Portfolioverlustverteilung Erwarteter und unerwarteter Verlust eines

Portfolioverlustverteilung
Erwarteter und unerwarteter Verlust eines Schuldners
 Vereinfachende Annahmen:
 Unabhängigkeit der Stochastik von EaD, PD und LGD
 Erwarteter Verlust beim Schuldner i:
ELit (T)  v 0 (t, T)  (1 δ i )  Qit (τ *  T)  EADi (t, T)  LGDi  PDi
 Im folgenden bezeichne die Zufallsvariable L die stochastische Verlustquote.
 Es gilt: L = 1 – d
 Es gilt:  f(L)dL  1
 Es gilt: E(L)   Lf(L)dL  LGD
 Es gilt:
E(L2 )   L2 f(L)dL   [(L - E(L))2  2  L  E(L) - E 2 (L)]f(L)dL  var(L)  LGD 2  σ L2  LGD 2
Kreditrisikomanagement und Ratingverfahren, WS 2006/2007, Dr. G. Knöchlein
1
Portfolioverlustverteilung
Erwarteter und unerwarteter Verlust eines Schuldners
 Preis einer risikobehafteten Anleihe





~
~
~
v i (t, T)  v 0 (t, T) Et δ  (1 δ)(1  1τ* T )  v 0 (t, T) Et (1- L)  L - L 1τ* T  v 0 (t, T) Et 1 - L 1τ* T

 Mögliche zufällige Rückzahlung (diskontiert auf Zeitpunkt t)


w i (t, T)  v 0 (t, T) 1 - L 1τ * T

 Es gilt (mit 1 * T
2


 1 * T ):
w 2i (t, T)  v 20 (t, T) 1- 2  L 1τ * T  L2 1τ * T

 Unerwarteter Verlust: Definition als Varianz der (diskontierten) möglichen zufälligen
Rückzahlung
UL2i  var(w i (t, T))  E(w 2i (t, T))  E2 (w i (t, T))
E(w 2i (t, T))  v 0 (t, T)[1- 2  LGD  PD  E(L2 )  PD]  v 0 (t, T)[1- 2  LGD  PD  PD  (σ 2L  LGD 2 )]
2
2
E2 (w i (t, T))  v 0 (t, T)[1- 2  LGD  PD  LGD 2  PD2 ]
2
2
UL2i  E(w 2i (t, T))  E2 (w i (t, T))  v 02 (t, T)[PD  σL2  LGD 2  σ 2PD ] mit σPD
 PD  (1 PD)
UL i  w i (t, T) PD  σL2  LGD 2  σ 2PD
(Vgl. Ong)
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2
Portfolioverlustverteilung
Erwarteter Verlust und unerwarteter Verlust auf Portfolioebene
 Ein Portfolio bestehe aus N risikobehafteten Assets indiziert mit i = 1,2, ..., N
 Erwarteter Verlust auf Portfolioebene
ELP   ELi   (EaDi  LGDi  PDi )
i
i
 Der Expected Loss auf Portfolioebene ergibt sich additiv aus dem Expected
Loss auf Schuldnerebene.
 Unerwarteter Verlust auf Portfolioebene
 Hierfür werden Gewichte für die einzelnen Assets eingeführt, die den Anteil am
Gesamtportfolio beschreiben:
ωi 
vi
v
 i;
 vi vP

i
1
i
i
 Der unerwartete Verlust auf Portfolioebene ist definiert als Wurzel aus der
Varianz des Portfolioexposures


UL P  var  ωi v i 
 i

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3
Portfolioverlustverteilung
Erwarteter Verlust und unerwarteter Verlust auf Portfolioebene
 Für den unerwarteten Verlust gilt bei deterministischem LGD (sL2 = 0):


UL P   ωiω jρijUL iUL j 
 i j

1
2
 Die Größe rij bezeichnet die Ausfallkorrelation zwischen Asset i und Asset j.
ρij 
E[1τ * T 1τ * T ]  PDi  PD j
i
j
σ PDi  σ PD j
 Näheres zur Ausfallkorrelation im weiteren Verlauf der Vorlesung
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Portfolioverlustverteilung
Erwarteter Verlust und unerwarteter Verlust auf Portfolioebene
 Herleitung der Formel für den unerwarteten Verlust (Notation: 1i  1τi* T ; LGD determinist.):
2

