Copyright Bruno Buchberger 2003
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Mathematik an Fachhochschulen: Inhaltliche und methodische Überlegungen Bruno Buchberger RISC, Uni Linz Bozen, 26. September 2003 Copyright B. Buchberger 2003 1 • Copyright Bruno Buchberger 2003: • Copying, storing in data bases etc. is granted under the following conditions: – the paper is kept unchanged including this copyright note – a message is sent to [email protected] – If you use the material contained in this paper you should cite it appropriately. Copyright B. Buchberger 2003 2 Inhalt • Mathematik innerhalb der Wissenschaft • Der Computer innerhalb der Mathematik • Inhalte und Didaktik der FH-Mathematik – Typ F – Typ IT Copyright B. Buchberger 2003 3 Die Mathematik innerhalb der Wissenschaften Beobachten, Modellieren Sinne, Sensorik Naturwissenschaften Realität mit Frage oder Problem Modell Die drei Schritte sind verschieden, bilden aber ein Ganzes. Antwort oder Lösung in Realität Handeln, Interpretieren Hände, Motorik Technische Wissenschaften Copyright B. Buchberger 2003 Denken, Schließen Gehirn Mathematik Antwort oder Lösung im Modell 4 Der Computer: Selbstanwendung der Wissenschaften Beobachten, Modellieren Sinne, Sensorik Naturwissenschaften Mikroskop, …, Tomograph, … Denken, Schließen Gehirn Mathematik ... Computer Handeln, Interpretieren Hände, Motorik Technische Wissenschaften Laserschneider, ..., Roboter, ... Copyright B. Buchberger 2003 5 Der Computer: Die Erfüllung der Mathematik GGT[18234565,12382928]..=...GGT[18,12] GGT[18,12]=GGT[6,12] GGT[m,n]= GGT[m-n,n] GGT[m,n]=max … Für alle m,n: GGT[m,n]=GGT[m-n,n] ? Für alle m,n: GGT[m,n]=GGT[m-n,n] Copyright B. Buchberger 2003 Die Erfindungsspirale der Mathematik 6 Einzelfakten GGT[18234565,12382928]..=...GGT[18,12] Einzelfakten RECHNENGGT[18,12]=GGT[6,12] Algorithmus GGT[m,n]= GGT[m-n,n] Algorithmus GGT[m,n]=max … PROGRAMMIEREN EINSEHEN Allgemeine Vermutung Für alle m,n: GGT[m,n]=GGT[m-n,n] ? BEWEISEN Theorem Für alle m,n: GGT[m,n]=GGT[m-n,n] Copyright B. Buchberger 2003 Die Erfindungsspirale der Mathematik 7 Die inhaltliche und methodische Dimension der Mathematik ... Philosophie Logik struktureller Aspekt algorithmischer Aspekt Anwendungsaspekt didaktischer Aspekt Software-Implementierung „Natureware“ ... M e n g l. Z a h l. th. A F F l n u k i a n t. n. l k. a A y.Copyright th.B. Buchberger l. n. 2003 k o m. A l. . . . . . siehe z.B. AMS Dez.Klass. 8 Ein Grundprinzip für den Entwurf eines FH-Mathematik-Lehrplans • Die Auswahl in den folgenden Stufen organisieren: – Berufsbild – Bildungsziele – „Stoff“. • In der methodischen Dimension so weit möglich Vollständigkeit anstreben! (In Abhängigkeit vom Studiengang.) • In der inhaltlichen Dimension Mut zur Lücke haben! (In Abhängigkeit vom Studiengang.) Copyright B. Buchberger 2003 9 Berufsbild der FH-Studiengänge F. Der Absolvent des FH-Studienganges F soll Problemlöser im Fachgebiet F sein. S. Sonderstellung: Fachgebiet ist IT (Software Engineering u.