7. Einschlagskrater: Modellierung. Skalierung und P
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Vorlesung 7 Einschlagskrater: Modellierung. Skalierung und P-Theorem. Numerische Modellierung mittels Hydrocode. Labormodellierung bei Hochdruck und Hochtemperatur. Buckingham Pi Theorem Das ist eine Musterlösung zur Dimensionsanalyse. Wir zeigen mit Hilfe der Dimensionsanalyse, mit welchem funktionalen Zusammenhang der Druckverlust Dp eines homogenen Fluids im geraden glatten Rohr mit Durchmesser D und Länge L angegeben werden kann. D Dp L Relevanzliste der Parameter: Zielgrösse =Dp Druckverlust, stoffliche Parameter= r Dichte, n kinematische Viskosität; prozessbedingte Parameter =Q Volumendurchsatz, geometrische Parameter= L Rohrlänge, D Rohrdurchmesser. Es gilt Dp=f1(r,Q, n, L, D). Die Zahl der Grunddimensionen ist 3: Masse =Kg [M], Länge= Meter [L], Zeit= Sec [t] Das Buckingham-Theorem sagt, dass die relevanten dimensionalen Grundvariablen (n=6) in den dimensionslosen unabhängigen Pi-Gruppen n-m=3 reduziert werden können. Dp= F(P1,P2, P3). Dimensionale Analyse Grunddimensionen M(Masse), L(Länge), t(Zeit). Zum Beschreiben der Dichte brauchen wir Masse durch Länge³: [r]=[M/L3], [Dp]=[F/A]=[ma/A]=[ML/t2/L2]=[M/(Lt2)] [n]=[M/(Lt)/(kg/L³)], [V]=[L/t], [L]=[L], D=[L] Nun muss ein Satz von dimensional behafteten Parametern ausgewählt werden, die alle 3 Grunddimensionen enthalten (wiederkehrende Variablen). Weiter ist es sinnvoll, keine Parameter mit denselben Dimensionen zu verwenden, also z.B. L und D mit jeweils [L]. Wir wählen in diesem Fall Q, D, r. In diesem Zusammenhang sei erwähnt, dass das pi-Theorem nur die Zahl der einzuführenden dimensionslosen Kenngrössen angibt. Es macht keine Aussage darüber, wie sie zu bilden sind. Die einzuführenden Variablen müssen im wesentlichen nur die Bedingung erfüllen, dass sie dimensionslos sind. Man hat meistens die Wahl zwischen einer Vielzahl von Möglichkeiten. Man lässt sich dabei leiten durch Überlagerung der Zweckmässigkeit, denn die Form der Kennzahlen muss dem Vorgang angepasst sein und sich zum Auswerten und Darstellen der Versuchsergebnisse gut eignen. Weiter ist es z.B. zweckmässig, die Potenzen in der Definitionsgleichung möglichst klein zu wählen. Wenn eine der Variablen von besonderem Interesse ist, (z.B. die Geschwindigkeit des Stofftransportes V), richtet man es so ein, dass diese Hauptvariable in einer der dimensionslosen Kenngrössen mit der Potenz 1, in einer anderen Kenngrösse mit der Potenz 0 auftritt. Es muss dabei aber erfüllt sein, dass diejenigen Grundvariablen, die in allen 3 dimensionslosen Zahlen auftreten (wiederkehrende Variablen) zusammen alle Grundeinheiten enthalten. P-Gruppen Da wir die Einflussparameter auf den Druckverlust ermitteln wollen, sollte daher Dp nur in einer Kennzahl vorkommen und um dem Umstand Rechnung zu tragen, dass bei hinlänglich langen Rohren (vernachlässigbare Einlaufeffekte) Dp L ist, wird dies auch für L der Fall sein. Für die erste Gruppe formuliert man daher: P1=raVbDcDp, wobei a, b und c Exponenten sind. Ermittlung der Exponenten a, b, c durch Dimensionsbilanz: b 3 M L