 2





2



UL P  E   ωi w i   E   ωi w i   E  ωiω j w i w j    ωiω jE(w i )E(w j )
 i
 
 i

 i j
 i j

 v 02  ωiω j E1 LGDi 1i 1 LGD j 1j   1 LGDi  PDi 1 LGD j  PD j 

i
j
i
j


 v 02  ωiω jLGDiLGD j E1i 1j   PDi  PD j

 v 02  ωiω jLGDiLGD jσ PDi σ PD j ρij
i
j
  ωiω jUL iUL jρij
i
j
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Portfolioverlustverteilung
Erwarteter Verlust und unerwarteter Verlust auf Portfolioebene
 Der unerwartete Verlust auf Portfolioebene setzt sich nicht additiv aus dem
unerwarteten Verlust der einzelnen Assets zusammen. Da die Ausfallkorrelationen
typischerweise deutlich kleiner als 1 sind, gilt:
~
UL P   ωiUL i   ULi
i
i
 Der unerwartete Verlust auf Portfolioebene ist also deutlich kleiner als die Summe der
individuellen unerwarteten Verluste.
 Ursache sind Diversifikationseffekte auf Portfolioebene.
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Portfolioverlustverteilung
Risikobeiträge zum unerwarteten Verlust auf Portfolioebene
 Gesucht ist eine Größe auf Schuldnerebene, die sich bei Summation über alle Assets
des Portfolios zum unerwarteten Verlust auf Portfolioebene addiert.
 Die Größe wird als Risikobeitrag bezeichnet.
UL P   RCi
i
 Da das Quadrat des unerwarteten Verlustes auf Portfolioebene der Varianz des
Portfoliowerts entspricht, wird die Zerlegung von ULP in die einzelnen Risikobeiträge
auch als Varianzzerlegung bezeichnet.
 Zur Berechnung der einzelnen Risikobeiträge wird folgende Definition des
Risikobeitrags verwendet („Eulersche Kapitalallokation“):
~ UL P
RCi  ULi
~
ULi
 Der Risikobeitrag ist ein Sensitivitätsmaß. Das Verhältnis von Risikobeitrag eines
Assets i zum unerwarteten Verlust eines Assets i gibt an, um wie viele GE sich der
unerwartete Verlust des Portfolios ändert, wenn sich der unerwartete Verlust des
Assets i um eine Geldeinheit erhöht.
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Portfolioverlustverteilung
Risikobeiträge zum unerwarteten Verlust auf Portfolioebene
 Berechnung des Risikobeitrags aus der Formel für ULP
~ UL P
~
1
RC k  ULk

U
L

~
k
2UL P
ULk
~
U Lk

UL P
~ 
 ~
2U
L

2
U
L

k
iρik 

ik


~
~
 ~

ULk   ULiρik  ULk ρkk 
i


~
~ 
U Lk  ~

U
L
(1

ρ
)

U
L

k
kk
iρik 

UL P 
i

~
~
ULk  ULiρik
i

UL P
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Portfolioverlustverteilung
Risikobeiträge zum unerwarteten Verlust auf Portfolioebene
 Der Risikobeitrag ist ein Maß für das undiversifizierte Risiko eines Assets im Portfolio.
 Anschaulich kann der Risikobeitrag eines Assets als kleinste Einheit des Kreditrisikos
eines Assets i im Portfolio betrachtet werden. Die Summe dieser Einheiten beschreibt
das Gesamtrisiko des Portfolios, den ULP.
 Problem: In der Praxis ist es schwierig, paarweise Ausfallkorrelationen für alle
Schuldner eines Portfolios zu ermitteln.
 Für ein Portfolio von N=100 Schuldnern existieren theoretisch N(N-1)/2=4950
paarweise Ausfallkorrelationen.
 In der Praxis unterstellt man häufig bei der Kreditrisikomodellierung eine Struktur der
Ausfallkorrelationen, die von Sektoren (Branchen, Regionen), nicht aber von
einzelnen Schuldnern abhängt.
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Portfolioverlustverteilung
Risikobeiträge zum unerwarteten Verlust auf Portfolioebene
 Hierzu geht man aus von:
RC k 
~
~
ULk  ULiρik
i
UL P
 Man führt zwei Sektorindizes a und b ein.
 Man verwendet das Ersetzungsschema
 k => ind a
 i => ind b
 Es resultiert eine Beziehung für den Risikobeitrag, die von den Inter-SektorKorrelationen abhängt (Kreditnehmer k in Sektor a):
~
U Lk
RC k 
UL P
 
