GK Mathematik, 13d Übungen: Exponentialfunktionen

Vorbereitungsaufgaben für die Klausur am 25.9.2014
Darstellung und Lagebeziehung von Objekten im Raum
Folgender Körper ist durch die Punkte A, B, C, D, E und F festgelegt. P, Q und R sind die
Mittelpunkte der jeweiligen Kanten. Die Geraden g und h verlaufen durch die Punkte P und F
bzw. R und Q.
x3
x2
x1
a) Zeichne den Körper und die Geraden g und h als Schrägbild in ein dreidimensionales
Koordinatensystem. [Hinweis: 1 Einheit in x1-Richtung entspricht 1 Diagonalkästchen der
Länge 12√2. 1 Einheit in x2- und x3-Richtung entspricht 1 cm.]
b) Ermittle die Koordinaten der Punkte P, Q und R durch Ablesung oder mithilfe einer Rechnung.
Die Geraden g und h werden durch folgende Gleichungen beschrieben:
−3
0
−6
9
⃗ = ( 0 ) + λ ⋅ (6 )
⃗ = ( 4 ) + μ ⋅ (−7)
g: X
und h: X
0
5
0
5
c) Untersuche die Lagebeziehung der beiden Geraden g und h.
Sei p die Gerade durch die Punkte A und E, q die Gerade durch die Punkte B und F.
d) Begründe ohne Rechnung, dass p und q genau einen Schnittpunkt besitzen.
e) Bestimme Gleichungen für die Geraden p und q und zeige, dass beide Geraden sich im Punkt S
8
40
(8/− 3 / 3 ) schneiden.
f) Bestimme die Länge des Vektors ⃗⃗⃗⃗
PE, zeige, dass er senkrecht zum Vektor ⃗⃗⃗⃗⃗
AD steht und berechne
den Flächeninhalt des Dreiecks ADE.
Vom Ursprung aus bewegt man sich 5 Einheiten in Richtung des Vektors ⃗⃗⃗⃗⃗
AC und
positive x3-Richtung und
100
29
40
29
Einheiten in
Einheiten in positive x2-Richtung.
g) Berechne durch Streckenabtragen die Koordinaten des Zielpunktes F. Zeichne den Punkt F in
216
40
das Koordinatensystem ein. [Zur Kontrolle und zum Weiterrechnen: F (−3/ 29 / 29 ).]
h) Ermittle eine Parameter-, Normalen-, Koordinaten- und Achsenabschnittsform der Ebene E, die
durch die Punkte B, C und F aufgespannt wird. [Kontrollergebnis: E: 5x2 + 2x3 – 40 = 0.]
i) Gib die besondere Lage von E an und ermittle alle Spurgeraden der Ebene E mit den
Koordinatenebenen.
j) Zeige, dass der Punkt F in E liegt.
Der Punkt T ist Mittelpunkt der Strecke AC.
k) Ermittle die Koordinaten von T und zeichne ihn in das Koordinatensystem ein.
[Kontrollergebnis: T(−3/4/0).]
l) Berechne den Vektor ⃗⃗⃗⃗
TF sowie seine Länge d = TF und zeige, dass ⃗⃗⃗⃗
TF senkrecht zur Ebene E
steht. Gib die Bedeutung von d an.
Die Ebene F durch die Punkte A, D und E hat die Koordinatenform F: -5x2 + x3 = 0
m) Bestimme rechnerisch die Schnittgerade von E und F.
Wiederholungsteil: Bewegungsaufgaben
Ein Flugzeugt F1 befindet sich zum Beobachtungsbeginn t = 0 im Punkt A
(-16/-8/8). Vier Minuten später wird der Standort B (16/16/8) ermittelt.
Dabei entspricht eine Einheit einem Kilometer. Ein Flughafen befindet sich
im Punkt C (0/0/0). Die Startbahn des Flughafens liegt in der x1x2-Ebene.
a) Begründe im Sachzusammenhang, dass das Flugzeug F1 durch folgende Gleichung beschrieben
wird:
−16
8
⃗
F1 : X = ( −8 ) + t ⋅ (6) (t in Minuten).
8
0
b) Ermittle den Standort des Flugzeuges zwei Minuten vor und acht Minuten nach
Beobachtungsbeginn. (4P)
c) Berechne die Geschwindigkeit des Flugzeuges F1 in km/h.
d) Untersuche die Gerade F1 auf ihre besondere Lage im Koordinatensystem und interpretiere das
Ergebnis im Sachzusammenhang. [Hinweis: Betrachte den Geschwindigkeitsvektor von F1.]
Ein zweites Flugzeug F2 startet beim Beginn der Beobachtung vom Flughafen C. Seine Flugbahn
kann für die ersten fünf Minuten durch folgende Gleichung beschrieben werden:
2,5
F2 : ⃗X = r ⋅ (3,125) (r in Minuten).
2,5
