zur Bleistiftspitze die Rolle des Stäbchens. Mit der
„Zirkelspanne“ kann man also einstellen, wie groß der Kreis werden soll.
Man kann von einem Punkt der Kreislinie zu einem anderen Punkt Geraden zeichnen. Solche
Geraden im Kreis heißen Sehnen. Die längsten Sehnen kann man durch den Mittelpunkt des Kreises
zeichnen. Diese Sehnen heißen auch Durchmesser (den Kreis durchmessen). Man kann unendlich
viele Durchmesser durch den Mittelpunkt eines Kreises zeichnen.
Nimmt man einen Papierkreis hinzu, lassen sich die Durchmesser falten. Faltet man einen
Durchmesser, entstehen zwei Halbkreise. Faltet man auf dieser Faltkante noch einmal so, dass diese
halbiert wird und Kreisteile genau aufeinander liegen, entsteht ein Viertelkreis (Faltwinkel/rechter
Winkel) – nach dem Aufklappen sieht man vier Viertelkreise. Man könnte auch zwei Durchmesser in
einen Kreis zeichnen, die ein Kreuz bilden (sich senkrecht schneiden/sich rechtwinklig schneiden).
Schneidet man ein Viertel heraus, erhält man einen Dreiviertelkreis. Führt man die beiden „offenen“
Kanten zusammen, entsteht ein Kegel. Halbiert man die Viertelkreise noch einmal, entstehen acht
gleich große Teile im Kreis – Achtel.
Faltet man Durchmesser in Papierkreise, entstehen immer Halbkreise. Die Durchmesser sind
sozusagen die Mittellinien des Kreises – zwei Hälften liegen genau aufeinander. Wenn man einen
Spiegel auf den Durchmesser stellt, würde man die andere Hälfte im Spiegel sehen. Die Durchmesser
sind also auch Spiegelachsen oder Symmetrieachsen des Kreises. Man kann im Kreis unzählig viele
Symmetrieachsen falten – immer wieder fallen zwei gleiche Hälften genau aufeinander.
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Sequenz 2: Figuren im Kreis (Quadrate, halbes Quadrat/rechtwinkliges Dreieck, Sechseck,
gleichseitiges Dreieck)
Ein Kreuz im Kreis bzw. ein geviertelter Kreis (gezeichnet oder gefaltet) hinterlässt vier Punkte auf der
Kreislinie. Damit diese als solche wahrgenommen werden, kann man sie mit Bleistift noch einmal
markieren („nachpunkten“). Verbindet man die vier Punkte entlang der Kreislinie miteinander,
entsteht ein besonderes Viereck, ein Quadrat. Faltet man den Kreis mit dem Quadrat so, dass zwei
Halbkreise aufeinander liegen, kann man entdecken, dass ein halbes Quadrat (im Kreis) ein
besonderes Dreieck, ein rechtwinkliges Dreieck mit zwei gleichlangen Seiten sein muss (weil es die
Eigenschaften vom Quadrat „mitnimmt“).
Faltet man die Kreislinie eines Papierkreises oben und unten sowie links und rechts zum Mittelpunkt
des Kreises entsteht ein Quadrat. Faltet man das „Quadratpaket“ wieder auf, entdeckt man 12
Punkte auf der Kreislinie. Punktet man diese nach, könnte man ein Zwölfeck in den Kreis zeichnen.
Gleichzeitig erhält man die Einteilung, die man für das Ziffernblatt einer Uhr benötigt. Man könnte
die vollen Stunden auf das „Ziffernblatt“ schreiben. Dabei wird deutlich, warum man wahrscheinlich
nicht alle 24 Stunden des Tages auf solch einem Ziffernblatt anordnet. Mit einem
„Vierundzwanzigeck“ im Kreis würde es ein ganz schönes Gedränge geben. Wenn man 12 Stunden
auf dem Kreis anordnet, muss man eben zweimal im Kreis entlang laufen, bis der Tag zu Ende ist.
Aber die „12er-Vorlage“ ist noch aus anderen Gründen interessant: Verbindet man jeden zweiten
Punkt entlang der Kreislinie, entsteht ein (regelmäßiges) Sechseck, verbindet man jeden vierten
Punkt, entsteht ein besonders schönes (weil gleichseitiges) Dreieck und verbindet man jeden dritten
Punkt entsteht wieder ein regelmäßiges Viereck – das Quadrat. Man kann auch so denken: Jeden
zweiten Punkt verbinden, 12:2=6 (ein Sechseck entsteht), jeden vierten Punkt verbinden, 12:4=3 (ein
Dreieck entsteht), jeden dritten Punkt verbinden– 12:3=4 (ein Viereck entsteht).
Sequenz 3: Kreisfläche, Körper, die man auf einer Kreisfläche aufbauen kann - Kegel, Zylinder,
Halbkugel
Alle Punkte des Kreises und alle Punkte des Randes bilden die Fläche des Kreises oder einfacher.
Schaut man sich die Kreisfläche an bzw. legt man einen Papierkreis vor sich hin, kann man sich die
Kreisfläche vielfach aufeinander geschichtet (gestapelt) vorstellen. Es entsteht eine Säule mit einer
Kreisfläche unten und oben als Abschluss. Eine solche Säule heißt Zylinder (Wir denken bei der Form
auch an einen zylinderförmigen Hut.). Legen wir die Kreisfläche erneut vor uns hin und stapeln Kreise
auf, die nach oben immer kleiner werden, so dass schließlich nur noch ein Punkt für die Spitze übrig
ist, entsteht ein Kegel. Stellen wir uns erneut eine Kreisfläche vor, auf die wir Kreisflächen schichten,
die immer kleiner werden, entsteht eine Halbkugel.
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Modul 7: Dreiecke im Quadrat
Sequenz 1: Dreiecke im Faltquadrat, Eigenschaften dieser Dreiecke (rechtwinklig,
Mittellinie/Symmetrieachse, gleichschenklig); unter dem Halbkreis
Ein Papierquadrat kann man so falten, dass Dreiecke entstehen. Beachtet man beim Falten, dass
Faltkanten immer genau aufeinanderliegen, haben alle Dreiecke die gleiche (eine ähnliche) Form: Es
sind rechtwinklige Dreiecke mit zwei gleich langen Seiten, die wir auch schon im Halbkreis entdeckt
haben. Man sagt auch, es sind gleichschenklige Dreiecke mit einem rechten Winkel. Schneiden wir
einige dieser Faltdreiecke aus, kann man feststellen, dass alle diese Dreiecke eine Mittellinie
(Symmetrieachse, Spiegelachse) haben.