~ 
   UL j ρβα 
 β  jβ
 
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Portfolioverlustverteilung
Risikobeiträge zum unerwarteten Verlust auf Portfolioebene
 Beispiel:
 Exposure 1:

EAD1 = 8.250.000

PD1 = 0,15%

sPD1 = 3,87%

LGD1 = 50%

sLGD1 = 25%

EL1 = 6.188

U L1 = 178.511
~
 Exposure 2:

EAD2 = 1.740.000

PD2 = 4,85%

sPD2 = 21,48%

LGD2 = 35%

sLGD2 = 24%

EL2 = 29.537

U L2 = 159.916
~
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Portfolioverlustverteilung
Risikobeiträge zum unerwarteten Verlust auf Portfolioebene
 Beispiel (Forts.):
 Portfolio = Exposure 1 + Exposure 2:
 r = 3,00%
 ELP = EL1 + EL2 = 35.724
~2
~2
~ ~
 UL  UL

U
L

2U
L
P
1
2
1UL2ρ  243.212
UL 1
UL1  ρUL 2   134.543
UL P

RC1 

~
~
U L2 ~
RC 2 
UL2  ρU L1  108.669
UL P


 RC
+ RC~ 2 = ULP = 243.212
~ 1
 U L1 + U L2 >> ULP = 338.427
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Portfolioverlustverteilung
Übergang vom Asset-Wert zum Verlust
 Im folgenden wird nur noch der stochastische Verlust aus einer Asset Position i
betrachtet, der definiert ist als
 i  ωi (v 0 (t, T) - w i (t, T))  ωi v 0 (t, T)L i 1τ * T  EaDi  Li 1τ * T
i
i
 Der quadrierte unerwartete Verlust auf Schuldner- und Portfolioebene kann analog
zur bisherigen Vorgehensweise als Varianz der stochastischen Verlustvariablen
definiert werden.
 Da der Übergang von der Asset-Wert-Variablen zur Verlustvariablen lediglich eine
konstante Verschiebung darstellt, können die Ergebnisse für den unerwarteten Verlust
auf Schuldner- und Portfolioebene unverändert weiterverwendet werden.
 Der potenzielle Verlust aus einem Portfolio mit n verschiedenen Kreditengagements
kann durch die Zufallsvariable
n
L   i
i1
dargestellt werden.
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Portfolioverlustverteilung
Eigenschaften der Portfolioverlustverteilung
 Die zufällige Portfolioverlustvariable hat mögliche Realisationen zwischen
 Lmin  0 falls sämtliche Schuldner nicht ausfallen und
n
Lmax  i 1Li  EaDi falls sämtliche Schuldner ausfallen und Li deterministisch.
 Für die Risikoanalyse ist insbesondere die Verlustverteilung, d.h. die
Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen L von Bedeutung (neben den von
der konkreten Verteilung unabhängigen Größen EL, UL und RC).
 Sie ist u.a. Grundlage für die Berechnung von Risikomaßen wie dem Value-at-Risk.
 Ist L normalverteilt, so ist die Verteilung vollständig durch ELP und ULP, also durch
die erwarteten und unerwarteten Verluste der einzelnen Schuldner sowie die
paarweisen Ausfallkorrelationen beschrieben.
 Bei anderen Verteilungen reichen diese Größen zur vollständigen Charakterisierung
der Verteilung i.a. nicht aus.
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Portfolioverlustverteilung
Eigenschaften der Portfolioverlustverteilung unter bestimmten Annahmen
 Grundsätzlich wird im folgenden von einem LGD von 100% ausgegangen.
 Im folgenden werden drei Annahmen betrachtet:
 A1: stochastische Unabhängigkeit der Ausfallvariablen
 A2: Homogenität der Ausfallbeträge: EAD1 = EAD2 = ... = EADn
 A3: Homogenität der Ausfallwahrscheinlichkeiten: PD1 = PD2 = ... = PDn
 Fall a) A1, A2 und A3 sind erfüllt
 ObdA wird unterstellt: EADi = 1 und PDi = p für i = 1, ..., n
 Der Verlust ist in diesem Spezialfall eine binomialverteilte Zufallsvariable mit
den Parametern n und p
n
 L   1i ~ B(n; p)
i1
 Dabei gilt: E(L )  np;
var( L )  np(1  p)
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Portfolioverlustverteilung