c M 0 3 L L t L t ² a M: a+1=0, L: -3a+3b+c=0, t: -b-2=0 4 D p D Daraus resultiert: a=-1, b=-2, und c=-4. P1 2 r Q Die erste dimensionslose Gruppe ergibt daher: In analoger Weise können die beiden anderen Kennzahlen ermitteln L D n und für werden. Es ergibt sich für . P P2 Q 3 D P Gruppe Somit lässt sich folgende Beziehungen aufstellen: Dp D 4 Q L F , , 0 2 r Q D n D oder anders formuliert: Dp D 4 Q L F , 2 D n D r Q Damit wird dem Umstand Rechnung zu tragen, dass bei hinlänglich langen Rohren(vernachlässigbare Einlaufeffekte) Dp L ist. Dp D 4 L Q F 2 D D n r Q Druckverlust ist proportional zu Re-0.3 Druckverlust ist constant im turbulenten Bereich Re-1 Druckverlust ist proportional zu 64/Re Ziele der Meteoritenforschung: • Wie gross war einer Durchmesser des Projektils L, das ein Krater mit bestimmten Durchmesser D und Tiefe Hat an der Oberfläche der Erde verursacht? • Wie gross war die Geschwindigkeit des Projektils Vi? • Wie gross war der Winkel des Einschlags? Y ist die Schwelle-Spannung des Targetgesteins W ist die kinetische Energie - Porosität Impakt-Explosion-Ähnlichkeit D/D0~(Ek/Ek0)1/3 Lampson-Gesetz ( für grosse Explosionen n~ 1/4) Skalierte Durchmesser D/Ek1/3 Impakt: Kinetische Energie ~ 1/2 mpVi², Grabtiefe ? Skalierte Grabtiefe, dG/Ek1/3 dG ~ L·(rp/rt)1/2, wobei rp und rt sind Dichte des Projektils und Targetgesteins Nachteil dieser Methode: bei einer Explosion spielt mechanische Moment weniger Rolle als bei einem Impakt P-scaling D, Krater g, Y, Vi, Mm rm, rG, Schwerefeldbes Scherspannun Einschlagges Meteorit Meteoritdic Gesteinsdic [L] chleunigung g Festigkeit chwindigkeit masse hte hte [L][T-2] [M][T-2][L] [L][T-1] [M][L-3] [M][L-3] [M] 1. P1=D·(Mm)a (rG)b(Vi)c a+b=0; 1-3b+c=0; -c=0: b=1/3; a=-1/3 => 1. P1=D·(rG/Mm)b 2. P2= g·(Mm)a (rm)b(Vi)c 1-3b+c=0; -2-c=0; a+b=0; c=-2; b=-1/3; a=1/3 => P2= g·(Mm/rm)1/3 P2= > 1.61·g·L/ Vi2 3. P3= Y·(Mm)a (rm)b(Vi)c 1+a+b=0; -2-c=0; -1-3b+c=0: c=-2: b=-1; a=0 => P3= Y·/(rm·Vi)2 4. P4=( rm/ rG) P1= F(P2, P3, P4) Yield-Skalierung, Gault‘sche Gesetz und Pi-Skalierung Gault‘sche Gesetz: Dat= 0.0015·rp1/6·rt-1/2·W0.37·(sinq)2/3 für Krater Dat<10 m, Dat= 0.25·rp1/6·rt-1/2·W0.29·(sinq)1/3 für Krater 10<Dat<100 m, Dat= 0.27·rp1/6·rt-1/2·W0.28·(sinq)2/3 für Krater 100m<Dat 1 km. Skalierung basiert auf dem Verbrauch der Energie während einem Einschlag Yield-Skalierung basiert auf den Nukleartesten: Dat= 0.0133·W1/3.4+1.51· rp1/2·rt-1/2·L P-Gruppe Skalierung : Dat= 1.8·rp0.11·rt-1/3·g-0.22·L0.13·W0.22 RG=rg·L/Y <1 >1 Numerische Modelierung mittels Hydrocode Ejekta-Ablagerungen von einem Meteorit-Einschlag Einschlag von einem EisenMeteorit: Durchmesser 1 Km, Einschlagsgeschwindigkeit 20 Km/Sek Targetgestein: Granit 1/R³ Labormodelierung der Explosionen und Impakten 1. Laser Irradiation (Stoss von einem Laserimpuls) 2. Schnelle elektrische Ausladung 3. Experimente mit Explosionsstoffen 4. Experimente mit der Entlastung von Druck Laserimpuls-Methode Simulierung einer Stosswelle von elektrischer Ausladung Experimente mit Hochexplosiven Stoffen (TNT, OWC, Holtex) Kalzit 85 GPa Schnelle Entlastung des Druckes in Multi-Anvilpresse