Sequenz 2: Zusammengesetzte Figuren: aus 2 Dreiecken (Quadrat, Dreieck, Parallelogramm,
Flächeninhalt/Umfang); aus 4 Dreiecken (2 kleine Quadrate, großes Quadrat, Rechteck,
Dreieck, gleichschenkliges Trapez; Parallelogramm, Pyramide)
Mit den Dreiecken aus dem Quadrat lassen sich weitere geometrische Figuren legen. Man muss
dabei beachten, dass immer gleichlange Kanten aneinander liegen. Aus zwei Dreiecken lässt sich
natürlich wieder das Quadrat legen. Man findet aber auch ein großes Dreieck mit den gleichen
Eigenschaften wie in den Teildreiecken (rechter Winkel, gleichlange Schenkel). Und es lässt sich ein
Parallelogramm aus den beiden Dreiecken legen. Markiert man die rechten Winkel in den beiden
Teildreiecken, lässt sich gut beobachten, wo sich diese in den zusammengesetzten Figuren
wiederfinden lassen. Die drei Figuren (Quadrat, Dreieck, Parallelogramm) haben die gleiche
Flächengröße. Untersucht man den Umfang der Figuren, stellt man Unterschiede fest – je nachdem
wie oft die ursprünglichen Quadratseiten (Schenkel des Dreiecks) oder die lange Seite des Dreiecks
(Diagonale des Quadrats) die Seiten der zusammengesetzten Figuren bilden. Es lässt sich also
feststellen: Figuren mit gleicher Fläche können sich im Umfang voneinander unterscheiden.
Zerschneidet man ein Quadrat in vier gleichgroße Dreiecke und legt mit diesen geometrische Figuren
gibt es noch mehr Möglichkeiten. Zu den drei schon entdeckten Figuren (Quadrat, Dreieck und
Parallelogramm) kommen zwei kleine Quadrate hinzu, aus denen sich ein Rechteck legen lässt. Wenn
man das Parallelogramm entdeckt hat und verändert die Lage eines Dreiecks, entsteht ein
gleichschenkliges Trapez. Und es sind die verschiedensten Phantasiefiguren möglich.
Schneidet man das in vier Dreiecke zerlegte Quadrat nicht auseinander, sondern nur an einem
Dreieckschenkel bis zur Mitte ein und legt die beiden Dreiecksflächen an der offenen Schnittkante
aufeinander, entsteht eine (dreiseitige) Pyramide (genau: Mantel einer Pyramide).
Sequenz 3: Geodreieck (Form aus Papier herstellen, Eigenschaften erkunden, parallele und senkrechte
Linien falten, parallele und senkrechte Geraden zeichnen, Entdeckungen auf das „große“ Geodreieck
übertragen)
Gewinnbringend für den Geometrieunterricht ist die Thematisierung des Dreiecks aus dem Quadrat
noch aus einer anderen Sicht: Auch das Geometriedreieck hat diese Form (gleichschenklig und
rechtwinklig). Das Zeichnen mit dem Geometriedreieck kann man mit einem einmal (in zwei
übereinander liegende Dreiecke) gefalteten Papierquadrat beginnen. Die beiden übereinander
liegenden Dreiecke können zusammengeklebt werden und man entwickelt selbst ein „kleines
Geometriedreieck“. Das Geometriedreieck wird über seine spezielle Form eingeführt: Ein Dreieck mit
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zwei gleichlangen Schenkeln und einer langen Seite (Diagonale vom Quadrat), in der Spitze ein
rechter Winkel. Diese Dreieckform kann man immer so falten, dass zwei gleiche Hälften
aufeinanderliegen. Das Dreieck hat also immer eine Mittellinie (Symmetrieachse, Spiegelachse). Die
Mittellinie führt senkrecht von der Spitze zur langen Seite. Wenn man die gefaltete Mittellinie genau
auf eine Gerade oder Strecke auflegt und an der langen Kante (der Zeichenkante) entlang zeichnet,
entsteht immer eine senkrechte Linie (Gerade). Deshalb ist diese Mittellinie beim Zeichnen mit dem
Geodreieck so wichtig. Faltet man die Spitze des kleinen Geodreiecks bis dahin, wo die Mittellinie die
lange Seite berührt, entsteht die zweite wichtige Linie – eine Linie, die parallel zur Zeichenkante
verläuft. Legt man diese Faltlinie auf eine Gerade oder Strecke auf und zeichnet entlang der
Zeichenkante, entstehen parallele Geraden und Strecken. Mit Hilfe der beiden Faltlinien lassen sich
Parallelen, Senkrechte und Rechtecke zeichnen. Das Messen kann noch außen vor bleiben. Die
Eigenschaften und wichtigen Linien zum Zeichnen, die im „kleinen Geometriedreieck“ entdeckt
werden, können auf das Zeichengerät „Geodreieck“ sofort oder später übertragen werden. Schon,
wenn man das Papierzeichendreieck auf das große Geodreieck drauflegt, lässt sich entdecken, dass
dies ähnliche Figuren sind. Für das „kleine Geometriedreieck“, das die ersten Zeichenschritte
begleiten kann, sollte man etwas derberes Papier verwenden.
Modul 8: Dreiecke mit drei gleichlangen Seiten – gleichseitige Dreiecke
Sequenz 1: gleichseitige Dreiecke; Linien im Dreieck; Symmetrien
Wiederholend könnte auf verschiedene Dreiecksarten eingegangen werden: irgendein
Dreieck mit drei Ecken und drei Seiten. Ein Dreieck könnte man ausgehend von einer
rechtwinkligen Ecke zeichnen. Dann wird es ein rechtwinkliges Dreieck. Denkt man
ausgehend von einer Strecke AB und nutzt den Zirkel, finden wir Dreiecke mit zwei und
solche mit drei gleichlangen Seiten, also gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke. Über
die Mittellinie eines quadratischen Papiers lassen sich diese besonderen Dreiecke auch
falten (s. auch Module 3 und 7).
Werden gleichschenklige oder gleichseitige Dreiecke gefaltet, findet man schon im
Herstellungsprozess die Mittellinien bzw. Symmetrieachsen dieser besonderen Dreiecke.
Beim gleichschenkligen Dreieck ist schon die erste Faltlinie, die Mittellinie des quadratischen
Papiers, die Symmetrieachse und beim gleichseitigen Dreieck lassen sich über das
sogenannte „Tütenmodell“ (s. Abb. in Modul 8) alle drei Symmetrieachsen falten. Nachdem
das gleichseitige Dreieck ausgeschnitten wurde, können diese noch einmal entdeckt und
nachgezeichnet werden. Fortgeschrittene Schülerinnen und Schüler können Eckpunkte und
Seiten der Dreiecke beschriften. Dann kann die Lage der Symmetrieachsen noch bewusster
werden: Die Achsen gehen immer von den Seitenmitten zum gegenüberliegenden Eckpunkt,
also von Seite c zum Eckpunkt C usf.