Eigenschaften der Portfolioverlustverteilung unter bestimmten Annahmen
 Fall a) [Forts.]
 Die Binomialverteilung kann für hinreichend großes n durch eine
Normalverteilung approximiert werden:
B(n; p)  N(μ(σ 2 );
μ  np;
σ 2  np(1  p)
 Die Güte der Approximation ist um so schlechter, je weiter p von 0,5 entfernt ist.
 Da für Anwendungen im Bereich der Kreditrisikomessung deutlich kleinere
Werte von p typisch sind, bietet sich eine alternative Approximation durch die
Poisson-Verteilung an:
B(n; p)  Poi( )
λ  np
 Fall b) A1 und A2 sind erfüllt
 Bei inhomogenen Ausfallwahrscheinlichkeiten ist L  i11i
eine Summe
unabhängiger, aber nicht identisch verteilter Zufallsvariablen mit
n
n
E(L )   PDi ;
i1
n
var(L)   PDi (1  PDi )
i1
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Portfolioverlustverteilung
Eigenschaften der Portfolioverlustverteilung unter bestimmten Annahmen
 Fall b) [Forts.]
 Die Frage, ob die Portfolioverlustvariable näherungsweise normalverteilt ist, ist
auch für sehr große n nicht trivial zu beantworten.
 Aus der asymptotischen Statistik ergibt sich, dass für eine zunehmende Anzahl
der Summanden mit einer asymptotischen Normalverteilung dann gerechnet
werden kann, wenn keiner der Summanden dominierend wird.
 Im vorliegenden Fall ist die Existenz von Schranken c und d mit 0 < c < Pdi <= d
< 1 für alle Wahrscheinlichkeiten eine hinreichende Bedingung für die
Verteilungskonvergenz der Summe gegen die Normalverteilung. Als
Approximation bietet sich daher bei großer Anzahl von Summanden eine
Normalverteilung mit den Parametern E(L ) und var(L ) an. Falls alle
Wahrscheinlichkeiten klein sind, bietet sich die Approximation durch eine
Poissonverteilung mit dem Parametern =E( L ) an.
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Portfolioverlustverteilung
Eigenschaften der Portfolioverlustverteilung unter bestimmten Annahmen
 Fall c) A1 und A3 sind erfüllt
 Bei stochastischer Unabhängigkeit, homogenen Ausfallwahrscheinlichkeiten
und inhomogenen Ausfallbeträgen ergibt sich für den Verlust eine
Linearkombination von stochastisch unabhängigen und identisch verteilten
Zufallsvariablen mit
n
E(L )  PD EaDi ;
i1
n
var( L )  PD(1 PD) EaDi2
i1
 Die formalen Bedingungen, unter denen sich asymptotisch eine
Normalverteilung einstellt, bedeuten anschaulich, dass keiner der Ausfallbeträge
die anderen dominiert.
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Portfolioverlustverteilung
Modellierung von Abhängigkeiten bei den Ausfällen
 Annahme der Unabhängigkeit der Ausfallereignisse ist eine starke Idealisierung
 Unabhängigkeit der Ausfallereignisse ist ggfs. näherungsweise im Retail-Geschäft
(Kreditkartenforderungen, Baufinanzierungen, Verbraucherkredite) gerechtfertigt
 Unabhängigkeit der Ausfallereignisse ist gerade im Wholesale-Geschäft nicht
gegeben.
 Konzentrationsrisiken (z.B. Branchen, Regionen) und Dominoeffekte (z.B.
Lieferanten-Abnehmer-Beziehungen) führen dazu, dass positiv korrelierte Ausfälle
beobachtet werden.
 Negative Ausfallkorrelationen sind eher von theoretischer Natur (Beispiel:
Konkurrenzsituation im Oligopol, wo der Ausfall eines Konkurrenten die
Ertragssituation der übrigen Konkurrenten verbessert).
 Alternative zur Unabhängigkeitsannahme: Spezifikation spezieller
Abhängigkeitsstrukturen
 Beispiel: Modell mit bedingter Unabhängigkeit der Ausfallvariablen
 Beispiel: Modell mit einem Vektor kontinuierlicher Bonitätsvariablen
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Portfolioverlustverteilung
