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V4: Energiehyperflächen, Methoden zur
Energieminimierung und zum Konformationssampling
Die Eigenschaften und möglichen Wechselwirkungen von organischen Molekülen
hängen eng mit ihren zugänglichen Konformationen zusammen.
Die Wahrscheinlichkeit, daß eine bestimmte Konformation bei Raumtemperatur
eingenommen wird, hängt über die Boltzmann-Verteilung von ihrer Energie ab.
In Anwendungen wie der Vorhersage von Drug-Aktivitäten ist man daher daran
interessiert, alle Konformationen mit einer Energie nahe des globalen Energieminimums zu identifizieren (z.B. innerhalb von 10 kJ mol-1).
Dies ist das Problem der Konformationssuche.
Allerdings ist die Dimension des Konformationsraums 3N-6, wobei N die Anzahl
der Atome eines Moleküls ist. Bereits für kleine Moleküle gibt es daher eine
enorme Anzahl an lokalen Energieminima.
Lesehinweis:
Kapitel 10 aus [Schlick]
4. Vorlesung SS 2005
Computational Chemistry
1
Warum kT ?
Entsprechend dem Äquipartitionsprinzip hat jeder Freiheitsgrad eines Moleküls
(d.h. eine bestimmte Bindungslänge, ein Bindungswinkel etc.)
im Mittel die Energie kT, wobei
k  kB die Boltzmann-Konstante ist kB = 1,381  10-23 J K-1
und T die herrschende Temperatur.
Bei Raumtemperatur (25 º C) ist
kT  2.5 kJ mol-1
Ein Molekül ist ständig in Bewegung, d.h. es fliessen
ständig kleine Energiebeiträge zwischen den einzelnen
Freiheitsgraden hin und her.
Das Molekül ist also stets in der Lage, kleine Energiebarrieren
in der Grösse von ein paar kT zu überwinden.
4. Vorlesung SS 2005
Computational Chemistry
Ludwig Boltzmann
1844 - 1906
2
Energiehyperflächen,
Methoden zur Energieminimierung und zum
Konformationssampling
kleine Moleküle mit wenigen Freiheitsgraden:
systematische Durchsuche des Konformationsraums (Sampling) möglich
große Moleküle (Proteine) mit vielen Freiheitsgraden:
verwende stochastische Suchmethoden
• Energieminimimierung findet lokales Minimum
• Die Frage ist, was wir möchten
– globales Energieminimum
– alle Minima geringer Energie
– die gesamte Oberfläche der PES einschliesslich Sattelpunkte und Maxima
– Einzelmoleküle oder Molekül-Ensembles
• unterschiedliche Aufgaben erfordern unterschiedliche Methoden
und unterschiedlich viel Aufwand
4. Vorlesung SS 2005
Computational Chemistry
3
Interne Koordinaten  kartesische Koordinaten
Interne Koordinaten: definieren die Positionen aller Atome eines Moleküls relativ
zur Position eines ausgezeichneten Atoms (‘Aufpunkt’) durch Angabe von
Bindungslängen, Bindungswinkeln und Torsionswinkeln.
z-Matrix: begegnet uns wieder in Vorlesung 7.
Kartesische Koordinaten: definieren Position jedes Atoms i im Raum
durch 3 Koordinaten (xi,yi,zi).
Ein Molekül mit N Atomen hat daher 3N unabhängig voneinander variierbare
Koordinaten = Freiheitsgrade.
Üblicherweise hält man den Gesamtschwerpunkt des Systems im Raum fest.
Damit legt man 6 Koordinaten fest = 3 Translations- und 3 Rotationsfreiheitsgrade.
Es bleiben also 3N – 6 Freiheitsgrade übrig.
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Computational Chemistry
4
Energiehyperfläche
4. Vorlesung SS 2005
Computational Chemistry
5
Energiehyperfläche
Einfache Energiehyperflächen kann man entweder als Hyperfläche (links)
oder als Contour-Plot (rechts) darstellen.
f=
4. Vorlesung SS 2005
(x-2)2
+ (y+1)2
Ran Friedman
bioinfo.tau.ac.il/Protein_Visualization_01-02/
Lesson%207/Introduction_Prot_Simul.ppt
Computational Chemistry
6
Energiehyperfläche: Drehung um 2 Torsionswinkel
Vom globalen Minimum links
unten geht es in beide
Richtungen bergauf.
Gerader Verlauf:
 die Drehung um beide
Torsionswinkel ist energetisch
recht unabhängig voneinander.
http://www.brunel.ac.uk/depts/chem/ch241s/
re_view/gridview/paper/paper.htm
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Computational Chemistry
7
Energiehyperfläche
Wo ist Sattelpunkt?
Was erwarten Sie im Bereich
von 0 bis 180 Grad für beide
Diederwinkel?
http://www.brunel.ac.uk/depts/chem/ch241s/
re_view/gridview/paper/paper.htm
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Computational Chemistry
8
Energiehyperfläche
Energiehyperfläche für eine
chemische Reaktion.
http://www.brunel.ac.uk/depts/chem/ch241s/
re_view/gridview/paper/paper.htm
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Computational Chemistry
9
Energiehyperfläche: Gradient
•
Gradient – die erste Ableitung der Energie E bezüglich der Koordinaten
kartesische Koordinaten x, y, z
interne Koordinaten l, , 
Kraft
F
E
r
bzw
 E