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Sequenz 2: Beziehungen zu anderen Figuren (Sechseck, Raute, Trapez, Würfel); Parkettieren;
räumliche Darstellungen
Wie schon das rechtwinklig-gleichschenklige Dreieck eignet sich auch das gleichseitige
Dreieck zum Legen zusammengesetzter Figuren bis hin zu parkettartigen Darstellungen. Die
Kinder können entdecken, dass zwei gleichseitige Dreiecke aneinander gelegt ein
besonderes Parallelogramm, die Raute, ergeben und evtl. auch begründen, dass die
gleichlangen Seiten des Dreiecks auch zu einem Viereck mit gleichlangen Seiten führen. Zwei
solche Rauten aneinander gepackt, führen zum Parallelogramm. Drei Dreiecke aneinander
gelegt, ergeben ein gleichschenkliges Trapez. Wie die Dreiecke aneinander liegen, damit
diese Trapezform entsteht, kann man sich einprägen. Auf dieser Grundlage lassen sich
sowohl das regelmäßige Sechseck vorstellen (zwei solche Trapeze aneinander) und das große
Dreieck (einfach noch ein Dreieck auf das Trapez gesetzt), das wieder ein gleichseitiges ist.
Nicht nur das Aneinanderlegen von gleichseitigen Dreiecken führt zu interessanten
Einsichten, auch das Falten des Dreiecks so, dass Teilfiguren entstehen, führt zu
Entdeckungen, z. B. dass wieder (kleinere) gleichseitige Dreiecke entstehen. Die engen
Beziehungen zwischen gleichseitigem Dreieck und regelmäßigem Sechseck (wenn man die
Ecken des Dreiecks zur Mitte faltet und dann wieder drei Seiten zur Mitte) werden auch hier
deutlich. Fortgeschrittene Kinder kann man darauf hinweisen, dass gleichseitige Dreiecke
eine Mitte haben und davon ausgehend ein Kreis in das Dreieck (Inkreis) und ein Kreis um
das Dreieck (Umkreis) gezeichnet werden kann. Ein Verweis auf Parallelen zum Quadrat ist
möglich. Das Quadrat als Viereck mit gleichlangen Seiten und gleichgroßen Winkeln hat
diese Mitte als Ausgangspunkt für die beiden Kreise auch.
Die Beziehung zwischen gleichseitigem Dreieck und regelmäßigem Sechseck könnte auch
zum Kreis führen. Der Radius passt sechsmal auf die Kreislinie und man erzeugt damit die
Eckpunkte für ein regelmäßiges Sechseck. Nutzt man jeden zweiten Punkt, lässt sich ein
gleichseitiges Dreieck in den Kreis setzen. Zeichnet man in das Sechseck die
Verbindungslinien zu den Ecken, die Diagonalen, ein, entdeckt man sechs gleichseitige
Dreiecke. Verbindet man gedanklich immer zwei dieser Dreiecke, erkennt man Rauten.
Schraffiert man aneinander liegende Rauten jeweils unterschiedlich, entsteht die Ansicht
eines Würfels.
Sequenz 3: Pyramide (Tetraeder, Platonische Körper)
Ausgehend vom gleichseitigen Dreieck kann durch verschiedene Falttechniken ein Tetraeder,
eine besondere dreiseitige Pyramide, erzeugt werden. Ein gleichseitiges Dreieck aus Papier
mit den drei Symmetrieachsen kann eine Grundlage dafür sein. Die Ecken des Dreiecks
werden jeweils zum Fußpunkt der Pyramide gefaltet und die entstehenden kleinen
gleichseitigen Dreiecke aufgestellt, so dass ein Tetraeder entsteht. Der Tetraeder besteht aus
vier deckungsgleichen gleichseitigen Dreiecken und gehört deshalb zur Gruppe der
platonischen Körper. Bei platonischen Körpern sind jeweils alle Flächen kongruent
(deckungsgleich) zueinander. Auch der Würfel gehört also in diese Gruppe. Der Tetraeder
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lässt sich (von älteren Schülerinnen und Schülern) noch stabiler aus einem rechteckigen
Papier in einem DIN-Format herstellen. Das Papier wird zu einem „Schrank“ gefaltet und
eine der beiden unteren Ecken zur Mitte des Schrankes hochgefaltet. War dies zum Beispiel
die rechte Ecke wird das entstandene halbe gleichseitige Dreieck zuerst auf die rechte Kante
des Schrankes gefaltet, dann auf die linke Kante und abschließend noch einmal nach rechts.
Es entstehen dabei gleichseitige Dreiecke. Ein kleines Stück Papier steht dann noch über.
Wenn man die Dreiecke jetzt aufstellt, lassen sie sich zu einem Tetraeder zusammen fügen,
mit etwas Geschick auch zusammenstecken (restliches Papierstück in das erste halbe
gleichseitige Dreieck schieben, s. auch Abbildungen zum Modul).
Modul 9: Geometrische Körper – ganzheitlicher Einstieg
Sequenz 1: Geometrische Körper – Figuren mit Volumen (Wie man aus Flächen Körper baut)
Wir legen eine Fläche vor uns hin (einen Kreis, ein Rechteck, ein Quadrat, ein Dreieck) und
stellen uns vor, darauf einen Körper zu bauen. Wir überlegen: Was könnte es für ein Körper
werden?
Vor uns liegt ein Kreis … Es lässt sich ein Körper bauen, indem man immer wieder gleich
große Kreise darauf legt. Durch den Kreis als Grundfigur entsteht ein Körper mit einer
runden Seitenfläche, mach sagt auch, die Fläche (der Mantel) ist gekrümmt. Der Körper
erinnert uns an eine Säule oder an den oberen Teil eines Hutes, den Herren bei festlichen
Anlässen trugen, einen Zylinder. Legen wir den Körper auf diese gekrümmte Fläche, dann
rollt der Körper. Schichten wir auf die Kreisfläche immer kleiner werdende Kreise bis nur
noch ein Punkt übrig ist, erhalten wir einen Körper mit einer Spitze, einen Kegel. Der Kegel
hat auch einen gekrümmten Mantel.
Schichten wir auf die Kreisfläche immer kleiner werdende Kreise, kann auch eine Halbkugel
entstehen. Fügen wir zwei gleichgroße Halbkugeln an den zugrunde liegenden Kreisflächen
zusammen, entsteht eine Kugel. Dabei darf der Raum nie größer werden, wie mit dem
Radius erreichbar. Das Entstehen der Halbkugel kann man sich auch vorstellen durch die
Rotation des Radius (eines Seils) um den Mittelpunkt der Kugel bzw. den Mittelpunkt der
Kreisfläche, auf dem die Halbkugel sitzt.
Vor uns liegen ein Rechteck, ein Quadrat, ein Dreieck ein Sechseck, ein Achteck ... Es lassen
sich Körper bauen, indem man immer wieder gleich große Figuren darauf (senkrecht)
stapelt. Auf diese Weise werden die Flächen an den Seiten immer rechteckig. Es entstehen
Säulen mit Kanten (Prisma/Prismen). Vor uns liegt ein Quadrat und wir bauen den Körper
nur so hoch wie die Quadratseiten lang sind, dann heißt die Säule (das Prisma) Würfel.
