ARIMA-Modelle

Außenhandelsbeziehungen zwischen China, USA, EU
Makroökonometrie
Vorlesung
Dr. Oliver Bode
Univariate Zeitreihenmodelle
Außenhandelsbeziehungen zwischen China, USA, EU
Motivation
• Ziel: Prognose von ökonomischen Variablen
• Strukturelle ökonometrische Modelle vs.
Zeitreihenmodelle
• Strukturelle Modelle greifen auf ökonomische
Theorie zurück
• Univariate Zeitreihenmodelle verwenden nur die
Information der Zeitreihe selbst
Univariate Zeitreihenmodelle
Außenhandelsbeziehungen zwischen China, USA, EU
Motivation
• Einfache Zeitreihenmodelle besitzen oft bessere
Prognoseeigenschaften als komplexe strukturelle
Modelle (bspw. Simultane Gleichungsmodelle)
• Beispiel: Zusammenhang von Arbeitslosigkeit und
Inflation
 Schätzung des kontemporären
Zusammenhangs der beiden Größen
 Für Prognose der Arbeitslosigkeit benötigt
man Inflationsprognose
 Zeitreihenanalyse prognostiziert zukünftige
Arbeitslosigkeit aus vergangenen Werten
Univariate Zeitreihenmodelle
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Motivation
• Entstehungsseite des BIP
• Prognose der einzelnen Wirtschaftsbereiche bis Ende
2008 anhand von ARIMA-Modellen (auf Basis der
Quartalsdaten ab 1991)
Land- und Forstwirtschaft, Fischerei
Produzierendes Gewerbe
Produzierendes Gewerbe ohne Baugewerbe
Bergbau und Gewinnung von Steiner und Erden
Verarbeitendes Gewerbe
Energie- und Wasserversorgung
Baugewerbe
Univariate Zeitreihenmodelle
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ARIMA-Modelle
• Betrachtung der Zeitreihe einer ökonomischen
Variable ( y1 ,, yT )
• Interpretation: Folge von Zufallsvariablen, die einem
stochastischen Prozess folgen
• Gegenwärtige Werte einer ökonomischen Variable
werden durch vergangene Werte dieser Größe erklärt
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ARIMA-Modelle
• Autoregressives Modell erster Ordnung (AR(1)Prozess):
yt    yt 1   t ,   1
E ( t )  0 , Var ( t )   2 und Cov ( t ,  s )  0 für t  s
yt , t  1, , T schwach stationär, d. h. :
E ( yt )   , Var ( yt )   0 und Cov ( yt , yt  k )   k
• Hier ergibt sich:
2
2
k 
E ( yt )  0 , Var ( yt ) 
und Cov ( yt , yt k )  
2
1 
1  2
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ARIMA-Modelle
• Moving Average-Prozess erster Ordnung (MA(1)Prozess):
yt   t     t 1
 t , t  1,..., T
White - Noise - Prozess
• Hier ergibt sich:
E ( yt )  0 , Var ( yt )  (1  2 )   2 und Cov ( yt , yt 1 )     2
Außerdem gilt:
Cov ( yt , yt k )  0 für k  2
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ARIMA-Modelle
• Autokorrelationskoeffizienten  k :
Cov ( yt , yt  k )  k
k 

Var ( yt )
0
• AR(1)-Prozess:
 k   k , k  1, 2,
• MA(1)-Prozess:
1 

2 und
1 
 k  0 für k  2
• Sehr unterschiedliche Auswirkungen von Schocks in
den betrachteten Modellen
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ARIMA-Modelle
Allgemeine Formulierung von ARMA-Modellen
• AR(p)-Prozess: yt  1  yt 1   2  yt 2     p  yt  p   t
• MA(q)-Prozess: yt   t  1 t 1     q t q
• ARMA(p,q)-Prozess:
yt  1  yt 1   2  yt 2     p  yt  p   t  1 t 1     q t q
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ARIMA-Modelle
• Keine grundsätzlichen Unterschiede zwischen
autoregressiven und Moving Average-Prozessen
• AR(1)-Prozess darstellbar als unendlicher Moving
Average-Prozess:

yt    j   t  j
j 0
• Darstellung des stochastischen Prozesses abhängig
von der Fragestellung bzw. dem verfolgten Ziel
Univariate Zeitreihenmodelle
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Stationarität
• Strikt stationär vs. schwach stationär
• Schwache Stationarität umfasst drei Ebenen:
 Mittelwert: Variable schwankt im Zeitablauf um
einen konstanten Wert
kein Trend
 Varianz: Variable besitzt eine zeitkonstante
(endliche) Varianz
 Kovarianz: Einfluss vergangener Realisationen
der Variable auf ihren gegenwärtigen Verlauf nimmt
ab
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BIP im Zeitverlauf
LRGDP_SA
640
630
620
610
600
590
580
570
1980
1985
1990
1995
2000
2005
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DLBIP im Zeitverlauf
DLRGDP_SA
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
1980
1985
1990
1995
2000
2005
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Stationarität
• Folgende Prozesse sind stationär:
 AR(p)-Prozess mit 1   2     p  1
 MA(q)-Prozess
 ARMA(p,q)-Prozess mit 1   2     p  1
• Beispiele: AR(2)-Prozess und MA(2)-Prozess
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Instationarität
• Beispiel: Deterministische Trendkomponente
yt  b  t  yt 1   t
yt  yt  yt 1  b  t   t
2 yt  yt  yt 1  yt  2 yt 1  yt  2  b   t   t 1
• Beispiel: Random-Walk-Prozess
yt  yt 1   t
• Berechnung der Erwartungswerte, Varianzen und
Kovarianzen
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Definition Lag-Operator
L yt  yt 1 , L2 yt  yt 2 ,, Lp yt  yt  p
L0  1, L1 yt  yt 1
2
p
• Lag-Polynom:  ( L)  1  1 L   2 L     p L
• AR(p)-Prozess:  ( L) yt   t
Univariate Zeitreihenmodelle
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Invertierbarkeit von Lag-Polynomen
• AR(1)-Prozess:

1  L   L      j  L j  (1  L) 1 falls   1
2 2
j 0
• AR(2)-Prozess:
1  1L   2 L2  (1  1L)(1  2 L)
 Charakteristisches Polynom:
(1  1 z )(1  2 z )  0
 invertierbar falls z1  1 und z2  1
Univariate Zeitreihenmodelle
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Invertierbarkeit von Lag-Polynomen
• Bedeutung:
 Autoregressiver Prozess erster Ordnung ist
stationär genau dann wenn das AR-Polynom
invertierbar
 Spezialfall: Einheitswurzel (z  1)
 Invertierbarkeit ist wichtig bei der Schätzung des
Prozesses und im Rahmen der Prognose
Univariate Zeitreihenmodelle
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Einheitswurzeln
• ARMA(p,q)-Modell:  ( L) yt   ( L) t
• Annahme:  (L) besitzt eine Einheitswurzel und alle
anderen Lösungen des charakteristischen Polynoms
sind größer als 1
*
*
• ARIMA(p-1,1,q)-Modell: ( L)(1  L) yt   ( L)yt   ( L) t
• yt ist integriert vom Grad 1, d.h. yt ist stationär
Univariate Zeitreihenmodelle
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Einheitswurzeltests
• Dickey-Fuller-Test:
 Nullhypothese: yt ist nicht stationär
 basierend auf der Regression yt    yt 1   t
 beziehungsweise yt  (1   ) yt 1   t
 H 0 :   0 vs. H1 :   0
 Schätzung des Regressionsmodells mit OLS
Univariate Zeitreihenmodelle
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Einheitswurzeltests
• Dickey-Fuller-Test:
 Kritische Werte ergeben sich nicht aus der
gewöhnlichen t-Verteilung
 Problem: Störgrößen müssen die klassischen
Annahmen des multiplen Regressionsmodells
erfüllen
 Autokorrelierte Störgrößen stellen den Regelfall
dar (falls p>1)
 Lösung: Erweiterter Dickey-Fuller-Test
Univariate Zeitreihenmodelle
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Einheitswurzeltests
• Erweiterter Dickey-Fuller-Test:
 Einbeziehung zusätzlicher verzögert endogener
Variablen
 Basierend auf der Regression:
m
yt    yt 1    j yt  j  t
j 1
 Sukzessive Erhöhung der Lag-Länge zur
Erreichung der White-Noise-Eigenschaft
 Kritische Werte entsprechen denen des DickeyFuller-Test
Univariate Zeitreihenanalyse
Außenhandelsbeziehungen
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Beispiel Inflation
LCPI_SA
480
470
460
450
440
430
420
410
400
390
1980
1985
1990
1995
2000
2005
Univariate Zeitreihenanalyse
Außenhandelsbeziehungen
zwischen China, USA, EU
Beispiel Inflation
DLCPI_SA
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
-0.5
1980
1985
1990
1995
2000
2005
Univariate Zeitreihenanalyse
Außenhandelsbeziehungen
zwischen China, USA, EU
Beispiel Inflation
DDLCPI_SA
1.6
1.2
0.8
0.4
0.0
-0.4
-0.8
-1.2
1980
1985
1990
1995
2000
2005
Univariate Zeitreihenanalyse
Außenhandelsbeziehungen
zwischen China, USA, EU
Beispiel Inflation
Null Hypothesis: LCPI_SA has a unit root
Exogenous: Constant
Lag Length: 3 (Automatic based on SIC, MAXLAG=12)
Augmented Dickey-Fuller test statistic
Test critical values:
1% level
5% level
10% level
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
t-Statistic
Prob.*
-1.797257
-3.485586
-2.885654
-2.579708
0.3804
Außenhandelsbeziehungen
zwischen China, USA, EU
Univariate Zeitreihenanalyse
Beispiel Inflation
Null Hypothesis: DLCPI_SA has a unit root
Exogenous: Constant
Lag Length: 2 (Automatic based on SIC, MAXLAG=12)
Augmented Dickey-Fuller test statistic
1% level
Test critical values:
5% level
10% level
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
t-Statistic
Prob.*
-2.498564
-3.485586
-2.885654
-2.579708
0.1183
Außenhandelsbeziehungen
zwischen China, USA, EU
Univariate Zeitreihenanalyse
Beispiel Inflation
Null Hypothesis: DDLCPI_SA has a unit root
Exogenous: Constant
Lag Length: 1 (Automatic based on SIC, MAXLAG=12)
Augmented Dickey-Fuller test statistic
Test critical values:
1% level
5% level
10% level
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
t-Statistic
Prob.*
-12.60146
-3.485586
-2.885654
-2.579708
0.0000