Zerlegung in Teilprobleme Analogiebildung

Problemlösen im Mathematikunterricht
Michael Rüsing
B. M. V. – Schule
Bardelebenstraße 9
45147 Essen
[email protected]
Voraussetzungen
• Problemlösen kann man nur durch Problemlösen lernen
• Problemlösen muss ein durchgehendes Prinzip im
Mathematikunterricht sein
• Problemlösestrategien können in allen Gebieten der Mathematik
erfahren und eingeübt werden
• Schulbuchaufgaben müssen Anlässe zum Problemlösen bieten
Abgrenzung Problemlösen - Modellieren
(so wie es die Kernlehrpläne in NRW verstehen)
Modellieren: Arbeiten in außermathematischen Kontexten
Problemlösen: Arbeiten in innermathematischen
Situationen, nachdem das Modell aufgestellt worden ist
Klasse 6:
- wenden die heuristischen Strategien „Beispiele finden“, „Überprüfen
durch Probieren“, „Unterscheiden und Abarbeiten verschiedener Fälle“ an
- übersetzen Situationen aus Sachaufgaben in mathematische Modelle (Rechenoperationen, Terme,
Gleichungen, geometrische Darstellungen, Diagramme)
Klasse 8:
- überprüfen bei einem Problem die Möglichkeit mehrerer Lösungen
- wenden die heuristischen Strategien „Spezialfälle finden“ und
„Verallgemeinern“ an und variieren damit die Problemstellung
- nutzen verschiedene Darstellungsformen (Tabellen, Skizzen, Gleichungen) zur Problemlösung
Klasse 10:
- zerlegen komplexe Probleme in Teilprobleme
- nutzen verschiedene heuristische Strategien („Zerlegen“, „Analogie
bilden“, „Zurückführen auf Bekanntes“, „Vorwärts- und
Rückwärtsarbeiten“) und bewerten ihre Praktikabilität
Zusammenstellung einiger Problemlösestrategien
Systematisches Probieren
Vorwärtsarbeiten / Rückwärtsarbeiten
Transformation in eine andere Darstellungsart
-
Gleichung, Term, Graph, Skizze,Tabelle
Mustererkennung
Reduktion des Schwierigkeitsgrades
-
Komplexität, einfachere Werte, Umkehraufgabe
Zerlegung in Teilprobleme
Analogiebildung
Zusammenstellung einiger Problemlösestrategien
Systematisches Probieren
Vorwärtsarbeiten / Rückwärtsarbeiten
Transformation in eine andere Darstellungsart
-
Gleichung, Term, Graph, Skizze,Tabelle
Mustererkennung
Reduktion des Schwierigkeitsgrades
-
Komplexität, einfachere Werte, Umkehraufgabe
Zerlegung in Teilprobleme
Analogiebildung
Strategie: Suche das Nachbarfeld mit der größeren Zahl
Darstellung des Weges: • Polygonzug
• Codierung u-r-r-r-u-r-u
Problem der Eindeutigkeit der Lösung
75000
70500
70050
70005
57000
50700
50070
50007
07500
07050
07005
05700
05070
05007
00750
00705
00570
00507
00075
00057
75000
70500
70050
70005
07500
07050
07005
00750
00705
00075
Strategie „Durchschieben“
4
7
5
0
0
0
75000
70500
70050
70005
Strategie „Durchschieben“
4
07500
07050
07005
3
00750
00705
2
00075
1
7
5
0
0
0
7
5
0
0
0
Ergänzende Problemstellung:
Wie viele unterschiedliche Wege gibt es von A nach E?
Ergänzende Problemstellung:
Wie viele unterschiedliche Wege gibt es von A nach E?