Vor uns liegen ein Rechteck, ein Quadrat, ein Dreieck ein Sechseck, ein Achteck … Wir
schichten Rechtecke, Quadrate, Dreiecke, Sechsecke, Achtecke, … auf, die immer kleiner
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werden, so, dass ganz oben eine Spitze entsteht. Es entstehen Pyramiden. Die Seitenflächen
sind Dreiecke.
Sequenz 2: Eigenschaften entdecken durch Kneten und Skizzieren
Körper aus Knetmasse herstellen: Kugel, Kegel, Zylinder. Die Kugel könnte halbiert werden,
so, dass Halbkugeln entstehen. Interessant wäre sicherlich auch an verschiedenen Stellen
der Kugel Teile abzuschneiden, so, dass man erkennt, die Schnittflächen sind immer Kreise.
Schnittflächen ließen sich ebenso bei Kegel und Zylinder untersuchen. Schneidet man
parallel zu den Kreisflächen, findet man immer wieder Kreise als Schnittflächen. Schneidet
man senkrecht dazu, findet man beim Zylinder Rechtecke und beim Kegel Dreiecke. Welche
Schnittflächen entstehen, sollte man vorher vermuten lassen. Den Schülerinnen und
Schülern sollte die Wahl gelassen werden, welche Prismen sie herstellen möchten. Betont
werden sollte die rechteckige Form der Seitenflächen bei dieser Körpergruppe.
Körper skizzieren: Körper umschließen einen Raum. Wenn man sie auf’s Papier (auf eine
Fläche) zeichnet, muss man die Flächen oft etwas verändern. Kreise werden z. B. wie ein
Oval (eine Ellipse) gezeichnet. Skizzen von Kugel, Halbkugel, Zylinder und Kegel vorgeben
und nachzeichnen lassen, evtl. auch erst direkt auf der Vorlage mit dem Stift nachfahren. Die
Körper noch einmal benennen. Die Begriffe den Skizzen zuordnen und notieren. Bei Körpern
mit rechteckigen Seitenflächen (Prismen mit Vielecken als Grundfläche einschließlich Würfel
und Quader) könnte ähnlich vorgegangen werden. Schon bekannte Begriffe für die einzelnen
Körper sollten auch hier zugeordnet werden.
Sequenz 3: Eigenschaften entdecken durch Falten
„Schnelle“ Körper aus Papier falten/rollen: Der Zylinder wird aus rechteckigem Papier gerollt
Der Kegel kann aus einer Kreisfläche, aus der ein Viertel ausgeschnitten wird, hergestellt
werden. Durch diese Körpermodelle findet man (später) den Bezug zu Körpernetzen. Aus
einem rechteckigem Papier, das zu einem „Schrank“ gefaltet wird, kann ein Quader (eine
quadratische Säule, ein vierseitiges Prisma) oder ein dreiseitiges Prisma, eine dreiseitige
Säule (wenn zwei Flächen übereinander gelegt werden) angedeutet werden. Es könnte
weiterhin rechteckiges Papier mehrfach in gleiche Teile gefaltet und zu einem Prisma mit
vieleckiger Grundfläche aufgestellt werden. Hierdurch werden insbesondere die
rechteckigen Seitenflächen deutlich. Eine dreiseitige Pyramide und ein Würfel kann mit
einem quadratischen Papier angedeutet werden: Für die Pyramide die Diagonalen falten und
entlang einer Diagonalen bis zur Mitte einschneiden. Die zwei am Einschnitt angrenzenden
Flächen aufeinander legen (kleben) und die Pyramide aufstellen. Für den Würfel die
Mittellinien des Quadrates bei zwei Papierquadraten falten und jeweils entlang einer
Mittellinie bis zur Mitte einschneiden. Die beiden kleinen Quadratflächen an der
Schnittkante jeweils aufeinander legen (kleben) und die beiden auf diese Weise
entstandenen Würfelhälften aufeinander legen. Eine dreiseitige regelmäßige Pyramide (ein
Tetraeder) kann aus einem gleichseitigen Dreieck gefaltet werden (s. Modul 8) oder aus
einer kleinen Papierrolle, die breiter als lang ist. In diesem Fall faltet und klebt man die eine
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runde Öffnung senkrecht zur Tischplatte zusammen und die andere runde Öffnung
waagrecht dazu. Man erhält die ungefähre Form eines Tetraeders.
Modul 10: Spitzkörper
Sequenz 1: Spitzkörper
Körper mit einer Spitze kann man auch Spitzkörper nennen. Die Grundfläche kann ein Kreis
oder ein Vieleck (Dreieck, Quadrat, Rechteck, Fünfeck, Sechseck, …) sein. Ist die Grundfläche
ein Kreis, dann ist die Seitenfläche gekrümmt. Die Spitzkörper heißen Kegel. Ist die
Grundfläche ein Vieleck, dann sind es Kanten, die ausgehend von den Ecken zur Spitze
führen. Die Seitenflächen, die entstehen, sind immer Dreiecke. Diese Spitzkörper heißen
Pyramiden.
Sequenz 2: Kegel
Die Spitzkörper mit runder Grundfläche und gekrümmter Seitenfläche heißen Kegel.
Kegelformen sind vielfach in unserer Umwelt zu finden. So sind z. B. Turmspitzen häufig
kegelförmig. Wenn wir einen Bleistift spitzen, erzeugen wir in der Regel eine Kegelform.
Denken wir uns die Kegelspitze nach unten, erinnert uns die Form an eine
Schuleinführungstüte oder an eine Eistüte. Die Kegelform kann man mit einem Papierkreis,
aus dem man z. B. ein Viertel herausschneidet, erzeugen. An den Schnittkanten fügt man
den Dreiviertelkreis zusammen. Das Netz des Kegels ergibt sich aus diesem Dreiviertelkreis
und dem Kreis für die Grundfläche. Je nachdem, wie der Papierkegel hergestellt wird, ist er
höher oder flacher. Die Höhe des Kegels kann man durch ein Holzstäbchen, das durch die
Spitze senkrecht zum Boden (genau zum Mittelpunkt der Grundfläche) führt, markieren und
messen.