Eine Wolkendecke befindet sich 2 km über der Landebahn.
e) Bestimme den Zeitpunkt, an dem das Flugzeug F2 die Wolkendecke durchbricht und berechne
den Durchbruchpunkt D.
f) Beurteile das Risiko einer Kollision zwischen den Flugzeugen F1 und F2.
Die Spitze eines Gebirges befindet sich in E (-16/92/1).
g) Ermittle einen Lösungsansatz, wie Du den Zeitpunkt bestimmen kannst, an dem das Flugzeug
F1 den geringsten Abstand vom Punkt E hat. [Hinweis: Hier muss nicht gerechnet werden.]
h) Berechne den Zeitpunkt der geringsten Entfernung des Flugzeuges F 1 zum Punkt E und gib
einen Wert für diese Entfernung an.
Lösungen
1a) klar 1b) P (-3/0/0), Q (-1,5/0,5/2,5), R (-6/4/0)
1c) Da die beiden Geraden g und h offenbar nicht parallel sind, setzen wir gleich:
9μ
−6 + 9μ
−3
0
−6
9
−3
3
( 0 ) + λ ⋅ (6) = ( 4 ) + μ ⋅ (−7) ⇔ ( 6λ ) = ( 4 − 7μ ) ⇔ (6λ + 7μ) = (4)
5μ
5λ − 5μ
0
5
0
5
5λ
0
1
1
3
3
Durch Gleichung (I) erhält man μ = . Mit Gleichung (III) ergibt sich auch λ = . Setzt man λ und μ in Gleichung (II) ein,
1
1
1
3
3
3
ergibt sich 6 ⋅ + 7 ⋅ = 4, also 4 = 4 (f). Daher sind die beiden Geraden windschief.
1d) Die Kanten AE und BF sind die offenbar nicht parallelen Kanten eines (ebenen) Trapezes. Daher liegen die nicht
parallelen Geraden in einer Ebene. Sie haben daher genau einen Schnittpunkt.
−3
0
−3
1e) Die Geradengleichungen lauten: p: ⃗X = λ ⋅ ( 1 ), q: ⃗X = (8) + μ ⋅ (−2)
5
0
5
Nun kann durch Punktprobe überprüft werden, dass der Punkt S auf p und q liegt:
−3
0
−3
⃗S = λ ⋅ ( 1 ) und ⃗S = (8) + μ ⋅ (−2) liefert jeweils ein eindeutiges μ = λ = 8.
3
5
0
5
Alternativ kann mit mehr Aufwand auch das Gleichsetzungsverfahren angewendet werden:
−3μ
3λ − 3μ
−3
0
−3
0
−3λ
λ ⋅ ( 1 ) = (8) + μ ⋅ (−2) ⇔ ( λ ) = (8 − 2μ) ⇔ ( λ + 2μ ) = (8)
5μ
5λ − 5μ
5
0
5
0
5λ
8
8
Gleichung (I) und (III) ergeben jeweils λ = μ. Ersetzt man in (II) μ durch λ, ergibt sich μ = λ = . Setzt man λ = in die
3
3
Gleichung von g ein, erhält man den Schnittpunkt S.
0
⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 sind beide Vektoren senkrecht
⃗ − ⃗P = (1) und damit |PE
⃗⃗⃗⃗ | = √26 ≈ 5,10. Wegen ⃗⃗⃗⃗
Es gilt ⃗⃗⃗⃗
PE = E
PE ∙ AD
5
zueinander. Insbesondere ist PE die Höhe auf der Seite AD im Dreieck ADE.
1f)
Damit erhält man für den Flächeninhalt A des gleichschenkligen Dreiecks mit der Grundseitenlänge 6: A = 12 ⋅ 6 ⋅
√26 = 3 ⋅ √26 ≈ 15,30.
−3
0
−6
0
0
−6
0
0
0
216
1
40
100
1
40
100
1g) ⃗F = (0) + 5 ⋅
∙ ( 8 ) + ∙ ( 0) +
∙ ( 1) = ( 0) + 5 ⋅ ∙ ( 8 ) + ∙ ( 0) +
∙ (1) ( 29 ≈ 7,4)
29
29
10
29
29
√(−6)2 +82
40
0
0
1
0
0
0
1
0
≈ 1,4
29
0
−6
−3
0
1
3
1h) E: ⃗X = ⃗B + r ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗
BC + s ∙ ⃗⃗⃗⃗
BF = (8) + r ⋅ ( 0 ) + s ∙ (−2) = (8) + λ ⋅ (0) + μ ∙ ( 2 )
0
0
5
0
0
−5
1
3
0
0
0
0
0
x2 x3
⃗ = (0) × ( 2 ) = (5) ⇒ E: (5) ∙ ⃗X − (5) ∙ (8) = 0 ⇒ E: (5) ∙ ⃗X − 40 = 0 ⇒ E: 5x2 + 2x3 = 40 ⇒ E:
n
+
=1
8 20
0
−5
2
2
2
0
2
1i) E hat die Achsenpunkte x2 = 8 und x3 = 20 und ist parallel zur x1-Achse. Offenbar ist die Spurgerade s3 die Gerade
0
1
durch die Punkte B und C, also: s3: ⃗X = (8) + r ⋅ (0). Für s2 gilt, dass diese Gerade ebenfalls parallel zur x1-Achse ist
0
0
0
1
und durch den Punkt (0/0/20) verläuft. Also s 2: ⃗X = ( 0 ) + s ⋅ (0). s1 verläuft durch die Achsenpunkte (0/0/20) und
20
0
0
0
(0/8/0). Daher gilt s1: ⃗X = ( 0 ) + t ⋅ ( 2 )
20
−5
1j) Wegen 5 ∙
216
29
+2∙
100
29
= 40 liegt der Punkt F auf E.
0
−6
−3
1
1k) T ist Mittelpunkt der Strecke AC, also gilt ⃗T = (0) + ∙ ( 8 ) = ( 4 ).
2
0
0
0
−3
0
−3
0
100
⃗⃗⃗⃗ = F