Modellierung von Abhängigkeiten bei den Ausfällen: bedingte Unabhängigkeit
 Ansatz: Modellierung positiver Ausfallkorrelation für den Fall homogener
Ausfallbeträge und homogener Ausfallwahrscheinlichkeiten
 Grundidee: Die Ausfallwahrscheinlichkeit (zu unterscheiden von der
Ausfallindikatorvariable!) ist selbst eine variable Größe, deren Variabilität auf konkrete
Einflussfaktoren (z.B. Konjunkturvariablen oder unbeobachtbare Risikofaktoren
(latente Variablen)) zurückzuführen ist.
 Bedingt auf diese Einflussfaktoren werden die Ausfallindikatorvariablen als
stochastisch unabhängig angenommen.
 Über die gemeinsame Reaktion auf sich ändernde Einflussfaktoren ergibt sich
positive Korrelation der Ausfallindikatorvariablen.
 Die Ausfallwahrscheinlichkeit hängt in diesem Ansatz von einer Zufallsvariablen X ab,
die stellvertretend für die Einflussfaktoren steht.
 Durch die Abhängigkeit von X ist die Ausfallwahrscheinlichkeit eine Zufallsvariable
PD(X) mit dem Erwartungswert mPD = E(PD(X)) und der Varianz sPD2 = var(PD(X)).
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Portfolioverlustverteilung
Modellierung von Abhängigkeiten bei den Ausfällen: bedingte Unabhängigkeit
 Für jede einzelne Ausfallvariable sind sowohl die bedingten Verteilungen
1i | X  x ~ B(PD(x))
für verschiedene Realisationen x von X als auch die unbedingte Verteilung
1i ~ B(μPD )
Bernoulliverteilungen mit den Parametern PD(x) bzw. mPD.
 Durch die Annahme der bedingten Unabhängigkeit liegt zusammen mit der Verteilung von
PD(x) auch die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung der Ausfallvariablen fest.
 Insbesondere gilt: E(1j1k | X  x)  E(1j | X  x)  E(1k | X  x)  PD2 (x)
2
 E(1j1k )  E(PD2 (X));
cov(1j ;1k )  E(PD2 (X))  μ2PD  σPD
cov(1j ;1k )
 ρ jk 
 0 (unbedingte Korrelation)
μPD (1 μPD )
Konzept der bedingten Unabhängigkeit ermöglicht Modellierung unbedingter positiver
Korrelation. Dabei haben die auf jeden Zustand X = x bedingte Kovarianz und Korrelation
den Wert Null.
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Portfolioverlustverteilung
Modellierung von Abhängigkeiten bei den Ausfällen: kontinuierliche Bonitätsvariablen
 Ausgangspunkt: Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung von n
Ausfallindikatorvariablen ist schwierig zu spezifizieren, da diese eine große Zahl von
Parametern enthält:
 Einfache Ausfallwahrscheinlichkeiten
 Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit von zwei Krediten (normale Korrelation)
 Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit von drei Krediten
 ...
 Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit von n Krediten
 Die Angabe von Korrelationen legt nur die gemeinsamen Ausfallwahrscheinlichkeiten
und zweidimensionalen Wahrscheinlichkeitsverteilungen von jeweils zwei Krediten
fest, definiert aber nicht die gemeinsame Verteilung von mehr als zwei Krediten.
 Ansatz zur Modellierung der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung von n
Ausfallvariablen mit reduzierter Anzahl von Parametern: Verwendung kontinuierlicher
normalverteilter Bonitätsvariablen
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Portfolioverlustverteilung
Modellierung von Abhängigkeiten bei den Ausfällen: kontinuierliche Bonitätsvariablen
 Im Modell mit kontinuierlichen Bonitätsvariablen tritt das Ausfallereignis dann ein,
wenn die Bonitätsvariable Bj eine bestimmte Ausfallschranke (default threshold) zj
unterschreitet.
 Dabei gilt: P(B j  z j )  PD j