Wende die Strategie „Durchschieben“ an
7 Buchstaben: 4 x r und 3 x u
u
u
u
u
u
u
r
r
r
r
u r r r
u u r r
r u u r
r r u u
r r r u
r
r
r
r
u
5 Positionen
4 Positionen
3 Positionen
2 Positionen
1 Position
r u u u r r r
r r u u u r r
r r r u u u r
4+3+2+1 Pos
3+2+1 Pos
2+1 Pos
r r r r u u u
1 Pos
Zusammenstellung einiger Problemlösestrategien
Systematisches Probieren
Vorwärtsarbeiten / Rückwärtsarbeiten
Transformation in eine andere Darstellungsart
-
Gleichung, Term, Graph, Skizze,Tabelle
Mustererkennung
Reduktion des Schwierigkeitsgrades
-
Komplexität, einfachere Werte, Umkehraufgabe
Zerlegung in Teilprobleme
Analogiebildung
Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen
Übertragung in eine andere Darstellung
(1) K > A; K > J
(2) K > L;
F>L
(3) F > N;
F an Position 1;
N an Position 2
F > N > K; die Reihenfolge von A, L und J ist unbestimmt
Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen
Übertragung in eine andere Darstellung
(1) K > A; K > J
(2) K > L;
F>L
(3) F > N;
F an Position 1;
N an Position 2
Weitere Fragestellungen:
Welche Aussage war überflüssig?
Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen
Übertragung in eine andere Darstellung
(1) K > A; K > J
F<L
(2) K > L;
F>L
(3) F > N;
F an Position 1;
N an Position 2
Weitere Fragestellungen:
Ersetze (2) durch „Florian ist jünger als Leila.“
5. Stunde
Arbeit am Vormittag
Lehrling in einer Stunde
Maler in einer Stunde
Zusammenstellung einiger Problemlösestrategien
Systematisches Probieren
Vorwärtsarbeiten / Rückwärtsarbeiten
Transformation in eine andere Darstellungsart
-
Gleichung, Term, Graph, Skizze,Tabelle
Mustererkennung
Reduktion des Schwierigkeitsgrades
-
Komplexität, einfachere Werte, Umkehraufgabe
Zerlegung in Teilprobleme
Analogiebildung
n3 = 3² + 2 · 3
n3 = 3² + 2 · 3
n100 = 100² + 2 ·100
n3 = 4² - 1
n100 = 101² - 1
Ergänzung: Bestimme Umfang und Flächeninhalt der
Figur im 100. Schritt
Flächeninhalt:
1
2
+1
3
+1
4
+1
Rechteckmuster mit Anfangswert 1 und Additionszahl 1
Umfang:
4
6
+2
8
+2
10
+2
Rechteckmuster mit Anfangswert 4 und Additionszahl 2
Verschiedene Zählweisen für die 4. Figur
100. Figur
2·5
2 · 101
2·4+2
2 · 100 + 2
5·2
101 · 2
Paradoxon des Zenon (Klasse 11)
Vereinfachungen:
Argumentationsschritt
Geschwindigkeit Achill 10 m/s
Geschwindigkeit Schildkröte 5 m/s
Vorsprung 10 m
Zeitpunkt
Ort von Achill
Ort der
Schildkröte
Vorsprung
0
0
0
10
10
1
1
10
15
5
2
1,5
15
17,5
2,5
3
1,75
17,5
18,75
1,25
4
1,875
18,75
19,375
0,625
Paradoxon des Zenon (Klasse 11)
Vereinfachungen:
Argumentationsschritt
Geschwindigkeit Achill 10 m/s
Geschwindigkeit Schildkröte 5 m/s
Vorsprung 10 m
Zeitpunkt
Ort von Achill
Ort der
Schildkröte
Vorsprung
0
0
0
10
10
1
1
10
15
5
2
1,5
15
17,5
2,5
3
1,75
17,5
18,75
1,25
4
1,875
18,75
19,375
0,625
Paradoxon des Zenon (Klasse 11)
Vereinfachungen:
Geschwindigkeit Achill 10 m/s
Geschwindigkeit Schildkröte 5 m/s
Vorsprung 10 m
Argumentationsschritt
Zeitpunkt
Ort von Achill
0
0
0
10
10
1
1
10 = 10 · 1
15
5
2
1,5
17,5
2,5
3
1,75 17,5 = 10 · 1,75