 x
E
 E
F 
 
r
y

 E

 z
•









Stationäre Punkte - Punkte auf der Energiehyperfläche, in denen der
Gradient (bzw. die Kraft) gleich Null ist.
Dies sind Maxima, Minima, Übergangszustände und Sattelpunkte.
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10
Energiehyperfläche: Hess’sche Matrix
•
Für eine stetige und zweimal differenzierbare Funktion f ist
g(x) =(g1, ..., gN) der Gradientenvektor der ersten Ableitungen
gi x  
•
f  x 
xi
Die N  N Matrix der zweiten Ableitungen heisst Hess’sche-Matrix.
 2 f x 
H ij x  
xi x j
•
In einem Minimum ist die Krümmung positiv.
In höheren Dimensionen wird Konvexität in einem Punkt x* als positive
Definitheit der Hess’schen Matrix bezeichnet:
 
y T H x* y  0
y  0
Positive Definitheit garantiert, daß alle Eigenwerte in x* positiv sind.
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Energiehyperfläche: Definitionen
•
Eine positiv-semidefinite Matrix hat nichtnegative Eigenwerte.
•
Eine negativ-semidefinite Matrix hat nichtpositive Eigenwerte.
•
Eine negativ-definite Matrix hat lediglich negative Eigenwerte.
•
Ansonsten ist die Matrix indefinit.
Stationäre Punkte
sind fett markiert.
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Vorzeichen der zweiten Ableitungen
•
Durch Diagonalisierung der Hess’schen Matrix erhält man Eigenvektoren, die
die normalen ( = orthogonalen) Schwingungsmoden des Moleküls sind.
Die zugehörigen Eigenwerte sind proportional zum Quadrat der jeweiligen
Schwingungsfrequenz..
•
Das Vorzeichen der zweiten Ableitungen entscheidet, ob es sich bei stationären
Punkten auf der PES um Maxima oder um Minima handelt, da mit einer
Frequenzrechnung das Vorzeichen der Schwingungsfrequenzen bestimmt
wird. Damit lässt sich auch endgültig klären, ob eine Konformation tatsächlich
ein Minimum auf der PES ist
•
Minima auf der PES besitzen nur positive Eigenwerte bzw. reelle
Schwingungsfrequenzen
•
Maxima oder Sattelpunkte (Maximum in einer Richtung, aber Minima in allen
anderen Richtungen) besitzen eine oder mehrere imaginäre Schwingungsfrequenzen. (Die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ergibt eine imaginäre
Zahl).
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Algorithmen zur Energieminimierung
Lokales Minimum:
Für einen Vektor x mit n Komponenten {xi} lautet das Minimierungsproblem
minx { f(x) }, x D  n. Dann ist x ein lokales Minimum und
f( x) < f(y)  y D  n, y  x
Globales Minimum:
x  n ist ein globales Minimum  f( x) < f(y)
 y  n  x
[Schlick 10.2.4]
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Computational Chemistry
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Methode, die nur die Energiewerte verwendet ...
•
Am einfachsten zu implementieren.
•
Läuft in eine Richtung bis die Energie
ansteigt, dreht dann um die
Suchrichtung um 90º, etc.
•
ist am wenigsten effizient
– viele Schritte notwendig
– Schritte sind nicht gerichtet
•
wird daher selten verwendet.
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Grundlegende algorithmische Konzepte
Die grundlegende Struktur von iterativen, lokalen Optimierungsalgorithmen ist die
des “greedy descent”.
D.h. ausgehend von einem Startpunkt x0 wird eine Sequenz von Schritten {xk}
erzeugt, wobei bei jeder Iteration versucht wird, den Wert der Zielfunktion f(x) zu
verringern.
Es gibt 2 Klassen von Algorithmen: line-search und trust-region.
Beide sind weitverbreitet und sind Bestandteile von Optimierungsmethoden, die von
jedem Startpunkt aus die Konvergenz zu einem lokalen Minimum garantieren.
Beide Methoden sind gleichermaßen empfehlenswert.
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Line-Search basierender Descent Algorithmus [A1]
Von einem gegebenen Anfangspunkt x0 aus, führe für k = 0, 1, 2, … die folgenden
Schritte so lange aus bis Konvergenz eintritt.
(1) Überprüfe xk auf Konvergenz
(2) Berechne eine Abstiegs-Richtung pk
(3) Bestimme eine Schrittweite k durch eine 1-dimensionale Suche so dass für
den neuen Positionsvektor xk+1 = xk + k pk und den entsprechenden Gradient
gk+1 gilt:
f x k 1   f x k   k g Tk p k
(“ausreichende Abnahme”)
und
g Tk 1p k   g Tk p k
mit 0      1
(“ausreichende Verringerung der
gerichteten Ableitung”)
z.B.  = 10-4,  = 0.9 in Newton-Methoden
(4) Setze xk+1 = xk + k pk und k  k + 1 und gehe zurück nach (1)
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[A1] (2): Richtung der Abnahme
Eine solche Richtung pk ist eine Richtung, entlang derer die Funktion f lokal
abnimmt.
Solch einen Vektor kann man durch
g Tk p k  0
definieren.
Für genügend kleine  gilt dann:
f x  p   f x   g x  p 
T
2
2
T
 g x  p  0
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Computational Chemistry
pT H x p
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Steepest Descent (SD)
Die einfachste Möglichkeit, eine gültige Abnahme-Richtung vorzugeben, ist
zu setzen:
Damit ist automatisch erfüllt
p k  g k
g Tk p k  g Tk g k
 g1

