MT_Th2_GUM_Unsicherheit

Grundlagen der Messtechnik
Theorie 2. Teil
Studiengang Elektrotechnik, 1. Semester
Herbst 2011
Martin Schlup & Franz Baumgartner
11. Sept. 2013
ZHaW - SoE - bauf/spma
1
Was wird von einem Messergebnis
erwartet?
• (gegebenenfalls gemittelter) Messwert
(korrigiert um die systematischen
Fehler): 9.20 V
• Messunsicherheit: ± 0.03 V
• Vertrauensbereich: Der gesuchte Wert
befindet sich mit 95%-iger Wahrscheinlichkeit im Bereich 9.20 V ± 0.03 V
11. Sept. 2013
ZHaW - SoE - bauf/spma
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Systematische Abweichungen
Jede Messung ist mit systematischen und zufälligen
Abweichungen verbunden.
Systematische Abweichungen sind dadurch
gekennzeichnet, dass sie identifiziert und bestimmt
werden können, bzw. hinsichtlich Betrag und
Vorzeichen bekannt sind. Die Messergebnisse
können also um die bekannten systematischen
Abweichungen korrigiert werden.
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ZHaW - SoE - bauf/spma
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Zufällige Abweichungen
Zufällige Abweichungen können weder
betrags- noch vorzeichenmässig
bestimmt werden. Allein deren
statistischen Eigenschaften wie z.B. ihre
Standardabweichung können bestimmt
werden.
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ZHaW - SoE - bauf/spma
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Grundsätzliche Ursachen für die Messunsicherheit
• Unsicherheiten vom Typ A: Der Messwert schwankt, da
externe Störungen den Wert einmal erhöhen im nächsten
Moment wieder verringern. Die Ablesewerte schwanken
um einen mittleren Wert.
• Unsicherheiten vom Typ B: Das eingesetzte Messgerät
stimmt nicht exakt. Auch wenn der Messwert nicht
schwankt, kann eine Abweichung zu einem noch
genaueren Messgerät auftreten.
Es wird dabei angenommen, dass die beiden Fehlerquellen
voneinander unabhängig sind.
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Histogramm (Häufigkeitsverteilung) der
Ergebnisse wiederholter Messungen
Abszisse (x-Achse):
Messwerte
Ordinate (y-Achse): die
auf die Anzahl Messungen
normierte Häufigkeiten
m
s
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Mittelwert
Standardabweichung
ZHaW - SoE - bauf/spma
m-s
m
m+s
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Statistisches Modell der Ursachen der
Messunsicherheit vom Typ A
• Gauss- oder Normal-Verteilung
Dichtefunktion
(Häufigkeitsdichte)
2ö
æ
x
m
1
(
)÷
f (x) =
expçç2
÷
2s
s 2p
è
ø
Verteilungsfunktion
(Summenhäufigkeit)
F(x) =
x
ò
f (x)dx
-¥
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Eigenschaften der Gauss-Verteilung
• Parameter: Mittelwert = µ, Streuung = s
• Normierung:
F(¥) =
¥
ò
f (x)dx = 1
-¥
• Wahrscheinlichkeit
P{ a £ x < b} =
b
ò f (x)dx = F (b) - F ( a)
a
a
µ–s
µ–2s
µ–3s
µ–4s
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b
µ+s
µ+2s
µ+3s
µ+4s
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P{a≤x<b}
68.27%
95.45%
99.73%
99.9937%
8
Eigenschaften der Gauss-Verteilung
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Statistik der Mittelwertschätzung
• Mittelwert
1
(Schätzung für Erwartungswert) m =
N
Stichprobenumfang: N
• Empirische Standardabweichung
(Schätzung für Streuung)
s=
N
åx
j
j=1
N
2
1
x j - m)
å
(
N -1 j=1
• Schätzung für Streuung des Mittelwerts
t-Faktor: Student-Verteilung
s
uA = t
N
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Schwankungsbreite des Mittelwertes
+s
-s
m
Häufigkeitsverteilung der Stichprobe
m: Mittelwert
s: empirische Standardabweichung
Stichprobenumfang:
50 x 20 Messungen
Häufigkeitsverteilung
der 50 Mittelwerte
Häufiger messen reduziert die
Schwankung des Mittelwertes!
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11
+ 3 Digits (3 x Auflösung)
Typ B0.05%v.M.
Unsicherheit:
Herstellerangaben
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Zusammensetzung der Standardunsicherheit
Typ B bei einem DMM
Die Standardunsicherheit Typ B besteht aus
zwei Unsicherheitstermen (Bsp. METRA HIT 23 S):
0.05% vom Messwert
uE =
• Empfindlichkeit
3
3× Auflösung
• Nullpunktabgleich uN =
3
Zusammen
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uB = uE2 + uN2
ZHaW - SoE - bauf/spma
13
Standardabweichung einer gleichverteilten
Zufallsvariablen
Standardabweichung (Streuung)
(grauer Bereich: ±s)
a
s=
3
Bsp:
Standardunsicherheit Typ B:
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Kombinierte Standardunsicherheit Typ C
• Da beide Standardunsicherheiten (Typen A
und B) gleichzeitig aber unabhängig
voneinander „wirken“, ist die resultierende
Unsicherheit entsprechend der folgenden
Formel grösser:
uC = uA2 + uB2
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Vertrauensbereich
• Die bis jetzt betrachteten Standardunsicherheiten
beziehen sich auf einen geschätzten
Vertrauensbereich von ca. 68%, d. h. die
Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis im Bereich
m ± uC liegt, beträgt 0,68.
• Soll für die Wahrscheinlichkeit ein andrer Wert
gelten, so muss die erweiterte Unsicherheit U mit
einem Faktor k bestimmt werden:
m ± U = m ± k uC
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Wahl von k für die erweiterte Unsicherheit
Grad des
Vertrauens
erweiterte
Unsicherheit U
68.27%
1·uC
95.00%
(95.45%)
1.96·uC
(2·uC )
99.73%
3·uC
• Biologie
99.993%
4·uC
Sicherheitsrelevante Anwendungen, z. B.:
• Bremse in Kraftfahrzeug
• Luft- und Raumfahrttechnik
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Anwendungsgebiet
• Physik und Vermessungswesen
• physikalische Naturkonstanten
• industrielle Messtechnik
• Basis aller ASTM Standards
ZHaW - SoE - bauf/spma
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Überblick: Unsicherheiten nach GUM
Xwahr Xkorrigiert
Xgemessen
(Mittelwert)
x
systematischer Fehler
Standardabw. des Mittelwerts
kombinierte Messunsicherheit
erweiterte Messunsicherheit
Vertrauensbereich
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Vorgehen nach GUM
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Systematische Abweichungen
Bester Schätzwert des Messergebnisses
Standardunsicherheit Typ A
Standardunsicherheit Typ B
Kombinierte Standardunsicherheit Typ C
Erweitere Unsicherheit basierend auf
gewünschtem Vertrauensniveau
7. Vollständiges Messergebnis angeben
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19
Vorgehen nach GUM: Tabelle
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ZHaW - SoE - bauf/spma
20
K1.1-S7
Optimale Messunsicherheit uA, uB
• Wie könnte bei gleichen Messgeräten die Unsicherheit von
Einführungsbeispiel 1 optimiert werden. Wo liegt die Grenze?
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ZHaW - SoE - bauf/spma
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Temperatursensor
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ZHaW - SoE - bauf/spma
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25
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ZHaW - SoE - bauf / spma
26
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ZHaW - SoE - bauf / spma
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