Sequenz 3: Pyramiden
Spitzkörper mit einer eckigen Grundfläche sind Pyramiden. Die Grundfläche kann ein
beliebiges Vieleck sein, die Seitenflächen sind immer Dreiecke. Ist die Grundfläche ein
Dreieck, führen drei dreieckige Seitenflächen zur Spitze. Ist die Grundfläche ein Viereck, gibt
es vier dreieckige Seitenflächen usf. Die Dreiecke sind gleichschenklig, im Sonderfall sogar
gleichseitig. Bei der Pyramide, die Tetraeder heißt, ist die Grundfläche ein gleichseitiges
Dreieck und die Seitenflächen sind auch gleichseitige Dreiecke. Bei dieser Pyramide sind alle
Kanten gleich lang. Sie gehört deshalb auch in die Gruppe der platonischen Körper (zu Ehren
Platos so benannt). Pyramiden findet man als Turmspitzen. Am bekanntesten sind die
Pyramiden mit quadratischer Grundfläche in Gizeh in Ägypten. Am einfachsten lässt sich eine
dreiseitige Pyramide aus Papier bauen. Faltet man in ein Papierquadrat die Diagonalen und
schneidet an einer Diagonalen bis zur Mitte ein und legt (klebt) die beiden angrenzenden
Flächen aufeinander, entsteht eine Raumecke oder die Hülle einer dreiseitigen Pyramide.
Soll ein Tetraeder entstehen, faltet man in ein gleichseitiges Papierdreieck die
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Symmetrieachsen und faltet die Ecken jeweils zum Fußpunkt der Achsen und wieder zurück.
Im Anschluss kann man die entstehenden dreieckigen Seitenflächen aufstellen und die
Kanten mit etwas Tesafilm zusammenfügen. Lässt man die Flächen in der Ebene, entsteht
das Netz einer dreiseitigen Pyramide. Denkt man sich bei dem Netz einer Pyramide die
Seitenflächen immer der jeweiligen Flächenseite der Grundfläche zugehörig, haben die
Pyramidennetze die Form eines Sterns. Es kann reizvoll sein, weitere Pyramidennetze zu
entdecken, z. B. bei einer Pyramide mit quadratischen Grundfläche mit dem sogenannten
Polydronmaterial.
Modul 11: Säulen
Sequenz 1: Säulen
Bei Säulen sind Grund- und Deckfläche gleich. Weil sie genau aufeinander passen, sagt man
auch, die beiden Flächen sind deckungsgleich. Grund- und Deckfläche können gleichgroße
Kreise oder gleichgroße Vielecke sein. Sind Grund- und Deckfläche Kreise, entsteht eine
gekrümmte Seitenfläche. Die so entstehenden Körper heißen Zylinder. Sind Grund- und
Deckfläche Vielecke, sind die Seitenflächen Rechtecke. Es handelt sich um ein Prisma bzw.
um Prismen. Säulen bzw. Säulenhüllen kann man leicht aus DIN-Formaten, die in gleich
große Streifen gefaltet werden, herstellen.
Sequenz 2: Zylinder
Grund- und Deckfläche sind deckungsgleiche Kreise. Die Seitenfläche ist eine gekrümmte
Fläche. Zylinderformen gehören zu den häufigsten Umweltformen: Rohre, Leitungen, Stuhlund Tischbeine sind zylinderförmig. Flaschen repräsentieren in der Regel die Zylinderform,
Stifte, Füller, Mäppchen ebenso. Bei den Lebensmitteln könnte man sich umschauen usf.
Rollt man einen Zylinder durch Sand, entsteht eine Rechteckform. Diese Form weist auf das
Netz des Zylinders hin: Wenn man bei einem Papierzylinder die gekrümmte Seitenfläche mit
einem geraden Schnitt in Längsrichtung aufschneidet und die beiden Kreise so abschneidet,
dass sie nur noch mit einem Punkt mit der Seitenfläche verbunden sind, entsteht das Netz
eines Zylinders, ein Rechteck flankiert von zwei Kreisflächen. Der Zylinder lässt sich mit
Papierrollen andeuten. Man kann auf unterschiedliche Höhen von Zylinderformen
verweisen, z. B. auch auf extrem flache Formen.
Sequenz 3: Prismen bzw. Säulen mit eckigen Grundflächen
Um diese Körpergruppe sauber vorzustellen, müsste der Begriff „Prisma“ bzw. die Mehrzahl
„Prismen“ genutzt werden. Die beiden Begriffe sind nicht mit Spracherfahrungen der
Grundschulkinder verbunden, deshalb dem Wortschatz nicht leicht zugänglich und wohl
eher etwas für leistungsstarke Kinder. Man könnte also auch bei dem Begriff Säule mit
eckigen Grundflächen bleiben (Durch den Zusatz allerdings auch nicht ganz einfach.). Gelingt
es mit dieser Körpergruppe zu arbeiten, hätte allerdings auch der Quader eine Heimstatt und
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wäre kein exotisches Einzelstück mehr. Prismen sind Körper, bei denen Grund- und
Deckfläche gleichgroß (deckungsgleiche Vielecke) sind. Die Grundfläche kann man sich
senkrecht aufgeschichtet vorstellen, dadurch sind die Seitenflächen bei dieser Körpergruppe
Rechtecke. Allerdings wird das bei den Körpern in der Umwelt nicht immer so deutlich. Das
dreiseitige Prisma, die allgegenwärtige Dachform, liegt auf einer Seitenfläche. Die
dreieckigen Grund- und Deckflächen bilden die Stirnseiten des Daches. Die am häufigsten
betrachteten Prismen in der Grundschule sind Quader und Würfel. Beim Quader ist die
Grundfläche ein rechtwinkliges Viereck. In dem Begriff „Quader“ steckt „quadrum“,
viereckig. Die Seitenflächen sind Rechtecke. Die Anzahl der Seitenflächen ist abhängig von
der Anzahl der Ecken der Grundfläche. Beim Quader ergeben sich also vier Rechtecke als
Seitenflächen, bei der Dach- oder Tobleroneform, bei denen die Grundfläche ein Dreieck ist,
sind es demzufolge drei Seitenflächen. Es könnte hilfreich sein, die Prismen mit einem
besonders engen Umweltbezug zu erarbeiten, das sechsseitige Prisma in Verbindung mit der
recht häufigen Schachtelform bei Pralinen, das dreiseitige Prisma wie schon erwähnt mit
dem Bezug zur Dach- und Tobleroneform, das vierseitige Prisma (Quader) mit Bezug zu
Behältnissen bzw. Gebäuden mit viereckiger Grundfläche.