g2
g3
 g1 
 
 g2 
... g n  g 3 
 
 ... 
g 
 n

  g1   g 2    g 3   ...  g n   0
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Computational Chemistry
2
2
2
2
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Steepest Descent (SD) Methode in der Praxis
•
Ist die einfachste häufig verwendete Methode
•
folgt wie oben erwähnt jeweils dem negativen
Gradienten g (also der grössten Kraft)
d=-g
•
man legt meist einen minimalen und maximalen
Wert für die Verschiebung der Koordinaten fest
•
jenach, wie steil der Gradient ist, wird die
Schrittweite vergrössert oder verkleinert
•
SD ist die schnellste Methode, wenn man eine
schlechte Startgeometrie besitzt
•
konvergiert langsam in der Nähe des Minimums
•
kann dort um das Minimum oszillieren
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Conjugate Gradient (CG) Methode
•
verwendet die ‘Geschichte’ der Minimierung,
also den vorherigen Wert di-1.
di = - gi + i-1 di-1
•
Im Gegensatz zu SD wird also implizit die
Information der zweiten Ableitungen
verwendet um die Suche zu steuern.
•
Es gibt viele Varianten von CG wie
Fletcher-Reeves, Davidon-Fletcher-Powell
und Polak-Ribiere Methoden.
•
CG konvergiert wesentlich schneller in der
Nähe des Minimums als SD!
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Methoden mit zweiter Ableitung
•
Die zweite Ableitung der Energie E bezüglich der (kartesischen)
Koordinaten r – die Hess’sche Matrix H(r) – bestimmt den Suchpfad.
Entwickle E(r) um r
E r   E r0   gt r  r0  
1
t
r

