B1Fol5 - Bionik TU
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Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 5. Vorlesung „Bionik I“ Bionik auf dem mathematischen Prüfstand Optimallösungen als Ergebnis der Evolution Weiterverwendung nur unter Angabe der Quelle gestattet Der kubisch paraboloide Baumstamm P Solarbetriebener CO2-Sammler 2r Mast y Form eines Kiefernstamms 15 10 Höhe / m 20 Materialminimierung: Theorie „Träger gleicher Festigkeit“ Kubische Parabel r ( y) 3 4 P y /( zul ) r ( y) k 3 y 5 0 0 Radius / cm 5 10 Das Dritte-Wurzel-Gesetz der Blutgefäße Arteriole Kleine Vene Vermessung des Blutgefäßsystems eines 13 kg schweren Hundes Arterienzweig Kapillare Gewebe Vene Gefäßart Durchmesser D [mm] Anzahl Aorta Große Arterien 10 3 1 40 Arterienäste 1 600 Arterienzweige 0,6 1800 Arteriolen 0,02 40 000 000 Kapillaren 0,008 1 200 000 000 Aorta 10 D Große Arterien mm Arterienäste Arterienzweige 1 Genauigkeit ! 0.1 Di D0 3 1 / z + - 5% Arteriolen 0.01 Kapillaren 0 10 3 10 6 10 z 9 10 Gesetz der Verzweigung von Blutgefäßen Zwei Entwürfe für eine Rohrverzweigung a b Gehirnzellen Beinmuskeln Armmuskeln Mensch 10000 kJ Herzantrieb 3 000 000 Blutkörperchen/s Blutneubildung a b Pumpleistung Herz [kJ] groß klein Neubildung Blut [kJ] klein groß Qualitätsfunktion: Energieverbrauch Energieverbrauch F Zeit Zeit Herzpumpe Blutneubil dung p Gesetz von Hagen Poiseuille D Q p 128 l Q D4 FHerzpumpe Kraft Strömungpr opfen Geschwindigkeit Strömungpr opfen p F v p Q FBlutneubil dung Rohrvolumen k VRohr Fges n n p Q kV i i 0 i i i 1 D0 Fges F n Di n p Q kV i i i i 0 F p0Q0 i 0 n p Q i i kV0 i1 n kV i i 1 Minimierungsproblem: 128 l0Q0 F min Q0 4 D0 n i 1 128 liQi Di4 Qi kl0 2 D0 2 kli Di i 1 n 128 l0Q0 F min Q0 4 D0 n 128 liQi i 1 Di4 2 Qi kl0 D0 2 kli Di i 1 n Wir bilden nach den Regeln der Extremwertfindung einer Funktion: F 0 D0 F 0 Di i 1, 2, n Die Gleichungen lassen sich elementar nach D0 und Di auflösen D06 1024 Q02 k 2 Di6 1024 Qi2 k 2 Di / D0 3 Qi /Q0 i 1, 2, n Di / D0 3 Qi / Q0 Für vorgegebene Anfangswerte D0 und Q0 hängt der optimale Durchmesser eines jeden Rohrzweiges nur von seiner eigenen Durchflussmenge ab! Beispiel: D0 0 Q0 Q1 Q0 z D1 / D0 3 1 / z Aorta 10 D Große Arterien mm Arterienäste Arterienzweige 1 0.1 Di D0 3 1 / z + - 5% Arteriolen 0.01 Kapillaren 0 10 3 10 6 10 z 9 10 Bedingung für die Lösung: Es existieren z Blutgefäße gleichen Durchmessers, durch die der gesamte Blutstrom hindurchfließt. Hydraulik des Hämatokrits Hämatokrit H = Blutzellenvolumen Gesamtvolumen v Zwei Lösungen für eine hydraulische Förderung von Blutkörperchen a v Ist die Lösung a besser als b oder ist b besser als a ? b HMensch = 42 – 44% Hoptimal = 43,3% (mathematische Lösung) Zeit HKamel = 28% HSchaf = 32% Künstliche H-Werte HSchwein = 41% Zur Messung des Blutzellen-Volumenstroms 1,0 Blutzellenstrom 1,5 Optimaler Schwein 0,5 0 Blutzellenstrom HEvolution = 41% 1,0 Hämatokrit H 0 10 20 30 40 50 60 % Schaf HEvolution = 32% 0,5 Blutkörperchenstrom 0 Hämatokrit H 0 10 20 30 40 50 60 % Geometrie der Bienenwaben Dumme Gärtner b b Schlaue Gärtner Eingesparte