Arbeit mit Beweisen - Mathematik und ihre Didaktik

Arbeit mit Beweisen
Humboldt Universität zu Berlin
Institut für Mathematik
HS Logische Grundlagen des Mathematikunterrichts
Dozent: Hr. Krausche
Referentin: Birte Wulf
Gliederung
1. Beweise in der Schule
2. Beweise im Rahmenlehrplan
3. Schritte zur Entwicklung von Fähigkeiten in Beweisen
4. Heuristik
5. Möglichkeiten der Überprüfung des Beweisverständnisses
3. Schritte zur Entwicklung von Fähigkeiten in Beweisen
Beispiel:
• „Setze zwischen die Zahlen 6 und 9 das richtige Zeichen (<, >, =) und
begründe deine Antwort!“
• 6 < 9 weil „ich habe sechs blaue und neun rote Stäbchen. Wenn ich blaue
und rote paarweise zusammenlege, bleiben rote Stäbchen übrig. Also
habe ich weniger blaue als rote Stäbchen. Wenn ich aber noch drei blaue
dazu lege, habe ich genauso viele rote wie blaue.“
• 6 < 9,
6+3=9
• Def.: a<b, wenn eine von Null verschiedene Zahl c (c≠0) existiert, so dass
gilt: a + c = b. In diesem Fall ist c = 3 und somit die Existenz eines c
bewiesen, womit a<b mit a=6 und b=9.
Propädeutik des Beweisens:
- Die Gewohnheit sich bei Begründungen auf Definitionen und Sätze zu
stützen,
- Die Einsicht, dass eine Universalaussage durch ein einziges
Gegenbeispiel widerlegt werden kann,
- Das Verständnis der logischen Äquivalenz von
- Das Schließen aus Universalaussagen auf spezielle Beispiele
- Den Gebrauch der Abtrennungsregel beim Schließen
- Die Anwendung des Kontrapositionsschlusses beim Widerlegen von
Behauptungen
- Den Beweis von Existenzaussagen durch unmittelbare Angabe eines
entsprechenden Elements
- Das Schließen auf Universalaussagen im Falle endlich vieler Elemente
durch Überprüfung aller Möglichkeiten
4. Heuristik
Heuristische Prinzipien:
- Analogieprinzip
- Invarianzprinzip
- Rückführungsprinzip
- Transformationsprinzip
- Zerlegungsprinzip
Heuristische Strategien:
- Systematisches Probieren
- Vorwärtsarbeiten
- Rückwärtsarbeiten
- Suchen nach Beziehungen
Heuristische Hilfsmittel:
- Tabelle
- Informative Figur
Vorgehen im und Anforderungen an den Unterricht
•
Lösen von Problemaufgaben in vier Phasen:
1. Erfassen/ Verstehen der Aufgabe
2. Ausdenken eines Lösungsplans
3. Ausführung des Plans, Darstellung der Lösung
4. Rückschau (=Kontrolle und Auswertung)
• Vermittlung heuristischer Vorgehensweisen:
Schritt 1: Vormachen ausgewählter Vorgehensweise
Schritt 2: Einführung der Vorgehensweise an markanten Beispielen
Schritt 3: Einüben der Vorgehensweise an weniger auffälligen Beispielen
Schritt 4: Anwendung
• Impulsgebung innerhalb der Phasen:
1) nicht theoretisieren, sondern die Schüler erleben lassen
2) Verwendung der „Impulstechnik“ (siehe unten)
3) den Schülern genügend Zeit lassen
4) kein vorzeitiges Verraten des Lösungsweges bzw. der Lösung (durch
Lehrer und Schüler)
5) geschickte Aufgabenauswahl
6) individuelle Auswahl des Lösungsweges bzw. des heuristischen
Vorgehens
7) innere Differenzierung, um Unter- oder Überforderung zu vermeiden
und so die Motivation zu erhalten
1.
Verstehen der Aufgabe
• Was ist unbekannt? Was ist gegeben? Wie lautet die Bedingung?
• Ist es möglich, die Bedingung zu befriedigen? Ist die Bedingung
ausreichend, um die Unbekannte zu bestimmen? Oder ist sie
unzureichend? Oder überbestimmt? Oder kontradiktorisch?
• Zeichne eine Figur! Führe eine passende Bezeichnung ein!
• Trenne die verschiedenen Teile der Bedingung! Kannst Du sie
hinschreiben?
2. Ausdenken eines Planes
• Hast Du die Aufgabe schon früher gesehen? Oder hast Du dieselbe Aufgabe
in einer wenig verschiedenen Form gesehen?
• Kennst Du eine verwandte Aufgabe? Kennst Du einen Lehrsatz, der
förderlich sein könnte?
• Betrachte die Unbekannte! Und versuche, Dich auf eine Dir bekannte
Aufgabe zu besinnen, die dieselbe oder eine ähnliche Unbekannte hat.
• Hier ist eine Aufgabe, die der Deinen verwandt und schon gelöst ist. Kannst
Du sie gebrauchen?
Kannst Du ihr Resultat verwenden? Kannst Du ihre Methode verwenden?
Würdest Du irgend ein Hilfselement einführen, damit Du sie verwenden
kannst?
• Kannst Du die Aufgabe anders ausdrücken? Kannst Du sie auf noch
verschiedene Weise ausdrücken?
Geh auf die Definition zurück!
• Wenn Du die vorliegende Aufgabe nicht lösen kannst, so versuche, zuerst eine
verwandte Aufgabe zu lösen. Kannst Du Dir eine zugängliche verwandte Aufgabe
denken? Eine allgemeinere Aufgabe? Eine speziellere Aufgabe? Eine analoge
Aufgabe? Kannst Du einen Teil der Aufgabe lösen? Behalte nur einen Teil der
Bedingung bei und lasse den anderen fort; wie weit ist die Unbekannte
dann bestimmt, wie kann ich sie verändern? Kannst Du etwas Förderliches aus
den Daten ableiten? Kannst Du Dir andere Daten denken, die geeignet sind , die
Unbekannte zu bestimmen? Kannst Du die Unbekannte ändern oder die Daten
oder, wenn nötig, beide, so dass die neue Unbekannte und die neuen Daten
einander näher sind?
• Hast du alle Daten genutzt? Hast Du die ganze Bedingung benutzt? Hast Du
alle wesentlichen Begriffe in Rechnung gezogen, die in der Aufgabe enthalten
sind?
3. Ausführen des Planes
• Wenn Du Deinen Plan der Lösung durchführst, so kontrolliere jeden Schritt.
Kannst Du deutlich sehen, dass der Schritt richtig ist? Kannst Du beweisen,
dass er richtig ist?
4. Rückschau
• Kannst Du das Resultat kontrollieren? Kannst Du den Beweis kontrollieren?
• Kannst Du das Resultat auf verschiedene Weise ableiten?
• Kannst Du es auf den ersten Blick sehen? Kannst Du das Resultat oder die
Methode für irgendeine andere Aufgabe gebrauchen?
5. Möglichkeiten der Überprüfung des
Beweisverständnisses
• Reproduktion
Beweis wiedergeben, ggf. mit anderen Variablen
• Reorganisation
Beweis zergliedert, Aufgabe: In richtige Reihenfolge bringen
A->B, B->C, C->D
• Problemlösend
Neuer Beweis im gleichen Thema mit gleichen Schlussweisen