⃗ − ⃗T = ( 29 ) − ( 4 ) = ( 29 ) = 20 ∙ (5) ⇒ TF
⃗⃗⃗⃗ ist kollinear zum Normalenvektor von E, also senkrecht zu E.
1l) TF
29
40
40
0
2
216
29
d = TF = √(
29
100 2
40 2
29
29
) +( ) =
20√29
29
≈ 3,7 ist der Abstand des Punktes T von der Ebene E.
1m) Man löse das 2x3-LGS (nicht 2x2!!!) mit E: 0 ∙ x1 + 5x2 + 2x3 = 40 und F: 0 ∙ x1 + 5x2 + 2x3 = 40 und erhält den
x1
0
1
8
8
Lösungsvektor ⃗X = ( 3 ) = ( 3 ) + x1 ⋅ (0). Dies ist eine zur x1-Achse parallele Gerade.
40
40
0
3
3
2a) Der Stützvektor der Geraden entspricht dem Ortsvektor zum Startpunkt der Beobachtung bei t = 0. Der
⃗⃗⃗⃗⃗ , da das Flugzeug für die Strecke von A nach B vier Minuten braucht
Richtungsvektor der Geraden F1 entspricht 14 ⋅ AB
und t in Minuten angegeben ist.
−16
8
−32
−16
8
48
2b) ⃗X(−2) = ( −8 ) + (−2) ⋅ (6) = (−20), ⃗X(8) = ( −8 ) + 8 ⋅ (6) = (40)
8
0
8
8
0
8
2c) In einer Minute legt das Flugzeug die Länge des Geschwindigkeitsvektors zurück. Dieser Vektor hat die Länge
√82 + 62 + 02 = 10 km. Daher beträgt die Geschwindigkeit des Flugzeuges 600 Kilometer pro Stunde.
2d) Die Gerade F1 hat für jedes t den x3-Wert 8 (x3-Komponente des Geschwindigkeitsvektors ist Null), so dass sie
parallel zur x1x2-Ebene verläuft. Dies bedeutet, dass das Flugzeug mit einer konstanten Flughöhe von 8 km fliegt.
2e) Die Bedingung für das Durchstoßen der Wolkendecke lautet x3 = 2. Also:
x1
2,5
2,5
2
⃗⃗ = (x2 ) = r ⋅ (3,125) ⇒ 2 = 2,5r ⇒ r = 0,8 ⇒ D
⃗⃗ = 0,8 ⋅ (3,125) = (2,5)
D
2
2,5
2,5
2
Nach 48 Sekunden durchstößt das Flugzeug bei D (2/2,5/2) die Wolkendecke.
2f) Durch Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen erhält man:
2,5
8t − 2,5r
−16
8
16
( −8 ) + t ⋅ (6) = r ⋅ (3,125) ⇔ (6t − 3,125r) = ( 8 )
2,5
2,5r
8
0
8
Gleichung (III) ergibt r = 3,2. r eingesetzt in Gleichung (II) erzeugt t = 3. Beide Parameter r und r erfüllen Gleichung (I).
Daher schneiden sich die beiden Geraden F1 und F2. Flugzeug F1 erreicht den Schnittpunkt nach 3 Minuten, Flugzeug
F2 nach 3 Minuten und 12 Sekunden. Es besteht prinzipielle keine Gefahr des Zusammenstoßes. Dennoch sollte
Flugzeug F2 aufgrund der knappen Zeitspanne bis zum möglichen Kollisionspunkt seine Geschwindigkeit beim Start
entweder ein wenig steigern oder den Start um eine Minute verzögern, um eine Kollisionsgefahr völlig
auszuschließen.
2g) Man berechnet zunächst den Verbindungsvektor ⃗⃗⃗⃗
EX des allgemeine Geradenpunktes von F1 und dem Punkt E.
Dann bestimmt man das Quadrat der Länge dieses Vektors. Dieses Quadrat hängt vom Parameter t ab und wird mit
D(t) bezeichnet. Anschließend untersucht man die Funktion D auf eine globale Minimumstelle, indem man D´(t) = 0
und D´´(t) > 0 überprüft.
8t
2h) ⃗⃗⃗⃗
EX = (6t − 100) ⇒ D(t) = 64t 2 + (6t − 100)2 + 7 = 100t 2 − 1200t + 10049
7
D´(t) = 200t − 1200 ⇔ t = 6. Wegen D´´(t) = 200 > 0, hat das Flugzeug nach 6 Minuten die geringste Entfernung
vom Punkt E. Die geringste Entfernung d beträgt √D(6) ≈ 80,31 km.
Aufgabe 1
a)
Du zeichnest den Körper und die Geraden in das KOS ein.
I
b)
Du ermittelst die Koordinaten der Punkte P, Q und R.
I
c)
Du untersuchst die Lagebeziehung der Geraden g und h.
II
d)
Du begründest ohne Rechnung, dass p und q sich schneiden.
III
Du bestimmst die Geradengleichungen p und q.
I
Du zeigst, dass der Punkt S auf beiden Geraden liegt.
II
Du bestimmst die Länge des Vektors⃗⃗⃗⃗⃗⃗
PE.
Du berechnest den Flächeninhalt des Dreiecks ADE.
I
e)
f)
Stochastik
Funktionen
Geometrie
Algebra
Werkzeuge
Argumentieren
Problemlösen
Modellieren
Schwierigkeitsgrad
Name:
Mögliche
Punktzahl