Strecke Hinzugefügte Strecke g 2 g 2 v max v g v für opt 120 2g 2v b 0,134 Zur “Mathematik” der Bienenwaben Am Boden der sechseckigen Zellen der Bienenwabe sieht man die versetzt angeordneten Zellwände der Gegenseite durchscheinen. Gartenzaun Bienenwabe Das Angrenzungsproblem Bienenwabe Zelle von Fejes Tóth Gewinn = 0,035% gegenüber der Lösung der Evolution Eine Science-Fiction-Geschichte Planet der Halslinge Alpha Tauri Osmium Magnesium Evolution auf dem extrasolaren Planeten 2204 Erdlinge Vermessung der extraterrestrischen Halslinge Halslänge = 60,0 m Halsgewicht = 4522000 kg Kopfgewicht = 20340000 kg Halslänge = 12,0 m Halsgewicht = 16180 kg Kopfgewicht = 162700 kg Halslänge = 5,0 m Halsgewicht = 755,3 kg Kopfgewicht = 11770 kg Halslänge = 1,0 m Halsgewicht = 2,702 kg Kopfgewicht = 94,17 kg Halslänge = 0,30 m Halsgewicht = 0,040 kg Kopfgewicht = 2,542 kg Riesen-Halsling Großer Halsling Gemeiner Halsling Kleiner Halsling Zwerg-Halsling 10 7 Riesen-Halsling Halsgewicht kg 10 4 10 2 Großer Halsling Anstieg = 7/6 Allometriegesetz der extraterrestrischen Halslinge Gemeiner Halsling Es gilt ein 7/6-Potenzgesetz 10 0 -2 10 100 Kleiner Halsling Zwerg-Halsling 10 2 8 104 106 kg 10 Kopfgewicht ! 10 4 Skelettgewicht S kg 10 Elefant 2 Mensch Hund Allometriegesetz der terrestrischen Wirbeltiere Anstieg = 7/6 10 Theorie für minimales Gewicht 0 Kaninchen Katze S L7/6 Ratte -2 10 Maus -2 10 100 102 kg 104 Lastgewicht L 10 7 60 m Trägergewicht G kg 12 m 10 4 10 2 10 Theorie für minimales Trägergewicht Anstieg = 7/6 G L7/6 1m 0 0,3 m -2 10 100 5m 10 2 104 8 106 kg 10 Kugellast L r P Euler Knickung 3Ed4 Aus PEuler 64 l2 l d 8 3 4 2/ 3 g Kopf 4 E VKopf 1/ 2 r l l variabel & PEuler PKopf g Kopf VKopf Es kommen die Gleichungen hinzu: VBein Optimale Auslegung der Beinlingsarten auf dem extrasolaren Planeten 4 3 r 3 7/6 VKopf VKopf VBein 3 E d 4 64 l 2 g Kopf 2 d l 4 VBein VKopf r l 7/ 6 Was ist Allometrie ? Isometrie ( gleich) Mit gleichem Maß Allometrie ( anders) Mit anderem Maß Beltistometrie Mit bestem Maß ( bester) 10 3 10 Elen-Antilope Wasserbock Weißschwanzgnu 2 Von der Zwergmaus zur Elenantilope Löwenjunges 10 1 10 0 Suniböckchen Gazelle Springhase Antilope Rattenkänguruh Ginsterkatze Zebramungo Beltistometrie Zwergmungo Eichhörnchen 10 Anstieg = 4/5 -1 Zwergmaus 10 10 -2 10 -3 10 -2 -1 10 10 0 1 2 10 10 Körpergewicht kg 10 Vom Modellflugmotor zum Schiffsdiesel 3 Sulzer RD-90 Cooper Bessemer V-250 4 Daimler-Benz 609 l/s Luftdurchsatz Sauerstoffverbrauch ml/s 10 Nordberg Allison V-1710 3 Chrysler 340 10 2 10 1 10 0 Continental C115 Honda 450 Lycoming GO-290A Anstieg = 4/5 McCulloch M2-10 Enya 60-4C Webra Speedy 10 -1 10 0 1 10 10 2 3 4 10 10 Motorgewicht kg 10 5 MAN-Schiffsdiesel mit 22 000 kW Leistung Modellflugdiesel mit 0,31 kW Leistung Vergleich von Leistung und Gewicht: Großdiesel für Kreuzfahrtschiff: Gewicht: 250 Tonnen Leistung: 22 000 kW Kleinstdiesel für Flugmodell: Gewicht: 237,5 g Leistung: 0,99 kW 1000 000 Modellflugdiesel wiegen so viel wie ein Schiffsdiesel. Sie leisten zusammen 1000 000 kW. Das ist 45-mal mehr als der Großdiesel ! Ende