r
 0  H r  r0 
2
Dann ist der Newton-Raphson Schritt
r '   x i'
i
•
, x i'  
fi
i
fi ist die Projektion des Gradienten entlang des
Hess’schen Eigenvektors mit Eigenwert i.
•
Ist rechenaufwendiger, aber gewöhnlich
schnell und zuverlässig, besonders in
der Nähe des Minimums.
•
Varianten: Quasi-Newton (QN), Newton-Raphson ...
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Trust-Region basierender Descent Algorithmus [A2]
Nimm an, daß in einer inneren Region eine quadratische Funktion qk als Näherung
an f existiert, der man “vertrauen kann”. Es reicht dann aus, das Minimum dieser
quadratischen Funktion zu finden.
Algorithmus:
Von einem gegebenen Anfangspunkt x0 aus, führe für k = 0, 1, 2, … die folgenden
Schritte so lange aus bis Konvergenz eintritt.
(1) Überprüfe xk auf Konvergenz
(2) Berechne einen Schritt sk durch Lösen des Subproblems
min s qk s 
wobei qk das quadratische Model der Zielfunktion ist:
1
qk s   f x k   g Tk s  sT H k s
2
Dies gilt für s innerhalb einer Schranke k > 0.
Ausgedrückt mit einer Skalierungsmatrix Dk gilt
Dk s   k
(3) Setze xk+1 = xk + sk und k  k + 1 und gehe zurück nach (1)
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Computational Chemistry
23
praktische Empfehlungen
•
Benutze viele Startwerte
•
Vergleiche Ergebnisse mehrerer Algorithmen (bzw. mehrerer Kraftfelder)
•
überprüfe Eigenwerte im Minimum.
Bis auf 6 Eigenwerte, die fast gleich Null sein sollten und die Translations- und
Rotationsinvarianz wiederspiegeln, sollten alle positiv sein.
[Schlick, Kap. 10.7]
4. Vorlesung SS 2005
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24
Verfahren um das globale Energie-Minimum zu finden
•
Systematische Variation der Torsionswinkel
•
Randomization-minimization (Monte Carlo)
•
Moleküldynamik (Newton’sche Bewegungsgleichung)
•
Simulated Annealing (reduziere Temperatur während MD Simulation)
•
Genetische Algorithmen (man startet wird einer Menge von Konformationen;
kleine Veränderungen; behalte die der geringsten Energie; wiederhole diese
Schritte)
•
Reine Zufallssuche (funktioniert am schlechtesten)
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Systematische Variation der Torsionswinkel
Für N rotierbare Bindungen eines Moleküles, die mit
Auflösung d abgesucht werden sollen, gibt es Nd
Konformationen.
Dies geht nur bei kleiner Anzahl von Freiheitsgraden,
da sonst kombinatorische Explosion.
NIH guide to molecular modelling
http://cmm.info.nih.gov/modeling/
guide_documents/sybyl
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Systematische Variation der Torsionswinkel: Gridsuche
Vorgabe: Struktur soll bestimmte Distanzen
aus NMR-Messung erfüllen.
Lisa T. Kellogg
PhD thesis, MIT
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Systematische Variation der Torsionswinkel: Baumsuche
Lisa T. Kellogg
PhD thesis, MIT
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Computational Chemistry
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moderne Verfahren: Teile und Herrsche
(Divide-and-Conquer)
•
schließe Regionen des Konformationsraums aus aufgrund der Bewertung
von Unterproblemen niedriger Dimensionalität
•
verbessere Baumsuche
– bewerte jedes Stück bevor neue Aufgabe in Angriff genommen wird
– nachdem Unterproblem gelöst ist, speichere Ergebnis
– durch Zerlegung in Unterprobleme sind diese im Mittel leichter zu lösen
als bei der Baumsuche
Lisa T. Kellogg
PhD thesis, MIT
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Stochastische Methoden
Stochastische Suchverfahren, die nur wichtige Bereiche des Konformationsraums
durchsuchen ("importance sampling„) können wesentlich effizienter für
Konformationssampling in grossen Molekülen sein als systematische Methoden.
(1) Beginne mit Anfangskonfiguration; minimiere diese Struktur bezüglich Energie
(2) Wähle beliebige Anzahl an Torsionswinkeln dieser Konformation und variiere sie
zufällig. Dann minimiere die Konformation
(3) Benutze ein Energiekriterium um zu entscheiden, ob die neue Konformation
akzeptiert wird. Falls ja, fahre fort, sonst gehe zurück zu 1.
(4) Vergleiche die neue Struktur gegen die Menge aller alten Strukturen. Falls es
eine neue Konformation ist, speichere sie ab.
(5) Gehe zurück zu Schritt 2
(6) Beende die Suche wenn keine neuen Strukturen mehr gefunden werden.
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30
Anmerkungen zu Strukturen minimaler Energie
•
Was bedeutet die Struktur des globalen Energieminimums eigentlich?
Sie ist bei Raumtemperatur nämlich gar nicht populiert/besetzt/zugänglich.
•
Benutzen Reaktionen/Wechselwirkungen notwendigerweise diese
Geometrien minimaler Energie?
•
Welche anderen Konformationen niedriger Energie sind verfügbar?
 Boltzmann-Ensemble
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Boltzmann-Verteilung
(1) In einem System mit N Teilchen sei Teilchenzahl konstant.
(2) Gesamtenergie des Systems sei konstant.
D.h. es gibt Energieaustausch zwischen den Teilchen, aber nicht mit der
Umgebung.
(3) Wenn solch ein System im Gleichgewicht ist, ist die Energie der Teilchen E
entsprechend einer Boltzmann-Verteilung populiert:
 E
N E   N 0 exp   
 E0 
Boltzmann-verteilte Systeme findet man in vielen Bereichen der
Physikalischen Chemie.
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Phasenraumdichte
Die Wahrscheinlichkeitsdichte im Phasenraum (= kurz die “Phasenraumdichte”) ist
im kanonischen Ensemble proportional zum Boltzmann-Faktor:
 NVT  X   exp  E  X 
wobei E die Gesamtenergie des Systems ist und  = kBT.
Für zwei Zustände des Systems X und X’ lautet das Verhältnis ihrer Wahrscheinlichkeiten:
 NVT  X 
 exp  E ,
 NVT  X '
E  E  X   E  X '
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Phasenraumdichte
Der Normalisierungsfaktor der ersten Gleichung ist die Zustandssumme des
gesamten Phasenraums (Raum der 3N Koordinaten und 3N Geschwindigkeiten):
 NVT  X  
QNVT 
1
exp  E  X 
N!
QNVT
h 
3N
exp  E x dx

