5.9 Gleichstrom, Ohmsches Gesetz

5.9 Gleichstrom, Ohmsches Gesetz
Elektrostriktion Eine Verschiebung der elektrischen Ladung in einem E~0 -Feld bewirkt eine
mechanische Deformation bzw. eine mechanische Spannung.
Piezoelektrizität In manchen Stoffen tritt auch die Umkehr der Elektrostriktion auf, d. h.,
~
eine mechanische Spannung bewirkt ein E-Feld.
5.9 Gleichstrom, Ohmsches Gesetz
Wird ein elektrischer Leiter an eine Spannungsquelle angeschlossen, so entsteht ein elektri~ auf die Elektronen.
sches Feld im Inneren des Leiters und somit eine Kraftwirkung F~ = −eE
⇒ Ladungstransport, d. h. elektrischer Strom.
Elektrische Stromstärke:
I=
dQ
dt
(5.73)
Ladungsmenge dQ, die pro Zeiteinheit durch einen Leiter fließt. [I] = 1 Ampere = 1 A.
Transportierte Ladung:
Q=
Zt2
Idt
(5.74)
t1
bei zeitlich konstanten Strömen:
I=
Q
;
t
Q = It
(5.75)
Stromdichte j: Stromstärke bezogen auf die Querschnittsfläche dA des Leiters.
~j = dI
ZdA
~
⇔ = ~jdA
(5.76)
(5.77)
Stromrichtung: Per Definition fließt der Strom vom Pluspol der Spannungsquelle zum Minuspol. Aber Achtung!
• Positive Ladungsträger bewegen sich zum Minuspol
• Negative Ladungsträger bewegen sich zum Pluspol
in Metallen: Transport durch Elektronen (negative Ladungsträger) → Stromrichtung
entgegengesetzt zur Bewegung der Ladungsträger.
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5 Elektrizität und Magnetismus
Elektrischer Widerstand R:
Ladungsträger können sich nicht ungehindert durch den Leiter bewegen
→ Verlust von kinetischer Energie
→ Umwandlung in Wärme
Dem Strom I wird somit ein „bremsender“ Widerstand entgegengesetzt.
Ohmsches Gesetz:
U
;
R = konst.
R
V
= 1 Ohm = 1 Ω
mit [R] =
A
I=
(5.78)
Spezifischer Widerstand ρ: Materialspezifische Größe:
R=ρ
l
A
(5.79)
mit l: Länge des Drahtes, A: Querschittsfläche des Drahtes, ρ: spezifischer Widerstand
(temperaturabhängig).
Spezifische Leitfähigkeit σ: Kehrwert des spezifischen Widerstandes
σ=
1
ρ
(5.80)
Ohmsches Gesetz (in anderer Schreibweise):
~
~j = σ E;
Spezifischer Widerstand
Ag
Cu
Fe
H2 O
Glas
Kunststoff
~ =U
mit E
l
ρ (Ωm) bei 20◦ C
1.6 × 10−8
1.7 × 10−8
1 × 10−7
2 × 105
> 1010
> 1013
Tabelle 5.2: Spezifische Widerstände einiger Materialien.
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(5.81)
5.10 Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen
5.10 Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen
Reihenschaltung von Widerständen
U2
R1
R2
+
U1
-
U
Abbildung 5.10: Reihenschaltung zweier Widerstände.
U
I
⇒U
⇔U
⇔U
⇒ Rges
allgemein:
⇒ Rges
= U1 + U2
= I1 = I2
= R 1 I1 + R 2 I2
= (R1 + R2 )I
= Rges I
= R1 + R2
X
=
Ri
(5.82)
(5.83)
(5.84)
(5.85)
(5.86)
(5.87)
(5.88)
i
Parallelschaltung von Widerständen
I1
R1
I
+
R2
-
I2
U
Abbildung 5.11: Parallelschaltung zweier Widerstände.
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5 Elektrizität und Magnetismus
allgemein:
U = U1 = U2
I = I1 + I2
U
U
⇒I=
+
R
R2
1
1
1
U
+
⇔I=
R1 R2
1
⇔I=
U
Rges
1
1
1
⇒
=
+
Rges
R1 R2
X 1
1
⇒
=
Rges
Ri
i
(5.89)
(5.90)
(5.91)
(5.92)
(5.93)
(5.94)
(5.95)
5.11 Innenwiderstände, Klemmenspannung
Alle in einem Stromkreis liegenden Elemente, wie Meßgeräte und Spannungsquellen haben
ebenfalls einen Widerstand, den sogenannten Innenwiderstand.
→ Meßgeräte sollen einen bestimmten Innenwiderstand RJ haben, um die Messung nicht zu
verfälschen.
Strommessung:
A
+
R1
-
U
Abbildung 5.12: Idealer Strommesser (kein Spannungsabfall) ⇒ RJ → 0.
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5.11 Innenwiderstände, Klemmenspannung
Spannungsmessung:
U
+
R1
-
U
Abbildung 5.13: Idealer Spannungsmesser (kein Stromfluss) ⇒ RJ → ∞.
Klemmenspannung einer Spannungsquelle, Kurzschlußstrom:
+
RA
-
U
(Ri)
Abbildung 5.14: Innenwiderstand.