Der Würfel könnte in diesem Zusammenhang als Sonderform des Quaders betrachtet
werden. Die Grundfläche ist ein Quadrat. Die Höhe der rechteckigen Seitenflächen
entspricht der Kantenlänge der Grundfläche. Grund- und Deckfläche sowie die vier
Seitenflächen sind demzufolge gleichgroße Quadrate. Es gibt 11 verschiedene Möglichkeiten
die sechs Quadrate als Netz in die Ebene zu legen. Zunächst können von den Kindern
Würfelnetze entdeckt werden. Es lassen sich diese im Anschluss ordnen als Netze mit vier
Quadraten in der Mitte (sechs Varianten), drei Quadraten in der Mitte (vier Quadraten in der
Mitte) und zwei Quadraten in der Mitte (eine Variante). Wenn man für die
leistungsstärkeren Kinder auf noch mehr Systematik verweisen möchte, kann man mit der
Anordnung mit vier Quadraten in der Mitte und einem Quadrat links und rechts oben
beginnen und dann zunächst ein seitliches Quadrat schrittweise nach unten verschieben. Für
die letzten beiden Varianten legt man das typische Würfelnetz und schiebt ein Quadrat nach
unten. Die Dreiervarianten haben wir als Polizisten, der den Verkehr regelt, interpretiert, mit
erhobenem Arm einmal ganz ausgestreckt mit drei Quadraten oder mit zwei Quadraten. Bei
letzterer Variante kann man das Quadrat auf der rechten Seite dreimal verschieben
Exkurs Platonische Körper: Die typische Eigenschaft von Spielwürfeln ist die gleiche
Kantenlänge. Dadurch hat jede Fläche die gleiche Chance beim Würfeln oben zu liegen. In
der Gruppe der platonischen Körper sind alle Körper mit dieser Eigenschaft
zusammengefasst Zu den platonischen Körpern gehören unser bekannter Spielwürfel, der
Hexaeder; ein Achtflächner, der Oktaeder, ein Zwölfflächner, der Dodekaeder und ein
Zwanzigflächner, der Isokaeder.
Exkurs Kugel: Die Kugel ist ein Körper mit einer völlig regelmäßig gekrümmten Oberfläche
ohne Ecken und Kanten. Spezielle Aussagen zur Kugel außer, dass sie rund ist und wie ein
Ball aussieht, sind für Grundschulkinder nur schwer zu entdecken und zu formulieren. Alle
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Punkte auf der Kugeloberfläche sind von einem gedachten Punkt im Inneren, der Kugelmitte,
gleich weit entfernt. Dies könnte man mit einem schon in Modul 9 erwähntem Fadenmodell
bewusst machen. Greifbarer für Grundschulkinder ist sicherlich die Vorstellung, dass es
durch die durchgängige Krümmung der Kugeloberfläche kein Netz von der Kugel gibt. Man
kann die Oberfläche nicht völlig flach in die Ebene legen. Dies kann z. B. mit
Mandarinenschalen nachempfunden werden.
Modul 12: Tangram
Sequenz 1: Begriff Tangram und Faltmodelle
Das Tangram, ein altes chinesisches Legespiel, wurde ursprünglich im Sinne von
„Behausung“ verwendet. Aus den ersten Tangrambüchern sind entsprechende Bilder
überliefert. Das Tangram besteht aus sieben Teilfiguren, die durch das Zerlegen eines
Quadrates erhalten werden: Fünf gleichschenklige rechtwinklige Dreiecke, ein Quadrat und
ein Parallelogramm.
Sequenz 2: Teilfiguren und ihre Eigenschaften
Legt man die fünf Dreiecke geordnet untereinander, ist die gleiche Form dieser Figuren zu
erkennen (Alle Dreiecke sind ähnlich zueinander.). Die Dreiecke haben die typische Form der
Dreiecke im Quadrat: Sie sind gleichschenklig und der größte Winkel („der an der Spitze“) ist
ein rechter Winkel. Die beiden restlichen Figuren, Quadrat und Parallelogramm, lassen sich
in zwei solcher Dreiecke zerlegen. Mit der kleinsten Dreieckform lassen sich alle Figuren,
auch das mittlere und die größeren Dreiecke, auslegen. Quadrat und Parallelogramm kann
man passend auf die großen Dreiecke legen und umfahren. Zwei kleine Dreiecke bleiben
übrig. Alle Figuren sind also miteinander verwandt. Für ältere Schülerinnen und Schüler
lassen sich Flächenbeziehungen der Teile zueinander auch durch Bruchbeziehungen
ausdrücken: Die beiden großen Dreiecke machen
1
1
4
der Gesamtfläche aus, das mittlere
1
Dreieck und die beiden Vierecke jeweils 8 und die beiden kleinen Dreiecke je 16.
Sequenz 3: Legeaktivitäten
Aus den Tangramteilen lassen sich zwei gleichgroße Quadrate legen. Eines davon erhält man,
wenn man die beiden großen Dreiecke entsprechend zusammenfügt. Das andere entsteht
aus den restlichen fünf Teilen. Das Zusammenlegen dieses Quadrates ist schon recht knifflig.
Schafft man dies, lassen sich weitere geometrische Formen mit diesen beiden Quadraten
legen, ein Rechteck, ein großes gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck und ein
gleichschenkliges (symmetrisches) Trapez.
Während für das Legen geometrischer Figuren die Regel „gleichlange Seiten müssen genau
aneinander liegen“ gilt, kann diese Regel beim Legen von Phantasiefiguren verlassen
17
werden. Das Besondere beim Tangramlegespiel ist sicherlich, dass auch Figuren in Bewegung
gelegt werden können.
18
Modul 13: Figuren mit vielen Ecken
Sequenz 1: Vielecke – Figuren mit vielen Ecken
Es könnten fünf oder sechs Punkte so auf ein Zeichenblatt gesetzt werden, dass man sich
vorstellen kann, beim Verbinden der Punkte eine geschlossene Figur – ein Vieleck – zu
erzeugen. Die Punkte werden mit Großbuchstaben in alphabetischer Folge beschriftet und
so auch der Reihe nach verbunden. Dieser Einstieg in die Vielecke hat den Vorteil, dass der
Blick nicht sofort auf die regelmäßigen Vielecke fällt. Die entstehenden unregelmäßigen
Vielecke werden nach der Anzahl ihrer Punkte bzw. Seiten benannt. Eine gute Ergänzung
zum Skizzieren ist das Erzeugen unregelmäßiger Vielecke mit GeoGebraPrim (Button „starre
Vielecke“).
Der Einstieg in die regelmäßigen Vielecke könnte mit dem Quadrat erfolgen. Dieses Vieleck
gehört zwar vordergründig in die Familie der Vierecke, ist aber eben auch ein für die
Grundschulkinder bekanntes regelmäßiges Vieleck und repräsentiert damit auch die
Eigenschaften dieser Figurengruppe. Die Seiten sind gleichlang. Die Winkel sind gleichgroß.
Die Anzahl der Symmetrieachsen entspricht der Anzahl der Ecken. Dort, wo sich die
Symmetrieachsen schneiden, findet man den Mittelpunkt für den Inkreis und den Umkreis.
Schließlich kann schon an dieser Stelle die Beziehung von Vielecken zum Kreis deutlich
werden. Wenn man einen Papierkreis viertelt, erhält man vier Punkte auf der Kreislinie, die
miteinander verbunden, ein Quadrat ergeben. Diese Erzeugungsweise führt zu vier
gleichschenkligen Dreiecken, in die sich das Quadrat zerlegen lässt. Es ist möglich, den Blick
auch auf die Figur als Grundfläche für einen geometrischen Körper zu lenken. Auf einem
Quadrat als Grundfläche kann ein Prisma (Quader oder Würfel) oder eine Pyramide
entstehen.