h N!
1
3N
Der Erwartungswert einer Observablen A des Systems lässt sich darstellen als:
A x 
NVT
   NVT  x A x dx
Im Metropolis-Algorithmus erzeugt man eine geeignete Markov-Kette von
Konfigurationen, so dass der Erwartungswert von A als einfacher Mittelwert folgt:
Ax 
4. Vorlesung SS 2005
NVT
1
 lim
M  M
M
  Ax 
i 1
i
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Markov-Kette
Betrachte Markov-Kette von N molekularen Zuständen {X1, X2, X3, ...} mit einer
Verteilung NVT(X) für N .
In einer Markov-Kette gehört jeder Zustand zu einer endlichen Menge an
Zuständen aus dem Zustandsraum D0  D.
Für die konditionelle Verteilung jedes Zustands P bezüglich aller vorherigen
Zustände gilt:
PX n1  D0 X 0 ,..., X n   PX n1  D0 X n 
d.h. das Ergebnis Xn+1 hängt nur von Xn ab.
Der Metropolis-Algorithmus erzeugt eine stochastische und ergodische
Übergangsmatrix für die Markovkette, so dass die Verteilung für jeden Zustand Xi
im Limit i = NVT (Xi) ist.
So wird eine Phasenraumtrajektorie im kanonischen Ensemble erzeugt.
4. Vorlesung SS 2005
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35
mikroskopische Reversibilität (“detailed balance”)
Lege Übergangsmatrix fest durch Definition einer Übergangswahrscheinlichkeit für
jeden Übergang von Xi nach Xj, so dass mikroskopische Umkehrbarkeit erfüllt ist:
 i ij   j ji
Das Verhältnis der Übergangswahrscheinlichkeiten hängt damit nur vom
Energieunterschied zwischen den Zuständen i und j ab:
i  ji

 exp  Eij 
 j  ij
Eij  E  X i   E X j 
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Metropolis Algorithmus
Die am häufigsten verwendete Technik zur Auswahl von Konformeren
(„importance sampling“) mittels Monte-Carlo-Methoden ist der Metropolis
Algorithmus:
(1) konstruiere Anfangskonfiguration des Moleküls
(2) führe zufällige Änderung eines Freiheitsgrades (z.B. eines Torsionswinkel)
durch.
(3) berechne Änderung der Energie E aufgrund dieser Änderung der
Konformation.
(4) falls E < 0
falls E > 0
akzeptiere die neue Konfiguration
berechne die Wahrscheinlichkeit
erzeuge Zufallszahl r im Intervall [0,1]
 E 