Eine Spannungsquelle hat den Innenwiderstand RJ . Dieser ist mit dem äußeren Widerstand
RA in Reihe geschaltet. Liefert die Spannungsquelle die Urspannung U0 (elektromotorische
Kraft) liegt an ihren Polen nur die Klemmenspannung UK an:
Rges = RJ + RA
I = IJ + IA
Uges = UJ + UA
⇒ Uges = U0 (Urspannung)
⇒ UA = UK (Klemmenspannung)
⇒ U0 = UJ + UK
⇔ UK = U0 − UJ
⇔ UK = U0 − RJ I
Leerlauf (I = 0) : ⇒ UK = U0
U0
Kurschluss (RA = 0 ⇔ UK = 0) : ⇒ I =
Ri
(5.96)
(5.97)
(5.98)
(5.99)
(5.100)
(5.101)
(5.102)
(5.103)
(5.104)
(5.105)
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5 Elektrizität und Magnetismus
5.12 Verzweigte Stromkreise – Kirchhoffsches
Gesetze
1. Kirchhoffsches Gesetz: Knotensatz
In jedem Knoten ist die Summe aller zu- und abfließenden Ströme Null.
X
Ii = 0
(5.106)
i
I1
I2
I3
I5
I1-I2+I3-I4+I5=0
I4
Abbildung 5.15: Ströme in einem Knoten.
2. Kirchhoffsches Gesetz: Maschensatz
In jeder Masche ist die Summe aller Spannungsabfälle an den Widerständen gleich der Summe
der Urspannungen.
X
X
R i Ii =
Uk
(5.107)
i
-
I3
k
U2
+
+
R2
R
3
I2
-
U1
R1I1+R2I2-R3I3=U1+U2
R1
I1
Abbildung 5.16: Spannungen in einer Masche.
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5.13 Arbeit und Leistung elektrischer Gleichströme
5.13 Arbeit und Leistung elektrischer Gleichströme
Arbeit
W =
Z
~ = Q
F~ ds
|{z}
~ =QE
~
F
⇒ W = U It
mit [W ] = 1 Joule = 1 J
Z
~ = QU = U It
~ ds
E
| {z }
(5.108)
U
(5.109)
für geladene Teilchen in Vakuum auch 1 eV = 1.6×10−19 J (Elektronenvolt).
Leistung
W
= U I = RI 2
t
J
mit [P ] = 1 = 1 Watt = 1 W.
s
P =
(5.110)
Stromdurchflossener Leiter wird erwärmt ⇒ Joulsche Wärme
Beispiel: Wheatstone-Brücke
I3
R3
A
II
R1
I5
I
R4
D
III
R5
R2
C I2
+
I1
I4
B
-
I
U0
Abbildung 5.17: Wheatstone-Brückenschaltung
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5 Elektrizität und Magnetismus
Knotenregel:
A : I − I1 + I3 = 0
B : I3 − I 4 − I 5 = 0
C : I1 + I5 − I2 = 0
D : I2 + I4 − I = 0
(5.111)
I : R1 I1 + R2 I2 = U0
II : R3 I3 + RI5 − R1 I1 = 0
III : R4 I4 − R2 I2 − R5 I5 = 0
(5.112)
Maschenregel:
Bei abgeglichener Brücke ist I5 = 0.
⇒ I3 = I4 und I1 = I2 (Knoten B und C)
⇒ R1 I1 = R3 I3 und R2 I2 = R4 I4 (Maschen II und III)
R 1 I1
R 3 I3
⇒
=
R 2 I2
R 4 I4
R3
R1
=
⇒
R2
R4
(5.113)
(5.114)
5.14 Mechanismen der elektrischen Leitung
Festkörper
Die elektrische Leitfähigkeit beruht meistens auf Elektronenleitung.
• Nichtleiter, Isolatoren: besitzen keine freien Ladungsträger; Gläser, Keramiken, polymere Stoffe
• Leiter (Metalle): besitzen bei Raumtemperatur Ladungsträger (Elektronen)
⇒ Widerstand erhöht sich bei steigender Temperatur aufgrund von Stößen
• Halbleiter (Si, Ge, etc.): Ladungsträger müssen erst erzeugt werden (z. B.
durch Licht, Temperatur, etc.) ⇒ Widerstand sinkt bei steigender Temperatur aufgrund höherer Ladungsträgerdichte
• Supraleiter (Hg, Nb): elektrischer Widerstand verschwindet vollständig unterhalb einer kritischen Temperatur Tc (Sprungtemperatur) → Ladungsträger: Cooper-Paare
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5.14 Mechanismen der elektrischen Leitung
Flüssigkeiten: Elektrolytische Stromleitung
+
-
-
+
Cl
-
Na+
Abbildung 5.18: Elektrolyse von Kochsalz: NaCl → Na+ + Cl−
Wasser, in dem Salze, Säuren oder Basen gelöst sind, ist elektrische leitend. Die
gelösten Stoffe dissoziieren, d. h. sie spalten in positiv und negativ geladene Ionen
auf. Die positiven Kationen wandern zur Kathode (negativ geladen); die negativ
geladenen Anionen zur Anode (positiv geladen).
Wichtig: Mit der Stomleitung geht ein Massetransport einher.
Gase
Gase sind bei nicht zu hohen Temperaturen Isolatoren. Gase werden erst durch
Injektion von Ladungsträgern oder Ionisation der Gasmoleküle elektrisch leitend
→ Gasentladung
unselbständige Gasentladung:
• Ladungsträger injiziert
• UV- oder Röntgenstrahlung ionisiert Gas
⇒ Ionisationskammer, Geiger-Müller-Zählrohr
selbständige Gasentladung:
Ladungsträger werden durch den Stromfluß selbst erzeugt:
→ Stoßionisation
→ Elektronenlawine
→ Plasma (quasi-neutral)
→ Leutstoffröhre, Lichtbogenschweißen, Funkenerosion
→ Ionisationskammer, Geiger-Müller-Zählrohr
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