Sequenz 2: Regelmäßiges Sechseck
Die Eigenschaften für das regelmäßige Sechseck lassen sich ausgehend vom Quadrat
ermitteln: Die sechs Seiten sind gleichlang, die sechs Winkel sind gleichgroß. Das Sechseck
hat sechs Symmetrieachsen, drei durch die Ecken und drei durch die Seitenmitten. Diese
sechs Achsen zu falten, ist anspruchsvoll für Grundschulkinder. Wenn man einen Kreis in
Sechstel einteilt (Der Radius passt sechsmal in den Kreis.) und die entstehenden Randpunkte
miteinander verbindet, entsteht ein regelmäßiges Sechseck. Zeichnet man mit dem gleichen
Radius weiter, indem man Kreisbögen von den erhaltenen Punkten aus durch die Kreismitte
führt, entsteht eines der bekanntesten Kreismuster (s. Folie 9). Die Konstruktion kann man
etwas abkürzen, wenn man beim Zeichnen mit dem Durchmesser beginnt (s. Folie 10). Ein
Sechseck kann man auch aus einem gleichseitigen Dreieck erzeugen, indem man die Ecken
zur Mitte faltet. Ebenso wäre es möglich, einen Papierkreis in Zwölftel einzuteilen (s.
Anleitung auf Folie 11) und dann jeden zweiten Punkt miteinander zu verbinden. Durch das
Einzeichnen der drei Symmetrieachsen, die durch die Ecken gehen, wird das Sechseck in
sechs gleichseitige Dreiecke zerlegt. Zwei dieser Dreiecke lassen sich zusammenfügen zu
einem Parallelogramm mit gleichlangen Seiten, also einer Raute und mit drei Dreiecken lässt
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sich ein symmetrisches Trapez legen. Färbt bzw. schraffiert man die drei Rauten
unterschiedlich, entsteht der Eindruck von einer räumlichen Figur, einem Würfel. Das
Sechseck und seine Teile eignen sich hervorragend zum Parkettieren (s. Form der
Bienenwaben). Man sagt auch, mit Sechsecken kann die Ebene am dichtesten gepackt
werden. Sechseck kann Grundfläche für ein Prisma oder eine Pyramide (einschließlich
Pyramidenstumpf) sein. Wenn man die Figur skizzieren will, kann man sich zwei an den
Grundseiten aneinandergelegte symmetrische Trapeze vorstellen. Es ist lohnenswert
Sechseckflächen in Natur und Technik nachzugehen.
Sequenz 3: Regelmäßiges Achteck und regelmäßiges Fünfeck
Das regelmäßige Achteck lässt sich sowohl aus einem Kreis als auch aus einem Quadrat
falten. Das Falten aus einem Kreis (einen Kreis achteln) ist sicherlich für Grundschulkinder
die einfachere Variante. Das Konstruieren eines Achtecks im Zusammenhang mit
Achsenkreuz, Kreis und Quadrat ist eine besondere Herausforderung für leistungsstarke
Kinder. Die Eigenschaften, acht gleichlange Seiten, acht gleichgroße Winkel, acht
gleichschenklige Dreiecke lassen sich gut entdecken. Die acht Symmetrieachsen zu finden, ist
schon recht anspruchsvoll und kann als Aufgabe zur Differenzierung eingesetzt werden.
Interessant ist sicherlich auch die Entdeckung, dass gleichgroße Achtecke aneinandergelegt,
die Ebene beim Parkettieren nicht vollständig ausfüllen. Es bleiben Lücken in Form
gleichgroßer Quadrate. Stellt man sich das Achteck als Grundfläche für geometrische Körper
vor, führt diese Vorstellung wiederum zu Prisma und Pyramide.
Das regelmäßige Fünfeck lässt sich aus einem Streifen knoten. Dies hat allerdings den
Nachteil, dass die Papierfigur oft nicht regelmäßig ist. Eigenschaften analog zu den anderen
Vielecken lassen sich allerdings entdecken: fünf gleichlange Seiten, fünf gleichgroße Winkel,
fünf gleichschenklige Dreiecke (die Ecken mit der Mitte verbinden) und fünf
Symmetrieachsen (wegen der ungeraden Eckenzahl immer eine Ecke mit der
gegenüberliegenden Seitenmitte verbinden). Interessant sind beim regelmäßigen Fünfeck
die Diagonalen, die einen Stern ergeben (auch bekannt als Pentagramm oder Drudenfuß –
das Zeichen des Geheimbundes der Pythagoreer). Auch das Fünfeck könnte Grundfläche
eines Prismas oder einer Pyramide sein.
Vielecke lassen sich einfach mit der Software GeoGebraPrim erzeugen (Button „Vielecke“).
Es können weitere regelmäßige Vielecke erzeugt werden, z. B. ein regelmäßiges Siebeneck
oder Neuneck. Auch Arbeitsblätter sind gut zu erstellen.
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Modul 14: Symmetrie
Sequenz 1: Symmetrische Figuren
Die Symmetrie in Figuren spielt in den Modulen einzelnen Figuren und Figurengruppen
immer wieder eine Rolle. Im Modul 14 werden Kenntnisse zur Symmetrie wiederholt,
gefestigt und erweitert.
Figuren, bei denen man gleiche Hälften beim Falten aufeinander klappen kann, so, dass sich
einander entsprechende Punkte und Geraden genau aufeinanderliegen, sind „symmetrisch“
oder genauer gesagt „achsensymmetrisch“.
Es wäre denkbar zum Einstieg in das Themengebiet die Figuren, die schon bekannt sind,
hinsichtlich der Achsensymmetrie zu untersuchen. Um mit möglichst zahlreichen Figuren
arbeiten zu können, ist das Skizzieren sinnvoll (Skizziere geometrische Figuren und zeichne
Symmetrieachsen ein.). Ein Begriff für junge Grundschulkinder, der an dieses Gebiet
heranführen kann, ist „Mittellinien“. Diesen Begriff können die Kinder zunächst besser mit
ihren Vorstellungen verbinden. Allerdings haben es die exakten Begriffe (Symmetrieachse
bzw. Spiegelachse) dann etwas schwerer in den aktiven Wortschatz aufgenommen zu
werden.
Das Arbeiten mit Papier ergänzt bzw. festigt die Entdeckungen in den Skizzen. In den
Dreiecken kann man eine (gleichschenklige Dreiecke) oder drei Symmetrieachsen
(gleichseitige Dreiecke) entdecken. Faltet man beim gleichschenkligen Dreieck die Spitze auf
der Symmetrieachse nach unten, entsteht ein gleichschenkliges Trapez. Die Symmetrieachse
vom Dreieck bleibt erhalten, da die Schenkel gleich lang bleiben. Beim gleichseitigen Dreieck
hat man wie bei den anderen regelmäßigen Vielecken gleichlange Seiten und gleichgroße
Winkel und die Anzahl der Symmetrieachsen entspricht der Anzahl der Ecken bzw. Seiten.