w  exp  
 k BT 
akzeptiere die neue Konfiguration, falls w  r, sonst verwerfe sie.
Da die Boltzmann-gewichtete Energiedifferenz mit einer Zufallszahl verglichen
wird, werden auch vereinzelt Konformere hoher Energie akzeptiert. Daher erhält
man ein Ensemble (Menge) von Konformationen mit einer Energieverteilung
entsprechend einer Boltzmann-Verteilung.
4. Vorlesung SS 2005
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37
Moleküldynamik-Simulation
Basiert auf Newtonscher Bewegungsgleichung für ein Atom i eines Moleküls:
 2r
Fi  m i 2
t
wobei Fi die Kraft, mi seine Masse und
die Beschleunigung ist, die auf Atom i wirkt.
 2ri
 ai
2
t
Die Kräfte lassen sich aus den Ableitungen der Energie nach den kartesischen
Koordinaten ausrechnen.
• Die Trajektorie eines Systems ist die Aneinanderreihung der einzelnen
Koordinaten und Geschwindigkeiten, also ein Film, der die Dynamik des Systems
zeigt.
• Ein Ensemble ist eine Menge von Konfigurationen, aus den man Eigenschaften
des Systems berechnen kann (mittlere Energie, Wärmekapazität ...)
• mehr zu MD-Simulationen folgt in Vorlesung 4
4. Vorlesung SS 2005
Computational Chemistry
38
Energie = potentielle Energie + kinetische Energie
was bedeutet Moleküldynamik ?
Startkonfiguration
Energie, die dem minimierten
System zu Beginn der Simulation
mitgeben wird.
lokales
Minimum
Konformation kann nicht durch
Standard-MD erreicht werden;
MD ist also nicht optimal für
Suche des Konformationsraums!
Konformationelle Koordinate
4. Vorlesung SS 2005
Computational Chemistry
39
Simulated Annealing
Beginne Konformationssampling (z.B. mit Moleküldynamik) bei hoher Temperatur
um Energiebarrieren leicht zu überwinden. Kühle Simulationstemperatur dann ab.
Temperatur
Viele verschiedene Abkühlstrategien möglich:
Simulationszeit
Davon ist keine “richtig” oder “falsch”. Wichtig ist, was praktisch funktioniert.
http://members.aol.com/btluke/simanf1.htm
4. Vorlesung SS 2005
Computational Chemistry
40
Genetische Algorithmen (GA)
•
Genetische Algorithmen basieren auf dem Prinzip der Vererbung und dem
Überleben des am besten Angepassten, “survival of the fittest”.
•
Starte Konformationssuche in lokalem Minimum (lokalen Minima). Eine
“Generation” i enthalte N Konformationen (z.B. N = 100).
•
Die nächste Generation i+1 unterliegt natürlicher Selektion, d.h. wir behalten
die N/Faktor Strukturen aus Generation i mit den niedrigsten Energien und
erzeugen im Sinne der “Evolution” neue Konformationen durch kleine
“Mutationen” der Elternkonformationen, also z.B. Änderungen der
Bindungswinkel und Torsionswinkel.
•
Interessant werden GAs durch Genduplikation und Cross-over.
4. Vorlesung SS 2005
Computational Chemistry
41
Genetische Algorithmen (GA)
Bsp. lineares n-mer Peptid mit 2n Diederwinkeln des Rückgrats.
Angenommen, es wurden 2 Konformationen gefunden, in denen entweder die
erste Hälfte des Peptids eine energetisch günstige Konformation einnimmt oder die
zweite.
Eine vorteilhafte “cross-over” Mutation kombiniert nun die zwei günstigen Hälften
des Moleküls miteinander.
4. Vorlesung SS 2005
Computational Chemistry
42
Sampling des Konformationsraums
Zurück zu der anfänglich gestellten Frage:
Was möchten wir charakterisieren?
– Verfeinerung einer experimentellen Struktur bei geringer Auflösung
(lokales Energieminimum)
– globales Energieminimum
– alle Minima geringer Energie
– die gesamte Oberfläche der PES einschliesslich Sattelpunkte und Maxima
– Einzelmoleküle oder Molekül-Ensembles?
Zu jedem dieser Problem gibt es einfache oder mächtige Methoden, die die
Lösung prinzipiell finden können.
In den Fällen grosser Moleküle mit vielen Freiheitsgraden ist eine perfekte
Lösung jedoch oft nicht praktikabel.
4. Vorlesung SS 2005
Computational Chemistry
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