18,75
1,25
4
1,875 18,75 = 10 · 1,875
19,375
0,625
15 = 10 · 1,5
Ort der
Schildkröte
Vorsprung
Paradoxon des Zenon (Klasse 11)
Vereinfachungen:
Geschwindigkeit Achill 10 m/s
Geschwindigkeit Schildkröte 5 m/s
Vorsprung 10 m
Argumentationsschritt
Zeitpunkt
Ort von Achill
0
0
0
1
1
10 = 10 · 1
2
1,5
3
1,75
1,75 17,5 = 10 · 7/4
18,75
1,25
4
10··1,875
15/8
1,875 18,75 ==10
19,375
0,625
1,5
15 = 10 · 3/2
Ort der
Schildkröte
Vorsprung
10
10
2 51
10  n2,5
17,5
1
2
15
n
Zusammenstellung einiger Problemlösestrategien
Systematisches Probieren
Vorwärtsarbeiten / Rückwärtsarbeiten
Transformation in eine andere Darstellungsart
-
Gleichung, Term, Graph, Skizze,Tabelle
Mustererkennung
Reduktion des Schwierigkeitsgrades
-
Komplexität, einfachere Werte, Umkehraufgabe
Zerlegung in Teilprobleme
Analogiebildung
E 6.4 Eine Klassenfahrt wird geplant
Die Klasse 6c will eine Wanderfahrt machen. Es soll ins 165
km entfernte Waldbach gehen. Dort wollen die 32
Schülerinnen und Schüler mit zwei Begleitern 5 Tage lang in
der Jugendherberge bleiben. An einem Tag ist die
Besichtigung der nahe gelegenen Burg ‚Schreckenstein’ mit
einer Führung geplant.
Nun unterhalten sich die Schülerinnen und Schüler darüber,
wie viel jeder einzelne bezahlen muss.
a) Ergänze die unvollständigen Sprechblasen und setze das
Gespräch fort.
b) Die 1. Sprechblase kann in die Sprache der Mathematik
übersetzt werden:
Einzelkosten = Gesamtkosten : Schülerzahl
c) Übersetze die weiteren Sprechblasen und auch deine
Fortsetzung des Gespräches in die Sprache der
Mathematik.
d) Vergleiche die Reihenfolge, in der du schließlich rechnen
kannst mit der Reihenfolge des Sprechblasen.
e) Die gesamte Abfolge kann in einem Lösungsplan
übersichtlich zusammengestellt werden. Der Anfang ist
hier schon vorgemacht.
Einzelkosten
Gesamtkosten
=
Gesamtkosten
=
=
: Schülerzahl
Fahrkosten +
+
=
f) Welche Informationen aus den Angeboten werden zum
Lösen der Aufgabe nicht benötigt?
Busse Reisen, 57823 Neustadt
Angebot
Auf Ihre Anfrage vom 13.5. machen wir folgendes
Angebot:
Bus mit 38 Plätzen Waldbach (165 km) hin und zurück
zum Gesamtpreis von 800 €.
Wir würden uns freuen, Ihre Klasse zu fahren.
Jugendherberge Waldbach
Wir danken für Ihre Anfrage und teilen Ihnen hiermit unsere
Preise mit:
Tagessatz einschließlich Verpflegung 26,00 € pro Person.
Bei Gruppen von mehr als 25 Personen gewähren wir zwei
Freiplätze.
Wir freuen uns auf Ihren Aufenthalt in unserer Herberge
Burg Schreckenstein – die Attraktion von Waldbach
Öffnungszeiten täglich von 10.00 Uhr bis 18.00 Uhr
Eintritt: Kinder bis 14 Jahre
Jugendliche / Erwachsene
Gruppen ab 10 Personen
1,50 €
2,50 €
1,20 € pro Person
Für Gruppen bieten wir qualifizierte Führungen zum historischen
Hintergrund an. Preis für die gesamte Gruppe 40,00 €
Fazit
In modernen Schulbüchern lassen sich Aufgaben zur
Problemlösekompetenz finden
In vielen dieser Aufgaben steckt weiteres Potential
Ergänzungen der vorgegebenen Aufgaben sind oft sinnvoll
Wir müssen unseren Blick für Problemlöseaufgaben schärfen