Die drei Symmetrieachsen beim Falten zu entdecken, ist besonders für junge
Grundschulkinder nicht elementar. Am besten ist es, wenn eine Achse erst gefaltet und dann
nummeriert wird (am besten am Fußpunkt) und dann wird die nächste Seitenmitte mit der
gegenüberliegenden Ecke beim Falten verbunden und nummeriert und schließlich die dritte
Achse erzeugt.
Wenn dies nicht schon geschehen ist, könnte man die Vierecke im Rahmen dieses Moduls
nach der Anzahl der Symmetrieachsen ordnen und das Parallelogramm als Viereck ohne
Symmetrieachse identifizieren („Man findet keine gleichen Hälften, die sich beim Falten
aufeinander klappen lassen, immer steht eine Ecke über.“). Das Haus der Vierecke ließe sich
(auf der Grundlage der Symmetrieeigenschaften erstellen bzw. wiederholen.
Das Arbeiten mit dem Spiegel sollte hinzugenommen und geklärt werden, was der Spiegel
mit der Symmetrie zu tun hat: Stellt man einen Spiegel auf eine Symmetrieachse, so bildet
dieser die andere Hälfte so ab, als würde man diese auf die reale Hälfte falten (Punkte und
Geraden fallen genau aufeinander). Weil der Spiegel die gleiche Bewegung erzeugt wie beim
Aufeinanderfalten, kann man auch Spiegelsymmetrie und Spiegelachse sagen.
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Sequenz 1: Symmetrische Bilder
Symmetrie kann innerhalb einer Figur auftreten, aber auch zwischen getrennt liegenden
Figuren bestehen. Beide Situationen lassen sich gut mit Klecksbildern gewinnen. Meistens
wird zunächst die Symmetrieachse erzeugt (Ein Blatt wird längs, quer oder diagonal
gefaltet.), dann ein oder mehrere Tropfen Tinte auf die Achse oder eine Hälfte des Blattes
gegeben und die Hälften wieder aufeinander gefaltet und die Tinte leicht verrieben. Die
Symmetrieachse kann nachgezeichnet und sich einander entsprechende Punkte markiert
und miteinander verbunden werden. Es kann entdeckt werden, dass die beiden Punkte auf
einer Geraden liegen (zur Differenzierung: die senkrecht zur Achse ist). Durch gespiegelte
Zahlen kann man besonders gut deutlich machen, dass sich beim Bild des Originals der
Drehsinn ändert.
Es gibt zahlreiche Aktivitäten zur Achsensymmetrie, von denen hier nur einige gezeigt
werden. Auch das Geobrett kann hinzugenommen und symmetrische Figuren gespannt
werden. Mit mehreren Tangramspielen könnten symmetrische Bilder an einer oder
mehreren Achsen erzeugt werden. Wird an Achsen gespiegelt, die senkrecht zueinander
sind, sind die Figuren, die sich an der Kreuzmitte gegenüberliegen, punktsymmetrisch
zueinander.
Sequenz 3: Besonderes: Drehsymmetrie und Raumsymmetrie
Obwohl die Achsensymmetrie (in der Ebene) den Schwerpunkt in der Grundschule
ausmacht, sollte ab Klassenstufe 3/4 auch auf die Drehsymmetrie aufmerksam gemacht
werden, damit Symmetrie von Anfang an nicht so einseitig betrachtet wird. Da man zur
Drehsymmetrie gut über physikalische Vorgänge führen kann, ist diese Form der Symmetrie
auch schon für die Grundschule interessant. Im Modul 13 wird besprochen, dass
regelmäßige Vielecke so viele Symmetrieachsen wie Ecken bzw. Seiten haben. Sicherlich ist
es interessant zu erfahren, dass man diese Figuren auch so oft drehen kann, um sie mit sich
zur Deckung zu bringen (beim Drehen genau aufeinander zu legen). Um dies zu
demonstrieren, können zwei kongruente regelmäßige Vielecke ausgeschnitten und mit Hilfe
von Symmetrieachsen die Mitte bestimmt werden. Die Ecken werden nummeriert. Die Mitte
der Vielecke wird mit Bleistift oder Zirkelspitze durchgepiekt und beide Vielecke genau
übereinander gelegt und das obere auf dem unteren mit dem Bleistift fixiert. Das untere
Vieleck wird festgehalten oder aufgeklebt und das obere gedreht, so dass z. B. beim
gleichseitigen Dreieck die Ecke 1 auf die Ecke 2 gerät und dann auf die Ecke 3. Man kann also
das Dreieck dreimal „mit sich“ zur Deckung bringen. Ähnlich könnte man das mit Quadrat
(vierfach drehsymmetrisch)und regelmäßigem Sechseck (sechsfach drehsymmetrisch) noch
probieren. Regelmäßige Vielecke sind also nicht nur achsen- sondern auch drehsymmetrisch.
Eine drehsymmetrische Figur, die nicht achsensymmetrisch ist, kennen die Kinder aus dem
Alltag, das Windrad einer Windmühle. In einem Papierquadrat werden die
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Symmetrieachsen, die durch die Ecken gehen, gefaltet und bis etwas über die Mitte
eingeschnitten. Jeweils der linke (oder rechte) Flügel wird zur Mitte geklappt und dort mit
Klebstoff fixiert.
Beim Erkunden von Symmetrien in Figuren bringen die Kinder mitunter auch die Körper ins
Spiel. An einfachen Modellen könnte gezeigt werden, dass im Raum die Symmetrieachse
durch eine Symmetrieebene ersetzt wird. Die Kinder könnten im Klassenraum selbst eine
räumliche symmetrische Anordnung gestalten und die Symmetrieebene(n) markieren. Um
auf Symmetrien im Würfel aufmerksam zu machen, könnte man die räumliche Ecke aus
einem früheren Modul nutzen und in die Quadrate zunächst die Symmetrieachsen
einzeichnen. Wird die Figur zur räumlichen Ecke (einem halben Würfel) aufgestellt, kann
man auf die Achsen Symmetrieebenen stellen und vielleicht auch schon ahnen, dass beim
Würfel etliche Symmetrieebenen zu beachten sind.
Achsensymmetrische Bilder lassen sich auch mit GeoGebraPrim erzeugen. Allerdings ist dies
schon nicht mehr so ganz elementar. Die Kinder müssen zunächst ein Objekt erstellen, z. B.
ein Dreieck, dann auf Gerade klicken, dann auf den Button zur Achsensymmetrie, dann
wieder auf das Objekt und die Gerade klicken. So müsste das achsensymmetrische Bild
erscheinen.
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