ä.) Bei F: IT ist ein Hilfsmittel. Bei S: IT ist das Hilfsmittel. Copyright B. Buchberger 2003 10 Der Problemlöseprozess im Fach F Modellieren Arbeiten im Modell Anwenden Copyright B. Buchberger 2003 11 „Modellieren“: – Problem Erarbeiten im Kontext des Kunden und des technischen Umfelds – Problem-Spezifikation Copyright B. Buchberger 2003 12 Arbeiten im Modell: – System-Entwurf im Team – Zusammenbau aus vorhandenen und neu entwickelten Komponenten – vorhandene (und neue) Mathematik-Komponenten – vorhandene (und neue) Software-Komponenten Sonderstellung der IT-Studiengänge Copyright B. Buchberger 2003 13 Anwenden: – Einbetten des entwickelten Systems in den betrieblichen Kontext des Kunden Copyright B. Buchberger 2003 14 Es geht also um die Welle „vom Kunden zum Kunden“ realisiert werden. Problem Lösung Copyright B. Buchberger 2003 15 Bildungsziele für die FH-Mathematik • Sprache der Mathematik: – Prädikatenlogik in den gängigen Ausprägungen – algorithmische Konstrukte als Teil der Prädikatenlogik – Notationen für mathematische Sprachkonstrukte in den mathematischen Software-Systemen. – Bei IT Studiengängen: sprachliche Seite verfeinern, Zusammenhang mit Programmiersprachen herstellen. Copyright B. Buchberger 2003 16 • Modellieren: Die wichtigsten Problemstellungen im Fachgebiet in mathematische Probleme übersetzen können. Wissen, wie man die entsprechenden bekannten mathematischen Verfahren in den mathematischen Software-Systemen benutzt. (Mathematisches Arbeiten im Team.) Bei IT-Studiengängen: Exemplarische Problemstellungen aus verschiedenen Bereichen. Copyright B. Buchberger 2003 17 • Schließen: – Bei Studiengängen F: Anschauliches Verständnis, wie, warum und wie gut Verfahren funktionieren, ist ausreichend. – Bei IT-Studiengängen: Einfache mathematische Überlegungen formal sauber durchführen können. Eigene Ideen für einfache mathematische Probleme entwickeln und mit dem Bekannten verbinden können. Copyright B. Buchberger 2003 18 • Interpretieren: • Die Ergebnisse interpretieren und kritisch beurteilen können. ( neue Iteration des Zyklus.) Copyright B. Buchberger 2003 19 Inhalte der FH-Mathematik • Bei F. und S. sehr verschieden: – Bei F. sind die typischen realen Problemstellungen bekannt, bei S. nicht. – Von S. soll / kann man formale Aspekte betonen (denn Informatik ist vor allem eine Sprachdisziplin), bei F. eher nicht. Copyright B. Buchberger 2003 20 Inhalte der Mathematik für FH, Typ F. • Planung der Inhalte: – Von den wesentlichen (mathematisch angreifbaren) inhaltlichen Probleme des Fachs ausgehen. – Die für deren Lösung anwendbaren mathematischen Verfahren und Teilverfahren heraussuchen. (Siehe „Help“von Mathematica, Maple, etc. Warum?) – Überlegen, welche Grundbegriffe („Bereiche“ und „Wissen“ man braucht, um die mathematischen Verfahren und dann die realen Probleme lösen zu können). Copyright B. Buchberger 2003 21 Beispiel: BWL Studiengang • Inhaltliche Probleme: Darstellen, Analysieren, Optimieren, Organisieren, Sichern, ... • Mathematische Verfahren: – Graphische Darstellungen – Statistische Kenngrößen – Elementare Mengenlehre, logische Verknüpfungen – Gleichungen, Ungleichungen, – Optimierungsverfahren – Codierung, Kryptographie – ...? Copyright B. Buchberger 2003 22 Überblick verschaffen über mathematische Inhalte: an „Achsen“ aufhängen! Problemtypen Gleichungen Ungleichungen Optimieren Interpolieren Approximieren .... Datentypen Wissenstypen Nat Zahlen ... Mengen Tupeln .... Funktionen ... Eliminieren, Simplifizieren, kritische Paare, Divide and Conquer, ... Copyright B. Buchberger 2003 Methodentypen Algorithmentypen 23 • Diese Strukturierung muss man für die inhaltlichen Probleme und die dazu notwendigen mathematischen Verfahren des Fachs durchführen. Führt zu einer klaren Landschaft für die Inhalte der Mathematik für dieses Fach. Copyright B. Buchberger 2003 24 Methodik der Mathematik für FH, Typ F. • Die wesentlichen Probleme aus dem Fach, die mathematisch gelöst werden können, präsentieren. (Sie sind am Anfang der Ausbildung noch nicht lösbar.) An einem Beispiel die Lösung „black-box“ als Motivation zeigen. • Notwendige Daten- und Wissenstypen einführen. • Den eigentlichen Teil nach Problemtypen und zugehörigen Methodentypen strukturieren. Korrektheit der Methoden erläutern, nicht beweisen. Copyright B. Buchberger 2003 25 • Methoden an Beispielen einüben, Aufrufen der Methoden lernen. • Modellieren der realen Probleme auf (Kombination von) mathematischen Problemen üben und mathematische Probleme durch Aufruf der Routinen aus math Software-Systemen lösen. (Allenfalls „Programmieren“ in diesen Systemen.) • Interpretieren der Ergebnisse (allenfalls Iteration des Vorgangs), Dokumentieren, Präsentieren. Copyright B. Buchberger 2003 26 Es geht also um die Welle „vom Problem zum Problem“ Problem als Motiviation Problem als Erfüllung Copyright B. Buchberger 2003 27 Inhalte der Mathematik für FH, Typ IT. • Planung der Inhalte: – Zum Unterschied von Studiengängen F: Einsatz kann in allen Fachgebieten sein! – Auf die wesentlichen algorithmischen Verfahren der Mathematik ausrichten (Siehe „Help“ von Mathematica, Maple, etc.) – Überlegen, welche Grundbegriffe („Bereiche“ und „Wissen“ man braucht, um die mathematischen Verfahren anwenden zu können. Copyright B. Buchberger 2003 28 Überblick verschaffen über mathematische Inhalte: an „Achsen“ aufhängen! Noch wichtiger als bei Typ F. Problemtypen Gleichungen Ungleichungen Optimieren Interpolieren Approximieren .... Datentypen Wissenstypen Nat Zahlen ... Mengen Tupeln .... Funktionen ... Eliminieren, Simplifizieren, kritische Paare, Divide and Conquer, ... Copyright B. Buchberger 2003 Methodentypen Algorithmentypen 29 Methodik der Mathematik für FH, Typ IT. • Einige Probleme aus verschiedenen Fächern, die mathematisch gelöst werden können, präsentieren. (Sie sind am Anfang der Ausbildung noch nicht lösbar.) An einem Beispiel die Lösung „black-box“ als Motivation zeigen. • Notwendige Daten- und Wissenstypen einführen. • Die Inhalte nach Problemtypen und zugehörigen Methodentypen strukturieren. Korrektheit der Methoden erläutern, nicht beweisen. • Aber: an einigen Beispielen das formale Schließen bei Sätzen undAlgorithmen in großem Detail machen. (Theorema wäre hier ein schöner Rahmen.) Copyright B. Buchberger 2003 30 • Methoden an Beispielen einüben, Aufrufen der Methoden lernen. (White-Box / Black-Box Prinzip.) • Modellieren von realen Probleme auf (Kombination von) mathematischen Problemen üben und mathematische Probleme durch Aufruf der Routinen aus math Software-Systemen lösen. („Programmieren“ in diesen Systemen lernen.) • Interpretieren der Ergebnisse (allenfalls Iteration des Vorgangs), Dokumentieren, Präsentieren. Copyright B. Buchberger 2003 31