 Die Ausfallindikatorvariable hängt damit von Bj ab via: 1j  1B j z j 
 Wenn die Bonitätsvariablen einer gemeinsamen multivariaten Normalverteilung
folgen, so besitzen die Ausfallvariablen eine Abhängigkeitsstruktur, die vollständig
durch die Parameter der multivariaten Normalverteilung fixiert ist.
 Dadurch wird eine erhebliche Reduktion der Parameteranzahl erreicht.
 Die Bonitätsvariablen sind in der Regel latente, nicht direkt beobachtbare Variablen,
deren Korrelationsstruktur über die Korrelationsstruktur von Proxyvariablen geschätzt
wird.
 Beispiel: Im Kreditrisikomodell CreditMetrics von JP Morgan wird der sog. Asset-WertAnsatz verwendet: Dabei wird die geschätzte Korrelationsstruktur von
Aktienkursrenditen genutzt, um die Korrelationsstruktur von latenten Bonitätsvariablen
zu spezifizieren, durch welche simultane Ausfallwahrscheinlichkeiten und
Wahrscheinlichkeiten für simultane Bonitätsänderungen erklärt sind.
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Portfolioverlustverteilung
Modellierung von Abhängigkeiten bei den Ausfällen: kontinuierliche Bonitätsvariablen
 Asset-Return-Verteilung und Schwellenwerte für ein Unternehmen mit aktuellem
Rating von BB
Stochastischer Asset-Return
ZD
Default
ZCCC
ZBB ZBBB ZA
ZB
Downgrade
nach B
Unternehmen
bleibt in BB
ZAA
Upgrade
nach BBB
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Portfolioverlustverteilung
Modellierung von Abhängigkeiten bei den Ausfällen: kontinuierliche Bonitätsvariablen
 Beispiel: Zwei Schuldner; Schuldner 1 ursprünglich in Ratingklasse BBB mit
Ausfallwahrscheinlichkeit 0,18%; Schuldner 2 ursprünglich in Ratingklasse A mit
Ausfallwahrscheinlichkeit von 0,06%.
Wie hoch sind die Asset-Rendite-Schwellen für einen Ausfall und für die möglichen
Ratingübergänge bei Schuldner 1 bzw. Schuldner 2?
 Übergangswahrscheinlichkeiten und Asset-Rendite-Schwellen für Schuldner 1
Rating
Wahrscheinlichkeit Schwelle
Bereich Z(i)
AAA
0,02%
AA
0,33% Z(AA)
3,540
A
5,95% Z(A)
2,696
BBB
86,93% Z(BBB)
1,530
BB
5,30% Z(BB)
-1,494
B
1,17% Z(B)
-2,179
CCC
1,12% Z(CCC)
-2,748
Default
0,18% Z(Default)
-2,912
Zdefault = N-1[PD] = N-1[0,0018] = -2,912
...
 Übergangswahrscheinlichkeiten und Asset-Rendite-Schwellen für Schuldner 2
Rating
AAA
AA
A
Wahrscheinlichkeit Schwelle
Bereich Z(j)
0,09%
2,27% Z(AA)
91,05% Z(A)
3,120
1,980
BBB
5,52% Z(BBB)
-1,510
BB
0,74% Z(BB)
-2,300
B
0,26% Z(B)
-2,720
CCC
0,01% Z(CCC)
-3,190
Default
0,06% Z(Default)
-3,240
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25
Portfolioverlustverteilung
Modellierung von Abhängigkeiten bei den Ausfällen: kontinuierliche Bonitätsvariablen
 Beispiel:
Im Juli 1999 betrug die PD von Air Canada (Schuldner A) 2%, die von Delta Airlines
(Schuldner B) 0,5%. Die aus historischen Daten ermittelte Korrelation η der AssetRenditen betrug 43%.
Wie hoch ist die gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit beider Airlines und wie hoch
ist die Ausfallkorrelation?
Die Asset-Return-Prozesse werden durch die bivariate standardisierte
Normalverteilung mit Korrelation von 43% beschrieben:
N-1 ( 0 , 02) N-1 ( 0 , 005)
ZDefault(A) ZDefault(B)

E(1A 1B ) 

 f(x
A
; xB ; η)dx A dxB 



 f(x
A
; xB ;0,43 )dx A dxB  0,0935%

Für die Ausfallkorrelation gilt:
ρ A,B
E(1A 1B )  PDAPDB
0,0935%  2%  0,5%


 0,0846
PDA  (1 PDA ) PDB  (1 PDB )
2%  98%  0,5%  99,5%
f(x, y, η) 


1
2
2
exp (x

y

2ηηxy

2
2π 1- η2
 2(1- η )

1
Kreditrisikomanagement und Ratingverfahren, WS 2006/2007, Dr. G. Knöchlein
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