5


3


4

2





III






4


2


1
Aufgabe 2
25
a)
Du begründest im Sachzusammenhang die Gleichung für F1.
II

b)
Du ermittelst den Standort des Flugzeuges F1 zwei Minuten …
I

c)
Du berechnest die Geschwindigkeit des Flugzeuges F1 in km/h.
II

d)
Du untersuchst die Gerade F1 auf seine besondere Lage im …
III

e)
Du bestimmst den Zeitpunkt, an dem das Flugzeug F1 …
II

f)
Du beurteilst das Risiko einer Kollision zwischen den beiden …
II-III

g)
Du ermittelst einen Lösungsansatz, wie Du den Zeitpunkt …
III



2



4


3

2


4


6

4





Summe Aufgabe 2
Du berechnest den Zeitpunkt der geringsten …
4

Summe Aufgabe 1
Zusatzaufgabe zu 2g)
Lösungsqualität
25
III






6
Punktzahl Aufgabe 1
25
Punktzahl Aufgabe 2
25
Zusatzpunkte
6
Gesamtpunktzahl
50 (+ 6)
Note (56-43=1; 42-35=2; 34-28; 27-20=4; 19-10=5; <10=6)
Punktabzug wegen mangelnder Darstellungsleistung (bis zu 3 Punkten möglich)
Datum und Unterschrift
Solingen, den
Endnote
Erreichte
Punktzahl